Гипотеза геометризации

Теорема о геометризации

Поле	Геометрическая топология
Предполагается	Уильям Терстон
Предполагается в	1982
Первое доказательство	Григорий Перельман
Первое доказательство в	2006
Последствия	Гипотеза Пуанкаре Гипотеза Тёрстона об эллиптике

В математике гипотеза геометризации Терстона (теперь теорема) утверждает, что каждое из определенных трехмерных топологических пространств имеет уникальную геометрическую структуру, которая может быть связана с ним. Это аналог теоремы об униформизации для двумерных поверхностей , которая утверждает, что каждой односвязной римановой поверхности можно придать одну из трех геометрий ( евклидову , сферическую или гиперболическую ).В трех измерениях не всегда возможно приписать одну геометрию всему топологическому пространству. Вместо этого гипотеза геометризации утверждает, что каждое замкнутое трехмерное многообразие можно каноническим образом разложить на части, каждая из которых имеет один из восьми типов геометрической структуры. Гипотеза была предложена Уильямом Терстоном ( 1982 ) и подразумевает несколько других гипотез, таких как гипотеза Пуанкаре Терстона и гипотеза Эллипизации .

Терстона Теорема о гиперболизации подразумевает, что многообразия Хакена удовлетворяют гипотезе геометризации. Терстон объявил о доказательстве в 1980-х годах, и с тех пор в печати появилось несколько полных доказательств.

Григорий Перельман объявил о доказательстве гипотезы полной геометризации в 2003 году с использованием потока Риччи с хирургией в двух статьях, размещенных на сервере препринтов arxiv.org. Статьи Перельмана изучались несколькими независимыми группами, которые выпустили книги и онлайн-рукописи, в которых были подробно описаны его аргументы. Проверка была практически завершена к тому времени, когда Перельман был награжден медалью Филдса за свою работу в 2006 году, а в 2010 году Математический институт Клея наградил его премией в 1 миллион долларов за решение гипотезы Пуанкаре, хотя Перельман отказался от обеих наград.

Гипотеза Пуанкаре и гипотеза о сферической форме пространства являются следствиями гипотезы геометризации, хотя существуют более короткие доказательства первой, которые не приводят к гипотезе геометризации.

Гипотеза

Трехмерное многообразие называется замкнутым , если оно компактно и не имеет края .

Каждое замкнутое 3-многообразие имеет простое разложение : это означает, что оно представляет собой сумму связную простых 3-многообразий (это разложение по существу уникально, за исключением небольшой проблемы в случае неориентируемых многообразий ). Это сводит большую часть изучения 3-многообразий к случаю простых 3-многообразий: тех, которые нельзя записать в виде нетривиальной связной суммы.

Вот формулировка гипотезы Терстона:

Каждое ориентированное простое замкнутое 3-многообразие можно разрезать по торам так, что внутренность каждого из полученных многообразий имеет геометрическую структуру с конечным объемом.

Существует 8 возможных геометрических структур в 3 измерениях, описанных в следующем разделе. Существует уникальный минимальный способ разрезать неприводимое ориентированное 3-многообразие вдоль торов на части, которые являются многообразиями Зейферта или атороидальными, называемый разложением JSJ , которое не совсем то же самое, что разложение в гипотезе геометризации, поскольку некоторые части в гипотезе геометризации Разложение JSJ может не иметь геометрических структур конечного объема. (Например, тор отображения карты Аносова тора имеет решающую структуру конечного объема, но его JSJ-разложение разрезает его вдоль одного тора, чтобы получить произведение тора и единичного интервала, и внутренняя часть этого не имеет геометрическая структура конечного объема.)

Для неориентированных многообразий самый простой способ сформулировать гипотезу геометризации — сначала взять ориентированное двойное накрытие . С неориентируемыми многообразиями также можно работать напрямую, но это дает некоторые дополнительные сложности: может потребоваться разрезание по проективным плоскостям и бутылкам Клейна , а также по сферам и торам, а многообразия с граничной компонентой проективной плоскости обычно не имеют геометрическая структура.

