Дисперсия (оптика)

В оптике и распространении волн вообще дисперсией называется явление, при котором скорость волны фазовая зависит от ее частоты; ^[1] иногда термин хроматическая дисперсия используется, в частности, для оптики.Среду, обладающую этим общим свойством, можно назвать дисперсионной средой (множественная дисперсионная среда ).

Хотя этот термин используется в области оптики для описания света и других электромагнитных волн , дисперсия в том же смысле может применяться к любому виду волнового движения, например, к акустической дисперсии в случае звуковых и сейсмических волн, а также к гравитационным волнам (океанским волнам). волны). В оптике дисперсия — это свойство телекоммуникационных сигналов вдоль линий передачи (например, микроволн в коаксиальном кабеле ) или импульсов света в оптическом волокне .

В оптике одним важным и знакомым следствием дисперсии является изменение угла преломления света разных цветов. ^[2] как видно по спектру, создаваемому дисперсионной призмой , и по хроматической аберрации линз. При разработке составных ахроматических линз , в которых хроматическая аберрация в значительной степени устранена, используется количественная оценка дисперсии стекла, определяемая его числом Аббе V , где более низкие числа Аббе соответствуют большей дисперсии в видимом спектре . В некоторых приложениях, таких как телекоммуникации, абсолютная фаза волны часто не важна, а только распространение волновых пакетов или «импульсов»; в этом случае нас интересуют только изменения групповой скорости с частотой, так называемая дисперсия групповой скорости .

Все распространенные среды передачи также различаются по затуханию (нормированному на длину передачи) в зависимости от частоты, что приводит к искажению затухания ; это не дисперсия, хотя иногда отражения от близко расположенных границ импеданса (например, обжатых сегментов кабеля) могут привести к искажению сигнала, которое еще больше усугубляет непостоянство времени прохождения, наблюдаемое во всей полосе пропускания сигнала.

Примеры

Самым известным примером дисперсии, вероятно, является радуга , в которой дисперсия вызывает пространственное разделение белого света на компоненты разной длины волны (разные цвета ). Однако дисперсия также оказывает влияние и во многих других обстоятельствах: например, дисперсия групповой скорости приводит импульсов к распространению в оптических волокнах , ухудшая качество сигналов на больших расстояниях; кроме того, сокращение дисперсии групповой скорости и нелинейных эффектов приводит к солитонным волнам.

Дисперсия материала и волновода

Чаще всего под хроматической дисперсией понимают дисперсию объемного материала, то есть изменение показателя преломления с оптической частотой. Однако в волноводе существует также явление волноводной дисперсии , когда фазовая скорость волны в структуре зависит от ее частоты просто из-за геометрии структуры. В более общем смысле, «волноводная» дисперсия может возникать для волн, распространяющихся через любую неоднородную структуру (например, фотонный кристалл ), независимо от того, ограничены ли волны какой-либо областью. ^{[ сомнительно – обсудить ]} В волноводе оба типа дисперсии, хотя они не являются строго аддитивными. обычно присутствуют ^{[ нужна ссылка ]} Например, в волоконной оптике дисперсия материала и волновода может эффективно компенсировать друг друга, создавая длину волны с нулевой дисперсией , что важно для быстрой оптоволоконной связи .

Дисперсия материалов в оптике

Дисперсия материала может быть желательным или нежелательным эффектом в оптических приложениях. Дисперсия света стеклянными призмами используется для создания спектрометров и спектрорадиометров . Однако в линзах дисперсия вызывает хроматическую аберрацию — нежелательный эффект, который может ухудшить изображение в микроскопах, телескопах и фотографических объективах.

Фазовая скорость v волны в данной однородной среде определяется выражением

v={\frac {c}{n}},

где c — скорость света в вакууме, а n — показатель преломления среды.

В общем, показатель преломления является некоторой функцией частоты f света, таким образом, n = n ( f ) или, альтернативно, относительно длины волны n = n ( λ ). Зависимость показателя преломления материала от длины волны обычно выражается количественно с помощью его числа Аббе или его коэффициентов в эмпирической формуле, такой как уравнения Коши или Селлмейера .

Из-за соотношений Крамерса-Кронига зависимость действительной части показателя преломления от длины волны связана с поглощением материала , описываемым мнимой частью показателя преломления (также называемой коэффициентом экстинкции ). В частности, для немагнитных материалов ( µ = µ ₀ ) восприимчивость χ , которая появляется в соотношениях Крамерса–Кронига, представляет собой электрическую восприимчивость χ _e = n ² − 1.

Наиболее часто наблюдаемым последствием дисперсии в оптике является разделение света на цветовой спектр призмой белого . Из закона Снелла видно, что угол преломления света в призме зависит от показателя преломления материала призмы. Поскольку этот показатель преломления зависит от длины волны, отсюда следует, что угол, под которым преломляется свет, также будет меняться в зависимости от длины волны, вызывая угловое разделение цветов, известное как угловая дисперсия .

Для видимого света показатели преломления n большинства прозрачных материалов (например, воздуха, стекол) уменьшаются с увеличением длины волны λ :

1<n(\lambda _{\text{red}})<n(\lambda _{\text{yellow}})<n(\lambda _{\text{blue}}),

или вообще,

{\frac {dn}{d\lambda }}<0.

В этом случае говорят, что среда имеет нормальную дисперсию . В то время как если индекс увеличивается с увеличением длины волны (что обычно имеет место в ультрафиолетовом диапазоне ^[4]), говорят, что среда имеет аномальную дисперсию .

На границе такого материала с воздухом или вакуумом (индекс ~1) закон Снелла предсказывает, что свет, падающий под углом θ к нормали, будет преломляться под углом arcsin( ⁠ грех θ / n ⁠ ). Таким образом, синий свет с более высоким показателем преломления будет преломляться сильнее, чем красный, что приведет к появлению хорошо известного радужного рисунка.

