Prym variety

В математике конструкция многообразия Прима (названная в честь Фридриха Прима ) — метод в алгебраической геометрии создания абелева многообразия из морфизма алгебраических кривых . В своей первоначальной форме она была применена к неразветвленному двойному накрытию римановой поверхности и использовалась Ф. Шоттки и Х. В. Юнгом в связи с проблемой Шоттки , как ее теперь называют, о характеризации якобиевых многообразий среди абелевых многообразий. Говорят, что оно впервые появилось в поздних работах Римана и было тщательно изучено Виртингером в 1895 году, включая вырожденные случаи.

Учитывая непостоянный морфизм

φ: С ₁ → С ₂

алгебраических кривых, через J _i обозначает якобиан многообразия C _i . Тогда по φ построим соответствующий морфизм

ψ: J ₁ → J ₂ ,

который можно определить на классе дивизоров D нулевой степени, применяя φ к каждой точке дивизора. Это четко определенный морфизм, часто называемый нормальным гомоморфизмом . Тогда многообразие Прима φ является ядром ψ. Чтобы несколько уточнить это, чтобы получить абелево многообразие , связную компоненту тождества приведенной схемы, лежащей в основе ядра можно использовать . Или, другими словами, возьмем наибольшее абелево подмногообразие J1 _, на котором ψ тривиально.

Теория многообразий Прима долгое время бездействовала, пока не была возрождена Дэвидом Мамфордом примерно в 1970 году. Сейчас она играет существенную роль в некоторых современных теориях, например, в уравнении Кадомцева – Петвиашвили . Одним из преимуществ метода является то, что он позволяет применять теорию кривых к изучению более широкого класса абелевых многообразий, чем якобианы. Например, принципиально поляризованные абелевы многообразия (ppav) размерности > 3 обычно не являются якобианами, но все ppav размерности 5 или меньше являются многообразиями Прима. Именно по этой причине ppav достаточно хорошо изучены вплоть до измерения 5.

Ссылки

Биркенхаке, Кристина; Ланге, Герберт (2004). «Примские сорта». Сложные абелевы многообразия . Нью-Йорк: Springer-Verlag. стр. 363–410. ISBN 3-540-20488-1 .
Мамфорд, Дэвид (1974), «Сорта Прима. I», в Альфорсе, Ларс В.; Кра, Ирвин; Ниренберг, Луи; и др. (ред.), Вклад в анализ (сборник статей, посвященный Липману Берсу) , Бостон, Массачусетс: Academic Press , стр. 325–350, ISBN 978-0-12-044850-0 , МР 0379510