Методы Рунге-Кутты

Сравнение методов Рунге-Кутты для дифференциального уравнения $y'=\sin(t)^{2}\cdot y$ (красный — точное решение)

В численном анализе используются методы Рунге –Кутты ( Английский: / ˈ r ʊ ŋ ə ˈ k ʊ t ɑː / РУНГ -ə- СУД -тах ) — семейство неявных и явных итерационных методов, к которым относится метод Эйлера , используемый при временной дискретизации для приближенных решений одновременных нелинейных уравнений . Эти методы были разработаны около 1900 года немецкими математиками Карлом Рунге и Вильгельмом Куттой .

Метод Рунге-Кутты.

Склоны, используемые по классическому методу Рунге-Кутты.

Наиболее широко известный член семейства Рунге-Кутты обычно называют «RK4», «классическим методом Рунге-Кутты» или просто «методом Рунге-Кутты».

Пусть задача начального значения задана следующим образом:

${\frac {dy}{dt}}=f(t,y),\quad y(t_{0})=y_{0}.$

Здесь $y$ — неизвестная функция (скалярная или векторная) времени $t$, который мы хотели бы аппроксимировать; нам говорят, что ${\frac {dy}{dt}}$, скорость, с которой $y$ изменения, является функцией $t$ и из $y$ сам. В начальный момент $t_{0}$ соответствующий $y$ значение $y_{0}$. Функция $f$ и начальные условия $t_{0}$, $y_{0}$ даны.

Теперь мы выбираем размер шага h > 0 и определяем:

${\begin{aligned}y_{n+1}&=y_{n}+{\frac {h}{6}}\left(k_{1}+2k_{2}+2k_{3}+k_{4}\right),\\t_{n+1}&=t_{n}+h\\\end{aligned}}$

для n = 0, 1, 2, 3,..., используя

${\begin{aligned}k_{1}&=\ f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+h{\frac {k_{1}}{2}}\right),\\k_{3}&=\ f\!\left(t_{n}+{\frac {h}{2}},y_{n}+h{\frac {k_{2}}{2}}\right),\\k_{4}&=\ f\!\left(t_{n}+h,y_{n}+hk_{3}\right).\end{aligned}}$

( Примечание: приведенные выше уравнения имеют разные, но эквивалентные определения в разных текстах. )

Здесь $y_{n+1}$ является приближением RK4 $y(t_{n+1})$, и следующее значение ( $y_{n+1}$) определяется текущей стоимостью ( $y_{n}$) плюс средневзвешенное значение четырех приращений, где каждое приращение является произведением размера интервала h и предполагаемого наклона, заданного функцией f в правой части дифференциального уравнения.

• $k_{1}$ - наклон в начале интервала, используя $y$ ( метод Эйлера );
• $k_{2}$ - наклон в середине интервала, используя $y$ и $k_{1}$;
• $k_{3}$ снова наклон в средней точке, но теперь используя $y$ и $k_{2}$;
• $k_{4}$ - наклон в конце интервала, используя $y$ и $k_{3}$.

При усреднении четырех склонов больший вес придается склонам в средней точке. Если $f$ не зависит от $y$, так что дифференциальное уравнение эквивалентно простому интегралу, то RK4 — правило Симпсона .

Метод RK4 является методом четвертого порядка, что означает, что локальная ошибка усечения имеет порядок $O(h^{5})$, а общая накопленная ошибка порядка $O(h^{4})$.

Во многих практических приложениях функция $f$ не зависит от $t$ (так называемая автономная система , или стационарная система, особенно в физике), а их приращения вообще не вычисляются и не передаются в функцию $f$, имея только окончательную формулу для $t_{n+1}$ использовал.

Явные методы Рунге – Кутты.