Дисперсия групповой скорости

Помимо простого описания изменения фазовой скорости в зависимости от длины волны, более серьезное последствие дисперсии во многих приложениях называется дисперсией групповой скорости (ДГС). Хотя фазовая скорость v определяется как v = c / n , она описывает только одну частотную составляющую. Когда комбинируются различные частотные компоненты, например, при рассмотрении сигнала или импульса, часто больше интересует групповая скорость , которая описывает скорость, с которой распространяется импульс или информация, наложенная на волну (модуляция). На сопровождающей анимации видно, что сама волна (оранжево-коричневая) движется с фазовой скоростью, намного превышающей скорость огибающей ( черная), что соответствует групповой скорости. Этот импульс может быть, например, сигналом связи, и его информация распространяется только со скоростью групповой скорости, хотя он состоит из волновых фронтов, движущихся с более высокой скоростью (фазовая скорость).

Групповую скорость можно вычислить по кривой показателя преломления n ( ω ) или более непосредственно по волновому числу k = ωn / c , где ω — радианная частота ω = 2 πf . выражений для фазовой скорости имеет вид = _vp ω / k , групповую скорость можно выразить с помощью производной : vg _{В то время как одно из} = dω / dk . Или через фазовую скорость v _p ,

v_{\text{g}}={\frac {v_{\text{p}}}{1-{\dfrac {\omega }{v_{\text{p}}}}{\dfrac {dv_{\text{p}}}{d\omega }}}}.

При наличии дисперсии групповая скорость не только не равна фазовой скорости, но и вообще сама меняется в зависимости от длины волны. Это известно как дисперсия групповой скорости и приводит к расширению короткого светового импульса, поскольку компоненты разной частоты внутри импульса движутся с разными скоростями. Дисперсия групповой скорости определяется количественно как производная обратной величины групповой скорости по угловой частоте , что приводит к дисперсии групповой скорости = d ²к / dω ².

Если световой импульс распространяется через материал с положительной дисперсией групповой скорости, то более коротковолновые компоненты распространяются медленнее, чем длинноволновые компоненты. Таким образом, импульс становится положительно чиркающим или повышающимся , частота которого со временем увеличивается. С другой стороны, если импульс проходит через материал с отрицательной дисперсией групповой скорости, компоненты с более короткой длиной волны распространяются быстрее, чем более длинные, и импульс становится отрицательно чирпированным или понижающим чирпирование , уменьшаясь по частоте со временем.

Повседневным примером отрицательного чиркающего сигнала в акустической области является случай, когда приближающийся поезд сталкивается с деформациями на сварном пути. Звук, издаваемый самим поездом, импульсивен и распространяется по металлическим путям гораздо быстрее, чем по воздуху, поэтому поезд можно услышать задолго до его прибытия. Однако издалека он не слышен как вызывающий импульсы, а приводит к характерному нисходящему стрекотанию на фоне реверберации, вызванной сложностью вибрационных мод трека. Дисперсия групповой скорости проявляется в том, что громкость звуков остается слышимой на удивление долго, до нескольких секунд.

Контроль дисперсии

Результатом ДГС, будь то отрицательным или положительным, в конечном итоге является временное расширение пульса. Это делает управление дисперсией чрезвычайно важным в системах оптической связи на основе оптического волокна, поскольку, если дисперсия слишком велика, группа импульсов, представляющая битовый поток, будет распространяться во времени и сливаться, делая битовый поток неразборчивым. Это ограничивает длину волокна, по которому сигнал может передаваться без регенерации. Одним из возможных ответов на эту проблему является передача сигналов по оптическому волокну на длине волны, где ДГС равна нулю (например, около 1,3–1,5 мкм в кварцевых волокнах ), поэтому импульсы на этой длине волны страдают от минимального распространения из-за дисперсии. Однако на практике этот подход вызывает больше проблем, чем решает, поскольку нулевая ДГС неприемлемо усиливает другие нелинейные эффекты (такие как четырехволновое смешивание ). Другой возможный вариант — использовать солитонные импульсы в режиме отрицательной дисперсии — форму оптического импульса, которая использует нелинейный оптический эффект для самоподдержания своей формы. Однако у солитонов есть практическая проблема: им требуется поддерживать определенный уровень мощности в импульсе, чтобы нелинейный эффект имел правильную силу. Вместо этого решение, которое в настоящее время используется на практике, заключается в выполнении компенсации дисперсии, обычно путем сопоставления волокна с другим волокном с дисперсией противоположного знака, чтобы нейтрализовать эффекты дисперсии; такая компенсация в конечном итоге ограничивается нелинейными эффектами, такими как автофазовая модуляция , которая взаимодействует с дисперсией, поэтому ее очень трудно отменить.

Контроль дисперсии также важен в лазерах , генерирующих короткие импульсы . Общая дисперсия оптического резонатора является основным фактором, определяющим длительность импульсов, излучаемых лазером. Пара призм может быть расположена для создания чистой отрицательной дисперсии, которую можно использовать для балансировки обычно положительной дисперсии лазерной среды. Дифракционные решетки также можно использовать для создания дисперсионных эффектов; они часто используются в системах мощных лазерных усилителей. Недавно была разработана альтернатива призмам и решеткам: чирпирующие зеркала . Эти диэлектрические зеркала имеют такое покрытие, что разные длины волн имеют разную длину проникновения и, следовательно, разные групповые задержки. Слои покрытия могут быть адаптированы для достижения чистой отрицательной дисперсии.

В волноводах

Волноводы обладают высокой дисперсией из-за своей геометрии (а не только из-за состава материала). Оптические волокна — это своего рода волновод для оптических частот (света), широко используемый в современных телекоммуникационных системах. Скорость, с которой данные могут передаваться по одному волокну, ограничена расширением импульса из-за хроматической дисперсии, среди других явлений.

