Теория Галуа

Слева диаграмма решетки поля, полученного из Q путем присоединения положительных квадратных корней из 2 и 3 вместе с его подполями; справа — соответствующая решётчатая диаграмма их групп Галуа.

В математике , теория Галуа первоначально представленная Эваристом Галуа , обеспечивает связь между теорией поля и теорией групп . Эта связь, основная теорема теории Галуа , позволяет свести некоторые проблемы теории поля к теории групп, что делает их более простыми и понятными.

ввел предмет изучения корней многочленов Галуа . Это позволило ему охарактеризовать полиномиальные уравнения , разрешимые радикалами, с точки зрения свойств группы перестановок их корней - уравнение разрешимо радикалами, если его корни могут быть выражены формулой, включающей только целые числа , n корни -й степени и четыре основных арифметических действия . Это широко обобщает теорему Абеля-Руффини , которая утверждает, что общий полином степени не ниже пяти не может быть решен радикалами.

Теория Галуа использовалась для решения классических проблем, в том числе для демонстрации того, что две проблемы древности не могут быть решены в том виде, в котором они были сформулированы ( удвоение куба и трисекция угла ), а также для определения характеристик правильных многоугольников , которые можно построить (эта характеристика была ранее дана Гауссом , но без доказательства того, что список конструктивных многоугольников был полным, все известные доказательства полноты этой характеристики требуют теории Галуа).

Работа Галуа была опубликована Жозефом Лиувиллем через четырнадцать лет после его смерти. Теории потребовалось больше времени, чтобы стать популярной среди математиков и быть хорошо понятой.

Теория Галуа была обобщена на связи Галуа и теорию Галуа Гротендика .

Приложение к классическим задачам

Зарождение и развитие теории Галуа было вызвано следующим вопросом, который был одним из главных открытых математических вопросов до начала XIX века:

Существует ли формула корней полиномиального уравнения пятой (или выше) степени через коэффициенты многочлена, используя только обычные алгебраические операции (сложение, вычитание, умножение, деление) и применение радикалов (квадратные корни, кубические корни и т. д.)?

Теорема Абеля – Руффини дает контрпример, доказывающий, что существуют полиномиальные уравнения, для которых такая формула не может существовать. Теория Галуа дает гораздо более полный ответ на этот вопрос, объясняя, почему можно решить некоторые уравнения, в том числе все уравнения четвертой степени или ниже, указанным выше способом и почему это невозможно для большинства уравнений пятой степени. или выше. Более того, он предоставляет средства определения возможности решения конкретного уравнения, которые концептуально ясны и легко выражаются в виде алгоритма .

Теория Галуа также дает четкое представление о вопросах, касающихся построения циркуля и линейки . Он дает элегантную характеристику отношений длин, которые можно построить с помощью этого метода. Используя это, становится относительно легко ответить на такие классические задачи геометрии, как

1. Какие правильные многоугольники можно построить ?
2. Почему невозможно разделить каждый угол на три части с помощью циркуля и линейки ?
3. Почему невозможно удвоить куб тем же методом?

История

Смотрите также: Абстрактная алгебра § Ранняя теория групп

Предыстория

Теория Галуа возникла при изучении симметричных функций - коэффициенты монического многочлена представляют собой ( с точностью до знака) элементарные симметричные многочлены в корнях. Например, ( x – a )( x – b ) = x ² – ( a + b ) x + ab , где 1, a + b и ab — элементарные многочлены степени 0, 1 и 2 от двух переменных.

Впервые это было формализовано французским математиком XVI века Франсуа Вьетом в формулах Вьета для случая положительных действительных корней. По мнению британского математика XVIII века Чарльза Хаттона , выражение коэффициентов многочлена через корни (не только для положительных корней) впервые понял французский математик 17 века Альбер Жирар ; Хаттон пишет:

...[Жирар был] первым человеком, который понял общую доктрину образования коэффициентов степеней из суммы корней и их произведений. Он был первым, кто открыл правила суммирования степеней корней любого уравнения.