Семейство явных методов Рунге–Кутты является обобщением упомянутого выше метода RK4. Это дано

$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},$

где

${\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+c_{2}h,y_{n}+(a_{21}k_{1})h),\\k_{3}&=f(t_{n}+c_{3}h,y_{n}+(a_{31}k_{1}+a_{32}k_{2})h),\\&\ \ \vdots \\k_{s}&=f(t_{n}+c_{s}h,y_{n}+(a_{s1}k_{1}+a_{s2}k_{2}+\cdots +a_{s,s-1}k_{s-1})h).\end{aligned}}$

( Примечание: в некоторых текстах приведенные выше уравнения могут иметь разные, но эквивалентные определения. )

Чтобы указать конкретный метод, необходимо указать целое число s (количество стадий) и коэффициенты a _ij (для 1 ≤ j < i ≤ s ), b _i (для i = 1, 2, ..., s ) и c _i (для i = 2, 3,..., s ). Матрица [ aij _] называется матрицей Рунге-Кутты , а b _i и c _i известны как веса и узлы . Эти данные обычно оформляются в мнемоническом устройстве, известном как таблица Мясника (в честь Джона К. Батчера ):

$0$
$c_{2}$	$a_{21}$
$c_{3}$	$a_{31}$	$a_{32}$
$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
$c_{s}$	$a_{s1}$	$a_{s2}$	$\cdots$	$a_{s,s-1}$
	$b_{1}$	$b_{2}$	$\cdots$	$b_{s-1}$	$b_{s}$

показывает Разложение в ряд Тейлора , что метод Рунге – Кутты непротиворечив тогда и только тогда, когда

$\sum _{i=1}^{s}b_{i}=1.$

Существуют также сопутствующие требования, если требуется, чтобы метод имел определенный порядок p , что означает, что локальная ошибка усечения равна O( h ^{п +1} ). Их можно получить из определения самой ошибки усечения. Например, двухэтапный метод имеет порядок 2, если b ₁ + b ₂ = 1, b ₂ c ₂ = 1/2 и b ₂ a ₂₁ = 1/2. Обратите внимание, что популярным условием определения коэффициентов является

$\sum _{j=1}^{i-1}a_{ij}=c_{i}{\text{ for }}i=2,\ldots ,s.$

Однако само по себе это условие не является ни достаточным, ни необходимым для обеспечения последовательности.

В общем, если явный $s$-этапный метод Рунге-Кутты имеет порядок $p$, то можно доказать, что число этапов должно удовлетворять $s\geq p$, и если $p\geq 5$, затем $s\geq p+1$. Однако неизвестно, во всех ли случаях точны эти границы . В некоторых случаях доказано, что граница не может быть достигнута. Например, Батчер доказал, что для $p>6$, не существует явного метода с $s=p+1$ этапы. Мясник также доказал, что для $p>7$, не существует явного метода Рунге-Кутты с $p+2$ этапы. В целом, однако, остается открытым вопрос, какое точное минимальное количество ступеней $s$ заключается в том, чтобы явный метод Рунге – Кутты имел порядок. $p$. Некоторые известные значения:

${\begin{array}{c|cccccccc}p&1&2&3&4&5&6&7&8\\\hline \min s&1&2&3&4&6&7&9&11\end{array}}$

Доказуемая оценка, приведенная выше, означает, что мы не можем найти методы приказов. $p=1,2,\ldots ,6$ которые требуют меньше этапов, чем методы, которые мы уже знаем для этих заказов. Работа Батчера также доказывает, что методы 7-го и 8-го порядка имеют минимум 9 и 11 стадий соответственно. Пример явного метода 6-го порядка с 7 этапами можно найти здесь. Явные методы 7-го порядка с 9 этапами и явные методы 8-го порядка с 11 этапами также известны. См. ссылки. для резюме.

