Ковер Серпинского
Ковер Серпинского — это плоский фрактал, впервые описанный Вацлавом Серпинским в 1916 году. Ковер представляет собой обобщение Кантора, установленного в двух измерениях; Другое такое обобщение — канторовская пыль .
Технику разделения фигуры на более мелкие копии , удаления одной или нескольких копий и рекурсивного продолжения можно распространить на другие фигуры. Например, разделение равностороннего треугольника на четыре равносторонних треугольника, удаление среднего треугольника и повторение приводят к треугольнику Серпинского . В трех измерениях подобная конструкция на основе кубов известна как губка Менгера .
Строительство
[ редактировать ]Конструкция ковра Серпинского начинается с квадрата . Квадрат разрезается на 9 равных подквадратов в сетке 3х3, а центральный подквадрат удаляется. применяется Затем та же процедура рекурсивно к оставшимся 8 подквадратам, до бесконечности . Его можно реализовать как набор точек единичного квадрата, координаты которых, записанные по основанию три, не имеют цифры «1» в одной и той же позиции, используя представление бесконечно малых чисел . [1]
Процесс рекурсивного удаления квадратов является примером правила конечного деления .
Характеристики
[ редактировать ]
Площадь ковра равна нулю (по стандартной мере Лебега ).
- Доказательство: Обозначим через a i область итерации i . Тогда а я + 1 = 8 / 9 а я . Итак = , я ( 8 / 9 ) я , который стремится к 0 при стремлении i к бесконечности.
Внутри . ковра пусто
- Доказательство: находится точка P. предположим от противного, что внутри ковра Затем есть квадрат с центром в точке P , который полностью содержится в ковре. Этот квадрат содержит меньший квадрат, координаты которого кратны 1 / 3 к для некоторого k . Но если этот квадрат не был предварительно удален, он должен был быть продырявлен на итерации k + 1 , поэтому он не может содержаться в ковре – противоречие.
Размерность Хаусдорфа ковра равна . [2]
Серпинский продемонстрировал, что его ковер представляет собой универсальную плоскую кривую. [3] То есть: ковер Серпинского является компактным подмножеством плоскости с лебеговой размерностью покрытия 1, и каждое подмножество плоскости с этими свойствами гомеоморфно некоторому подмножеству ковра Серпинского.
Эта «универсальность» ковра Серпинского не является истинно универсальным свойством в смысле теории категорий: она не характеризует это пространство однозначно с точностью до гомеоморфизма. Например, непересекающееся объединение ковра Серпинского и круга также является универсальной плоской кривой. Однако в 1958 году Гордон Уайберн [4] однозначно охарактеризовал ковер Серпинского следующим образом: любая кривая, локально связная и не имеющая «локальных точек пересечения», гомеоморфна ковру Серпинского. Здесь локальная точка разреза — это точка p , для которой некоторая связная окрестность U точки p обладает свойством, что U − { p } несвязна. Так, например, любая точка окружности является точкой локального разреза.
В той же статье Уайберн дал еще одну характеристику ковра Серпинского. Напомним, что континуум — это непустое связное компактное метрическое пространство. Предположим, что X — континуум, вложенный в плоскость. Предположим, что его дополнение на плоскости имеет счетное число компонент связности C 1 , C 2 , C 3 , ... и предположим:
- диаметр C i стремится к нулю при i → ∞ ;
- граница C i и граница C j не пересекаются, если i ≠ j ;
- граница C i представляет собой простую замкнутую кривую для каждого i ;
- объединение границ множеств C i плотно в X .
Тогда X гомеоморфно ковру Серпинского.
Броуновское движение на ковре Серпинского.
[ редактировать ]Тема броуновского движения на ковре Серпинского в последние годы вызывает интерес. [5] Мартин Барлоу и Ричард Басс показали, что случайное блуждание по ковру Серпинского распространяется медленнее, чем неограниченное случайное блуждание по плоскости. Последний достигает среднего расстояния, пропорционального √ n, после n шагов, но случайное блуждание по дискретному ковру Серпинского достигает только среднего расстояния, пропорционального б √ n для некоторого β > 2 . Они также показали, что это случайное блуждание удовлетворяет более сильным неравенствам больших отклонений (так называемым «субгауссовым неравенствам») и что оно удовлетворяет эллиптическому неравенству Харнака, но не удовлетворяет параболическому неравенству. Существование такого примера было открытой проблемой в течение многих лет.