В двух измерениях каждая замкнутая поверхность имеет геометрическую структуру, состоящую из метрики постоянной кривизны; нет необходимости предварительно разрезать коллектор. В частности, каждая замкнутая поверхность диффеоморфна фактору S ² , и ² , или Ч ² .

Восемь

Модельная геометрия представляет собой односвязное гладкое многообразие X вместе с транзитивным действием группы Ли G на X с компактными стабилизаторами.

Геометрия модели называется максимальной , если G максимальна среди групп, действующих гладко и транзитивно на X с компактными стабилизаторами. Иногда это условие включается в определение геометрии модели.

Геометрическая структура на многообразии M это диффеоморфизм M — в X /Γ для некоторой модельной геометрии X , где Γ — дискретная подгруппа группы G, действующая свободно на X ; это частный случай полной ( G , X )-структуры . Если данное многообразие допускает геометрическую структуру, то оно допускает такую, модель которой является максимальной.

Геометрия трехмерной модели X соответствует гипотезе геометризации, если она максимальна и существует хотя бы одно компактное многообразие с геометрической структурой, смоделированной на X . Терстон классифицировал 8 геометрий моделей, удовлетворяющих этим условиям; они перечислены ниже и иногда называются геометриями Терстона . (Существует также бесчисленное множество геометрий моделей без компактных частных.)

Существует некоторая связь с группами Бьянки : трехмерными группами Ли. Большинство геометрий Терстона можно реализовать как левоинвариантную метрику на группе Бьянки. Однако С ² × R не может быть, евклидово пространство соответствует двум различным группам Бианки, и существует несчетное количество разрешимых неунимодулярных групп Бианки, большинство из которых дают модельные геометрии без компактных представителей.

Сферическая геометрия S ³

Стабилизатор точки — это O(3, R ), а группа G — это 6-мерная группа Ли O(4, R ) с двумя компонентами. Соответствующие многообразия представляют собой в точности замкнутые 3-многообразия с конечной фундаментальной группой . Примеры включают 3-сферу , сферу гомологии Пуанкаре , пространства Линза . Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику группы Бьянки типа IX . Все многообразия с такой геометрией компактны, ориентируемы и имеют структуру расслоения Зейферта (часто несколькими способами). Полный список таких многообразий приведен в статье о сферических 3-многообразиях . При потоке Риччи многообразия с такой геометрией схлопываются в точку за конечное время.

Евклидова геометрия E ³

Стабилизатор точки — это O(3, R ), а группа G — это 6-мерная группа Ли R. ³ × O(3, R ), с 2 компонентами. Примерами являются 3-тор и, в более общем плане, тор отображения конечного порядка автоморфизма 2-тора; см. расслоение тора . Существует ровно 10 конечных замкнутых 3-многообразий с такой геометрией: 6 ориентируемых и 4 неориентируемых. Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику на группах Бьянки типа I или VII ₀ . Все многообразия конечного объема с такой геометрией компактны и имеют структуру расслоения Зейферта (иногда двумя способами). Полный список таких многообразий дан в статье о расслоениях Зейферта . При потоке Риччи многообразия с евклидовой геометрией остаются инвариантными.

Гиперболическая геометрия H ³

Стабилизатор точки — это O(3, R ), а группа G — это 6-мерная группа Ли O ⁺ (1, 3, R ), с 2 компонентами. Таких примеров огромное количество, и их классификация до конца не изучена. Примером с наименьшим объемом является коллектор Уикса . Другие примеры дают пространство Зейферта-Вебера , или «достаточно сложные» операции Дена на зацеплениях , или большинство многообразий Хакена . Гипотеза геометризации подразумевает, что замкнутое 3-многообразие является гиперболическим тогда и только тогда, когда оно неприводимо, атороидально и имеет бесконечную фундаментальную группу. Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику группы Бьянки типа V или VII _h≠0 . Под потоком Риччи многообразия с гиперболической геометрией расширяются.