Примеры

Метод RK4 подпадает под эту структуру. Его таблица

0
1/2	1/2
1/2	0	1/2
1	0	0	1
	1/6	1/3	1/3	1/6

Небольшая вариация метода Рунге-Кутты также принадлежит Кутте в 1901 году и называется правилом 3/8. Основное преимущество этого метода заключается в том, что почти все коэффициенты ошибок меньше, чем в популярном методе, но он требует немного больше FLOP (операций с плавающей запятой) на один временной шаг. Его таблица Мясника

0
1/3	1/3
2/3	-1/3	1
1	1	−1	1
	1/8	3/8	3/8	1/8

Однако простейшим методом Рунге–Кутты является (прямой) метод Эйлера , определяемый формулой $y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n},y_{n})$. Это единственный непротиворечивый явный одноэтапный метод Рунге–Кутты. Соответствующая таблица

0
	1

Методы второго порядка с двумя стадиями

Примером метода второго порядка с двумя этапами является явный метод средней точки :

$y_{n+1}=y_{n}+hf\left(t_{n}+{\frac {1}{2}}h,y_{n}+{\frac {1}{2}}hf(t_{n},\ y_{n})\right).$

Соответствующая таблица

0
1/2	1/2
	0	1

Метод средней точки — не единственный двухэтапный метод Рунге–Кутты второго порядка; существует семейство таких методов, параметризованных α и заданных формулой

$y_{n+1}=y_{n}+h{\bigl (}(1-{\tfrac {1}{2\alpha }})f(t_{n},y_{n})+{\tfrac {1}{2\alpha }}f(t_{n}+\alpha h,y_{n}+\alpha hf(t_{n},y_{n})){\bigr )}.$

Его таблица Мясника

0
$\alpha$	$\alpha$
	$(1-{\tfrac {1}{2\alpha }})$	${\tfrac {1}{2\alpha }}$

В этой семье, $\alpha ={\tfrac {1}{2}}$ дает метод средней точки, $\alpha =1$ это метод Хойна , и $\alpha ={\tfrac {2}{3}}$ это метод Ралстона.

Использовать

В качестве примера рассмотрим двухэтапный метод Рунге–Кутты второго порядка с α = 2/3, также известный как метод Ралстона . Это дано таблицей

	0
	2/3	2/3
		1/4	3/4

с соответствующими уравнениями

${\begin{aligned}k_{1}&=f(t_{n},\ y_{n}),\\k_{2}&=f(t_{n}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{n}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1}),\\y_{n+1}&=y_{n}+h\left({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2}\right).\end{aligned}}$

Этот метод используется для решения начальной задачи

${\frac {dy}{dt}}=\tan(y)+1,\quad y_{0}=1,\ t\in [1,1.1]$

с размером шага h = 0,025, поэтому метод должен выполнить четыре шага.

Метод протекает следующим образом:

$t_{0}=1\colon$
	$y_{0}=1$
$t_{1}=1.025\colon$
	$y_{0}=1$	$k_{1}=2.557407725$	$k_{2}=f(t_{0}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{0}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})=2.7138981400$
	$y_{1}=y_{0}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.066869388}}$
$t_{2}=1.05\colon$
	$y_{1}=1.066869388$	$k_{1}=2.813524695$	$k_{2}=f(t_{1}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{1}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})$
	$y_{2}=y_{1}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.141332181}}$
$t_{3}=1.075\colon$
	$y_{2}=1.141332181$	$k_{1}=3.183536647$	$k_{2}=f(t_{2}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{2}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})$
	$y_{3}=y_{2}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.227417567}}$
$t_{4}=1.1\colon$
	$y_{3}=1.227417567$	$k_{1}=3.796866512$	$k_{2}=f(t_{3}+{\tfrac {2}{3}}h,\ y_{3}+{\tfrac {2}{3}}hk_{1})$
	$y_{4}=y_{3}+h({\tfrac {1}{4}}k_{1}+{\tfrac {3}{4}}k_{2})={\underline {1.335079087}}.$

Численные решения соответствуют подчеркнутым значениям.

Адаптивные методы Рунге-Кутты

Адаптивные методы предназначены для оценки локальной ошибки усечения одного шага Рунге – Кутты. Это делается с помощью двух методов, один с порядком $p$ и один с заказом $p-1$. Эти методы переплетены, т. е. имеют общие промежуточные этапы. Благодаря этому оценка ошибки требует небольших или незначительных вычислительных затрат по сравнению с шагом с использованием метода более высокого порядка.