В этом смысле дискриминант представляет собой симметричную функцию относительно корней, отражающую свойства корней: он равен нулю тогда и только тогда, когда многочлен имеет кратный корень, а для квадратичных и кубических многочленов он положителен тогда и только тогда, когда все корни действительный, различный и отрицательный тогда и только тогда, когда существует пара различных комплексно-сопряженных корней. см . в разделе «Дискриминант: природа корней» Подробности .

Кубика была впервые частично решена итальянским математиком 15–16 веков Сципионе дель Ферро , который, однако, не опубликовал свои результаты; однако этот метод позволил решить только один тип кубического уравнения. Это решение было затем открыто заново независимо в 1535 году Никколо Фонтана Тарталья , который поделился им с Джероламо Кардано , попросив его не публиковать его. Затем Кардано распространил это на множество других случаев, используя аналогичные аргументы; более подробную информацию см. в методе Кардано . После открытия работы дель Ферро он почувствовал, что метод Тартальи больше не является секретом, и поэтому опубликовал свое решение в своей книге Ars Magna 1545 года . Его ученик Лодовико Феррари решил полином четвертой степени; его решение также было включено в Ars Magna. Однако в этой книге Кардано не представил «общей формулы» решения кубического уравнения, поскольку в его распоряжении не было ни комплексных чисел , ни алгебраических обозначений, позволяющих описать общее кубическое уравнение. Благодаря современным обозначениям и комплексным числам формулы в этой книге действительно работают в общем случае, но Кардано этого не знал. Именно Рафаэлю Бомбелли удалось понять, как работать с комплексными числами, чтобы решать все формы кубических уравнений.

Следующим шагом стала статья 1770 года « Reflexions sur la resolution algébrique des équations» , написанная французско-итальянским математиком Жозефом Луи Лагранжем в его методе резольвент Лагранжа , где он проанализировал решения Кардано и Феррари кубиков и квартик, рассматривая их с точки перестановок зрения корни, которые дали вспомогательный полином меньшей степени, обеспечив единое понимание решений и заложив основу теории групп и теории Галуа. Однако важно отметить, что он не рассматривал состав перестановок. Метод Лагранжа не распространялся на уравнения пятой степени или выше, поскольку резольвента имела более высокую степень.

Отсутствие общих решений у квинтики было почти доказано Паоло Руффини в 1799 году, ключевой идеей которого было использование перестановок групп , а не только одной перестановки. Его решение содержало пробел, который Коши считал незначительным, хотя он не был исправлен до работы норвежского математика Нильса Хенрика Абеля , который опубликовал доказательство в 1824 году, установив тем самым теорему Абеля-Руффини .

Хотя Руффини и Абель установили, что общую квинтику решить невозможно, некоторые конкретные квинтики можно решить, например x ⁵ - 1 = 0 , а точный критерий, по которому данный полином пятой или более высокой степени может быть определен как разрешимый или нет, был дан Эваристом Галуа , который показал, что разрешимость полинома или нет эквивалентна тому, была ли группа перестановок ее корни – говоря современным языком, группа Галуа – имели определенную структуру – говоря современным языком, независимо от того, была ли она разрешимой группой или нет . Эта группа всегда была разрешима для многочленов четвертой или меньшей степени, но не всегда разрешима для многочленов пятой степени и выше, что объясняет, почему не существует общего решения в более высоких степенях.

сочинения Галуа

Портрет Эвариста Галуа, около 15 лет.

В 1830 г. Галуа (в возрасте 18 лет) представил в Парижскую академию наук мемуары о своей теории разрешимости в радикалах; Статья Галуа была в конечном итоге отклонена в 1831 году как слишком схематичная и за то, что в качестве условия использовались корни уравнения, а не его коэффициенты. Затем Галуа погиб на дуэли в 1832 году, и его статья « Мемуар об условиях растворимости радикальных уравнений » оставалась неопубликованной до 1846 года, когда она была опубликована Жозефом Лиувиллем, сопровождаемым некоторыми из его собственных объяснений. Перед этой публикацией Лиувилль объявил о результатах Галуа Академии в речи, которую он произнес 4 июля 1843 года. По словам Аллана Кларка, характеристика Галуа «резко превосходит работы Абеля и Руффини».

