J-Integral

J -Integral представляет собой способ рассчитать скорость высвобождения энергии деформации или работы ( энергия ) на единицу площади поверхности перелома в материале. Теоретическая концепция J-Integral была разработана в 1967 году GP Cherepanov и независимо в 1968 году Джеймсом Р. Райсом , который показал, что энергетический интеграл контурного пути (называемый J ) не зависел от пути вокруг трещины .

Экспериментальные методы были разработаны с использованием интеграла, который позволил измерять критические свойства перелома в размерах выборки, которые слишком малы для в линейной эластичной перелом (LEFM). действий Эти эксперименты позволяют определить вязкость перелома из критического значения энергии перелома j _IC , что определяет точку, в которой крупномасштабные пластиковые урожайности во время распространения происходит при загрузке режима I.

J-Integral равен скорости высвобождения энергии деформации для трещины в организме, подверженной монотонной нагрузке. Как правило, это верно, в квазистатических условиях, только для линейных упругих материалов. Для материалов, которые испытывают мелкие урожайности на кончике трещины, J может использоваться для вычисления скорости высвобождения энергии при особых обстоятельствах, таких как монотонная нагрузка в режиме III ( антиплановый сдвиг ). Скорость высвобождения энергии деформации также может быть рассчитана из j для чистых пластиковых материалов, которые подвергаются мелкомасштабным урожаям на кончике трещины.

Количество J не зависит от пути для монотонного режима I и Mode II , нагрузки на упругих пластиковых материалов, поэтому только контур, очень близкий к наконечникам трещины, дает скорость высвобождения энергии. Кроме того, Райс показал, что J не зависит от пути в пластиковых материалах, когда нет непропорциональной нагрузки. Разгрузка-это особый случай этого, но непропорциональная пластиковая нагрузка также признает недопустимость независимости от пути. Такая непропорциональная нагрузка является причиной зависимости от пути для режимов нагрузки в плоскости на эластичных пластиковых материалах.

Двумерный J-Integral

Рисунок 1. Линия J-Integral вокруг выемки в двух измерениях.

Двумерный J-интеграл был первоначально определен как (См. Рисунок 1 для иллюстрации)

$J:=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-\mathbf {t} \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-t_{i}\,{\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)$

где w ( x ₁ , x ₂ ) является плотностью энергии деформации, x ₁ , x ₂ являются направлениями координат, t = [ σ ] n - вектор поверхностного тяги , n является нормальным для кривой γ, [ σ ] является Тензор стресса Cauchy , а U - вектор перемещения . Плотность энергии деформации определяется

$W=\int _{0}^{[\varepsilon ]}[{\boldsymbol {\sigma }}]:d[{\boldsymbol {\varepsilon }}]~;~~[{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]~.$

J-Integral вокруг наконечника трещины часто выражается в более общей форме (и в индексной нотации ) как

$J_{i}:=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Gamma _{\varepsilon }}\left(W(\Gamma )n_{i}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}(\Gamma ,x_{i})}{\partial x_{i}}}\right)\,d\Gamma$

где $J_{i}$ является компонентом J-Integral для открытия трещин в $x_{i}$ направление и $\varepsilon$ небольшая область вокруг кончика трещины. Используя теорему Грина, мы можем показать, что этот интеграл нуль, когда граница $\Gamma$ закрыт и охватывает область, которая не содержит особости и просто связана . Если на грани трещины нет никаких поверхностных тяжок на них, то J-интеграл также не зависит от пути .

Райс также показал, что значение J-Integral представляет собой скорость высвобождения энергии для плоского роста трещин. J-Integral был разработан из-за трудностей, связанных с вычислением напряжения вблизи трещины в нелинейном эластичном или эластичном пластиковом материале. Райс показал, что если предположить монотонную нагрузку (без какой-либо пластиковой разгрузки), то J-Integral может быть использован для вычисления скорости высвобождения энергии пластиковых материалов.