сито Уоллиса
[ редактировать ]
Вариант ковра Серпинского, называемый решетом Уоллиса , начинается таким же образом с разделения единичного квадрата на девять меньших квадратов и удаления середины из них. На следующем уровне подразделения каждый из квадратов подразделяется на 25 меньших квадратов и удаляется средний, а на i -м шаге продолжается разделение каждого квадрата на (2 i + 1) 2 ( нечетные квадраты [6] ) квадраты меньшего размера и удаляем средний. По произведению Уоллиса площадь полученного множества равна π / 4 в отличие от стандартного ковра Серпинского, имеющего нулевую ограничивающую площадь. Хотя решето Уоллиса имеет положительную меру Лебега , ни одно подмножество, являющееся декартовым произведением двух наборов действительных чисел, не обладает этим свойством, поэтому его жорданова мера равна нулю. [7]
Приложения
[ редактировать ]для мобильных телефонов и Wi-Fi Фрактальные антенны были созданы в виде нескольких итераций ковра Серпинского. Благодаря самоподобию и масштабной инвариантности они легко адаптируются к нескольким частотам. Их также легко изготовить, и они меньше по размеру, чем обычные антенны с аналогичными характеристиками, поэтому они оптимальны для карманных мобильных телефонов. [8] [9] [10]
См. также
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- ^ Аллуш, Жан-Поль; Шалит, Джеффри (2003). Автоматические последовательности: теория, приложения, обобщения . Издательство Кембриджского университета . стр. 405–406 . ISBN 978-0-521-82332-6 . Збл 1086.11015 .
- ^ Семмес, Стивен (2001). Некоторые новые типы фрактальной геометрии . Оксфордские математические монографии. Издательство Оксфордского университета. п. 31. ISBN 0-19-850806-9 . Збл 0970.28001 .
- ^ Серпинский, Вацлав (1916). «О канторовой кривой, содержащей однозначное и непрерывное изображение любой заданной кривой». ЧР акад. наук. Париж (на французском языке). 162 :629–632. ISSN 0001-4036 . ЖФМ 46.0295.02 .
- ^ Уайберн, Гордон (1958). «Топологическая характеристика кривой Серпинского» . Фонд. Математика . 45 : 320–324. дои : 10.4064/fm-45-1-320-324 .
- ^ Барлоу, Мартин; Басс, Ричард, броуновское движение и гармонический анализ на коврах Серпинского (PDF)
- ^ Слоан, Нью-Джерси (ред.). «Последовательность A016754 (Нечетные квадраты: a(n) = (2n+1)^2. Также центрированные восьмиугольные числа.)» . Электронная энциклопедия целочисленных последовательностей . Фонд ОЭИС.
- ^ Руммлер, Хансклаус (1993). «Квадратура круга с дырками». Американский математический ежемесячник . 100 (9): 858–860. дои : 10.2307/2324662 . JSTOR 2324662 . МР 1247533 .
- ^ Н. А. Сайдатул, AAH Азреми, Р.Б. Ахмад, П. Дж. Со и Ф. Малек, «Разработка Fractal PIFA (плоская перевернутая F-антенна) с расширением полосы пропускания для приложений мобильных телефонов», Конференция по антеннам и распространению сигналов Лафборо , 2009 г., Лафборо, Великобритания, 2009 г. , стр. 113-116, doi: 10.1109/LAPC.2009.5352584.
- ^ Т. Калаймани, П. М. Венкатеш, Р. Моханамурали и Т. Шанмуганантам, «Модифицированная ковровая фрактальная антенна Серпинского для беспроводных приложений», Международная конференция по связи и обработке сигналов 2013 г. , Мелмаруватур, Индия, 2013 г., стр. 722-725, doi : 10.1109/iccsp.2013.6577150.
- ^ В. -Л. Чен, Г.-М. Ванга и С.-Х. Чжан, «Микрополосковые патч-антенны малого размера, сочетающие фрактальные формы Коха и Серпинского», в IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters , vol. 7, стр. 738-741, 2008 г., doi: 10.1109/LAWP.2008.2002808.
Внешние ссылки
[ редактировать ]