Отдел (математика)

«Разделенный» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о других значениях, см. Разделенный (значения) .

20/4 = 5, здесь изображены яблоки. Устно сказано: «Двадцать разделить на четыре — пять».

Деление — одно из четырёх основных операций арифметики . Другими операциями являются сложение , вычитание и умножение . То, что делится, называется делимым , которое делится на делитель , а результат называется частным .

На элементарном уровне деление двух натуральных чисел — это, помимо других возможных интерпретаций , процесс вычисления количества раз, когда одно число содержится в другом. Например, если 20 яблок разделить поровну между 4 людьми, каждый получит по 5 яблок (см. рисунок). Однако это количество раз или содержащееся число (делитель) не обязательно должны быть целыми числами .

Деление с остатком или евклидово деление двух натуральных чисел дает целое частное , которое представляет собой количество раз, когда второе число полностью содержится в первом числе, и остаток , который представляет собой часть первого числа, которая остается, когда В ходе вычисления частного невозможно выделить дальнейший полный фрагмент размера второго числа. Например, если 21 яблоко разделить между 4 людьми, каждый снова получит по 5 яблок, и останется 1 яблоко.

Чтобы при делении всегда получалось одно число, а не целочисленное частное плюс остаток, натуральные числа необходимо расширить до рациональных или действительных чисел . В этих расширенных системах счисления деление является операцией, обратной умножению, то есть a = c / b означает a × b = c , пока b не равно нулю. Если b = 0 , то это деление на ноль , которое не определено. В примере с 21 яблоком каждый получит по 5 яблок и четверть яблока, что позволит избежать остатков.

Обе формы деления проявляются в различных алгебраических структурах , в разных способах определения математической структуры. Те, в которых определено евклидово деление (с остатком), называются евклидовыми областями и включают кольца многочленов с одной неопределенной (которые определяют умножение и сложение по формулам с одной переменной). Те, в которых определено деление (с единственным результатом) на все ненулевые элементы, называются полями и телами . В кольце элементы, на которые всегда возможно деление, называются единицами (например, 1 и −1 в кольце целых чисел). Еще одним обобщением деления на алгебраические структуры является факторгруппа , в которой результатом «деления» является группа, а не число.

Введение

Самый простой способ разделения — это цитирование и разделение : с точки зрения цитирования 20/5 означает количество пятерок, которые необходимо добавить, чтобы получить 20. С точки зрения разделения 20/5 означает размер каждой из 5. части, на которые разделен набор размера 20. Например, 20 яблок делятся на пять групп по четыре яблока, что означает, что «двадцать разделить на пять равно четырем». Это обозначается как 20/5 = 4 , или ⁠ 20 / 5 ⁠ = 4 . В примере 20 — это делимое, 5 — делитель, а 4 — частное.

В отличие от других основных операций, при делении натуральных чисел иногда остается остаток , который неравномерно переходит в делимое; например, при 10/3 остается остаток 1, так как 10 не кратно 3. Иногда этот остаток прибавляется к частному как дробная часть , поэтому 10/3 равно ⁠3 + 1/3 округляется ⁠ или или 3,33... , но в контексте целочисленного деления, когда числа не имеют дробной части, остаток сохраняется отдельно (или, в исключительных случаях, отбрасывается ) . Когда остаток сохраняется в виде дроби, это приводит к рациональному числу . Набор всех рациональных чисел создается путем расширения целых чисел всеми возможными результатами деления целых чисел.

В отличие от умножения и сложения, деление не коммутативно , а это означает, что a / b не всегда равно b / a . Деление также, как правило, не является ассоциативным , а это означает, что при многократном делении порядок деления может изменить результат. Например, (24/6)/2 = 2 , но 24/(6/2) = 8 (где использование круглых скобок указывает, что операции внутри круглых скобок выполняются перед операциями вне круглых скобок).

Деление традиционно считается левоассоциативным . То есть, если делений подряд несколько, порядок расчета идет слева направо:

$a/b/c=(a/b)/c=a/(b\times c)\;\neq \;a/(b/c)=(a\times c)/b.$

Деление является правораспределительным по отношению к сложению и вычитанию в том смысле, что

${\frac {a\pm b}{c}}=(a\pm b)/c=(a/c)\pm (b/c)={\frac {a}{c}}\pm {\frac {b}{c}}.$

Это то же самое для умножения , как и $(a+b)\times c=a\times c+b\times c$. Однако деление не является левораспределительным , так как

${\frac {a}{b+c}}=a/(b+c)\;\neq \;(a/b)+(a/c)={\frac {ac+ab}{bc}}.$ Например ${\frac {12}{2+4}}={\frac {12}{6}}=2,$ но ${\frac {12}{2}}+{\frac {12}{4}}=6+3=9.$

Это отличается от случая умножения, которое является одновременно левораспределительным и правораспределительным и, следовательно, распределительным .