Во время интегрирования размер шага адаптируется таким образом, чтобы предполагаемая ошибка оставалась ниже заданного пользователем порога: если ошибка слишком велика, шаг повторяется с меньшим размером шага; если ошибка намного меньше, размер шага увеличивается для экономии времени. Это приводит к (почти) оптимальному размеру шага, что экономит время вычислений. Более того, пользователю не придется тратить время на поиск подходящего размера шага.

Младший шаг определяется выражением

$y_{n+1}^{*}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}^{*}k_{i},$

где $k_{i}$ такие же, как и для метода высшего порядка. Тогда ошибка

$e_{n+1}=y_{n+1}-y_{n+1}^{*}=h\sum _{i=1}^{s}(b_{i}-b_{i}^{*})k_{i},$

который $O(h^{p})$. Таблица Мясника для этого метода расширена и теперь дает значения $b_{i}^{*}$:

	0
	$c_{2}$	$a_{21}$
	$c_{3}$	$a_{31}$	$a_{32}$
	$\vdots$	$\vdots$		$\ddots$
	$c_{s}$	$a_{s1}$	$a_{s2}$	$\cdots$	$a_{s,s-1}$
		$b_{1}$	$b_{2}$	$\cdots$	$b_{s-1}$	$b_{s}$
		$b_{1}^{*}$	$b_{2}^{*}$	$\cdots$	$b_{s-1}^{*}$	$b_{s}^{*}$

Метод Рунге – Кутты – Фельберга имеет два метода порядков 5 и 4. Его расширенная таблица Бутчера:

	0
	1/4	1/4
	3/8	3/32	9/32
	12/13	1932/2197	−7200/2197	7296/2197
	1	439/216	−8	3680/513	-845/4104
	1/2	−8/27	2	−3544/2565	1859/4104	−11/40
		16/135	0	6656/12825	28561/56430	−9/50	2/55
		25/216	0	1408/2565	2197/4104	−1/5	0

Однако самый простой адаптивный метод Рунге-Кутты включает в себя объединение метода Хойна , который имеет порядок 2, с методом Эйлера , который имеет порядок 1. Его расширенная таблица Мясника:

	0
	1	1
		1/2	1/2
		1	0

Другими адаптивными методами Рунге-Кутты являются метод Богацкого-Шампина (порядки 3 и 2), метод Кэша-Карпа и метод Дормана-Принса (оба с порядками 5 и 4).

Неконфлюэнтные методы Рунге – Кутты

Метод Рунге-Кутты называется неконфлюэнтным. если все $c_{i},\,i=1,2,\ldots ,s$ различны.

Методы Рунге–Кутты–Нистрема.

Методы Рунге-Кутты-Нистрема представляют собой специализированные методы Рунге-Кутты, оптимизированные для дифференциальных уравнений второго порядка.

Неявные методы Рунге – Кутты

Все упомянутые до сих пор методы Рунге-Кутты являются явными методами . Явные методы Рунге – Кутты обычно непригодны для решения жестких уравнений , поскольку область их абсолютной устойчивости мала; в частности, оно ограничено. Особенно важен этот вопрос при решении уравнений в частных производных .

Нестабильность явных методов Рунге–Кутты мотивирует разработку неявных методов. Неявный метод Рунге–Кутты имеет вид

$y_{n+1}=y_{n}+h\sum _{i=1}^{s}b_{i}k_{i},$

где

$k_{i}=f\left(t_{n}+c_{i}h,\ y_{n}+h\sum _{j=1}^{s}a_{ij}k_{j}\right),\quad i=1,\ldots ,s.$

Разница с явным методом заключается в том, что в явном методе сумма по j увеличивается только до i - 1. Это также проявляется в таблице Мясника: матрица коэффициентов $a_{ij}$ явного метода является нижнетреугольным. В неявном методе сумма по j увеличивается до s , а матрица коэффициентов не является треугольной, что дает таблицу Мясника вида

${\begin{array}{c|cccc}c_{1}&a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1s}\\c_{2}&a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2s}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{s}&a_{s1}&a_{s2}&\dots &a_{ss}\\\hline &b_{1}&b_{2}&\dots &b_{s}\\&b_{1}^{*}&b_{2}^{*}&\dots &b_{s}^{*}\\\end{array}}={\begin{array}{c|c}\mathbf {c} &A\\\hline &\mathbf {b^{T}} \\\end{array}}$

См. выше адаптивные методы Рунге-Кутты для объяснения $b^{*}$ ряд.

