Кривые Пеано
В геометрии является кривая Пеано первым примером кривой, заполняющей пространство , открытой Джузеппе Пеано в 1890 году. [1] Кривая Пеано — сюръективная , непрерывная функция от единичного интервала до единичного квадрата , однако она не инъективна . Пеано руководствовался более ранним результатом Георга Кантора о том, что эти два множества имеют одинаковую мощность . Из-за этого примера некоторые авторы используют фразу «кривая Пеано» для более общего обозначения любой кривой, заполняющей пространство. [2]
Строительство
[ редактировать ]последовательности шагов, где i -й шаг создает набор Si квадратов и последовательность Pi Кривая Пеано может быть построена с помощью центров квадратов из набора и последовательности, построенных на предыдущем шаге. В базовом случае S 0 состоит из единичного квадрата, а P 0 представляет собой одноэлементную последовательность, состоящую из его центральной точки.
На этапе i каждый квадрат s из S i − 1 разбивается на девять меньших равных квадратов, а его центральная точка c заменяется непрерывной подпоследовательностью центров этих девяти меньших квадратов.Эта подпоследовательность формируется путем группировки девяти меньших квадратов в три столбца, расположения центров в каждом столбце подряд, а затем расположения столбцов от одной стороны квадрата к другой таким образом, чтобы расстояние между каждой последовательной парой точек в подпоследовательности равна длине стороны маленьких квадратов. Возможны четыре таких порядка:
- Три центра слева снизу вверх, три средних центра сверху вниз и три центра справа снизу вверх.
- Три правых центра снизу вверх, три средних центра сверху вниз и три левых центра снизу вверх.
- Три центра слева сверху вниз, три средних центра снизу вверх и три центра справа сверху вниз.
- Три правых центра сверху вниз, три средних центра снизу вверх и три левых центра сверху вниз.
Среди этих четырех упорядочений один для s чтобы расстояние между первой точкой упорядочения и ее предшественником в Pi выбирается таким образом , также равнялось длине стороны маленьких квадратов. Если c выбирается первое из этих четырех упорядочений было первой точкой в его упорядочении, то для девяти центров, заменяющих c, . [3]
Сама кривая Пеано является пределом кривых через последовательность квадратных центров при стремлении i к бесконечности.
Варианты
[ редактировать ]
При определении кривой Пеано можно выполнить некоторые или все шаги, сделав центры каждого ряда из трех квадратов смежными, а не центры каждого столбца квадратов. Этот выбор приводит к множеству различных вариантов кривой Пеано. [3]
Вариант этой кривой с «множественным основанием» с разным количеством делений в разных направлениях можно использовать для заполнения прямоугольников произвольной формы. [4]
Кривая Гильберта — это более простой вариант той же идеи, основанный на разделении квадратов на четыре равных меньших квадрата вместо девяти равных меньших квадратов.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Пеано, Г. (1890), «О кривой, заполняющей всю площадь плоскости», Mathematische Annalen , 36 (1): 157–160, doi : 10.1007/BF01199438 .
- ^ Гугенхаймер, Генрих Вальтер (1963), Дифференциальная геометрия , Courier Dover Publications, стр. 3, ISBN 9780486157207 .
- ^ Перейти обратно: а б Бадер, Майкл (2013), «2.4 Кривая Пеано», Кривые заполнения пространства , Тексты по вычислительной науке и технике, том. 9, Спрингер, стр. 25–27, номер документа : 10.1007/978-3-642-31046-1_2 , ISBN. 9783642310461 .
- ^ Коул, AJ (сентябрь 1991 г.), «Распределение полутонов без размытия или улучшения краев», The Visual Computer , 7 (5): 235–238, doi : 10.1007/BF01905689