В общем случае для волноводной моды с угловой частотой ω ( β ) при постоянной распространения β (так что электромагнитные поля в направлении распространения z колеблются пропорционально e ^{я ( βz - ωt )}), параметр дисперсии групповой скорости D определяется как ^[5]

D=-{\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}{\frac {d^{2}\beta }{d\omega ^{2}}}={\frac {2\pi c}{v_{g}^{2}\lambda ^{2}}}{\frac {dv_{g}}{d\omega }},

где λ = 2 $π$ c / ω — длина волны в вакууме, а v _g = dω / dβ — групповая скорость. Эта формула обобщает формулу предыдущего раздела для однородных сред и включает как волноводную дисперсию, так и дисперсию материала. Причиной такого определения дисперсии является то, что | Д | (асимптотическое) временное расширение импульса Δ t на единицу полосы пропускания.Δ λ на единицу пройденного расстояния, обычно измеряется в пс /( нм ⋅ км ) для оптических волокон.

В случае многомодовых оптических волокон так называемая модовая дисперсия также приводит к уширению импульса. Даже в одномодовых волокнах уширение импульса может происходить в результате дисперсии мод поляризации (так как мод поляризации все равно две). Это не примеры хроматической дисперсии, поскольку они не зависят от длины волны или полосы пропускания распространяемых импульсов.

Дисперсия высшего порядка в широкой полосе пропускания

Когда в одном волновом пакете присутствует широкий диапазон частот (широкая полоса пропускания), например, в ультракоротком импульсе или чирпированном импульсе или в других формах передачи с расширенным спектром , может быть неточным аппроксимировать дисперсию константой по Полная полоса пропускания, и для расчета таких эффектов, как расширение импульса, требуются более сложные вычисления.

В частности, определенный выше параметр дисперсии D получается только из одной производной групповой скорости. Высшие производные известны как дисперсия высшего порядка . ^[6]^[7] Эти члены представляют собой просто в ряд Тейлора разложение дисперсионного соотношения β ( ω ) среды или волновода вокруг некоторой конкретной частоты. Их эффекты могут быть вычислены посредством численной оценки преобразований Фурье формы сигнала, посредством интегрирования медленно меняющихся аппроксимаций огибающей более высокого порядка , с помощью метода разделенных шагов (который может использовать точное дисперсионное соотношение, а не ряд Тейлора) или прямым моделирование полных уравнений Максвелла, а не приближенного уравнения огибающей.

Обобщенная формулировка высших порядков дисперсии – оптика Ла-Лагера.

Описание хроматической дисперсии пертурбативным способом с помощью коэффициентов Тейлора полезно для задач оптимизации, где необходимо сбалансировать дисперсию нескольких различных систем. Например, в лазерных усилителях с чирп-импульсами импульсы сначала растягиваются во времени с помощью стретчера, чтобы избежать оптических повреждений. Затем в процессе усиления импульсы неизбежно накапливают линейную и нелинейную фазы, проходя через материалы. И наконец, импульсы сжимаются в компрессорах различного типа. Чтобы отменить любые оставшиеся более высокие заказы на этапе накопления, обычно отдельные заказы измеряются и балансируются. Однако для однородных систем такое пертурбативное описание часто не требуется (т.е. распространение в волноводах). Порядки дисперсии были обобщены удобным для вычислений способом в форме преобразований типа Ла-Лагерра. ^[8]^[9]

Порядки дисперсии определяются разложением Тейлора фазы или волнового вектора. $\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} =\varphi \left.\ \right|_{\omega _{0}}+\left.\ {\frac {\partial \varphi }{\partial \omega }}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)+{\frac {1}{2}}\left.\ {\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial \omega ^{2}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{2}\ +\ldots +{\frac {1}{p!}}\left.\ {\frac {\partial ^{p}\varphi }{\partial \omega ^{p}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{p}+\cdots$

$k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} =k\left.\ \right|_{\omega _{0}}+\left.\ {\frac {\partial k}{\partial \omega }}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)+{\frac {1}{2}}\left.\ {\frac {\partial ^{2}k}{\partial \omega ^{2}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{2}\ +\ldots +{\frac {1}{p!}}\left.\ {\frac {\partial ^{p}k}{\partial \omega ^{p}}}\right|_{\omega _{0}}\left(\omega -\omega _{0}\right)^{p}+\cdots$

Дисперсионные соотношения для волнового вектора $k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\omega }{c}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)}$ и фаза $\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\omega }{c}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)}$ может быть выражено как:

${\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {1}{c}}\left(p{\frac {{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} \right)\ \end{array}}$ , ${\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {1}{c}}\left(p{\frac {{\partial }^{p-1}}{\partial {\omega }^{p-1}}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}{\it {OP}}\mathrm {(} \omega \mathrm {)} \right)\end{array}}(1)$

Производные любой дифференцируемой функции $f\mathrm {(} \omega \mathrm {|} \lambda \mathrm {)}$ длина волны или частотное пространство определяется посредством преобразования Лаха как:

${\begin{array}{l}{\frac {\partial {p}}{\partial {\omega }^{p}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}$ $,$ ${\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\lambda }^{p}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\omega }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\omega }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\omega }^{m}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }\end{array}}(2)$

Матричными элементами преобразования являются коэффициенты Лаха: ${\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} ={\frac {p\mathrm {!} }{\left(p\mathrm {-} m\right)\mathrm {!} m\mathrm {!} }}{\frac {\mathrm {(} p\mathrm {-} \mathrm {1)!} }{\mathrm {(} m\mathrm {-} \mathrm {1)!} }}$

Написанное для GDD приведенное выше выражение утверждает, что константа с длиной волны GGD будет иметь ноль высших порядков. Высшие порядки, оцениваемые по GDD:

${\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\omega }^{p}}}GDD\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}GDD\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}$