Следствием этого различия является то, что на каждом этапе приходится решать систему алгебраических уравнений. Это значительно увеличивает вычислительные затраты. метод с s компонентами используется Если для решения дифференциального уравнения с m этапами , то система алгебраических уравнений имеет ms компонент. Это можно противопоставить неявным линейным многошаговым методам (другому большому семейству методов для ОДУ): неявный s -шаговый линейный многошаговый метод должен решать систему алгебраических уравнений только с m компонентами, поэтому размер системы не увеличивается. по мере увеличения количества шагов.

Примеры

Простейшим примером неявного метода Рунге-Кутты является обратный метод Эйлера :

$y_{n+1}=y_{n}+hf(t_{n}+h,\ y_{n+1}).\,$

Таблица Мясника для этого проста:

${\begin{array}{c|c}1&1\\\hline &1\\\end{array}}$

Эта таблица Мясника соответствует формулам

$k_{1}=f(t_{n}+h,\ y_{n}+hk_{1})\quad {\text{and}}\quad y_{n+1}=y_{n}+hk_{1},$

которую можно перестроить, чтобы получить формулу для обратного метода Эйлера, перечисленного выше.

Другим примером неявного метода Рунге-Кутты является правило трапеций . Его таблица Мясника:

${\begin{array}{c|cc}0&0&0\\1&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&1&0\\\end{array}}$

Правило трапеций — это метод коллокации (как обсуждалось в этой статье). Все методы коллокации являются неявными методами Рунге-Кутты, но не все неявные методы Рунге-Кутты являются методами коллокации.

Методы Гаусса -Лежандра образуют семейство методов коллокации, основанных на квадратуре Гаусса . Метод Гаусса–Лежандра с s этапами имеет порядок 2 s (таким образом, можно построить методы сколь угодно высокого порядка). Метод с двумя этапами (и, следовательно, с четырьмя порядками) имеет таблицу Мясника:

${\begin{array}{c|cc}{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}\\{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{4}}\\\hline &{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}\\&{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}\end{array}}$

Стабильность

Преимуществом неявных методов Рунге–Кутты перед явными является их большая устойчивость, особенно при применении к жестким уравнениям . Рассмотрим линейное тестовое уравнение $y'=\lambda y$. Примененный к этому уравнению метод Рунге–Кутты сводится к итерации $y_{n+1}=r(h\lambda )\,y_{n}$, где r определяется выражением

$r(z)=1+zb^{T}(I-zA)^{-1}e={\frac {\det(I-zA+zeb^{T})}{\det(I-zA)}},$

где e обозначает вектор единиц. Функция r называется функцией устойчивости . Из формулы следует, что r — частное двух многочленов степени s, если метод имеет s этапов. Явные методы имеют строго нижнюю треугольную матрицу A , из чего следует, что det( I − zA ) = 1 и что функция устойчивости является полиномом.

Численное решение линейного тестового уравнения затухает до нуля, если | р ( z ) | < 1 с z = h λ. Множество таких z называется областью абсолютной устойчивости . В частности, метод называется абсолютно устойчивым , если все z с Re( z ) < 0 находятся в области абсолютной устойчивости. Функция устойчивости явного метода Рунге–Кутты является полиномом, поэтому явные методы Рунге–Кутты никогда не могут быть A-стабильными.

Если метод имеет порядок p , то функция устойчивости удовлетворяет условию $r(z)={\textrm {e}}^{z}+O(z^{p+1})$ как $z\to 0$. Таким образом, представляет интерес изучение частных многочленов заданных степеней, которые лучше всего приближают показательную функцию. Они известны как аппроксимации Паде . Аппроксимация Паде с числителем степени m и знаменателем степени n является A-стабильной тогда и только тогда, когда m ≤ n ≤ m + 2.