Обозначения

Дополнительная информация: Знак дивизии.

Плюс и минусы. Обелюс . используется как вариант знака минус в выдержке из официального норвежского торгового отчета под названием «Næringsoppgave 1» за 2010 налоговый год

В алгебре и естественных науках деление часто изображается путем размещения делимого над делителем с горизонтальной линией, также называемой дробной чертой , между ними. Например, « a разделить на b » можно записать так:

${\frac {a}{b}}$

которое также можно прочитать вслух как «разделить а на б » или « а над б ». Чтобы выразить деление в одной строке, нужно написать делимое (или числитель), затем косую черту , а затем делитель (или знаменатель), как показано ниже:

$a/b$

Это обычный способ указания деления в большинстве языков программирования , поскольку его можно легко ввести как простую последовательность символов ASCII . (Это также единственная запись, используемая для частных объектов в абстрактной алгебре .) Некоторые математические программы , такие как MATLAB и GNU Octave , позволяют записывать операнды в обратном порядке, используя обратную косую черту в качестве оператора деления:

$b\backslash a$

Типографский вариант, находящийся посередине между этими двумя формами, использует солид (дробную косую черту), но увеличивает делимое и уменьшает делитель:

${}^{a}\!/{}_{b}$

Любую из этих форм можно использовать для отображения дроби . Дробь — это выражение деления, в котором делимое и делитель являются целыми числами (обычно называемыми числителем и знаменателем ), и это не означает, что деление необходимо вычислять дальше. Второй способ показать деление — использовать знак деления (÷, также известный как обелис , хотя этот термин имеет дополнительные значения), распространенный в арифметике, следующим образом:

$a\div b$

Эта форма встречается нечасто, за исключением элементарной арифметики. ISO 80000-2-9.6 гласит, что его не следует использовать. Этот знак деления также используется отдельно для обозначения самой операции деления, например, в качестве метки на клавише калькулятора . Обелюс был введен швейцарским математиком Иоганном Раном в 1659 году в «Немецкой алгебре» . Символ ÷ используется для обозначения вычитания в некоторых европейских странах, поэтому его использование может быть неправильно понято.

В некоторых неанглоязычных странах для обозначения деления используется двоеточие:

$a:b$

Эти обозначения были введены Готфридом Вильгельмом Лейбницем в его Acta eruditorum 1684 года . Лейбницу не нравилось иметь отдельные символы для отношения и деления. Однако в английском языке двоеточие ограничивается выражением связанной с ним концепции отношений .

В учебниках США с XIX века используются $b)a$ или $b{\overline {)a}}$ для обозначения a, разделенного на b , особенно при обсуждении деления в столбик . История этой записи не совсем ясна, поскольку она развивалась с течением времени.

Вычисление

Основные статьи: Длинное деление и алгоритм деления

Ручные методы

Деление часто вводится через понятие «разделения» набора объектов, например стопки леденцов, на несколько равных частей. Распределение объектов по несколько одновременно в каждом раунде разделения на каждую часть приводит к идее « фрагментирования » — формы деления, при которой из самого делимого многократно вычитаются кратные делителю.

Позволяя вычитать больше кратных, чем позволяет частичный остаток на данном этапе, можно также разработать более гибкие методы, такие как двунаправленный вариант фрагментации.

Более систематично и эффективнее два целых числа можно разделить с помощью карандаша и бумаги методом короткого деления , если делитель маленький, или длинного деления , если делитель больше. Если делимое имеет дробную часть (выраженную в виде десятичной дроби ), можно продолжать процедуру дальше единицы, насколько это необходимо. Если делитель имеет дробную часть, можно переформулировать проблему, перемещая десятичную дробь вправо в обоих числах до тех пор, пока делитель не перестанет иметь дробную часть, что может облегчить решение задачи (например, 10/2,5 = 100/25 = 4). ).

Деление можно посчитать на счетах .

Таблицы логарифмов можно использовать для деления двух чисел путем вычитания логарифмов двух чисел и последующего поиска антилогарифма результата.

Деление можно рассчитать с помощью логарифмической линейки , совместив делитель на шкале C с делимым на шкале D. Частное можно найти на шкале D, где оно совпадает с левым индексом шкалы C. Однако пользователь несет ответственность за мысленное отслеживание десятичной точки.