Подставив уравнение (2), выраженное для показателя преломления $n$ или оптический путь $OP$ в уравнение (1) приводит к выражениям в замкнутой форме для порядков дисперсии. В целом, $p^{th}$ Дисперсия порядка POD представляет собой преобразование типа Лагерра второго отрицательного порядка:

$POD={\frac {d^{p}\varphi (\omega )}{d\omega ^{p}}}=(-1)^{p}({\frac {\lambda }{2\pi c}})^{(p-1)}\sum _{m=0}^{p}{\mathcal {B(p,m)}}(\lambda )^{m}{\frac {d^{m}OP(\lambda )}{d\lambda ^{m}}}$ $,$

$POD={\frac {d^{p}k(\omega )}{d\omega ^{p}}}=(-1)^{p}({\frac {\lambda }{2\pi c}})^{(p-1)}\sum _{m=0}^{p}{\mathcal {B(p,m)}}(\lambda )^{m}{\frac {d^{m}n(\lambda )}{d\lambda ^{m}}}$

Матричные элементы преобразований представляют собой беззнаковые коэффициенты Лагерра порядка минус 2 и имеют вид: ${\mathcal {B}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} ={\frac {p\mathrm {!} }{\left(p\mathrm {-} m\right)\mathrm {!} m\mathrm {!} }}{\frac {\mathrm {(} p\mathrm {-} \mathrm {2)!} }{\mathrm {(} m\mathrm {-} \mathrm {2)!} }}$

Первые десять порядков дисперсии, явно записанные для волнового вектора, таковы: ${\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {GD}}}={\frac {\partial }{\partial \omega }}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} +\omega {\frac {\partial n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} -\lambda {\frac {\partial n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}\right)=v_{gr}^{\mathrm {-} \mathrm {1} }\end{array}}$

Групповой показатель преломления $n_{g}$ определяется как: $n_{g}=cv_{gr}^{\mathrm {-} \mathrm {1} }$ .

${\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {GDD}}}={\frac {{\partial }^{2}}{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {2} {\frac {\partial n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}+\omega {\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)\left({\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}\right)\end{array}}$ ${\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {TOD}}}={\frac {{\partial }^{3}}{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {3} {\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {2} }{\Bigl (}\mathrm {3} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+{\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}{\Bigr )}\end{array}}$ ${\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {FOD}}}={\frac {{\partial }^{4}}{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {4} {\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {3} }{\Bigl (}\mathrm {12} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {8} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+{\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}{\Bigr )}\end{array}}$ ${\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {FiOD}}}={\frac {{\partial }^{5}}{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {5} {\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {4} }{\Bigl (}\mathrm {60} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {60} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {15} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}{\Bigr )}\end{array}}$ ${\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {SiOD}}}={\frac {{\partial }^{6}}{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {6} {\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {5} }{\Bigl (}\mathrm {360} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {480} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {180} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {24} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+{\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}{\Bigr )}\end{array}}$ ${\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {SeOD}}}={\frac {{\partial }^{7}}{\partial {\omega }^{\mathrm {7} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {7} {\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {6} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {7} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {6} }{\Bigl (}\mathrm {2520} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {4200} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {2100} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {420} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {35} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+{\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}{\Bigr )}\end{array}}$ ${\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {EOD}}}={\frac {{\partial }^{8}}{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {8} {\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{{\partial \omega }^{\mathrm {7} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {7} }{\Bigl (}\mathrm {20160} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {40320} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {25200} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {6720} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {840} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {48} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+{\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}{\Bigr )}\end{array}}$ ${\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {NOD}}}={\frac {{\partial }^{9}}{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {9} {\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}\right)={-}{\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {8} }{\Bigl (}\mathrm {181440} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {423360} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {317520} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {105840} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {17640} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\+\mathrm {1512} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {63} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+{\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}{\Bigr )}\end{array}}$ ${\begin{array}{l}{\boldsymbol {\it {TeOD}}}={\frac {{\partial }^{10}}{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}k\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={\frac {\mathrm {1} }{c}}\left(\mathrm {10} {\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}+\omega {\frac {{\partial }^{10}n\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}\right)={\frac {\mathrm {1} }{c}}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {9} }{\Bigl (}\mathrm {1814400} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {4838400} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {4233600} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{1693440}{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\\+\mathrm {352800} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\mathrm {40320} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {2520} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+\mathrm {80} {\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}+{\lambda }^{\mathrm {10} }{\frac {{\partial }^{10}n\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {10} }}}{\Bigr )}\end{array}}$

Явно написано для фазы $\varphi$ , первые десять порядков дисперсии могут быть выражены как функция длины волны с использованием преобразований Лаха (уравнение (2)) как:

${\begin{array}{l}{\frac {\partial {p}}{\partial {\omega }^{p}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\lambda }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\lambda }^{m}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }\end{array}}$ $,$ ${\begin{array}{c}{\frac {{\partial }^{p}}{\partial {\lambda }^{p}}}f\mathrm {(} \lambda \mathrm {)} ={}{\left(\mathrm {-} \mathrm {1} \right)}^{p}{\left({\frac {\omega }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{p}\sum \limits _{m={0}}^{p}{{\mathcal {A}}\mathrm {(} p,m\mathrm {)} {\omega }^{m}{\frac {{\partial }^{m}}{\partial {\omega }^{m}}}f\mathrm {(} \omega \mathrm {)} }\end{array}}$

${\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}={-}\left({\frac {\mathrm {2} \pi c}{{\omega }^{\mathrm {2} }}}\right){\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \lambda }}={-}\left({\frac {{\lambda }^{\mathrm {2} }}{\mathrm {2} \pi c}}\right){\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}$

${\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {2} }}}={\frac {\partial }{\partial \omega }}\left({\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial \omega }}\right)={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {2} }\left(\mathrm {2} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+{\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}\right)$

