Теорема Мерсера

В математике , особенно в функциональном анализе , теорема Мерсера представляет собой представление симметричной положительно определенной функции на квадрате как суммы сходящейся последовательности функций-произведений. Эта теорема, представленная в ( Mercer 1909 ), является одним из наиболее заметных результатов работы Джеймса Мерсера (1883–1932). Это важный теоретический инструмент в теории интегральных уравнений ; он используется в в гильбертовом пространстве теории случайных процессов , например, в теореме Карунена-Лёва ; и оно также используется в теории гильбертового пространства с воспроизводящим ядром , где оно характеризует симметричное положительно определенное ядро ​​как воспроизводящее ядро.

Введение

Мерсера Чтобы объяснить теорему , мы сначала рассмотрим важный частный случай; см . ниже более общую формулировку . Ядро в данном контексте — это симметричная непрерывная функция.

$K:[a,b]\times [a,b]\rightarrow \mathbb {R}$

где симметричный означает, что $K(x,y)=K(y,x)$ для всех $x,y\in [a,b]$.

K называется положительно определенным ядром тогда и только тогда, когда

$\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}K(x_{i},x_{j})c_{i}c_{j}\geq 0$

для всех конечных последовательностей точек x ₁ , ..., x _n из [ a , b ] и всех вариантов действительных чисел c ₁ , ..., c _n . Обратите внимание, что термин «положительно-определенный» прочно утвердился в литературе, несмотря на слабое неравенство в определении.

С K связан линейный оператор (точнее, интегральный оператор Гильберта – Шмидта ) над функциями, определяемыми интегралом

$[T_{K}\varphi ](x)=\int _{a}^{b}K(x,s)\varphi (s)\,ds.$

По техническим соображениям мы предполагаем $\varphi$ может перемещаться по пространству л ² [ a , b ] (см. пространство Lp ) вещественных функций, интегрируемых с квадратом. Поскольку T _K линейный оператор, мы можем говорить о собственных значениях и собственных T — _K. функциях

Теорема . Предположим, что K — непрерывное симметричное положительно определенное ядро. Тогда существует ортонормированный базис { е _я } _я из L ² [ a , b ] состоящий из собственных функций T _K таких, что соответствующие последовательность собственных значений {λ _i } _i неотрицательна. Собственные функции, соответствующие ненулевым собственным значениям, непрерывны на [ a , b ], и K имеет представление

$K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)$

где сходимость абсолютна и равномерна.

Подробности

Поясним теперь более подробно структуру доказательства Теорема Мерсера, особенно ее отношение к спектральной теории компактных операторов .

• Отображение K ↦ T _K инъективно ​ .
• T _K — неотрицательный симметричный компактный оператор на L ² [ а , б ]; при этом K ( x , x ) ≥ 0.

Чтобы доказать компактность, покажите, что образ единичного шара пространства L ² [ a , b ] при T _K равностепенно непрерывно и примените теорему Асколи , чтобы показать, что образ единичного шара относительно компактен в C([ a , b ]) с равномерной нормой и тем более в L ² [ а , б ].

Теперь применим спектральную теорему для компактных операторов на Гильберте пространств в T _K, чтобы показать существование ортонормированный базис { e _i } _i of л ² [ а , б ]

$\lambda _{i}e_{i}(t)=[T_{K}e_{i}](t)=\int _{a}^{b}K(t,s)e_{i}(s)\,ds.$

Если λ _i ≠ 0, собственный вектор ( собственная функция ) e _i считается непрерывным на [ a , b ]. Сейчас

$\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}|e_{i}(t)e_{i}(s)|\leq \sup _{x\in [a,b]}|K(x,x)|,$

что показывает, что последовательность

$\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}e_{i}(t)e_{i}(s)$

сходится абсолютно и равномерно к ядру K ₀ , которое, как легко видеть, определяет тот же оператор, что и ядро ​​K . Следовательно, K = K ₀ , откуда следует теорема Мерсера.

Наконец, чтобы показать неотрицательность собственных значений, можно написать $\lambda \langle f,f\rangle =\langle f,T_{K}f\rangle$ и выражая правую часть как интеграл, хорошо аппроксимируемый своими неотрицательными суммами Римана. по положительной определенности K , подразумевая $\lambda \langle f,f\rangle \geq 0$, подразумевая $\lambda \geq 0$.

След

Непосредственно следующее:

Теорема . Предположим, что K — непрерывное симметричное положительно определенное ядро; T _K имеет последовательность неотрицательных собственные значения {λ _я } _я . Затем

$\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt=\sum _{i}\lambda _{i}.$

Это показывает, что оператор T _K является оператором ядерного класса и

$\operatorname {trace} (T_{K})=\int _{a}^{b}K(t,t)\,dt.$

Обобщения

Сама теорема Мерсера является обобщением того результата, что любая симметричная положительно-полуопределенная матрица является матрицей Грама набора векторов.

