Содержание, подсчитывающее количество коробок

В математике является подсчета ящиков содержание аналогом содержания Минковского .

Определение

Позволять $A$ быть ограниченным подмножеством $m$-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{m}$ такая, что размерность счета ящиков $D_{B}$ существует. Содержимое верхней и нижней коробки для подсчета $A$ определяются

${\mathcal {B}}^{*}(A):=\limsup _{x\rightarrow \infty }{\frac {N_{B}(A,x)}{x^{D_{B}}}}\quad \quad {\text{and}}\quad \quad {\mathcal {B}}_{*}(A):=\liminf _{x\rightarrow \infty }{\frac {N_{B}(A,x)}{x^{D_{B}}}}$

где $N_{B}(A,x)$ — максимальное количество непересекающихся замкнутых шаров с центрами $a\in A$ и радиусы $x^{-1}>0$.

Если ${\mathcal {B}}^{*}(A)={\mathcal {B}}_{*}(A)$, то общее значение, обозначаемое ${\mathcal {B}}(A)$, называется подсчета ящиков содержимым $A$.

Если $0<{\mathcal {B}}_{*}(A)<{\mathcal {B}}^{*}(A)<\infty$, затем $A$ Говорят, что оно измеримо с помощью подсчета ящиков .

Примеры

Позволять $I=[0,1]$ обозначают единичный интервал. Обратите внимание, что измерение подсчета коробок $\dim _{B}I$ и размерность Минковского $\dim _{M}I$ совпадают с общим значением 1; т.е.

$\dim _{B}I=\dim _{M}I=1.$

Теперь заметьте, что $N_{B}(I,x)=\lfloor x/2\rfloor +1$, где $\lfloor y\rfloor$ обозначает целую часть $y$. Следовательно $I$ можно ли измерить счет ящиков с помощью ${\mathcal {B}}(I)=1/2$.

Напротив, $I$ измерим ли Минковский с помощью ${\mathcal {M}}(I)=1$.

См. также

• Подсчет коробок

Ссылки

• Деттмерс, Кристин; Гиза, Роберт; Моралес, Рафаэль; Рок, Джон А.; Нокс, Кристина (январь 2017 г.). «Обзор комплексных размерностей, измеримости и дихотомии решетки/нерешетки». Дискретные и непрерывные динамические системы - Серия S. 10 (2): 213–240. arXiv : 1510.06467 . дои : 10.3934/dcdss.2017011 .