Геометрия S ² × Р

Стабилизатор точки — это O(2, R ) × Z /2 Z , а группа G — это O(3, R ) × R × Z /2 Z с 4 компонентами. Четыре многообразия конечного объема с этой геометрией: S ² × С ¹ , тор отображения антипода S ² , связная сумма двух копий трехмерного проективного пространства и произведения S ¹ с двумерным проективным пространством. Первые два отображают торы тождественного отображения и отображения антипода 2-сферы и являются единственными примерами 3-многообразий, которые являются простыми, но не неприводимыми. Третий — единственный пример нетривиальной связной суммы с геометрической структурой. Это единственная геометрия модели, которую невозможно реализовать как левоинвариантную метрику в трехмерной группе Ли. Все многообразия конечного объема с такой геометрией компактны и имеют структуру расслоения Зейферта (часто несколькими способами). При нормализованном потоке Риччи многообразия с этой геометрией сходятся к одномерному многообразию.

Геометрия H ² × Р

Стабилизатор точки — это O(2, R ) × Z /2 Z , а группа G — это O ⁺ (1, 2, R ) × R × Z /2 Z , с 4 компонентами. Примеры включают произведение гиперболической поверхности на окружность или, в более общем смысле, отображение тора изометрии гиперболической поверхности. Многообразия конечного объема с этой геометрией имеют структуру расслоения Зейферта, если они ориентируемы. (Если они не ориентируемы, естественное расслоение окружностями не обязательно является расслоением Зейферта: проблема в том, что некоторые слои могут «переворачивать ориентацию»; другими словами, их окрестности выглядят как расслоенные полнотелые бутылки Клейна, а не полнотелые торы. ) Классификация таких (ориентированных) многообразий приведена в статье о расслоениях Зейферта . Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику группы Бьянки типа III . При нормализованном потоке Риччи многообразия с этой геометрией сходятся к двумерному многообразию.

Геометрия универсального накрытия SL(2, R)

Универсальное накрытие SL (2, R ) обозначается ${\widetilde {\rm {SL}}}(2,\mathbf {R} )$. Он расслояется на H ² , а пространство иногда называют «Twisted H» ² × R». Группа G имеет 2 компонента. Ее единичная компонента имеет структуру $(\mathbf {R} \times {\widetilde {\rm {SL}}}_{2}(\mathbf {R} ))/\mathbf {Z}$. Точечный стабилизатор равен O(2, R ).

Примеры этих многообразий включают: многообразие единичных векторов касательного расслоения гиперболической поверхности и, в более общем смысле, сферы гомологий Брискорна (за исключением трехмерной сферы и додекаэдрического пространства Пуанкаре ). Эту геометрию можно смоделировать как левоинвариантную метрику группы Бьянки типа VIII или III . Многообразия конечного объема с такой геометрией ориентируемы и имеют структуру расслоения Зейферта . Классификация таких многообразий дана в статье о расслоениях Зейферта . При нормализованном потоке Риччи многообразия с этой геометрией сходятся к двумерному многообразию.

Нулевая геометрия

См. также: Нильманифолд

Это расслоение над E ² , поэтому его иногда называют «Twisted E». ² × R». Это геометрия группы Гейзенберга . Стабилизатор точки — это O(2, R ). Группа G имеет 2 компонента и является полупрямым произведением трёхмерной группы Гейзенберга на группу O(2, R). R ) изометрий окружности с этой геометрией включает тор отображения скручивания Дена 2-тора или фактор группы Гейзенберга по «целой группе Гейзенберга». Эту геометрию можно моделировать как левую. инвариантная метрика на группе Бианки типа II . Многообразия конечного объема с этой геометрией компактны, ориентируемы и имеют структуру расслоения Зейферта . Классификация таких многообразий приведена в статье о расслоениях Зейферта . компактные многообразия с такой геометрией сходятся к R ² с плоской метрикой.