${\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {3} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {3} }\left(\mathrm {6} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {6} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+{\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}\right)$

${\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {4} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {4} }{\Bigl (}\mathrm {24} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {36} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {12} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+{\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}{\Bigr )}$ ${\frac {{\partial }^{\mathrm {5} }\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {5} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {5} }{\Bigl (}\mathrm {120} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {240} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {120} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {20} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+{\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}{\Bigr )}$ ${\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {6} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {6} }{\Bigl (}\mathrm {720} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {1800} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {1200} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {300} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {30} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}\mathrm {\ +} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}{\Bigr )}$ ${\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {7} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {7} }{\Bigl (}\mathrm {5040} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {15120} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {12600} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {4200} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {630} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {42} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+{\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}{\Bigr )}$ ${\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {8} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {8} }{\Bigl (}\mathrm {40320} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {141120} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {141120} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {58800} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {11760} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {1176} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\mathrm {56} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\\\displaystyle +{\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {\partial ^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}{\Bigr )}\end{array}}$ ${\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {{\partial }^{9}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {9} }}}={-}{\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {9} }{\Bigl (}\mathrm {362880} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {1451520} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {1693440} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {846720} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {211680} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {28224} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\\displaystyle +\mathrm {2016} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {72} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+{\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {\partial ^{\mathrm {9} }\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}{\Bigr )}\end{array}}$ ${\begin{array}{l}\displaystyle {\frac {{\partial }^{10}\varphi \mathrm {(} \omega \mathrm {)} }{\partial {\omega }^{\mathrm {10} }}}={\left({\frac {\lambda }{\mathrm {2} \pi c}}\right)}^{\mathrm {10} }{\Bigl (}\mathrm {3628800} \lambda {\frac {\partial \varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial \lambda }}+\mathrm {16329600} {\lambda }^{\mathrm {2} }{\frac {{\partial }^{2}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {2} }}}+\mathrm {21772800} {\lambda }^{\mathrm {3} }{\frac {{\partial }^{3}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {3} }}}+\mathrm {12700800} {\lambda }^{\mathrm {4} }{\frac {{\partial }^{4}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {4} }}}+\mathrm {3810240} {\lambda }^{\mathrm {5} }{\frac {{\partial }^{5}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {5} }}}+\mathrm {635040} {\lambda }^{\mathrm {6} }{\frac {{\partial }^{6}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {6} }}}+\\\displaystyle +\mathrm {60480} {\lambda }^{\mathrm {7} }{\frac {{\partial }^{7}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {7} }}}+\mathrm {3240} {\lambda }^{\mathrm {8} }{\frac {{\partial }^{8}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {8} }}}+\mathrm {90} {\lambda }^{\mathrm {9} }{\frac {{\partial }^{9}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {9} }}}+{\lambda }^{\mathrm {10} }{\frac {{\partial }^{10}\varphi \mathrm {(} \lambda \mathrm {)} }{\partial {\lambda }^{\mathrm {10} }}}{\Bigr )}\end{array}}$

Пространственная дисперсия

В электромагнетике и оптике термин «дисперсия» обычно относится к вышеупомянутой временной или частотной дисперсии. Пространственная дисперсия относится к нелокальной реакции среды на пространство; это можно переформулировать как зависимость диэлектрической проницаемости от волнового вектора. Для примерной анизотропной среды пространственная связь между электрическим полем и полем электрического смещения может быть выражена в виде свертки : ^[10]

D_{i}(t,r)=E_{i}(t,r)+\int _{0}^{\infty }\int f_{ik}(\tau ;r,r')E_{k}(t-\tau ,r')\,dV'\,d\tau ,

где ядро $f_{ik}$ – диэлектрический отклик (восприимчивость); его индексы делают его вообще тензором , учитывающим анизотропию среды. Пространственная дисперсия незначительна в большинстве макроскопических случаев, когда масштаб изменения $E_{k}(t-\tau ,r')$ намного больше атомных размеров, поскольку диэлектрическое ядро затухает на макроскопических расстояниях. Тем не менее, это может привести к значительным макроскопическим эффектам, особенно в проводящих средах, таких как металлы , электролиты и плазма . Пространственная дисперсия также играет роль в оптической активности и доплеровском уширении . ^[10] а также в теории метаматериалов . ^[11]

