Категория добавок

Более слабый смысл термина «аддитивная категория» (без побочных продуктов) см. в разделе «Преаддитивная категория» .

В математике , особенно в теории категорий , аддитивная категория — это преаддитивная категория   C, допускающая все конечные бипродукты .

Определение

Существует два эквивалентных определения аддитивной категории: одно — как категория, наделенная дополнительной структурой, и другое — как категория, не имеющая дополнительной структуры , но объекты и морфизмы которой удовлетворяют определенным уравнениям.

Через преаддитивные категории

Категория C преаддитивна, если все ее hom-множества являются абелевыми группами и композиция морфизмов билинейна ; другими словами, C обогащен моноидальной над категорией абелевых групп.

В предаддитивной категории каждый конечный продукт (включая пустой продукт, т. е. конечный объект ) обязательно является копродукцией (или исходным объектом в случае пустой диаграммы) и, следовательно, побочным продуктом , и наоборот, каждый конечный копродукцию обязательно является продукт (это следствие определения, а не его часть).

Таким образом, аддитивная категория эквивалентно описывается как предаддитивная категория, допускающая все конечные продукты, или как предаддитивная категория, допускающая все конечные побочные продукты.

Через полуаддитивные категории

Мы даем альтернативное определение.

Определите полуаддитивную категорию как категорию (примечание: не предаддитивную категорию), которая допускает нулевой объект и все бинарные бипродукты . Тогда возникает замечательная теорема о том, что множества Hom естественным образом допускают абелеву моноидную структуру. Доказательство этого факта приведено ниже.

Аддитивную категорию можно тогда определить как полуаддитивную категорию, в которой каждый морфизм имеет аддитивный обратный . Тогда это дает множествам Hom абелеву групповую структуру вместо просто абелевой моноидной структуры.

Обобщение

В более общем смысле можно также рассматривать аддитивные R -линейные категории для коммутативного кольца R . Это категории, обогащенные моноидальной категорией R - модулей и допускающие все финитарные бипродукты.

Примеры

Оригинальным примером аддитивной категории является категория абелевых групп Ab . Нулевым объектом является тривиальная группа , сложение морфизмов задается поточечно , а двойные произведения задаются прямыми суммами .

В более общем смысле, каждая категория модулей над кольцом R аддитивна, и поэтому, в частности, категория векторных пространств над полем K аддитивна.

Алгебра матриц над кольцом, рассматриваемая как категория, описанная ниже, также является аддитивной.

закона

Пусть C — полуаддитивная категория, то есть категория, имеющая все конечные бипродукты. Тогда каждое hom-множество имеет дополнение, придающее ему структуру абелева моноида и такое, что композиция морфизмов билинейна.

Более того, если C аддитивен, то два сложения на hom-множествах должны совпадать. В частности, полуаддитивная категория аддитивна тогда и только тогда, когда каждый морфизм имеет аддитивный обратный.

Это показывает, что закон сложения для аддитивной категории является внутренним по отношению к этой категории.

Чтобы определить закон сложения, мы будем использовать соглашение, согласно которому для бипродукта p _k будет обозначать морфизмы проекции, а i _k будет обозначать морфизмы вложения.

Для каждого объекта A определяем:

• диагональный морфизм ∆: A → A ⊕ A посредством ∆ = i ₁ + i ₂ ;
• кодиагональный морфизм ∇: A ⊕ A → A посредством ∇ = p ₁ + p ₂ .

Тогда для k = 1, 2 имеем p _k ∘ ∆ = 1 _A и ∇ ∘ i _k = 1 _A .

Далее, для данных двух морфизмов α _k : A → B существует единственный морфизм α ₁ ⊕ α ₂ : A ⊕ A → B ⊕ B такой, что p _l ∘ (α ₁ ⊕ α ₂ ) ∘ i _k равно α _k, если k = l и 0 в противном случае.

Поэтому мы можем определить α ₁ + α ₂ := ∇ ∘ (α ₁ ⊕ α ₂ ) ∘ ∆ .

Это сложение одновременно коммутативно и ассоциативно. Ассоциативность можно увидеть, рассмотрев композицию

$A\ {\xrightarrow {\quad \Delta \quad }}\ A\oplus A\oplus A\ {\xrightarrow {\alpha _{1}\,\oplus \,\alpha _{2}\,\oplus \,\alpha _{3}}}\ B\oplus B\oplus B\ {\xrightarrow {\quad \nabla \quad }}\ B$

Имеем α + 0 = α , используя это α ⊕ 0 знак равно я ₁ ∘ α ∘ p ₁ .

Оно также является билинейным, если использовать, например, что ∆ ∘ β = (β ⊕ β) ∘ ∆ и что (α ₁ ⊕ α ₂ ) ∘ (β ₁ ⊕ β ₂ ) = (α ₁ ∘ β ₁ ) ⊕ (α ₂ ∘ β ₂ ) .

