Разрешимая алгебра Ли

В математике алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ разрешима , если ее производный ряд оканчивается нулевой подалгеброй. Производная алгебра Ли алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ является подалгеброй ${\mathfrak {g}}$ , обозначенный

[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]

состоящий из всех линейных комбинаций скобок Ли пар элементов ${\mathfrak {g}}$ . Производный ряд представляет собой последовательность подалгебр

{\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...

Если полученный ряд в конечном итоге приходит к нулевой подалгебре, то алгебра Ли называется разрешимой. ^[1] Выводный ряд для алгебр Ли аналогичен производному ряду для коммутаторов в теории групп , а разрешимые алгебры Ли являются аналогами разрешимых групп .

Любая нильпотентная алгебра Ли разрешима заведомо , но обратное неверно. Разрешимые алгебры Ли и полупростые алгебры Ли образуют два больших и обычно дополняющих друг друга класса, как показывает разложение Леви . Разрешимые алгебры Ли — это именно те, которые можно получить из полупрямых произведений , начиная с 0 и добавляя по одному измерению за раз. ^[2]

Максимальная разрешимая подалгебра называется борелевской подалгеброй . Наибольший разрешимый идеал алгебры Ли называется радикалом .

Характеристики

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная алгебра Ли над полем характеристики $0$ . Следующие действия эквивалентны.

(я) ${\mathfrak {g}}$ разрешима.
(ii) ${\rm {ad}}({\mathfrak {g}})$ , представление присоединенное ${\mathfrak {g}}$ , разрешимо.
(iii) Существует конечная последовательность идеалов ${\mathfrak {a}}_{i}$ из ${\mathfrak {g}}$ :
${\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{r}=0,\quad [{\mathfrak {a}}_{i},{\mathfrak {a}}_{i}]\subset {\mathfrak {a}}_{i+1}\,\,\forall i.$
(iv) $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ является нильпотентным. ^[3]
(v) Для ${\mathfrak {g}}$ $n$ -мерно, существует конечная последовательность подалгебр ${\mathfrak {a}}_{i}$ из ${\mathfrak {g}}$ :
${\mathfrak {g}}={\mathfrak {a}}_{0}\supset {\mathfrak {a}}_{1}\supset ...{\mathfrak {a}}_{n}=0,\quad \operatorname {dim} {\mathfrak {a}}_{i}/{\mathfrak {a}}_{i+1}=1\,\,\forall i,$

с каждым

{\mathfrak {a}}_{i+1}

идеал в

{\mathfrak {a}}_{i}

. ^[4] Последовательность такого типа называется элементарной последовательностью .

(vi) Существует конечная последовательность подалгебр ${\mathfrak {g}}_{i}$ из ${\mathfrak {g}}$ ,
${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset ...{\mathfrak {g}}_{r}=0,$

такой, что

{\mathfrak {g}}_{i+1}

является идеалом в

{\mathfrak {g}}_{i}

и

{\mathfrak {g}}_{i}/{\mathfrak {g}}_{i+1}

является абелевым. ^[5]

(vii) Форма убийства $B$ из ${\mathfrak {g}}$ удовлетворяет $B(X,Y)=0$ для всех $X$ в ${\mathfrak {g}}$ и $Y$ в $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ . ^[6] Это критерий разрешимости Картана .

Характеристики

Теорема Ли утверждает, что если $V$ — конечномерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем нулевой характеристики , и ${\mathfrak {g}}$ является разрешимой алгеброй Ли, и если $\pi$ является представлением ${\mathfrak {g}}$ над $V$ , то существует одновременный собственный вектор $v\in V$ эндоморфизмов $\pi (X)$ для всех элементов $X\in {\mathfrak {g}}$ . ^[7]

Любая подалгебра Ли и фактор разрешимой алгебры Ли разрешимы. ^[8]
Дана алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ и идеал ${\mathfrak {h}}$ в этом,
${\mathfrak {g}}$ разрешимо тогда и только тогда, когда оба ${\mathfrak {h}}$ и ${\mathfrak {g}}/{\mathfrak {h}}$ разрешимы. ^[8]^[2]

Аналогичное утверждение верно для нильпотентных алгебр Ли при условии, что

{\mathfrak {h}}

содержится в центре. Таким образом, расширение разрешимой алгебры разрешимой алгеброй разрешимо, а центральное расширение нильпотентной алгебры нильпотентной алгеброй нильпотентно.

Разрешимая ненулевая алгебра Ли имеет ненулевой абелев идеал — последний ненулевой член производного ряда. ^[2]
Если ${\mathfrak {a}},{\mathfrak {b}}\subset {\mathfrak {g}}$ являются разрешимыми идеалами, то и ${\mathfrak {a}}+{\mathfrak {b}}$ . ^[1] Следовательно, если ${\mathfrak {g}}$ конечномерна, то существует единственный разрешимый идеал ${\mathfrak {r}}\subset {\mathfrak {g}}$ содержащий все разрешимые идеалы в ${\mathfrak {g}}$ . Этот идеал радикалом является ${\mathfrak {g}}$ . ^[2]
Разрешимая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ имеет единственный наибольший нильпотентный идеал ${\mathfrak {n}}$ , называемый нильрадикалом , совокупность всех $X\in {\mathfrak {g}}$ такой, что ${\rm {ad}}_{X}$ является нильпотентным. Если $D$ является каким-либо выводом ${\mathfrak {g}}$ , затем $D({\mathfrak {g}})\subset {\mathfrak {n}}$ . ^[9]