Геометрия Солнца

См. также: Солвмногообразие

Эта геометрия (также называемая Solv-геометрией ) расслояется на прямую со слоем на плоскости и является геометрией единичного компонента группы G . Стабилизатор точки - это группа диэдра 8-го порядка. Группа G имеет 8 компонентов и представляет собой группу отображений двумерного пространства Минковского в себя, которые либо являются изометриями, либо умножают метрику на -1. Компонент идентичности имеет нормальную подгруппу R ² с фактором R , где R действует на R ² с двумя (вещественными) собственными пространствами, с различными действительными собственными значениями произведения 1. Это группа Бьянки типа VI ₀ , и геометрию можно моделировать как левоинвариантную метрику в этой группе. Все многообразия конечного объема с сольв-геометрией компактны. Компактные многообразия с решаемой геометрией являются либо тором отображения 2 Аносова -тора (такое отображение представляет собой автоморфизм 2-тора, заданного обратимой матрицей размера 2 на 2, собственные значения которой действительны и различны, например $\left({\begin{array}{*{20}c}2&1\\1&1\\\end{array}}\right)$), или факторизируют их по группам порядка не выше 8. Собственные значения автоморфизма тора порождают порядок вещественного квадратичного поля, и сольв-многообразия можно классифицировать в терминах единиц и идеальных классов этого порядка. При нормализованном потоке Риччи компактные многообразия с такой геометрией сходятся (достаточно медленно) к R ¹ .

Уникальность

Замкнутое 3-многообразие имеет геометрическую структуру не более одного из 8 вышеперечисленных типов, но некомпактные 3-многообразия конечного объема иногда могут иметь более одного типа геометрической структуры. (Тем не менее, многообразие может иметь множество различных геометрических структур одного и того же типа; например, поверхность рода не менее 2 имеет континуум различных гиперболических метрик.) Точнее, если M — многообразие с геометрической структурой конечного объема, тогда тип геометрической структуры практически определяется следующим образом в терминах фундаментальной группы π ₁ ( M ):

• Если π ₁ ( M ) конечно, то геометрическая структура на M сферическая, а M компактна.
• Если π ₁ ( M ) практически циклическое, но не конечное, то геометрическая структура на M равна S ² × R и M компактно.
• Если π ₁ ( M ) виртуально абелева, но не практически циклическая, то геометрическая структура на M евклидова, а M компактна.
• Если π ₁ ( M ) практически нильпотентна, но не виртуально абелева, то геометрическая структура на M является ниль-геометрией, а M компактна.
• Если π ₁ ( M ) виртуально разрешима, но не виртуально нильпотентна, то геометрическая структура на M является разрешимой геометрией, а M компактна.
• Если π ₁ ( M ) имеет бесконечную нормальную циклическую подгруппу, но не является виртуально разрешимой, то геометрическая структура на M является либо H ² × R или универсальное накрытие SL(2, R ). Многообразие M может быть как компактным, так и некомпактным. Если она компактна, то две геометрии можно отличить по тому, имеет ли π ₁ ( M ) подгруппу конечного индекса , которая распадается как полупрямое произведение нормальной циклической подгруппы и чего-то еще. Если многообразие некомпактно, то фундаментальная группа не может различать две геометрии, и есть примеры (например, дополнение к узлу-трилистнику), когда многообразие может иметь геометрическую структуру конечного объема любого типа.
• Если π ₁ ( M ) не имеет бесконечной нормальной циклической подгруппы и практически не разрешима, то геометрическая структура на M является гиперболической, и M может быть либо компактной, либо некомпактной.

Многообразия бесконечного объема могут иметь множество различных типов геометрической структуры: например, R ³ может иметь 6 различных геометрических структур, перечисленных выше, поскольку 6 из 8 геометрий модели гомеоморфны ему. Более того, если объем не обязательно должен быть конечным, существует бесконечное количество новых геометрических структур без компактных моделей; например, геометрия почти любой неунимодулярной трехмерной группы Ли.

Может быть несколько способов разложить замкнутое трехмерное многообразие на части с геометрическими структурами. Например:

• Взяв связные суммы с несколькими копиями S ³ не меняет многообразие.
• Связная сумма двух проективных 3-пространств имеет S ² × R- геометрия, а также является связной суммой двух частей с S ³ геометрия.
• Продукт поверхности отрицательной кривизны и круга имеет геометрическую структуру, но его также можно разрезать вдоль торов, чтобы получить более мелкие детали, которые также имеют геометрическую структуру. Существует много подобных примеров для расслоений Зейферта.