Заметим, что для бипроизведения A ⊕ B имеем i ₁ ∘ p ₁ + i ₂ ∘ p ₂ = 1 . Используя это, мы можем представить любой морфизм A ⊕ B → C ⊕ D как матрицу.

Матричное представление морфизмов

Учитывая объекты A ₁ , ..., An _B и B ₁ , ..., B _m аддитивной категории, мы можем представить морфизмы f : A ₁ ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ A _n → B ₁ ⊕ ⋅⋅⋅ ⊕ в _m как m -by -n матрицы

${\begin{pmatrix}f_{11}&f_{12}&\cdots &f_{1n}\\f_{21}&f_{22}&\cdots &f_{2n}\\\vdots &\vdots &\cdots &\vdots \\f_{m1}&f_{m2}&\cdots &f_{mn}\end{pmatrix}}$ где $f_{kl}:=p_{k}\circ f\circ i_{l}\colon A_{l}\to B_{k}.$

Используя это ∑ _k i _k ∘ p _k = 1 , отсюда следует, что сложение и композиция матриц подчиняются обычным правилам матриц сложения и умножения .

Таким образом, аддитивные категории можно рассматривать как наиболее общий контекст, в котором алгебра матриц имеет смысл.

что морфизмы одного объекта A в себя образуют кольцо эндоморфизмов End A. Напомним , Если мы обозначим n -кратное произведение A на самого себя через A ^н , то морфизмы из A ^н к А ^м являются m -n матрицами с элементами из кольца End A .

И наоборот, для любого кольца R можем сформировать категорию Mat ( R ), взяв объекты An _, набором натуральных чисел (включая 0 морфизмов из An _в мы Am _{индексированные} быть множеством ), и позволив hom- множеству m -n- матрицы над R , и где композиция задается умножением матриц. Тогда Mat ( R ) является аддитивной категорией, а равна _An n -кратной степени ( A ₁ ) ^н .

результатом о том, что кольцо является предаддитивной категорией всего с одним объектом Эту конструкцию следует сравнить с показанным здесь .

мы интерпретируем объект An _Если как левый модуль   R ^н , то эта матричная категория становится подкатегорией категории левых модулей над R .

Это может сбить с толку в особом случае, когда m или n равно нулю, потому что мы обычно не думаем о матрицах с 0 строками или 0 столбцами . Однако эта концепция имеет смысл: такие матрицы не имеют записей и поэтому полностью определяются их размером. Хотя эти матрицы довольно вырождены, их необходимо включить, чтобы получить аддитивную категорию, поскольку аддитивная категория должна иметь нулевой объект.

Однако размышления о таких матрицах могут быть полезны с одной стороны: они подчеркивают тот факт, что для любых объектов A и B в аддитивной категории существует ровно один морфизм из A в 0 (точно так же, как существует ровно один морфизм 0×1). матрица с записями в End A ) и ровно один морфизм от 0 до B (точно так же, как существует ровно одна матрица 1 на 0 с записями в End B ) — это как раз то, что значит сказать, что 0 — это нулевой объект . Более того, нулевой морфизм из A в B представляет собой композицию этих морфизмов, которую можно вычислить путем умножения вырожденных матриц.

функторы

Функтор на F : C → D между преаддитивными категориями является аддитивным абелевой группы , если он является гомоморфизмом каждом hom-множестве в C . Если категории аддитивны, то функтор аддитивен тогда и только тогда, когда он сохраняет все диаграммы двойных произведений .

, если B является бипроизведением A1 _, , An _F в C с морфизмами проекции и _есть морфизмами вложения ij _То , то F ( B ) должно быть бипроизведением ... ( A1 _pk ),... , F ( An _{вложения} ) в D с морфизмами проекции F ( p _j ) и морфизмами F ( i _j ) .

Почти все функторы, изучаемые между аддитивными категориями, являются аддитивными. Фактически, это теорема о том, что все сопряженные функторы между аддитивными категориями должны быть аддитивными функторами (см. Здесь ). Большинство интересных функторов, изучаемых в теории категорий, являются сопряженными.

Обобщение

При рассмотрении функторов между R -линейными аддитивными категориями обычно ограничиваются R - линейными функторами , то есть теми функторами, которые дают гомоморфизм R - модуля на каждом hom-множестве.

Особые случаи

• Преабелева категория — это аддитивная категория, в которой каждый морфизм имеет ядро ​​и коядро .
• Абелева категория — это предабелева категория, такая, что мономорфизм и эпиморфизм нормален любой .

Многие обычно изучаемые аддитивные категории на самом деле являются абелевыми категориями; например, Ab — абелева категория. Свободные абелевы группы представляют собой пример категории, которая является аддитивной, но не абелевой.

Ссылки

• Николае Попеску ; 1973 год; Абелевы категории с приложениями к кольцам и модулям ; Academic Press, Inc. (распродано) рассматривает все это очень медленно.