В геммологии

Дисперсность минералов ^[12]
Mineral name	$n$ _B − $n$ _G	$n$ _C − $n$ _F
Hematite	0.500	—
Cinnabar (HgS)	0.40	—
synth. Rutile	0.330	0.190
Rutile (TiO₂)	0.280	0.120–0.180
Anatase (TiO₂)	0.213–0.259	—
Wulfenite	0.203	0.133
Vanadinite	0.202	—
Fabulite	0.190	0.109
Sphalerite (ZnS)	0.156	0.088
Sulfur (S)	0.155	—
Stibiotantalite	0.146	—
Goethite (FeO(OH))	0.14	—
Brookite (TiO₂)	0.131	0.12–1.80
Linobate	0.13	0.075
Zincite (ZnO)	0.127	—
synth. Moissanite (SiC)	0.104	—
Cassiterite (SnO₂)	0.071	0.035
Zirconia (ZrO₂)	0.060	0.035
Powellite (CaMoO₄)	0.058	—
Andradite	0.057	—
Demantoid	0.057	0.034
Cerussite	0.055	0.033–0.050
Titanite	0.051	0.019–0.038
Benitoite	0.046	0.026
Anglesite	0.044	0.025
Diamond (C)	0.044	0.025
synth. Cassiterite (SnO₂)	0.041	—
Flint glass	0.041	—
Hyacinth	0.039	—
Jargoon	0.039	—
Starlite	0.039	—
Scheelite	0.038	0.026
Zircon (ZrSiO₄)	0.039	0.022
GGG	0.038	0.022
Dioptase	0.036	0.021
Whe Vinay wellite	0.034	—
Gypsum	0.033	0.008
Alabaster	0.033	—
Epidote	0.03	0.012–0.027
Tanzanite	0.030	0.011
Thulite	0.03	0.011
Zoisite	0.03	—
YAG	0.028	0.015
Spessartine	0.027	0.015
Uvarovite	0.027	0.014–0.021
Almandine	0.027	0.013–0.016
Hessonite	0.027	0.013–0.015
Willemite	0.027	—
Pleonaste	0.026	—
Rhodolite	0.026	—
Boracite	0.024	0.012
Cryolite	0.024	—
Staurolite	0.023	0.012–0.013
Pyrope	0.022	0.013–0.016
Diaspore	0.02	—
Grossular	0.020	0.012
Hemimorphite	0.020	0.013
Kyanite	0.020	0.011
Peridot	0.020	0.012–0.013
Spinel	0.020	0.011
Vesuvianite	0.019–0.025	0.014
Gahnite	0.019–0.021	—
Clinozoisite	0.019	0.011–0.014
Labradorite	0.019	0.010
Axinite	0.018–0.020	0.011
Diopside	0.018–0.020	0.01
Ekanite	0.018	0.012
Corundum (Al₂O₃)	0.018	0.011
synth. Corundum	0.018	0.011
Ruby (Al₂O₃)	0.018	0.011
Sapphire (Al₂O₃)	0.018	0.011
Kornerupine	0.018	0.010
Sinhalite	0.018	0.010
Sodalite	0.018	0.009
Rhodizite	0.018	—
Hiddenite	0.017	0.010
Kunzite	0.017	0.010
Spodumene	0.017	0.010
Tourmaline	0.017	0.009–0.011
Cordierite	0.017	0.009
Danburite	0.017	0.009
Herderite	0.017	0.008–0.009
Rubellite	0.017	0.008–0.009
Achroite	0.017	—
Dravite	0.017	—
Elbaite	0.017	—
Indicolite	0.017	—
Liddicoatite	0.017	—
Scapolite	0.017	—
Schorl	0.017	—
Verdelite	0.017	—
Andalusite	0.016	0.009
Baryte (BaSO₄)	0.016	0.009
Euclase	0.016	0.009
Datolite	0.016	—
Alexandrite	0.015	0.011
Chrysoberyl	0.015	0.011
Rhodochrosite	0.015	0.010–0.020
Sillimanite	0.015	0.009–0.012
Hambergite	0.015	0.009–0.010
Pyroxmangite	0.015	—
synth. Scheelite	0.015	—
Smithsonite	0.014–0.031	0.008–0.017
Amblygonite	0.014–0.015	0.008
Aquamarine	0.014	0.009–0.013
Beryl	0.014	0.009–0.013
Emerald	0.014	0.009–0.013
Heliodor	0.014	0.009–0.013
Morganite	0.014	0.009–0.013
Brazilianite	0.014	0.008
Celestine	0.014	0.008
Topaz	0.014	0.008
Goshenite	0.014	—
Apatite	0.013	0.008–0.010
Aventurine	0.013	0.008
Amethyst (SiO₂)	0.013	0.008
Citrine quartz	0.013	0.008
Prasiolite	0.013	0.008
Quartz (SiO₂)	0.013	0.008
Rose quartz (SiO₂)	0.013	0.008
Smoky quartz (SiO₂)	0.013	0.008
Anhydrite	0.013	—
Dolomite	0.013	—
Morion	0.013	—
Feldspar	0.012	0.008
Moonstone	0.012	0.008
Orthoclase	0.012	0.008
Pollucite	0.012	0.007
Albite	0.012	—
Bytownite	0.012	—
synth. Emerald	0.012	—
Magnesite (MgCO₃)	0.012	—
Sanidine	0.012	—
Sunstone	0.012	—
synth. Alexandrite	0.011	—
synth. Sapphire (Al₂O₃)	0.011	—
Phosphophyllite	0.010–0.011	—
Phenakite	0.01	0.009
Cancrinite	0.010	0.008–0.009
Leucite	0.010	0.008
Enstatite	0.010	—
Obsidian	0.010	—
Anorthite	0.009–0.010	—
Actinolite	0.009	—
Jeremejevite	0.009	—
Nepheline	0.008–0.009	—
Apophyllite	0.008	—
Hauyne	0.008	—
Natrolite	0.008	—
synth. Quartz (SiO₂)	0.008	—
Aragonite	0.007–0.012	—
Augelite	0.007	—
Beryllonite	0.010	0.007
Strontianite	0.008–0.028	—
Calcite (CaCO₃)	0.008–0.017	0.013–0.014
Fluorite (CaF₂)	0.007	0.004
Tremolite	0.006–0.007	—

В технической терминологии дисперсия это разница в показателе преломления геммологии — материала на B и G ( 686,7 и 430,8 нм) или C и F (656,3 и 486,1 нм) длинах волн Фраунгофера , и она предназначена для выражения степень, в которой призма, вырезанная из драгоценного камня, демонстрирует «огонь». Огонь — это разговорный термин, используемый геммологами для описания дисперсионной природы драгоценного камня или ее отсутствия. Дисперсия – это свойство материала. Количество огня, демонстрируемое данным драгоценным камнем, зависит от углов граней драгоценного камня, качества полировки, условий освещения, показателя преломления материала, насыщенности цвета и ориентации зрителя относительно драгоценного камня. ^[12]^[13]

В изображениях

В фотографических и микроскопических объективах дисперсия вызывает хроматическую аберрацию , из-за которой разные цвета изображения не перекрываются должным образом. Для противодействия этому были разработаны различные методы, такие как использование ахроматов , многоэлементных линз со стеклами различной дисперсии. Они построены таким образом, что хроматические аберрации различных частей компенсируются.

