Расстояние

Расстояние — это числовое, а иногда и качественное измерение того, насколько далеко друг от друга находятся объекты, точки, люди или идеи. В физике или в повседневном использовании расстояние может относиться к физической длине или оценке, основанной на других критериях (например, «на два округа больше»). Этот термин также часто используется в переносном смысле. ^[1] означает измерение величины различия между двумя похожими объектами (например, статистическое расстояние между распределениями вероятностей или расстояние редактирования между строками текста ) или степень разделения (например, расстояние между людьми в социальной сети ). Большинство таких понятий расстояния, как физического, так и метафорического, формализуются в математике с использованием понятия метрического пространства .

В науках социальных расстояние может относиться к качественному измерению разделения, например, к социальной дистанции или психологической дистанции .

Расстояния в физике и геометрии

Расстояние между физическими местоположениями может определяться по-разному в разных контекстах.

Прямолинейное или евклидово расстояние

Расстояние между двумя точками физического пространства — это длина между прямой линии ними, которая является кратчайшим возможным путем. Это обычное значение расстояния в классической физике , включая механику Ньютона .

Расстояние по прямой математически формализуется как евклидово расстояние в двух- и трехмерном пространстве . В евклидовой геометрии расстояние между двумя точками $A$ и $B$ часто обозначается $|AB|$ . В координатной геометрии евклидово расстояние вычисляется с помощью теоремы Пифагора . Расстояние между точками $(x 1, y 1)$ и $(x 2, y 2)$ на плоскости определяется выражением: ^[2]^[3] $d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}.$ Аналогично, учитывая точки ( x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) в трехмерном пространстве, расстояние между ними равно: ^[2] $d={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}+(\Delta z)^{2}}}={\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2}}}.$ Эта идея распространяется на многомерные евклидовы пространства .

Измерение

Существует множество способов измерения расстояний по прямой. Например, это можно сделать напрямую с помощью линейки или косвенно с помощью радара (для больших расстояний) или интерферометрии (для очень коротких расстояний). Космическая лестница расстояний — это набор способов измерения чрезвычайно больших расстояний.

Расстояние кратчайшего пути на изогнутой поверхности

Расстояние по прямой между двумя точками на поверхности Земли не очень полезно для большинства целей, поскольку мы не можем проложить туннель прямо через мантию Земли . Вместо этого обычно измеряют кратчайший путь вдоль поверхности Земли . по прямой линии Математически это аппроксимируется расстоянием по большому кругу на сфере.

В более общем смысле, кратчайший путь между двумя точками вдоль искривленной поверхности известен как геодезическая . Длина дуги геодезических позволяет измерить расстояние с точки зрения муравья или другого нелетающего существа, живущего на этой поверхности.

Эффекты относительности

В теории относительности из-за таких явлений, как сокращение длины и относительность одновременности , расстояния между объектами зависят от выбора инерциальной системы отсчета . В галактическом и более крупных масштабах на измерение расстояний также влияет расширение Вселенной . ряд мер расстояний используется в космологии На практике для количественной оценки таких расстояний .

Другие пространственные расстояния

Необычные определения расстояния могут быть полезны для моделирования определенных физических ситуаций, но также используются в теоретической математике:

На практике часто интересует расстояние перемещения между двумя точками вдоль дорог, а не прямой путь. В плане сетки расстояние перемещения между углами улиц определяется Манхэттенским расстоянием : количеством кварталов с востока на запад и с севера на юг, которые нужно пересечь, чтобы попасть между этими двумя точками.
Расстояние до шахматной доски, формализованное как расстояние Чебышева , — это минимальное количество ходов, которое король должен сделать на шахматной доске , чтобы переместиться между двумя клетками.

Метафорические расстояния

Многие абстрактные понятия расстояния, используемые в математике, науке и технике, представляют собой степень различия или разделения между похожими объектами. На этой странице приведено несколько примеров.