Можно выбрать «каноническое» разложение на части с геометрической структурой, например, сначала разрезав многообразие на простые части минимальным способом, а затем разрезав их, используя наименьшее возможное количество торов. Однако это минимальное разложение не обязательно является тем, что создается потоком Риччи; на самом деле поток Риччи может разрезать многообразие на геометрические части многими неэквивалентными способами, в зависимости от выбора исходной метрики.

История

Медаль Филдса была вручена Терстону в 1982 году частично за доказательство гипотезы геометризации многообразий Хакена .

В 1982 году Ричард С. Гамильтон показал, что для замкнутого 3-многообразия с метрикой положительной кривизны Риччи поток Риччи схлопывает многообразие в точку за конечное время, что доказывает гипотезу геометризации для этого случая, поскольку метрика становится « почти круглый» незадолго до обрушения. Позже он разработал программу для доказательства гипотезы геометризации потока Риччи с помощью хирургии . Идея состоит в том, что поток Риччи, как правило, будет создавать сингулярности, но можно продолжить поток Риччи за пределы сингулярности, используя операцию по изменению топологии многообразия. Грубо говоря, поток Риччи сжимает области положительной кривизны и расширяет области отрицательной кривизны, поэтому он должен уничтожать части многообразия с геометрией «положительной кривизны» S. ³ и С ² × R , а то, что осталось на больших временах, должно иметь толстый-тонкий разложение на «толстый» кусок с гиперболической геометрией и «тонким» графовым многообразием .

В 2003 году Григорий Перельман объявил о доказательстве гипотезы геометризации, показав, что поток Риччи действительно может продолжаться за пределы сингулярностей и имеет поведение, описанное выше.

Одним из компонентов доказательства Перельмана была новая теорема о коллапсе в римановой геометрии. Перельман не сообщил никаких подробностей доказательства этого результата (теорема 7.4 в препринте «Поток Риччи с хирургией на трехмерных многообразиях»). Начиная с Сиои и Ямагути, сейчас существует несколько различных доказательств теоремы о коллапсе Перельмана или ее вариантов. Формулировка Сиои и Ямагучи была использована в первых полностью детализированных формулировках работы Перельмана.

Второй путь к последней части доказательства геометризации Перельмана — это метод Лорана Бессьера и соавторов: которая использует теорему Тёрстона о гиперболизации для многообразий Хакена и Громова норму для 3- многообразий . Книга тех же авторов с полным изложением их версии доказательства опубликована Европейским математическим обществом .

Высшие измерения

В четырех измерениях лишь весьма ограниченный класс замкнутых 4-многообразий допускает геометрическое разложение. Однако списки максимальных геометрий моделей все же можно привести.

Геометрия четырехмерной максимальной модели была классифицирована Ричардом Филипкевичем в 1983 году. Их насчитывается восемнадцать плюс одно счетное бесконечное семейство: их обычные имена - E ⁴ , Ноль ⁴ , Ноль ³ × Э ¹ , Солнце ⁴
_{m , n} (счетное бесконечное семейство), Sol ⁴
₀ , Вс ⁴
₁ , Ч ³ × Э ¹ , ${\widetilde {\rm {SL}}}$ × Э ¹ , Ч ² × Э ² , Ч ² × Ч ² , Ч ⁴ , Ч ² ( C ) ( комплексное гиперболическое пространство ), F ⁴ ( касательное расслоение гиперболической плоскости), S ² × Э ² , С ² × Ч ² , С ³ × Э ¹ , С ⁴ , КП ² ( комплексная проективная плоскость ) и S ² × С ² . Ни одно замкнутое многообразие не допускает геометрии F ⁴ , но существуют многообразия с правильным разложением, включая F ⁴ кусок.

Геометрия пятимерной максимальной модели была классифицирована Эндрю Генгом в 2016 году. Существует 53 отдельные геометрии и шесть бесконечных семейств. Возникают некоторые новые явления, не наблюдаемые в более низких измерениях, в том числе два бесчисленных семейства геометрий и геометрий без компактных частных.

