Фрактал слов Фибоначчи

— Фрактал слова Фибоначчи это фрактальная кривая, определенная на плоскости из слова Фибоначчи .

Определение

Первые итерации

Представление L-системы

Эта кривая строится итеративно путем применения правила рисования «нечетно-чет» к слову Фибоначчи 0100101001001...:

Для каждой цифры в позиции k :

1. Нарисовать сегмент вперед
2. Если цифра 0:
   • Поверните на 90° влево, k четное если
   • Поверните на 90° вправо, если k нечетное .

К слову Фибоначчи длины $F_{n}$ ( затем ^й Число Фибоначчи ) связана с кривой ${\mathcal {F}}_{n}$ сделанный из $F_{n}$ сегменты. Кривая отображает три различных аспекта, независимо от того, имеет ли n форму 3 k , 3 k + 1 или 3 k + 2.

Характеристики

Числа Фибоначчи во фрактале слова Фибоначчи.

Некоторые свойства словесного фрактала Фибоначчи включают:

• Кривая ${\mathcal {F_{n}}}$ содержит $F_{n}$ сегменты, $F_{n-1}$ прямые углы и $F_{n-2}$ плоские углы.
• Кривая никогда не пересекается сама с собой и не содержит двойных точек. В пределе оно содержит бесконечное количество асимптотически близких точек.
• Кривая демонстрирует самоподобие во всех масштабах. Коэффициент уменьшения $1+{\sqrt {2}}$. Это число, также называемое соотношением серебра , присутствует во многих свойствах, перечисленных ниже.
• Число самоподобий на уровне n является числом Фибоначчи \−1. (точнее: $F_{3n+3}-1$).
• Кривая охватывает бесконечность квадратных структур уменьшающихся размеров в соотношении $1+{\sqrt {2}}$ (см. рисунок). Количество этих квадратных структур является числом Фибоначчи.
• Кривая ${\mathcal {F}}_{n}$также можно построить по-разному (см. галерею ниже):
  • Итерированная система функций 4 и 1 гомотетии отношения $1/(1+{\sqrt {2}})$ и $1/(1+{\sqrt {2}})^{2}$
  • Соединив вместе кривые ${\mathcal {F}}_{n-1}$ и ${\mathcal {F}}_{n-2}$
  • Система Линденмайера
  • Путем повторного построения 8 квадратных узоров вокруг каждого квадратного узора.
  • Повторным построением восьмиугольников
• Хаусдорфова размерность словесного фрактала Фибоначчи равна $3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+{\sqrt {2}})}}\approx 1.6379$, с $\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ золотое сечение .
• Обобщение на угол $\alpha$ между 0 и $\pi /2$, его хаусдорфова размерность равна $3\,{\frac {\log \varphi }{\log(1+a+{\sqrt {(1+a)^{2}+1}})}}$, с $a=\cos \alpha$.
• Хаусдорфовое измерение его границы равно ${\frac {\log 3}{{\log(1+{\sqrt {2}}})}}\approx 1.2465$.
• Поменяв роли «0» и «1» в слове Фибоначчи или в правиле рисования, получим аналогичную кривую, но ориентированную под углом 45 °.
• Из слова Фибоначчи можно определить «плотное слово Фибоначчи» в алфавите из 3 букв: 102210221102110211022102211021102110221022102211021... (последовательность A143667 в OEIS ). Использование под этим словом более простого правила рисования определяет бесконечное множество вариантов кривой, среди которых:
  • «диагональный вариант»
  • «свастичный вариант»
  • «компактный вариант»
• Предполагается , что фрактал слов Фибоначчи появляется для каждого слова Штурма, для которого наклон, записанный в виде непрерывной дроби , заканчивается бесконечной последовательностью «1».

Галерея

• 
  Кривая после $\textstyle {F_{23}}$ итерации.
• 
  Самоподобие в разных масштабах.
• 
  Размеры.
• 
  Построение сопоставлением (1)
• 
  Построение сопоставлением (2)
• 
  Порядок 18, с некоторыми цветными подпрямоугольниками.
• 
• 
  Построение путем итеративного подавления квадратных узоров.
• 
  Построение повторными восьмиугольниками.
• 
  Построение путем повторного сбора 8 квадратных узоров вокруг каждого квадратного узора.
• 
  С углом 60°.
• 
  Инверсия «0» и «1».
• 
  Варианты, созданные из плотного слова Фибоначчи.
• 
  «Компактный вариант»
• 
  «Свастичный вариант»
• 
  «Диагональный вариант»
• 
  «Вариант π/8»
• 
  Творчество художника (Самуэль Моннье).

Плитка Фибоначчи

Несовершенное замощение плиткой Фибоначчи. Площадь центральной площади стремится к бесконечности.

Сопоставление четырех $F_{3k}$ кривые позволяют построить замкнутую кривую, охватывающую поверхность, площадь которой не равна нулю. Эта кривая называется «плитой Фибоначчи».

• Плитка Фибоначчи почти закрывает плоскость. Сопоставление 4 плиток (см. иллюстрацию) оставляет в центре свободный квадрат, площадь которого стремится к нулю по мере того, как k стремится к бесконечности. В пределе бесконечная плитка Фибоначчи замостит плоскость.
• Если плитка заключена в квадрат со стороной 1, то ее площадь стремится к $2-{\sqrt {2}}=0.5857$.

Идеальная мозаика по снежинке Фибоначчи

Снежинка Фибоначчи

Снежинки Фибоначчи для i = 2 для n = от 1 до 4: $\sideset {}{_{1}^{\left[2\right]}\quad }\prod$, $\sideset {}{_{2}^{\left[2\right]}\quad }\prod$, $\sideset {}{_{3}^{\left[2\right]}\quad }\prod$, $\sideset {}{_{4}^{\left[2\right]}\quad }\prod$

Снежинка Фибоначчи — это плитка Фибоначчи, определяемая:

• $q_{n}=q_{n-1}q_{n-2}$ если $n\equiv 2{\pmod {3}}$
• $q_{n}=q_{n-1}{\overline {q}}_{n-2}$ в противном случае.

с $q_{0}=\epsilon$ и $q_{1}=R$, $L=$ «повернуть налево» и $R=$ «повернуть направо» и ${\overline {R}}=L$.

Несколько замечательных свойств:

• Это плитка Фибоначчи, связанная с ранее определенным «диагональным вариантом».
• Он закрашивает плоскость в любом порядке.
• Он замостит плоскость путем перевода двумя разными способами.
• его периметр в порядке n равен $4F(3n+1)$, где $F(n)$ это н ^й Число Фибоначчи .
• его площадь в порядке n соответствует последовательным индексам нечетной строки последовательности Пелла (определяемой формулой $P(n)=2P(n-1)+P(n-2)$).

См. также

• Золотое сечение
• Число Фибоначчи
• Слово Фибоначчи
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Внешние ссылки

• « Создание фрактала слов Фибоначчи », OnlineMathTools.com .