Последствия

Теория Галуа была, как известно, трудной для понимания его современниками, особенно до того уровня, на котором они могли ее расширить. Например, в своем комментарии 1846 года Лиувилль полностью упустил теоретико-групповую суть метода Галуа. Жозеф Альфред Серре , который присутствовал на некоторых беседах Лиувилля, включил теорию Галуа в свой учебник 1866 года (третье издание) Cours d'algèbre superieure . Ученик Серре, Камиль Жордан , имел еще лучшее понимание, отраженное в его книге 1870 года « Трактат о подстановках и алгебраических уравнениях» . За пределами Франции теория Галуа долгое время оставалась более неясной. В Британии Кэли не смог понять ее глубину, а популярные британские учебники по алгебре даже не упоминали теорию Галуа вплоть до начала века. В Германии работы Кронекера больше фокусировались на результате Абеля. Дедекинд мало писал о теории Галуа, но читал по ней лекции в Геттингене в 1858 году, проявив очень хорошее понимание. Книги Ойгена Нетто 1880-х годов, основанные на «Трактате» Джордана , сделали теорию Галуа доступной для более широкой немецкой и американской аудитории, как это сделал учебник алгебры Генриха Мартина Вебера 1895 года.

Подход группы перестановок

Для полинома некоторые корни могут быть связаны различными алгебраическими уравнениями . Например, может случиться так, что для двух корней, скажем, A и B , A ² + 5 Б ³ = 7 . Центральная идея теории Галуа состоит в том, чтобы рассмотреть такие перестановки (или перестановки) корней, что любое алгебраическое уравнение, которому удовлетворяют корни, все еще удовлетворяется после перестановки корней. Первоначально теория была разработана для алгебраических уравнений, коэффициентами которых являются рациональные числа . Оно естественным образом распространяется на уравнения с коэффициентами в любом поле , но в простых примерах ниже это рассматриваться не будет.

Эти перестановки вместе образуют группу перестановок , также называемую группой Галуа многочлена, которая подробно описана в следующих примерах.

Квадратное уравнение

Рассмотрим квадратное уравнение

$x^{2}-4x+1=0.$

Используя квадратичную формулу , мы находим, что два корня равны

${\begin{aligned}A&=2+{\sqrt {3}},\\B&=2-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

Примеры алгебраических уравнений, которым удовлетворяют A и B, включают:

$A+B=4,$

и

$AB=1.$

Если мы поменяем местами A и B в любом из последних двух уравнений, мы получим еще одно верное утверждение. Например, уравнение A + B = 4 становится B + A = 4 . В более общем смысле это верно для любого возможного алгебраического отношения между A и B, что все коэффициенты рациональны такого , ; то есть в любом таком отношении замена A и B дает другое истинное отношение. Это следует из теории симметричных полиномов , которая в этом случае может быть заменена манипуляциями с формулами, включающими биномиальную теорему .

Можно возразить, что A и B связаны алгебраическим уравнением A − B − 2 √ 3 = 0 , которое не остается верным, когда A и B меняются местами. Однако здесь это соотношение не рассматривается, поскольку оно имеет коэффициент −2 √ 3, который не является рациональным .

Заключаем, что группа Галуа многочлена x ² − 4 x + 1 состоит из двух перестановок: тождественной перестановки, которая оставляет A и B нетронутыми, и перестановки транспонирования , которая меняет местами A и B . Поскольку все группы с двумя элементами изоморфны , эта группа Галуа изоморфна мультипликативной группе {1, −1} .

Аналогичное обсуждение применимо к любому квадратичному многочлену ax. ² + bx + c , где a , b и c — рациональные числа.

• Если многочлен имеет рациональные корни, например x ² - 4 х + 4 = ( х - 2) ² или х ² − 3 x + 2 = ( x − 2)( x − 1) , то группа Галуа тривиальна; то есть он содержит только тождественную перестановку. В этом примере, если A = 2 и B = 1 , то A − B = 1 больше не соответствует действительности, когда A и B меняются местами.
• Если оно имеет два иррациональных корня, например x ² − 2 , то группа Галуа содержит две перестановки, как и в приведенном выше примере.