Ссылки

• Л. Бессьер, Г. Бессон, М. Буало, С. Майо, Ж. Порти, «Геометризация трехмерных многообразий», EMS Tracts in Mathematics, том 13. Европейское математическое общество, Цюрих, 2010. [1]
• М. Буало Геометризация трехмерных многообразий с симметриями
• Ф. Бонахон Геометрические структуры на трехмерных многообразиях. Справочник по геометрической топологии (2002) Elsevier.
• Цао, Хуай-Донг ; Чжу, Си-Пин (2006). «Полное доказательство гипотез Пуанкаре и геометризации - применение теории Гамильтона – Перельмана потока Риччи» . Азиатский математический журнал . 10 (2): 165–492. дои : 10.4310/ajm.2006.v10.n2.a2 . МР   2233789 . Збл   1200.53057 .
  – – (2006). «Ошибка» . Азиатский математический журнал . 10 (4): 663–664. дои : 10.4310/AJM.2006.v10.n4.e2 . МР   2282358 .
  – – (2006). «Доказательство Гамильтона-Перельмана гипотезы Пуанкаре и гипотезы геометризации». arXiv : math/0612069 .
• Аллен Хэтчер: Заметки по базовой топологии трехмерного многообразия , 2000 г.
• Дж. Айзенберг, М. Джексон, Поток Риччи локально однородных геометрий на римановом многообразии , J. Diff. Геом. 35 (1992) нет. 3 723–741.
• Кляйнер, Брюс ; Лотт, Джон (2008). «Заметки о бумагах Перельмана» . Геометрия и топология . 12 (5). Обновлено с учетом исправлений в 2011 и 2013 гг.: 2587–2855. arXiv : math/0605667 . дои : 10.2140/gt.2008.12.2587 . МР   2460872 . Збл   1204.53033 .
• Джон В. Морган . Недавний прогресс в области гипотезы Пуанкаре и классификации трехмерных многообразий. Бюллетень Амер. Математика. Соц. 42 (2005) нет. 1, 57–78 (разъяснительная статья кратко объясняет восемь геометрий и гипотезу геометризации, а также дает краткое изложение доказательства Перельманом гипотезы Пуанкаре)
• Морган, Джон В.; Фонг, Фредерик Цз-Хо (2010). Поток Риччи и геометризация трехмерных многообразий . Серия университетских лекций. ISBN  978-0-8218-4963-7 . Проверено 26 сентября 2010 г.
• Морган, Джон ; Тиан, Банда (2014). Гипотеза геометризации . Монографии Клэя по математике . Том. 5. Кембридж, Массачусетс: Математический институт Клэя . ISBN  978-0-8218-5201-9 . МР   3186136 .
• Перельман, Гриша (2002). «Формула энтропии для потока Риччи и ее геометрические приложения». arXiv : math/0211159 .
• Перельман, Гриша (2003). «Поток Риччи с хирургией на трёх многообразиях». arXiv : math/0303109 .
• Перельман, Гриша (2003). «Конечное время угасания решений потока Риччи на некоторых трехмерных многообразиях». arXiv : math/0307245 .
• Скотт, Питер Геометрии трехмерных многообразий. ( опечатка ) Бык. Лондонская математика. Соц. 15 (1983), вып. 5, 401–487.
• Терстон, Уильям П. (1982). «Трехмерные многообразия, клейновы группы и гиперболическая геометрия» . Бюллетень Американского математического общества . Новая серия. 6 (3): 357–381. дои : 10.1090/S0273-0979-1982-15003-0 . ISSN   0002-9904 . МР   0648524 . Это дает исходное утверждение гипотезы.
• Уильям Терстон. Трехмерная геометрия и топология. Том. 1 . Под редакцией Сильвио Леви. Принстонская математическая серия, 35. Издательство Принстонского университета, Принстон, Нью-Джерси, 1997. x+311 стр. ISBN   0-691-08304-5 (подробное объяснение восьми геометрий и доказательство того, что их только восемь)
• Уильям Терстон. Геометрия и топология трехмерных многообразий , конспекты лекций в Принстоне, 1980 г., по геометрическим структурам в трехмерных многообразиях.

Внешние ссылки

• «Геометрия трехмерных многообразий (видео)» . Архивировано из оригинала 27 января 2010 года . Проверено 20 января 2010 г. о гипотезах Пуанкаре и геометризации, прочитанная Публичная лекция К. Макмаллена в Гарварде в 2006 году.