Выбросы пульсаров

Пульсары — это вращающиеся нейтронные звезды, которые излучают импульсы с очень регулярными интервалами от миллисекунд до секунд. Астрономы полагают, что импульсы излучаются одновременно в широком диапазоне частот. Однако, как наблюдается на Земле, компоненты каждого импульса, излучаемого на более высоких радиочастотах, достигаются раньше, чем компоненты, излучаемые на более низких частотах. Эта дисперсия возникает из-за ионизированной компоненты межзвездной среды , главным образом свободных электронов, которые делают групповую скорость зависимой от частоты. Дополнительная задержка, добавляемая на частоте $ν,$ равна

t=k_{\text{DM}}\cdot \left({\frac {\text{DM}}{\nu ^{2}}}\right),

где дисперсионная константа k _DM определяется выражением ^[14]

k_{\text{DM}}={\frac {e^{2}}{2\pi m_{\text{e}}c}}\approx 4.149~{\text{GHz}}^{2}\,{\text{pc}}^{-1}\,{\text{cm}}^{3}\,{\text{ms}},

а мера дисперсии (DM) представляет собой столбчатую плотность свободных электронов ( общее содержание электронов ) – т.е. плотность числа электронов n _e, интегрированную вдоль пути, пройденного фотоном от пульсара до Земли – и определяется выражением

{\text{DM}}=\int _{0}^{d}n_{e}\,dl

с единицами парсек на кубический сантиметр (1 шт/см ³ = 30.857 × 10 ²¹ м ⁻²). ^[15]

Обычно для астрономических наблюдений эту задержку нельзя измерить напрямую, поскольку время излучения неизвестно. Что можно измерить, так это разницу во времени прибытия на двух разных частотах. Задержка Δt между высокочастотной $ν$ _hi и низкочастотной $ν$ _lo составляющей импульса будет равна

\Delta t=k_{\text{DM}}\cdot {\text{DM}}\cdot \left({\frac {1}{\nu _{\text{lo}}^{2}}}-{\frac {1}{\nu _{\text{hi}}^{2}}}\right).

Переписав приведенное выше уравнение в терминах Δt , можно определить DM путем измерения времени прихода импульсов на нескольких частотах. Это, в свою очередь, может быть использовано для изучения межзвездной среды, а также позволит объединить наблюдения пульсаров на разных частотах.

См. также

Ссылки

^ Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (октябрь 1999 г.). Принципы оптики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 14–24 . ISBN 0-521-64222-1 .
^ Компенсация дисперсии . Проверено 25 августа 2015 г.
^ Расчет средней дисперсии стекол .
^ Борн, М. и Вольф, Э. (1980) « Принципы оптики », 6-е изд., стр. 93. Пергамон Пресс.
^ Рамасвами, Раджив и Сивараджан, Кумар Н. (1998) Оптические сети: практическая перспектива . Академическая пресса: Лондон.
^ Хроматическая дисперсия , Энциклопедия лазерной физики и технологий (Wiley, 2008).
^ Май, Вендинг; Кэмпбелл, Сойер Д.; Уайтинг, Эрик Б.; Канг, Лей; Вернер, Пинцзюань Л.; Чен, Ифань; Вернер, Дуглас Х. (01 октября 2020 г.). «Призматический разрывный метод Галеркина во временной области с интегрированной обобщенной дисперсионной моделью для эффективного оптического анализа метаповерхностей» . Оптические материалы Экспресс . 10 (10): 2542–2559. Бибкод : 2020OMExp..10.2542M . дои : 10.1364/OME.399414 . ISSN 2159-3930 .
^ Попминчев, Димитар; Ван, Сиянг; Сяоши, Чжан; Стоев, Венцислав; Попминчев, Тенио (24 октября 2022 г.). «Аналитический оптический формализм Ла-Лагера для пертурбативной хроматической дисперсии» . Оптика Экспресс . 30 (22): 40779–40808. Бибкод : 2022OExpr..3040779P . дои : 10.1364/OE.457139 . ПМИД 36299007 . {{cite journal}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )
^ Попминчев ушел в отставку; Ван, Сиянг; Сяоши, Чжан; Стоев, официантка; Попминчев, Тенио (30 августа 2020 г.). «Возвращение к теории хроматической дисперсии». arXiv : 2011.00066 [ физика.оптика ].
^ Jump up to: ^а ^б Ландау, Л.Д .; Лифшиц, Э.М .; Питаевский, Л. П. (1984). Электродинамика сплошных сред . Том 8 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-7506-2634-7 .
^ Деметриаду, А.; Пендри, Дж. Б. (1 июля 2008 г.). «Укрощение пространственной дисперсии в проволочном метаматериале». Физический журнал: конденсированное вещество . 20 (29): 295222. Бибкод : 2008JPCM...20C5222D . дои : 10.1088/0953-8984/20/29/295222 . S2CID 120249447 .
^ Jump up to: ^а ^б Шуман, Вальтер (2009). Драгоценные камни мира (4-е новое исправленное и расширенное изд.). Стерлинг Издательская компания. стр. 41–42. ISBN 978-1-4027-6829-3 . Проверено 31 декабря 2011 г.
^ «Что такое дисперсия драгоценных камней?» . Международное общество драгоценных камней (GemSociety.org) . Проверено 9 марта 2015 г.
^ «Однозеркальная радиоастрономия: методы и приложения», Материалы конференции ASP, том. 278. Под редакцией Снежаны Станимирович, Дэниела Альтшулера , Пола Голдсмита и Криса Солтера. ISBN 1-58381-120-6 . Сан-Франциско: Тихоокеанское астрономическое общество, 2002, стр. 251–269.
^ Лоример, Д.Р., и Крамер, М., Справочник по пульсарной астрономии , том. 4 Кембриджского справочника по наблюдениям для астрономов-исследователей ( Издательство Кембриджского университета , Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк, США, 2005 г.), 1-е издание.

