Индекс Миллера

Примеры направлений

Индексы Миллера систему обозначений образуют в кристаллографии плоскостей кристаллической решетки (решеток Браве) .

В частности, семейство плоскостей решетки данной (прямой) решетки Браве определяется тремя целыми числами h , k и ℓ , индексами Миллера . Они записываются ( hkℓ ) и обозначают семейство (параллельных) плоскостей решетки (данной решетки Браве), ортогональных $\mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}$ , где $\mathbf {b} _{i}$ являются базисными или примитивными векторами трансляции обратной решетки для данной решетки Браве. (Обратите внимание, что плоскость не всегда ортогональна линейной комбинации прямых или исходных векторов решетки $h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}$ потому что векторы прямой решетки не обязательно должны быть взаимно ортогональными.) Это основано на том факте, что вектор обратной решетки $\mathbf {g}$ (вектор, указывающий точку обратной решетки из начала обратной решетки) — это волновой вектор плоской волны в ряду Фурье пространственной функции (например, функции электронной плотности), периодичность которой соответствует исходной решетке Браве, поэтому волновые фронты плоской волны совпадают с параллельными плоскостями исходной решетки. Поскольку измеренный вектор рассеяния в рентгеновской кристаллографии $\Delta \mathbf {k} =\mathbf {k} _{\mathrm {out} }-\mathbf {k} _{\mathrm {in} }$ с $\mathbf {k} _{\mathrm {out} }$ как выходящий (рассеянный кристаллической решеткой) волновой вектор рентгеновского излучения и $\mathbf {k} _{\mathrm {in} }$ как входящий (к кристаллической решетке) волновой вектор рентгеновских лучей, равен вектору обратной решетки $\mathbf {g}$ как указано уравнениями Лауэ , измеренный пик рассеянного рентгеновского излучения при каждом измеренном векторе рассеяния $\Delta \mathbf {k}$ отмечается индексами Миллера . По соглашению отрицательные целые числа записываются через черту, например, 3 вместо −3. Целые числа обычно записываются в наименьшей форме, т. е. их наибольший общий делитель должен быть равен 1. Индексы Миллера также используются для обозначения отражений в рентгеновской кристаллографии . В этом случае целые числа не обязательно выражаются в самых низких терминах, и их можно рассматривать как соответствующие плоскостям, расположенным так, что отражения от соседних плоскостей будут иметь разность фаз ровно в одну длину волны (2 $π$ ), независимо от того, есть ли атомы на все эти самолеты или нет.

Есть также несколько связанных обозначений: ^[1]

обозначение ${\textstyle \{hk\ell \}}$ обозначает множество всех плоскостей, эквивалентных $(hk\ell )$ по симметрии решетки.

В контексте направлений кристалла (а не плоскостей) соответствующие обозначения следующие:

$[hk\ell ],$ с квадратными вместо круглых скобок обозначает направление в базисе векторов прямой решетки вместо обратной решетки; и
аналогично, обозначение $\langle hk\ell \rangle$ обозначает множество всех направлений, эквивалентных $[hk\ell ]$ по симметрии.

Обратите внимание: для интерференций Лауэ – Брэгга

$hk\ell$ отсутствуют какие-либо скобки при обозначении отражения

Индексы Миллера были введены в 1839 году британским минералогом Уильямом Хэллоузом Миллером , хотя почти идентичная система ( параметры Вейсса ) уже с 1817 года использовалась немецким минералогом Кристианом Сэмюэлем Вейсом . ^[2] Этот метод был также исторически известен как миллерианская система, а индексы - как миллерианская. ^[3] хотя сейчас это редкость.

Индексы Миллера определяются относительно любого выбора элементарной ячейки, а не только относительно примитивных базисных векторов, как иногда утверждают.

Определение

Есть два эквивалентных способа определить значение индексов Миллера: ^[1] через точку обратной решетки или как обратные точки пересечения вдоль векторов решетки. Оба определения приведены ниже. В любом случае необходимо выбрать три вектора решетки a ₁ , a ₂ и a ₃ , которые определяют элементарную ячейку (обратите внимание, что обычная элементарная ячейка может быть больше, чем примитивная ячейка решетки Браве , как в примерах ниже показано ). ). Учитывая это, также определяются три примитивных вектора обратной решетки (обозначенные b ₁ , b ₂ и b ₃ ).

Тогда, учитывая три индекса Миллера $h,k,\ell ,(hk\ell )$ обозначает плоскости, ортогональные вектору обратной решетки:

\mathbf {g} _{hk\ell }=h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}.

То есть ( hkℓ ) просто указывает нормаль к плоскостям в основе примитивных векторов обратной решетки. Поскольку координаты являются целыми числами, эта нормаль сама по себе всегда является вектором обратной решетки. Требование наименьших членов означает, что это самый короткий вектор обратной решетки в данном направлении.

Эквивалентно, ( hkℓ ) обозначает плоскость, которая пересекает три точки a ₁ / h , a ₂ / k и a ₃ / ℓ или их кратное число. То есть индексы Миллера пропорциональны обратным точкам пересечения плоскости в базисе векторов решетки. Если один из индексов равен нулю, это означает, что плоскости не пересекают эту ось (точка пересечения находится «на бесконечности»).