showДоказательство того, что J-Integral равна нулю по закрытому пути

To show the path independence of the J-integral, we first have to show that the value of $J$ is zero over a closed contour in a simply connected domain. Let us just consider the expression for $J_{1}$ which is $J_{1}:=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma$ We can write this as $J_{1}=\int _{\Gamma }\left(W\delta _{1j}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)n_{j}\,d\Gamma$ From Green's theorem (or the two-dimensional divergence theorem) we have $\int _{\Gamma }f_{j}~n_{j}~d\Gamma =\int _{A}{\cfrac {\partial f_{j}}{\partial x_{j}}}~dA$ Using this result we can express $J_{1}$ as ${\begin{aligned}J_{1}&=\int _{A}{\cfrac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(W\delta _{1j}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)dA\\&=\int _{A}\left[{\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}-{\cfrac {\partial \sigma _{jk}}{\partial x_{j}}}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{1}\partial x_{j}}}\right]~dA\end{aligned}}$ where $A$ is the area enclosed by the contour $\Gamma$. Now, if there are no body forces present, equilibrium (conservation of linear momentum) requires that ${\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}=\mathbf {0} \qquad \implies \qquad {\cfrac {\partial \sigma _{jk}}{\partial x_{j}}}=0~.$ Also, $[{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]\qquad \implies \qquad \varepsilon _{jk}={\tfrac {1}{2}}\left({\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{j}}}+{\cfrac {\partial u_{j}}{\partial x_{k}}}\right)~.$ Therefore, $\sigma _{jk}{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\tfrac {1}{2}}\left(\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{k}}{\partial x_{1}\partial x_{j}}}+\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{1}\partial x_{k}}}\right)$ From the balance of angular momentum we have $\sigma _{jk}=\sigma _{kj}$. Hence, $\sigma _{jk}{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}=\sigma _{jk}{\cfrac {\partial ^{2}u_{j}}{\partial x_{1}\partial x_{k}}}$ The J-integral may then be written as $J_{1}=\int _{A}\left[{\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}-\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}\right]~dA$ Now, for an elastic material the stress can be derived from the stored energy function $W$ using $\sigma _{jk}={\cfrac {\partial W}{\partial \varepsilon _{jk}}}$ Then, if the elastic modulus tensor is homogeneous, using the chain rule of differentiation, $\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\cfrac {\partial W}{\partial \varepsilon _{jk}}}~{\cfrac {\partial \varepsilon _{jk}}{\partial x_{1}}}={\cfrac {\partial W}{\partial x_{1}}}$ Therefore, we have $J_{1}=0$ for a closed contour enclosing a simply connected region without any elastic inhomogeneity, such as voids and cracks.

showДоказательство того, что J-интеграл не зависит от пути

Figure 2. Integration paths around a notch in two dimensions. Consider the contour $\Gamma =\Gamma _{1}+\Gamma ^{+}+\Gamma _{2}+\Gamma ^{-}$. Since this contour is closed and encloses a simply connected region, the J-integral around the contour is zero, i.e. $J=J_{(1)}+J^{+}-J_{(2)}-J^{-}=0$ assuming that counterclockwise integrals around the crack tip have positive sign. Now, since the crack surfaces are parallel to the $x_{1}$ axis, the normal component $n_{1}=0$ on these surfaces. Also, since the crack surfaces are traction free, $t_{k}=0$. Therefore, $J^{+}=J^{-}=\int _{\Gamma }\left(Wn_{1}-t_{k}~{\cfrac {\partial u_{k}}{\partial x_{1}}}\right)\,d\Gamma =0$ Therefore, $J_{(1)}=J_{(2)}$ and the J-integral is path independent.

J-интегральный и перелом

Для изотропных, совершенно хрупких, линейных упругих материалов J-интеграл может быть напрямую связан с вязкостью перелома , если трещина простирается прямо в будущем в отношении его первоначальной ориентации.

Для плоского деформации, в условиях загрузки в режиме I , это отношение

$J_{\rm {Ic}}=G_{\rm {Ic}}=K_{\rm {Ic}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)$

где $G_{\rm {Ic}}$ является критической скоростью высвобождения энергии напряжения, $K_{\rm {Ic}}$ Является ли резкость перелома в загрузке режима, я загружаю, $\nu$ это соотношение Пуассона, а E - модуль молодых материалов.

Для загрузки в режиме II связь между жесткостью J-Integral и режима II ( $K_{\rm {IIc}}$) является

$J_{\rm {IIc}}=G_{\rm {IIc}}=K_{\rm {IIc}}^{2}\left[{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right]$

Для загрузки режима III отношение

$J_{\rm {IIIc}}=G_{\rm {IIIc}}=K_{\rm {IIIc}}^{2}\left({\frac {1+\nu }{E}}\right)$

Эластичные пластиковые материалы и раствор HRR

Пути для расчета J-Integral вокруг трещины в двухмерном эластичном пластическом материале.