Метод Гаусса–Лежандра с s этапами имеет порядок 2 s , поэтому его функция устойчивости представляет собой аппроксимацию Паде с m = n = s . Отсюда следует, что метод A-стабилен. Это показывает, что A-стабильный Рунге–Кутта может иметь сколь угодно высокий порядок. Напротив, порядок A-устойчивых линейных многошаговых методов не может превышать два.

B-стабильность

Концепция A-устойчивости решения дифференциальных уравнений связана с линейным автономным уравнением $y'=\lambda y$. Далквист предложил исследование устойчивости численных схем применительно к нелинейным системам, удовлетворяющим условию монотонности. Соответствующие понятия были определены как G-стабильность для многошаговых методов (и связанных с ними одноветвевых методов) и B-стабильность (Бутчер, 1975) для методов Рунге – Кутты. Метод Рунге – Кутты, примененный к нелинейной системе. $y'=f(y)$, который проверяет $\langle f(y)-f(z),\ y-z\rangle \leq 0$, называется B-стабильным , если из этого условия следует $\|y_{n+1}-z_{n+1}\|\leq \|y_{n}-z_{n}\|$ для двух численных решений.

Позволять $B$, $M$ и $Q$ быть тремя $s\times s$ матрицы, определяемые $$B=\operatorname {diag} (b_{1},b_{2},\ldots ,b_{s}),\,M=BA+A^{T}B-bb^{T},\,Q=BA^{-1}+A^{-T}B-A^{-T}bb^{T}A^{-1}.$$Метод Рунге–Кутты называется алгебраически устойчивым. если матрицы $B$ и $M$ оба неотрицательно определенные. Достаточное условие B-устойчивости является: $B$ и $Q$ являются неотрицательно определенными.

Вывод метода Рунге–Кутты четвертого порядка.

В общем, метод порядка Рунге – Кутты. $s$ можно записать как:

$y_{t+h}=y_{t}+h\cdot \sum _{i=1}^{s}a_{i}k_{i}+{\mathcal {O}}(h^{s+1}),$

где:

$k_{i}=\sum _{j=1}^{s}\beta _{ij}f\left(k_{j},\ t_{n}+\alpha _{i}h\right)$

представляют собой приращения, полученные при оценке производных $y_{t}$ в $i$-й заказ.

Развиваем вывод для метода Рунге–Кутты четвертого порядка по общей формуле с $s=4$ оценивается, как объяснено выше, в начальной точке, средней точке и конечной точке любого интервала $(t,\ t+h)$; таким образом, мы выбираем:

${\begin{aligned}&\alpha _{i}&&\beta _{ij}\\\alpha _{1}&=0&\beta _{21}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{2}&={\frac {1}{2}}&\beta _{32}&={\frac {1}{2}}\\\alpha _{3}&={\frac {1}{2}}&\beta _{43}&=1\\\alpha _{4}&=1&&\\\end{aligned}}$

и $\beta _{ij}=0$ в противном случае. Начнем с определения следующих величин:

${\begin{aligned}y_{t+h}^{1}&=y_{t}+hf\left(y_{t},\ t\right)\\y_{t+h}^{2}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\y_{t+h}^{3}&=y_{t}+hf\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\end{aligned}}$

где $y_{t+h/2}^{1}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{1}}{2}}$ и $y_{t+h/2}^{2}={\dfrac {y_{t}+y_{t+h}^{2}}{2}}$.Если мы определим:

${\begin{aligned}k_{1}&=f(y_{t},\ t)\\k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hk_{3},\ t+h\right)\end{aligned}}$

и для предыдущих соотношений мы можем показать, что следующие равенства справедливы до ${\mathcal {O}}(h^{2})$: $${\begin{aligned}k_{2}&=f\left(y_{t+h/2}^{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\\k_{3}&=f\left(y_{t+h/2}^{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right)=f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{1},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\right]\\k_{4}&=f\left(y_{t+h}^{3},\ t+h\right)=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}k_{2},\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t}+hf\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t}+{\frac {h}{2}}f\left(y_{t},\ t\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+{\frac {h}{2}}\right),\ t+h\right)\\&=f\left(y_{t},\ t\right)+h{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f\left(y_{t},\ t\right)\right]\right]\end{aligned}}$$где: $${\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)={\frac {\partial }{\partial y}}f(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+{\frac {\partial }{\partial t}}f(y_{t},\ t)=f_{y}(y_{t},\ t){\dot {y}}_{t}+f_{t}(y_{t},\ t):={\ddot {y}}_{t}$$является полной производной от $f$ относительно времени.