Учитывая только ( hkℓ ) плоскости, пересекающие одну или несколько точек решетки ( плоскости решетки ), перпендикулярное расстояние d между соседними плоскостями решетки связано с (кратчайшим) вектором обратной решетки, ортогональным плоскостям, по формуле: $d=2\pi /|\mathbf {g} _{hk\ell }|$ . ^[1]

Соответствующее обозначение [hkℓ] обозначает направление :

h\mathbf {a} _{1}+k\mathbf {a} _{2}+\ell \mathbf {a} _{3}.

То есть вместо обратной решетки используется прямой базис решетки. Обратите внимание, что [hkℓ] обычно не является нормальным к плоскостям ( hkℓ ), за исключением кубической решетки, как описано ниже.

Случай кубических структур

В частном случае простых кубических кристаллов векторы решетки ортогональны и имеют одинаковую длину (обычно обозначаемые a ), как и векторы обратной решетки. Таким образом, в этом общем случае индексы Миллера ( hkℓ ) и [ hkℓ ] просто обозначают нормали/направления в декартовых координатах .

Для кубических кристаллов с постоянной решетки a расстояние d между соседними плоскостями решетки ( hkℓ ) равно (сверху)

d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {h^{2}+k^{2}+\ell ^{2}}}}

.

Из-за симметрии кубических кристаллов можно менять место и знак целых чисел и иметь эквивалентные направления и плоскости:

Индексы в угловых скобках, такие как ⟨100⟩, обозначают семейство направлений, которые эквивалентны благодаря операциям симметрии, например [100], [010], [001] или отрицательному значению любого из этих направлений.
Индексы в фигурных скобках или фигурных скобках, например {100}, обозначают семейство нормалей плоскости, которые эквивалентны благодаря операциям симметрии, подобно тому, как угловые скобки обозначают семейство направлений.

Для гранецентрированных кубических и объемноцентрированных кубических решеток примитивные векторы решетки не ортогональны. Однако в этих случаях индексы Миллера традиционно определяются относительно векторов решетки кубической суперячейки и, следовательно, снова являются просто декартовыми направлениями.

Случай гексагональных и ромбоэдрических структур.

С гексагональными и ромбоэдрическими решетчатыми системами можно использовать систему Браве – Миллера , которая использует четыре индекса ( h k i ℓ ), которые подчиняются ограничению

ч + к + я = 0.

Здесь h , k и ℓ идентичны соответствующим индексам Миллера, а i — избыточный индекс.

Эта четырехиндексная схема разметки плоскостей в гексагональной решетке делает очевидными симметрии перестановок. Например, сходство между (110) ≡ (11 2 0) и (1 2 0) ≡ (1 2 10) становится более очевидным, когда показан избыточный индекс.

На рисунке справа плоскость (001) имеет 3-кратную симметрию: она остается неизменной при повороте на 1/3 (2 $π$ /3 рад, 120°). Направления [100], [010] и [ 1 1 0] действительно похожи. Если S — точка пересечения плоскости с осью [ 1 1 0], то

я знак равно 1/ С .

Существуют также специальные схемы (например, в литературе по просвечивающей электронной микроскопии ) для индексации векторов гексагональной решетки (а не векторов или плоскостей обратной решетки) четырьмя индексами. Однако они не работают путем добавления избыточного индекса к обычному набору из трех индексов.

Например, вектор обратной решетки ( hkℓ ), как предложено выше, можно записать через векторы обратной решетки как $h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}$ . Для гексагональных кристаллов это можно выразить через базисные векторы прямой решетки a ₁ , a ₂ и a ₃ как

h\mathbf {b} _{1}+k\mathbf {b} _{2}+\ell \mathbf {b} _{3}={\frac {2}{3a^{2}}}(2h+k)\mathbf {a} _{1}+{\frac {2}{3a^{2}}}(h+2k)\mathbf {a} _{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\ell )\mathbf {a} _{3}.

Следовательно, индексы зон в направлении, перпендикулярном плоскости ( hkℓ ), в подходящей нормализованной тройной форме представляют собой просто $[2h+k,h+2k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ . Однако, когда четыре индекса ), используются для зоны, нормальной к плоскости ( hkℓ , в литературе часто используется $[h,k,-h-k,\ell (3/2)(a/c)^{2}]$ вместо. ^[4] Таким образом, как вы можете видеть, индексы зон с четырьмя индексами в квадратных или угловых скобках иногда смешивают один индекс прямой решетки справа с индексами обратной решетки (обычно в круглых или фигурных скобках) слева.