Первое обобщение заменяет интервал [ a , b ] любым компактом Хаусдорфа , а мера Лебега на [ a , b ] заменяется конечной счетно-аддитивной мерой µ на алгебре X , носителем которой является X. ​​борелевской Это означает, что µ( U ) > 0 для любого непустого открытого подмножества U в X .

Недавнее обобщение заменяет эти условия следующими: множество X является топологическим пространством с первой счетностью , наделенным борелевской (полной) мерой ц. X — носитель µ, и для всех x в X существует открытое множество U, содержащее x и имеющее конечную меру. Тогда, по сути, имеет место тот же результат:

Теорема . Предположим, что K — непрерывное симметричное положительно определенное ядро ​​на X . Если функция κ есть L ¹ _µ ( X ), где κ(x)=K(x,x), для всех x в X , то существует ортонормированное множество { е _я } _я из L ² _µ ( X ), состоящая из собственных функций оператора T _K таких, что соответствующие последовательность собственных значений {λ _i } _i неотрицательна. Собственные функции, соответствующие ненулевым собственным значениям, непрерывны на X , а K имеет представление

$K(s,t)=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\,e_{j}(s)\,e_{j}(t)$

где сходимость абсолютна и равномерна на компактных подмножествах X .

Следующее обобщение имеет дело с представлениями измеримых ядер.

Пусть ( X , M , µ) — σ-конечное пространство с мерой. Ан Л ² (или интегрируемое с квадратом) ядро ​​на X — это функция

$K\in L_{\mu \otimes \mu }^{2}(X\times X).$

л ² ядра определяют ограниченный оператор T _K по формуле

$\langle T_{K}\varphi ,\psi \rangle =\int _{X\times X}K(y,x)\varphi (y)\psi (x)\,d[\mu \otimes \mu ](y,x).$

T _K — компактный оператор (фактически это даже оператор Гильберта–Шмидта ). Если ядро ​​K симметрично, то по спектральной теореме T K _имеет ортонормированный базис собственных векторов. Те собственные векторы, которые соответствуют ненулевым собственным значениям, можно расположить в последовательность { e _i } _i (независимо от разделимости).

Теорема . Если K — симметричное положительно определенное ядро ​​на ( X , M , µ), то

$K(y,x)=\sum _{i\in \mathbb {N} }\lambda _{i}e_{i}(y)e_{i}(x)$

где сходимость в L ² норма. Обратите внимание, что если не предполагается непрерывность ядра, разложение больше не сходится равномерно.

Состояние Мерсера

В математике если , условию Мерсера для всех суммируемых с квадратом говорят, что действительная функция K ( x , y ) удовлетворяет функций g ( x ) имеет место

$\iint g(x)K(x,y)g(y)\,dx\,dy\geq 0.$

Дискретный аналог

Это аналогично определению положительно-полуопределенной матрицы . Это матрица $K$ размера $N$, что удовлетворяет для всех векторов $g$, собственность

$(g,Kg)=g^{T}{\cdot }Kg=\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}\,g_{i}\,K_{ij}\,g_{j}\geq 0$.

Примеры

Положительная постоянная функция

$K(x,y)=c\,$

удовлетворяет условию Мерсера, так как тогда интеграл становится по теореме Фубини

$\iint g(x)\,c\,g(y)\,dx\,dy=c\int \!g(x)\,dx\int \!g(y)\,dy=c\left(\int \!g(x)\,dx\right)^{2}$

что действительно неотрицательно .

См. также

• Трюк с ядром
• Представление теоремы
• Воспроизведение ядра гильбертова пространства
• Спектральная теория

Ссылки

• Адриан Заанен, Линейный анализ , издательство North Holland Publishing Co., 1960 г.,
• Феррейра, Ж.К., Менегатто, В.А., Собственные значения интегральных операторов, определяемых гладкими положительно определенными ядрами , Интегральное уравнение и теория операторов, 64 (2009), вып. 1, 61–81. (Дает обобщение теоремы Мерсера для метрических пространств. Результат легко адаптируется к первым счетным топологическим пространствам)
• Конрад Йоргенс , Линейные интегральные операторы , Питман, Бостон, 1982,
• Ричард Курант и Дэвид Гильберт , Методы математической физики , том 1, Interscience, 1953,
• Роберт Эш, Теория информации , Dover Publications, 1990,
• Мерсер, Дж. (1909), «Функции положительного и отрицательного типа и их связь с теорией интегральных уравнений», Philosophical Transactions of the Royal Society A , 209 (441–458): 415–446, Бибкод : 1909RSPTA.209 ..415M , doi : 10.1098/rsta.1909.0016 ,
• «Теорема Мерсера» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Х. Кениг, Распределение собственных значений компактных операторов , Birkhäuser Verlag, 1986. (Дает обобщение теоремы Мерсера для конечных мер μ.)