Уравнение четвертой степени

Рассмотрим полином

$x^{4}-10x^{2}+1.$

Заполняя квадрат необычным способом, его можно также записать как

$(x^{2}-1)^{2}-8x^{2}=(x^{2}-1-2x{\sqrt {2}})(x^{2}-1+2x{\sqrt {2}}).$

Применяя квадратичную формулу к каждому множителю, можно увидеть, что четыре корня равны

${\begin{aligned}A&={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\B&={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\\C&=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\\D&=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}.\end{aligned}}$

Среди 24 возможных перестановок этих четырех корней четыре особенно просты: они заключаются в смене знака 0, 1 или 2 квадратных корней. Они образуют группу, изоморфную четырехгруппе Клейна .

Теория Галуа подразумевает, что, поскольку многочлен неприводим, группа Галуа имеет как минимум четыре элемента. Чтобы доказать, что группа Галуа состоит из этих четырех перестановок, достаточно показать, что каждый элемент группы Галуа определяется образом A , что можно показать следующим образом.

Члены группы Галуа должны сохранять любое алгебраическое уравнение с рациональными коэффициентами, A , B , C и D. включающими

Среди этих уравнений мы имеем:

${\begin{aligned}AB&=-1\\AC&=1\\A+D&=0\end{aligned}}$

Отсюда следует, что если φ — перестановка, принадлежащая группе Галуа, мы должны иметь:

${\begin{aligned}\varphi (B)&={\frac {-1}{\varphi (A)}},\\\varphi (C)&={\frac {1}{\varphi (A)}},\\\varphi (D)&=-\varphi (A).\end{aligned}}$

Это означает, что перестановка четко определяется образом A и что группа Галуа имеет 4 элемента, а именно:

( A , B , C , D ) → ( A , B , C , D )       (идентичность)

( A , B , C , D ) → ( B , A , D , C )       (смена знака ${\sqrt {3}}$)

( A , B , C , D ) → ( C , D , A , B )       (смена знака ${\sqrt {2}}$)

( A , B , C , D ) → ( D , C , B , A )       (изменение знака обоих квадратных корней)

Отсюда следует, что группа Галуа изоморфна четырехгруппе Клейна .

Современный подход теории поля

В современном подходе мы начинаем с расширения поля L / K (читай « L над K ») и исследуем группу автоморфизмов L , фиксируют K. которые см. в статье о группах Галуа Дополнительные объяснения и примеры .

Связь между двумя подходами заключается в следующем. Коэффициенты рассматриваемого полинома следует выбирать из базового K. поля Верхним полем L полученное присоединением корней рассматриваемого многочлена к базовому полю K. должно быть поле , Любая перестановка корней, которая соответствует алгебраическим уравнениям, как описано выше, приводит к автоморфизму L / K и наоборот.

В первом примере выше мы изучали расширение Q ( √ 3 )/ Q , где Q — поле рациональных чисел , а Q ( √ 3 ) — поле, полученное из Q путем присоединения √ 3 . Во втором примере мы изучали расширение Q ( A , B , C , D )/ Q .

У современного подхода есть несколько преимуществ перед подходом группы перестановок.

• Это позволяет гораздо более просто сформулировать фундаментальную теорему теории Галуа .
• Использование базовых полей, отличных от Q, имеет решающее значение во многих областях математики. Например, в теории алгебраических чисел часто применяют теорию Галуа, используя числовые поля , конечные поля или локальные поля в качестве базового поля.
• Это позволяет легче изучать бесконечные расширения. Опять же, это важно в теории алгебраических чисел, где, например, часто обсуждается группа Галуа группы Q , определяемая как группа Галуа группы K / Q , где K — алгебраическое замыкание группы Q. абсолютная
• Это позволяет учитывать неотделимые расширения . Этот вопрос не возникает в классической системе, поскольку всегда неявно предполагалось, что арифметика имеет место в нулевой характеристике , но ненулевая характеристика часто возникает в теории чисел и в алгебраической геометрии .
• Это устраняет довольно искусственную зависимость от поиска корней многочленов. То есть разные полиномы могут давать одни и те же поля расширения, и современный подход признает связь между этими полиномами.