Причем заметим, что для шестиугольных межплоскостных расстояний они принимают вид

d_{hk\ell }={\frac {a}{\sqrt {{\tfrac {4}{3}}\left(h^{2}+k^{2}+hk\right)+{\tfrac {a^{2}}{c^{2}}}\ell ^{2}}}}

Кристаллографические плоскости и направления

Кристаллографические направления — это линии , соединяющие узлы ( атомы , ионы или молекулы ) кристалла. Точно так же кристаллографические плоскости — это плоскости, соединяющие узлы. Некоторые направления и плоскости имеют более высокую плотность узлов; эти плотные плоскости влияют на поведение кристалла:

оптические свойства : в конденсированном состоянии свет «перескакивает» от одного атома к другому за счет рэлеевского рассеяния ; таким образом, скорость света меняется в зависимости от направления, независимо от того, находятся ли атомы близко или далеко; это дает двойное лучепреломление
адсорбция и реакционная способность : адсорбция и химические реакции могут происходить на атомах или молекулах на поверхности кристаллов, поэтому эти явления чувствительны к плотности узлов;
поверхностное натяжение : конденсация материала означает, что атомы, ионы или молекулы более стабильны, если они окружены другими подобными частицами; Таким образом, поверхностное натяжение границы раздела варьируется в зависимости от плотности на поверхности.
- Поры и кристаллиты имеют тенденцию иметь прямые границы зерен, повторяющие плотные плоскости.
- расщепление
дислокации ( пластическая деформация )
- ядро дислокации стремится растекаться по плотным плоскостям (упругое возмущение «разбавлено»); это уменьшает трение ( сила Пайерлса-Набарро ), скольжение происходит чаще на плотных плоскостях;
- возмущение, переносимое дислокацией ( вектор Бюргерса ), происходит по плотному направлению: сдвиг одного узла в плотном направлении вызывает меньшее искажение;
- линия дислокации имеет тенденцию следовать плотному направлению, линия дислокации часто представляет собой прямую линию, петля дислокации часто представляет собой многоугольник .

По всем этим причинам важно определять плоскости и, следовательно, иметь систему обозначений.

Целочисленные и иррациональные индексы Миллера: плоскости решетки и квазикристаллы

Обычно индексы Миллера по определению всегда являются целыми числами, и это ограничение физически значимо. Чтобы понять это, предположим, что мы допускаем плоскость ( abc ), где «индексы» Миллера a , b и c (определенные, как указано выше) не обязательно являются целыми числами.

Если a , b и c имеют рациональные отношения, то одно и то же семейство плоскостей можно записать через целые индексы ( hkℓ ), соответствующим образом масштабируя a , b и c : разделив на наибольшее из трех чисел, а затем умножив на наименьший общий знаменатель . Таким образом, целочисленные индексы Миллера неявно включают индексы со всеми рациональными соотношениями. Причина, по которой плоскости, в которых компоненты (в базисе обратной решетки) имеют рациональные соотношения, представляют особый интерес, заключается в том, что это плоскости решетки : это единственные плоскости, пересечения которых с кристаллом являются 2d-периодическими.

С другой стороны , для плоскости (abc), где a , b и c имеют иррациональные отношения, пересечение плоскости с кристаллом не является периодическим. Он образует апериодическую структуру, известную как квазикристалл . Эта конструкция точно соответствует стандартному методу определения квазикристалла «вырезание и проецирование» с использованием плоскости с индексами Миллера иррационального отношения. (Хотя многие квазикристаллы, такие как мозаика Пенроуза , образуются «разрезами» периодических решеток в более чем трех измерениях, включая пересечение более чем одной такой гиперплоскости .)

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Эшкрофт, Нил В.; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030839939 . OCLC 934604 .
^ Вайс, Кристиан Сэмюэл (1817). «Об усовершенствованном методе обозначения различных поверхностей кристаллизационной системы с замечаниями о состоянии поляризации сторон в линиях кристаллической структуры» . Трактаты физического класса Королевской прусской академии наук : 286–336.
^ Оксфордский онлайн-словарь английского языка (проверено в мае 2007 г.)
^ Дж. В. Эдингтон (1976) Практическая электронная микроскопия в материаловедении (Gloeilampenfabrieken NV Philips, Эйндховен) ISBN 1-878907-35-2 , Приложение 2.

Внешние ссылки

Интернет-словарь кристаллографии IUCr
Описание индекса Миллера с диаграммами
Онлайн-руководство по плоскостям решетки и индексам Миллера .
MTEX – бесплатный набор инструментов MATLAB для анализа текстур
http://sourceforge.net/projects/orilib – Коллекция процедур для манипуляций с вращением/ориентацией, включая специальные инструменты для ориентации кристаллов.

[Ash-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Эшкрофт, Нил В.; Мермин, Н. Дэвид (1976). Физика твердого тела . Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон. ISBN 0030839939 . OCLC 934604 .

[2] Вайс, Кристиан Сэмюэл (1817). «Об усовершенствованном методе обозначения различных поверхностей кристаллизационной системы с замечаниями о состоянии поляризации сторон в линиях кристаллической структуры» . Трактаты физического класса Королевской прусской академии наук : 286–336.

[3] Оксфордский онлайн-словарь английского языка (проверено в мае 2007 г.)

[4] Дж. В. Эдингтон (1976) Практическая электронная микроскопия в материаловедении (Gloeilampenfabrieken NV Philips, Эйндховен) ISBN 1-878907-35-2 , Приложение 2.

[1]

[2]

[3]

[4]