Хатчинсон, рис и Розенгрен Впоследствии показал, что J характеризует сингулярные поля напряжений и деформации на кончике трещины в нелинейных (упрочнение мощности) эластичные пластиковые материалы, где размер пластической зоны невелик по сравнению с длиной трещины. Хатчинсон использовал материальный конститутивный закон формы, предложенной В. Рэмбергом и В. Осгудом :

${\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{y}}}={\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}+\alpha \left({\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}\right)^{n}$

Если σ - это напряжение в одноосном растяжении, σ _y - это выходное напряжение , ε - это деформация , а ε _y = σ _y / e - соответствующая деформация. Количество E является модулем упругого Янга материала. Модель параметризована с помощью α , безразмерной постоянной характеристики материала и n , коэффициента укрепления работы . нет Эта модель применима только к ситуациям, когда напряжение увеличивается монотонно, компоненты напряжений остаются приблизительно в тех же отношениях, что и прогрессирование нагрузки (пропорциональная нагрузка), и разгрузки .

Если растягивающее напряжение в дальнем поле σ _FAR применяется к телу, показанному на соседней рисунке, J-интеграл вокруг пути γ ₁ (выбирается полностью внутри упругой зоны) определяется

$J_{\Gamma _{1}}=\pi \,(\sigma _{\text{far}})^{2}\,.$

Поскольку общий интеграл вокруг трещины исчезает и вклад вдоль поверхности трещины равен нулю, у нас есть

$J_{\Gamma _{1}}=-J_{\Gamma _{2}}\,.$

Если путь γ ₂ выбрана таким образом, что он находится внутри полностью пластического домена, Хатчинсон показал, что

$J_{\Gamma _{2}}=-\alpha \,K^{n+1}\,r^{(n+1)(s-2)+1}\,I$

Если k является амплитудой напряжений, ( r , θ ) представляет собой систему полярного координат с происхождением на кончике трещины, S постоянно определяется из асимптотического расширения поля напряжения вокруг трещины, а I - бессмертный интеграл. Соотношение между J-интегралами вокруг γ ₁ и γ ₂ приводит к ограничению

$s={\frac {2n+1}{n+1}}$

и выражение для K с точки зрения напряжения дальнего поля

$K=\left({\frac {\beta \,\pi }{\alpha \,I}}\right)^{\frac {1}{n+1}}\,(\sigma _{\text{far}})^{\frac {2}{n+1}}$

где β = 1 для плоского стресса и β = 1 - ν ² Для плоского деформации ( ν является соотношением Пуассона ).

Асимптотическое расширение поля стресса и приведенные выше идеи могут быть использованы для определения полей напряжения и деформации с точки зрения J-Integral:

$\sigma _{ij}=\sigma _{y}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{1} \over {n+1}}{\tilde {\sigma }}_{ij}(n,\theta )$

$\varepsilon _{ij}={\frac {\alpha \varepsilon _{y}}{E}}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{n} \over {n+1}}{\tilde {\varepsilon }}_{ij}(n,\theta )$

где ${\tilde {\sigma }}_{ij}$ и ${\tilde {\varepsilon }}_{ij}$ безразмерные функции.

Эти выражения указывают на то, что J можно интерпретировать как пластиковый аналог коэффициента интенсивности напряжения ( k ), который используется в механике линейного упругого разрушения, то есть мы можем использовать критерий, такой как в качестве критерия _{J> ic} роста трещины.

Смотрите также

• Требование переломов
• Стойкость
• Механика перелома
• Коэффициент интенсивности стресса
• Характер локального поля Slip Band

Внешние ссылки

• JR Rice, « Независимый интеграл пути и приблизительный анализ концентрации деформации на выемках и трещинах », Journal of Applied Mechanics, 35, 1968, с. 379–386.
• Ван Влиет, Кристин Дж. (2006); «3.032 Механическое поведение материалов», [2]
• X. Chen (2014), «Независимый от пути интеграл», в: Энциклопедия тепловых напряжений, под редакцией RB Hetnarski, Springer, ISBN   978-9400727380 .
• Заметки о нелинейной механике переломов профессора Джона Хатчинсона (из Гарвардского университета)
• Заметки о переломе тонких пленок и многослойных профессоров Джона Хатчинсона (из Гарвардского университета)
• Смешанный режим трещины в слоистых материалах проф. Джон Хатчинсон и Чиганг Суо (из Гарвардского университета)
• Механика перелома Пит Шреурс (из Ту Эйндховен, Нидерланды)
• Введение в механику перелома доктора Ч. Ч. Ванга (DSTO - Австралия)
• Примечания курса механики перелома , профессор Руи Хуан (из Univ. Of Texas в Остине)
• Решения HRR от Людовича Ноэльса (Университет Льеж)