Разрешимые группы и решение радикалами

Понятие разрешимой группы в теории групп позволяет определить, разрешим ли полином в радикалах, в зависимости от того, обладает ли его группа Галуа свойством разрешимости. По сути, каждое расширение поля L / K соответствует фактор-группе в композиционном ряду группы Галуа. Если фактор-группа в композиционном ряду является циклической порядка n , и если в соответствующем расширении поля L / K поле K уже содержит примитивный корень n- й степени из единицы , то это радикальное расширение и элементы L могут тогда быть выражено с использованием корня n-й степени из некоторого элемента K .

Если все фактор-группы в ее составном ряду циклические, группа Галуа называется разрешимой , и все элементы соответствующего поля можно найти, многократно извлекая корни, произведения и суммы элементов из основного поля (обычно Q ). .

Одним из величайших триумфов теории Галуа было доказательство того, что для любого n > 4 существуют многочлены степени n , неразрешимые в радикалах (это было независимо, с использованием аналогичного метода, доказано Нильсом Хенриком Абелем несколькими годами ранее, и является теоремой Абеля-Руффини ), а также систематическим способом проверки того, разрешим ли конкретный полином в радикалах. Теорема Абеля-Руффини следует из того факта, что для n > 4 симметрическая группа Sn _именно содержит простую , нециклическую, нормальную подгруппу , а группу An _{знакопеременную} .

Неразрешимый пример квинтики

Для полинома f ( x ) = x ⁵ − x − 1 , единственный действительный корень x = 1,1673... является алгебраическим, но не выражается через радикалы. Остальные четыре корня являются комплексными числами .

Ван дер Варден приводит полином f ( x ) = x ⁵ - Икс - 1 .

По теореме о рациональном корне это не имеет рациональных нулей.

Он также не имеет линейных коэффициентов по модулю 2 или 3.

Группа Галуа f ( x ) по модулю 2 является циклической порядка 6, потому что f ( x ) по модулю 2 разлагается на полиномы порядков 2 и 3, ( x ² + х + 1)( х ³ + х ² + 1) .

f ( x ) по модулю 3 не имеет ни линейного, ни квадратичного множителя и, следовательно, неприводим. Таким образом, ее группа Галуа по модулю 3 содержит элемент порядка 5.

Известно что группа Галуа по простому модулю изоморфна подгруппе группы Галуа над рациональными числами. Группа перестановок на 5 объектах с элементами порядков 6 и 5 должна быть симметрической группой S5 _, которая, следовательно, является группой Галуа функции f ( x ) .

Это один из простейших примеров неразрешимого многочлена пятой степени. По словам Сержа Ланга , Эмилю Артину понравился этот пример.

Обратная задача Галуа

Основная статья: Обратная задача Галуа

Обратная задача Галуа состоит в нахождении расширения поля с заданной группой Галуа.

Пока не указано также основное поле , проблема не очень сложна, и все конечные группы действительно встречаются как группы Галуа.Чтобы показать это, можно поступить следующим образом. Выберите поле K конечную группу G. и Теорема Кэли утверждает, что G является (с точностью до изоморфизма) подгруппой симметрической группы S на элементах G . Выберите неопределённые { xα _чтобы } , по одному для каждого элемента α из G , и присоедините их к K, получить поле F = K ({ xα _} ) . Внутри F содержится поле L симметричных рациональных функций в { x _α } . Группа Галуа F / L равна S , согласно основному результату Эмиля Артина. G действует на F ограничением действия S . Если фиксированным полем этого действия является M , то по фундаментальной теореме теории Галуа Галуа F / M есть G. группа

С другой стороны, остается открытым вопрос, является ли каждая конечная группа группой Галуа расширения поля Q рациональных чисел. Игорь Шафаревич доказал, что каждая разрешимая конечная группа является группой Галуа некоторого расширения Q . Различные люди решили обратную задачу Галуа для выбранных неабелевых простых групп . Существование решений было показано для всех, кроме, возможно, одной ( группы Матье M ₂₃ ) из 26 спорадических простых групп. Существует даже многочлен с целыми коэффициентами, группа Галуа которого является группой Монстра .