Статистические расстояния

В статистике и информационной геометрии статистические расстояния измеряют степень различия между двумя распределениями вероятностей . Существует много видов статистических расстояний, обычно формализованных как дивергенции ; они позволяют понимать набор вероятностных распределений как геометрический объект, называемый статистическим многообразием . Самым элементарным является квадрат евклидова расстояния , который минимизируется методом наименьших квадратов ; это самое основное расхождение Брегмана . Наиболее важным в теории информации является относительная энтропия ( дивергенция Кульбака-Лейблера ), которая позволяет аналогично геометрически исследовать оценку максимального правдоподобия ; это пример как f -дивергенции , так и дивергенции Брегмана (и фактически единственный пример, который является обоими). Статистические многообразия, соответствующие расходимости Брегмана, являются плоскими многообразиями в соответствующей геометрии, что позволяет использовать аналог теоремы Пифагора (которая справедлива для квадрата евклидова расстояния) для линейных обратных задач. в выводе по теории оптимизации .

Другие важные статистические расстояния включают расстояние Махаланобиса и энергетическое расстояние .

Редактировать расстояния

В информатике расстояние редактирования или строковая метрика между двумя строками измеряет, насколько они различаются. Например, слова «собака» и «точка», различающиеся всего на одну букву, ближе, чем «собака» и «кот», у которых нет общих букв. Эта идея используется в средствах проверки правописания и в теории кодирования и математически формализуется различными способами, включая расстояние Левенштейна , расстояние Хэмминга , расстояние Ли и расстояние Яро-Винклера .

Расстояние в теории графов

В графе расстояние . между двумя вершинами измеряется длиной кратчайшего ребра между ними Например, если граф представляет собой социальную сеть , то идею шести степеней разделения можно математически интерпретировать как утверждение, что расстояние между любыми двумя вершинами не превышает шести. Точно так же число Эрдеша и число Бэкона (количество отношений сотрудничества, удаленных от человека от выдающегося математика Пола Эрдеша и актера Кевина Бэкона соответственно) — это расстояния на графиках, ребра которых представляют собой математическое или художественное сотрудничество.

В социальных науках

В психологии , географии и социальных науках расстояние часто рассматривается не как объективное числовое измерение, а как качественное описание субъективного опыта. ^[4] Например, психологическая дистанция — это «различные способы, которыми объект может быть удален от личности» по таким измерениям, как «время, пространство, социальная дистанция и гипотетика». ^[5] В социологии по таким параметрам , социальная дистанция описывает разделение между отдельными людьми или социальными группами в обществе как социальный класс , раса / этническая принадлежность , пол или сексуальность .

Математическая формализация

Большинство понятий расстояния между двумя точками или объектами, описанными выше, являются примерами математической идеи метрики . Метрика , или функция расстояния — это функция $d$ которая преобразует пары точек или объектов в действительные числа и удовлетворяет следующим правилам:

Расстояние между объектом и самим собой всегда равно нулю.
Расстояние между отдельными объектами всегда положительно.
Расстояние симметрично : расстояние от $x$ до $y$ всегда такое же, как расстояние от $y$ до $x$ .
Расстояние удовлетворяет неравенству треугольника : если $x$ , $y$ и $z$ — три объекта, то $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z).$ Неофициально это состояние можно описать как «промежуточные остановки не могут ускорить вас».

В виде исключения многие из расхождений, используемых в статистике, не являются показателями.

Расстояние между сетами

Существует несколько способов измерения физического расстояния между объектами, состоящими более чем из одной точки :

Можно измерить расстояние между репрезентативными точками, такими как центр масс ; это используется для астрономических расстояний, таких как расстояние Земля-Луна .
Можно измерить расстояние между ближайшими точками двух объектов; в этом смысле высота самолета или космического корабля — это его расстояние от Земли. То же самое понятие расстояния используется в евклидовой геометрии для определения расстояния от точки до линии , расстояния от точки до плоскости или, в более общем смысле, перпендикулярного расстояния между аффинными подпространствами .

В более общем смысле эту идею можно использовать для определения расстояния между двумя подмножествами метрического пространства. Расстояние между множествами

A

и

B

является нижней границей расстояний между любыми двумя соответствующими точками:

d(A,B)=\inf _{x\in A,y\in B}d(x,y).

Это не определяет метрику на множестве таких подмножеств: расстояние между перекрывающимися множествами равно нулю, и это расстояние не удовлетворяет неравенству треугольника для любого метрического пространства с двумя или более точками (рассмотрим тройку множеств, состоящую из двух различных одиночек и их союз).