Если теперь выразить общую формулу, используя то, что мы только что вывели, мы получим: $${\begin{aligned}y_{t+h}={}&y_{t}+h\left\lbrace a\cdot f(y_{t},\ t)+b\cdot \left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right.+\\&{}+c\cdot \left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f\left(y_{t},\ t\right)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right]+\\&{}+d\cdot \left[f(y_{t},\ t)+h{\frac {d}{dt}}\left[f(y_{t},\ t)+{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}\left[f(y_{t},\ t)+\left.{\frac {h}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)\right]\right]\right]\right\rbrace +{\mathcal {O}}(h^{5})\\={}&y_{t}+a\cdot hf_{t}+b\cdot hf_{t}+b\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+c\cdot hf_{t}+c\cdot {\frac {h^{2}}{2}}{\frac {df_{t}}{dt}}+\\&{}+c\cdot {\frac {h^{3}}{4}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot hf_{t}+d\cdot h^{2}{\frac {df_{t}}{dt}}+d\cdot {\frac {h^{3}}{2}}{\frac {d^{2}f_{t}}{dt^{2}}}+d\cdot {\frac {h^{4}}{4}}{\frac {d^{3}f_{t}}{dt^{3}}}+{\mathcal {O}}(h^{5})\end{aligned}}$$

и сравнивая это с Тейлора рядом $y_{t+h}$ вокруг $t$: $${\begin{aligned}y_{t+h}&=y_{t}+h{\dot {y}}_{t}+{\frac {h^{2}}{2}}{\ddot {y}}_{t}+{\frac {h^{3}}{6}}y_{t}^{(3)}+{\frac {h^{4}}{24}}y_{t}^{(4)}+{\mathcal {O}}(h^{5})=\\&=y_{t}+hf(y_{t},\ t)+{\frac {h^{2}}{2}}{\frac {d}{dt}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{3}}{6}}{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(y_{t},\ t)+{\frac {h^{4}}{24}}{\frac {d^{3}}{dt^{3}}}f(y_{t},\ t)\end{aligned}}$$

получим систему ограничений на коэффициенты:

${\begin{cases}&a+b+c+d=1\\[6pt]&{\frac {1}{2}}b+{\frac {1}{2}}c+d={\frac {1}{2}}\\[6pt]&{\frac {1}{4}}c+{\frac {1}{2}}d={\frac {1}{6}}\\[6pt]&{\frac {1}{4}}d={\frac {1}{24}}\end{cases}}$

что при решении дает $a={\frac {1}{6}},b={\frac {1}{3}},c={\frac {1}{3}},d={\frac {1}{6}}$ как сказано выше.

См. также

• метод Эйлера
• Список методов Рунге – Кутты
• Численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений
• Метод Рунге-Кутты (СДУ)
• Общие линейные методы
• Интегратор группы Ли