Вполне разрешимые алгебры Ли

Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ называется полностью разрешимой или расщепленно-разрешимой, если она имеет элементарную последовательность {(V) Как указано выше} идеалов в ${\mathfrak {g}}$ от $0$ к ${\mathfrak {g}}$ . Конечномерная нильпотентная алгебра Ли вполне разрешима, а вполне разрешимая алгебра Ли разрешима. Над алгебраически замкнутым полем разрешимая алгебра Ли вполне разрешима, но $3$ -мерная вещественная алгебра Ли группы евклидовых изометрий плоскости разрешима, но не вполне разрешима.

Разрешимая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ расщепимо разрешима тогда и только тогда, когда собственные значения ${\rm {ad}}_{X}$ находятся в $k$ для всех $X$ в ${\mathfrak {g}}$ . ^[2]

Примеры

Абелевы алгебры Ли

Каждая абелева алгебра Ли ${\mathfrak {a}}$ разрешима по определению, так как ее коммутатор $[{\mathfrak {a}},{\mathfrak {a}}]=0$ . Сюда входит алгебра Ли диагональных матриц в ${\mathfrak {gl}}(n)$ , которые имеют вид

$\left\{{\begin{bmatrix}*&0&0\\0&*&0\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}$

для $n=3$ . Структура алгебры Ли в векторном пространстве $V$ задается тривиальной скобкой $[m,n]=0$ для любых двух матриц $m,n\in {\text{End}}(V)$ приводит еще один пример.

Нильпотентные алгебры Ли

Другой класс примеров происходит из нильпотентных алгебр Ли, поскольку присоединенное представление разрешимо. Некоторые примеры включают верхнедиагональные матрицы, такие как класс матриц вида

$\left\{{\begin{bmatrix}0&*&*\\0&0&*\\0&0&0\end{bmatrix}}\right\}$

называется алгеброй Ли строго верхнетреугольных матриц . Кроме того, алгебра Ли верхних диагональных матриц в ${\mathfrak {gl}}(n)$ образуют разрешимую алгебру Ли. Сюда входят матрицы вида

$\left\{{\begin{bmatrix}*&*&*\\0&*&*\\0&0&*\end{bmatrix}}\right\}$

и обозначается ${\mathfrak {b}}_{k}$ .

Разрешимая, но не раздельно разрешимая

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — набор матриц формы

$X=\left({\begin{matrix}0&\theta &x\\-\theta &0&y\\0&0&0\end{matrix}}\right),\quad \theta ,x,y\in \mathbb {R} .$

Затем ${\mathfrak {g}}$ разрешимо, но не разрешимо расщепленно. ^[2] Она изоморфна алгебре Ли группы сдвигов и вращений на плоскости.

Непример

Полупростая алгебра Ли ${\mathfrak {l}}$ никогда не разрешима, так как ее радикал ${\text{Rad}}({\mathfrak {l}})$ , который является наибольшим разрешимым идеалом в ${\mathfrak {l}}$ , тривиально. ^[1] ^{стр. 11}

Разрешимые группы Ли

Поскольку термин «разрешимая» также используется для обозначения разрешимых групп в теории групп , существует несколько возможных определений разрешимой группы Ли . Для группы Лжи $G$ , есть

завершение обычного производного ряда группы $G$ (как абстрактная группа);
прекращение замыканий производного ряда;
имеющая разрешимую алгебру Ли

См. также

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с Хамфрис 1972 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Почти 2002 год
^ Кнапп, 2002 г. , Предложение 1.39.
^ Кнапп, 2002 г., Предложение 1.23.
^ Фултон и Харрис 1991
^ Кнапп, 2002 г., Предложение 1.46.
^ Кнапп, 2002 г. , Теорема 1.25.
^ Jump up to: ^а ^б Серр 2001 , Гл. I, § 6, Определение 2.
^ Кнапп, 2002 г., Предложение 1.40.

Внешние ссылки

Ссылки

Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97527-6 . МР 1153249 .
Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN 0-387-90053-5 .
Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения . Прогресс в математике. Том. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Биркхойзер. ISBN 0-8176-4259-5 . .
Серр, Жан-Пьер (2001). Комплексные полупростые алгебры зацепления . Берлин: Шпрингер. ISBN 3-5406-7827-1 .

[Humphreys_1-1] Jump up to: ^а ^б ^с Хамфрис 1972 г.

[Knapp_1-2] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Почти 2002 год

[3] Кнапп, 2002 г. , Предложение 1.39.

[4] Кнапп, 2002 г., Предложение 1.23.

[Fulton_1-5] Фултон и Харрис 1991

[6] Кнапп, 2002 г., Предложение 1.46.

[7] Кнапп, 2002 г. , Теорема 1.25.

[Serre_def-8] Jump up to: ^а ^б Серр 2001 , Гл. I, § 6, Определение 2.

[9] Кнапп, 2002 г., Предложение 1.40.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]