Расстояние Хаусдорфа между двумя подмножествами метрического пространства можно рассматривать как меру того, насколько они далеки от идеального перекрытия. Точнее, расстояние Хаусдорфа между $A$ и $B$ — это либо расстояние от $A$ до самой дальней точки $B$ , либо расстояние от $B$ до самой дальней точки $A$ , в зависимости от того, что больше. (Здесь «самая дальняя точка» должна интерпретироваться как верхняя граница.) Расстояние Хаусдорфа определяет метрику на множестве компактных подмножеств метрического пространства.

См. также

Библиотечная поддержка

Python (язык программирования)
- SciPy -Вычисления расстояний ( scipy.spatial.distance)
Юлия (язык программирования)
- JuliaStatistic Distance — пакет Julia для оценки расстояний (метрик) между векторами.

Ссылки

^ Шналль, Симона (2014). «Есть ли базовые метафоры?». Сила метафоры: изучение ее влияния на социальную жизнь . Американская психологическая ассоциация. стр. 225–247. дои : 10.1037/14278-010 .
^ Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Расстояние» . mathworld.wolfram.com . Проверено 1 сентября 2020 г.
^ «Расстояние между двумя точками» . www.mathsisfun.com . Проверено 1 сентября 2020 г.
^ «СОЦИАЛЬНЫЕ ДИСТАНЦИИ» . www.hawaii.edu . Проверено 20 июля 2020 г.
^ Троп Ю., Либерман Н. (апрель 2010 г.). «Конструктивно-уровневая теория психологической дистанции» . Психологический обзор . 117 (2): 440–63. дои : 10.1037/a0018963 . ПМК 3152826 . ПМИД 20438233 .
^ «Что такое водоизмещение? (статья)» . Ханская академия . Проверено 20 июля 2020 г.
^ «Направленное расстояние» (PDF) . Центр информационных и телекоммуникационных технологий . Университет Канзаса. Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2016 года . Проверено 18 сентября 2018 г.
^ Чан, Т.; Чжу, В. (2005). Предварительная сегментация формы на основе набора уровней . Конференция IEEE Computer Society по компьютерному зрению и распознаванию образов. дои : 10.1109/CVPR.2005.212 .
^ Маллади, Р.; Сетиан, Дж.А.; Вемури, Британская Колумбия (1995). «Моделирование формы с распространением фронта: подход с использованием уровня». Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 17 (2): 158–175. CiteSeerX 10.1.1.33.2443 . дои : 10.1109/34.368173 . S2CID 9505101 .

Библиография

Деза Э , Деза М (2006). Словарь расстояний . Эльзевир. ISBN 0-444-52087-2 .

[1] Шналль, Симона (2014). «Есть ли базовые метафоры?». Сила метафоры: изучение ее влияния на социальную жизнь . Американская психологическая ассоциация. стр. 225–247. дои : 10.1037/14278-010 .

[:0-2] Jump up to: ^а ^б Вайсштейн, Эрик В. «Расстояние» . mathworld.wolfram.com . Проверено 1 сентября 2020 г.

[3] «Расстояние между двумя точками» . www.mathsisfun.com . Проверено 1 сентября 2020 г.

[4] «СОЦИАЛЬНЫЕ ДИСТАНЦИИ» . www.hawaii.edu . Проверено 20 июля 2020 г.

[psych-5] Троп Ю., Либерман Н. (апрель 2010 г.). «Конструктивно-уровневая теория психологической дистанции» . Психологический обзор . 117 (2): 440–63. дои : 10.1037/a0018963 . ПМК 3152826 . ПМИД 20438233 .

[6] «Что такое водоизмещение? (статья)» . Ханская академия . Проверено 20 июля 2020 г.

[ittcKU-7] «Направленное расстояние» (PDF) . Центр информационных и телекоммуникационных технологий . Университет Канзаса. Архивировано из оригинала (PDF) 10 ноября 2016 года . Проверено 18 сентября 2018 г.

[8] Чан, Т.; Чжу, В. (2005). Предварительная сегментация формы на основе набора уровней . Конференция IEEE Computer Society по компьютерному зрению и распознаванию образов. дои : 10.1109/CVPR.2005.212 .

[9] Маллади, Р.; Сетиан, Дж.А.; Вемури, Британская Колумбия (1995). «Моделирование формы с распространением фронта: подход с использованием уровня». Транзакции IEEE по анализу шаблонов и машинному интеллекту . 17 (2): 158–175. CiteSeerX 10.1.1.33.2443 . дои : 10.1109/34.368173 . S2CID 9505101 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]