С помощью компьютера

Современные калькуляторы и компьютеры вычисляют деление либо методами, аналогичными делению в столбик, либо более быстрыми методами; см . Алгоритм деления .

В модульной арифметике (по модулю простого числа) и для действительных чисел ненулевые числа имеют мультипликативную обратную величину . В этих случаях деление на x может быть вычислено как произведение мультипликативной обратной величины x . Этот подход часто ассоциируется с более быстрыми методами компьютерной арифметики.

Разделение в разных контекстах

Евклидово деление

Основная статья: Евклидово деление

Евклидово деление — это математическая формулировка результата обычного процесса деления целых чисел. Он утверждает, что для данных двух целых чисел, a , делимого , и b , делителя , таких, что b ≠ 0, существуют уникальные целые числа q , частное , и r , остаток, такие, что a = bq + r и 0 ≤ р < | б |, где | б | обозначает значение b . абсолютное

Из целых чисел

Целые числа не замыкаются при делении. Помимо того, что деление на ноль не определено, частное не является целым числом, если делимое не является целым кратным делителю. Например, 26 нельзя разделить на 11, чтобы получить целое число. В таком случае используется один из пяти подходов:

1. Скажем, что 26 нельзя разделить на 11; деление становится частичной функцией .
2. Дайте приблизительный ответ в виде числа с плавающей запятой . Этот подход обычно используется при численных вычислениях .
3. Ответ дайте в виде дроби, представляющей рациональное число , так что результат деления 26 на 11 будет равен ${\tfrac {26}{11}}$ (или как смешанное число , поэтому ${\tfrac {26}{11}}=2{\tfrac {4}{11}}.$) Обычно полученную дробь следует упростить: результат деления 52 на 22 также равен ${\tfrac {26}{11}}$. Это упрощение может быть достигнуто путем исключения наибольшего общего делителя .
4. Ответ дайте в виде целого частного и остатка , так ${\tfrac {26}{11}}=2{\mbox{ remainder }}4.$ Чтобы отличить предыдущий случай, это деление, в результате которого получаются два целых числа, иногда называют евклидовым делением , поскольку оно является основой алгоритма Евклида .
5. В качестве ответа дайте целое частное, так что ${\tfrac {26}{11}}=2.$ Это нижняя функция, применяемая в случае 2 или 3. Иногда ее называют целочисленным делением и обозначают «//».

Деление целых чисел в компьютерной программе требует особой осторожности. Некоторые языки программирования обрабатывают целочисленное деление так же, как в случае 5 выше, поэтому ответом является целое число. Другие языки, такие как MATLAB и каждая система компьютерной алгебры, возвращают в качестве ответа рациональное число, как в случае 3 выше. Эти языки также предоставляют функции для получения результатов других случаев либо напрямую, либо из результата случая 3.

Имена и символы, используемые для целочисленного деления, включают div, /, \ и %. Определения различаются в отношении целочисленного деления, когда делимое или делитель отрицательны: округление может быть в сторону нуля (так называемое Т-деление) или в сторону -∞ (F-деление); могут встречаться более редкие стили – см. в разделе «Операция по модулю» подробности .

Правила делимости иногда можно использовать, чтобы быстро определить, делится ли одно целое число точно на другое.

О рациональных числах

Результатом деления двух рациональных чисел является другое рациональное число, если делитель не равен 0. Деление двух рациональных чисел p / q и r / s можно вычислить как $${p/q \over r/s}={p \over q}\times {s \over r}={ps \over qr}.$$

Все четыре величины являются целыми числами, и только p может быть равно 0. Это определение гарантирует, что деление является операцией, обратной умножению .

Из действительных чисел

Деление двух действительных чисел приводит к получению другого действительного числа (когда делитель не равен нулю). Оно определяется так, что a / b = c тогда и только тогда, когда a = cb и b ≠ 0.

Из комплексных чисел

Деление двух комплексных чисел (когда делитель не равен нулю) приводит к получению другого комплексного числа, которое находится с помощью сопряжения знаменателя: $${p+iq \over r+is}={(p+iq)(r-is) \over (r+is)(r-is)}={pr+qs+i(qr-ps) \over r^{2}+s^{2}}={pr+qs \over r^{2}+s^{2}}+i{qr-ps \over r^{2}+s^{2}}.$$

Этот процесс умножения и деления на $r-is$ называется «реализацией» или (по аналогии) рационализацией . Все четыре величины p , q , r , s являются действительными числами, и r и s не могут быть обе равны 0.