Внешние ссылки

Dispersive Wiki. Архивировано 23 июля 2017 г. на Wayback Machine . Обсуждаются математические аспекты дисперсии.
Дисперсия - Энциклопедия лазерной физики и технологий
Анимации, демонстрирующие оптическую дисперсию с помощью QED
Интерактивная веб-демонстрация хроматической дисперсии Института телекоммуникаций Штутгартского университета

[1] Борн, Макс ; Вольф, Эмиль (октябрь 1999 г.). Принципы оптики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . стр. 14–24 . ISBN 0-521-64222-1 .

[2] Компенсация дисперсии . Проверено 25 августа 2015 г.

[3] Расчет средней дисперсии стекол .

[4] Борн, М. и Вольф, Э. (1980) « Принципы оптики », 6-е изд., стр. 93. Пергамон Пресс.

[5] Рамасвами, Раджив и Сивараджан, Кумар Н. (1998) Оптические сети: практическая перспектива . Академическая пресса: Лондон.

[6] Хроматическая дисперсия , Энциклопедия лазерной физики и технологий (Wiley, 2008).

[7] Май, Вендинг; Кэмпбелл, Сойер Д.; Уайтинг, Эрик Б.; Канг, Лей; Вернер, Пинцзюань Л.; Чен, Ифань; Вернер, Дуглас Х. (01 октября 2020 г.). «Призматический разрывный метод Галеркина во временной области с интегрированной обобщенной дисперсионной моделью для эффективного оптического анализа метаповерхностей» . Оптические материалы Экспресс . 10 (10): 2542–2559. Бибкод : 2020OMExp..10.2542M . дои : 10.1364/OME.399414 . ISSN 2159-3930 .

[8] Попминчев, Димитар; Ван, Сиянг; Сяоши, Чжан; Стоев, Венцислав; Попминчев, Тенио (24 октября 2022 г.). «Аналитический оптический формализм Ла-Лагера для пертурбативной хроматической дисперсии» . Оптика Экспресс . 30 (22): 40779–40808. Бибкод : 2022OExpr..3040779P . дои : 10.1364/OE.457139 . ПМИД 36299007 . {{cite journal}}: CS1 maint: дата и год ( ссылка )

[9] Попминчев ушел в отставку; Ван, Сиянг; Сяоши, Чжан; Стоев, официантка; Попминчев, Тенио (30 августа 2020 г.). «Возвращение к теории хроматической дисперсии». arXiv : 2011.00066 [ физика.оптика ].

[landau-10] Jump up to: ^а ^б Ландау, Л.Д .; Лифшиц, Э.М .; Питаевский, Л. П. (1984). Электродинамика сплошных сред . Том 8 (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN 978-0-7506-2634-7 .

[11] Деметриаду, А.; Пендри, Дж. Б. (1 июля 2008 г.). «Укрощение пространственной дисперсии в проволочном метаматериале». Физический журнал: конденсированное вещество . 20 (29): 295222. Бибкод : 2008JPCM...20C5222D . дои : 10.1088/0953-8984/20/29/295222 . S2CID 120249447 .

[b1-12] Jump up to: ^а ^б Шуман, Вальтер (2009). Драгоценные камни мира (4-е новое исправленное и расширенное изд.). Стерлинг Издательская компания. стр. 41–42. ISBN 978-1-4027-6829-3 . Проверено 31 декабря 2011 г.

[13] «Что такое дисперсия драгоценных камней?» . Международное общество драгоценных камней (GemSociety.org) . Проверено 9 марта 2015 г.

[14] «Однозеркальная радиоастрономия: методы и приложения», Материалы конференции ASP, том. 278. Под редакцией Снежаны Станимирович, Дэниела Альтшулера , Пола Голдсмита и Криса Солтера. ISBN 1-58381-120-6 . Сан-Франциско: Тихоокеанское астрономическое общество, 2002, стр. 251–269.

[15] Лоример, Д.Р., и Крамер, М., Справочник по пульсарной астрономии , том. 4 Кембриджского справочника по наблюдениям для астрономов-исследователей ( Издательство Кембриджского университета , Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк, США, 2005 г.), 1-е издание.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

v т и о стекле Темы науки
Basics	Glass Glass transition Supercooling
Formulation	AgInSbTe Bioglass Borophosphosilicate glass Borosilicate glass Ceramic glaze Chalcogenide glass Cobalt glass Cranberry glass Crown glass Flint glass Fluorosilicate glass Fused quartz GeSbTe Gold ruby glass Lead glass Milk glass Phosphosilicate glass Photochromic lens glass Silicate glass Soda–lime glass Sodium hexametaphosphate Soluble glass Tellurite glass Thoriated glass Ultra low expansion glass Uranium glass Vitreous enamel Wood's glass ZBLAN
Glass-ceramics	Bioactive glass CorningWare Glass-ceramic-to-metal seals Macor Zerodur
Preparation	Annealing Chemical vapor deposition Glass batch calculation Glass forming Glass melting Glass modeling Ion implantation Liquidus temperature sol–gel technique Viscosity Vitrification
Optics	Achromat Dispersion Gradient-index optics Hydrogen darkening Optical amplifier Optical fiber Optical lens design Photochromic lens Photosensitive glass Refraction Transparent materials
Surface modification	Anti-reflective coating Chemically strengthened glass Corrosion Dealkalization DNA microarray Hydrogen darkening Insulated glazing Porous glass Self-cleaning glass sol–gel technique Tempered glass
Diverse topics	Conservation and restoration of glass objects Glass-coated wire Safety glass Glass databases Glass electrode Glass fiber reinforced concrete Glass ionomer cement Glass microspheres Glass-reinforced plastic Glass cloth Glass-to-metal seal Porous glass Pre-preg Prince Rupert's drops Radioactive waste vitrification Windshield Glass fiber