Неотделимые расширения

В упомянутой выше форме, включая, в частности, фундаментальную теорему теории Галуа , теория рассматривает только расширения Галуа, которые, в частности, являются сепарабельными. Общие расширения полей можно разделить на отделимые, за которыми следует чисто неотделимые расширения полей . Для чисто неразделимого расширения F / K в которой группа Галуа заменяется векторным пространством дифференцирований существует теория Галуа , , $Der_{K}(F,F)$, т. е. K - линейные эндоморфизмы F, удовлетворяющие правилу Лейбница. промежуточное поле E В этой переписке назначается $Der_{E}(F,F)\subset Der_{K}(F,F)$. И наоборот, подпространство $V\subset Der_{K}(F,F)$ удовлетворение соответствующих дополнительных условий отображается в $\{x\in F,f(x)=0\ \forall f\in V\}$. По предположению $F^{p}\subset K$Якобсон (1944) показал, что это устанавливает взаимно однозначное соответствие. Условие, наложенное Джейкобсоном, было удалено Брантнером и Уолдроном (2020) , установив соответствие с использованием понятий производной алгебраической геометрии .

См. также

• Группа Галуа для получения дополнительных примеров
• Основная теорема теории Галуа
• Дифференциальная теория Галуа для теории Галуа дифференциальных уравнений
• Теория Галуа Гротендика как широкое обобщение теории Галуа.
• Топологическая теория Галуа
• Теория Артина – Шрайера , подраздел теории Галуа.

Ссылки

• Артин, Эмиль (1998) [1944]. Теория Галуа . Дувр. ISBN  0-486-62342-4 .
• Беверсдорф, Йорг (2006). Теория Галуа для начинающих: историческая перспектива . Студенческая математическая библиотека. Том. 35. Американское математическое общество. дои : 10.1090/stml/035 . ISBN  0-8218-3817-2 . S2CID   118256821 .
• Брантнер, Лукас; Уолдрон, Джо (2020), Чисто неотделимая теория Галуа I: Фундаментальная теорема , arXiv : 2010.15707
• Кардано, Джероламо (1545 г.). Artis Magnæ (PDF) (на латыни). Архивировано из оригинала (PDF) 26 июня 2008 г. Проверено 10 января 2015 г.
• Эдвардс, Гарольд М. (1984). Теория Галуа . Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90980-Х . (Оригинальная статья Галуа с обширной историей и комментариями.)
• Фанкхаузер, Х. Грей (1930). «Краткий обзор истории симметричных функций корней уравнений». Американский математический ежемесячник . 37 (7): 357–365. дои : 10.2307/2299273 . JSTOR   2299273 .
• «Теория Галуа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джейкобсон, Натан (1944), «Теория Галуа чисто неразделимых полей первой степени», Amer. Дж. Математика. , 66 (4): 645–648, номер документа : 10.2307/2371772 , JSTOR   2371772.
• Джейкобсон, Натан (1985). Основная алгебра I (2-е изд.). У. Х. Фриман. ISBN  0-7167-1480-9 . (Глава 4 представляет собой введение в теоретико-полевой подход к теории Галуа.)
• Джанелидзе, Г.; Борсо, Фрэнсис (2001). Теории Галуа . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-80309-0 . (Эта книга знакомит читателя с теорией Галуа Гротендика и некоторыми ее обобщениями, ведущими к группоидам Галуа .)
• Ланг, Серж (1994). Алгебраическая теория чисел . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-0-387-94225-4 .
• Постников, М.М. (2004). Основы теории Галуа . Дуврские публикации. ISBN  0-486-43518-0 .
• Ротман, Джозеф (1998). Теория Галуа (2-е изд.). Спрингер. ISBN  0-387-98541-7 .
• Фёлкляйн, Хельмут (1996). Группы как группы Галуа: введение . Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-56280-5 .
• ван дер Варден, Бартель Леендерт (1931). Современная алгебра (на немецком языке). Берлин: Шпрингер. . Английский перевод (2-го исправленного издания): Современная алгебра . Нью-Йорк: Фредерик Унгар. 1949. (Позже переиздано на английском языке издательством Springer под названием «Алгебра».)

Внешние ссылки

• Словарное определение теории Галуа в Викисловаре
• СМИ, связанные с теорией Галуа, на Викискладе?