Деление комплексных чисел, выраженных в полярной форме, проще, чем определение, приведенное выше: $${pe^{iq} \over re^{is}}={pe^{iq}e^{-is} \over re^{is}e^{-is}}={p \over r}e^{i(q-s)}.$$

Опять же, все четыре величины p , q , r , s являются действительными числами, и r не может быть равно 0.

Из полиномов

Можно определить операцию деления многочленов от одной переменной над полем . Тогда, как и в случае с целыми числами, имеется остаток. См. Евклидово деление многочленов и, для рукописных вычислений, полиномиальное деление в столбик или синтетическое деление .

Из матриц

Для матриц можно определить операцию деления. Обычный способ сделать это — определить A / B = AB. ⁻¹ , где Б ⁻¹ обозначает обратное значение , B но гораздо чаще записывается AB ⁻¹ явно, чтобы избежать путаницы. Поэлементное деление также можно определить с помощью произведения Адамара .

Левое и правое деление

Поскольку умножение матриц не является коммутативным , можно также определить деление слева или так называемое деление обратной косой черты как A \ B = A. ⁻¹ Б. ​Чтобы это было четко определено, B ⁻¹ не обязательно существует, однако A ⁻¹ должен существовать. Чтобы избежать путаницы, деление определяется как A / B = AB. ⁻¹ в этом контексте иногда называют правым делением или косой чертой .

При таком разделении слева и справа A /( BC ) вообще не то же самое, что ( A / B )/ C , и ( AB )\ C не то же самое, что A \( B \ C ) . Однако верно, что A /( BC ) = ( A / C )/ B и ( AB ) \ C = B \ ( A \ C ) .

Псевдообратный

Чтобы избежать проблем, когда A ⁻¹ и/или Б ⁻¹ не существуют, деление также можно определить как умножение на псевдообратное . То есть А / В = АВ ⁺ и А \ В = А ⁺ В , где А ⁺ и Б ⁺ обозначают псевдообратные A и B .

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре для магмы с бинарной операцией ∗ (которую номинально можно назвать умножением) левое деление на b a ( записываемое a \ b ) обычно определяется как решение x уравнения a ∗ x = b , если это существует и является единственным. Аналогично, правое деление b b на a написано ( / a ) является решением y уравнения y ∗ a ​​= b . Деление в этом смысле не требует, чтобы * имело какие-либо особые свойства (такие как коммутативность, ассоциативность или единичный элемент). Магма, для которой и a \ b , и b / a существуют и единственны для всех a и всех b ( свойство латинского квадрата ), является квазигруппой . В квазигруппе деление в этом смысле всегда возможно, даже без единичного элемента и, следовательно, без обратных.

«Деление» в смысле «отмены» может быть произведено в любой магме элементом со свойством отмены . Примеры включают матричные алгебры, алгебры кватернионов и квазигруппы. В области целостности , где не каждый элемент должен иметь обратный элемент, деление на сокращающийся элемент a все еще может быть выполнено для элементов формы ab или ca путем левого или правого сокращения соответственно. Если кольцо конечно и каждый ненулевой элемент является сокращающимся, то в соответствии с принципом ячейки каждый ненулевой элемент кольца обратим, и деление возможно на любой ненулевой элемент. Чтобы узнать, когда в алгебрах (в техническом смысле) есть операция деления, обратитесь к странице, посвященной алгебрам с делением . В частности, Ботта можно использовать, чтобы показать, что любая вещественная нормированная алгебра с делением должна быть изоморфна действительным числам R , комплексным числам C , кватернионам H или октонионам O. периодичность

Исчисление

Производная фактора частного двух функций определяется по правилу : $${\left({\frac {f}{g}}\right)}'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}.$$

Деление на ноль

Основная статья: Деление на ноль

Деление любого числа на ноль в большинстве математических систем не определено, поскольку ноль, умноженный на любое конечное число, всегда дает произведение . нулевое Ввод такого выражения в большинство калькуляторов выдает сообщение об ошибке. Однако в некоторых математиках более высокого уровня деление на ноль возможно с помощью нулевого кольца и алгебр, таких как колеса . В этих алгебрах смысл деления отличается от традиционных определений.

См. также

• 400AD Алгоритм деления Сунзи
• Деление на два
• Камбузное подразделение
• Обратный элемент
• Порядок действий
• Повторяющаяся десятичная дробь

Внешние ссылки

• Отделение планетологии
• Деление на японских счетах, выбранное из книги «Счеты: Тайна бусины».
• Техника китайского короткого деления на Суан Пань