Ссылки

• Рунге, Карл Дэвид Толме (1895), «О численном разрешении дифференциальных уравнений» , Mathematical Annals , 46 (2), Springer : 167–178, doi : 10.1007/BF01446807 , S2CID   119924854 .
• Кутта, Вильгельм (1901), «Вклад в приближенное интегрирование полных дифференциальных уравнений» , Журнал математики и физики , 46 : 435–453 .
• Ашер, Ури М.; Петцольд, Линда Р. (1998), Компьютерные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений и дифференциально-алгебраических уравнений , Филадельфия: Общество промышленной и прикладной математики , ISBN  978-0-89871-412-8 .
• Аткинсон, Кендалл А. (1989), Введение в численный анализ (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-471-50023-0 .
• Батчер, Джон К. (май 1963 г.), «Коэффициенты для изучения интеграционных процессов Рунге-Кутты», Журнал Австралийского математического общества , 3 (2): 185–201, doi : 10.1017/S1446788700027932 .
• Батчер, Джон К. (май 1964 г.), «О процессах Рунге-Кутты высокого порядка», Журнал Австралийского математического общества , 4 (2): 179–194, doi : 10.1017/S1446788700023387
• Батчер, Джон К. (1975), «Свойство устойчивости неявных методов Рунге-Кутты», BIT , 15 (4): 358–361, doi : 10.1007/bf01931672 , S2CID   120854166 .
• Батчер, Джон К. (2000), «Численные методы для решения обыкновенных дифференциальных уравнений в 20 веке», J. Comput. Прил. Математика. , 125 (1–2): 1–29, Bibcode : 2000JCoAM.125....1B , doi : 10.1016/S0377-0427(00)00455-6 .
• Батчер, Джон К. (2008), Численные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений , Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN  978-0-470-72335-7 .
• Селье, Ф.; Кофман, Э. (2006), Непрерывное системное моделирование , Springer Verlag , ISBN  0-387-26102-8 .
• Далквист, Гермунд (1963), «Специальная проблема устойчивости линейных многошаговых методов», BIT , 3 : 27–43, doi : 10.1007/BF01963532 , hdl : 10338.dmlcz/103497 , ISSN   0006-3835 , S2CID   120241743 .
• Форсайт, Джордж Э.; Малкольм, Майкл А.; Молер, Клив Б. (1977), Компьютерные методы математических вычислений , Прентис-Холл (см. главу 6).
• Хайрер, Эрнст; Норсетт, Сиверт Пол; Ваннер, Герхард (1993), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I: Нежесткие задачи , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-56670-0 .
• Хайрер, Эрнст; Ваннер, Герхард (1996), Решение обыкновенных дифференциальных уравнений II: жесткие и дифференциально-алгебраические задачи (2-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-3-540-60452-5 .
• Изерлес, Арье (1996), Первый курс численного анализа дифференциальных уравнений , Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-55655-2 .
• Ламберт, JD (1991), Численные методы для обыкновенных дифференциальных систем. Проблема начальной стоимости , John Wiley & Sons , ISBN  0-471-92990-5
• Кау, Аутар; Калу, Эгву (2008), Численные методы с приложениями (1-е изд.), autarkaw.com .
• Пресс, Уильям Х.; Теукольский, Саул А. ; Веттерлинг, Уильям Т.; Фланнери, Брайан П. (2007), «Раздел 17.1 Метод Рунге-Кутты» , Численные рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.), Cambridge University Press , ISBN  978-0-521-88068-8 . Также раздел 17.2. Адаптивное управление размером шага для Рунге-Кутты .
• Стер, Йозеф; Булирш, Роланд (2002), Введение в численный анализ (3-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN  978-0-387-95452-3 .
• Сюли, Эндре; Майерс, Дэвид (2003), Введение в численный анализ , издательство Кембриджского университета , ISBN  0-521-00794-1 .
• Тан, Делин; Чен, Чжэн (2012), «Об общей формуле метода Рунге-Кутты четвертого порядка» (PDF) , Журнал математической науки и математического образования , 7 (2): 1–10 .
• Справочник по продвинутой дискретной математике ignou (код - mcs033)
• Джон К. Батчер: «Серия B: алгебраический анализ численных методов», Springer (SSCM, том 55), ISBN   978-3030709556 (апрель 2021 г.).
• Батчер, Дж. К. (1985), «Несуществование десяти стадий явных методов Рунге-Кутты восьмого порядка» , BIT Numerical Mathematics , 25 : 521–540 .
• Батчер, Дж. К. (1965), «О достижимом порядке методов Рунге-Кутты» , Mathematics of Computing , 19 : 408–417 .
• Кертис, А.Р. (1970), «Процесс Рунге-Кутты восьмого порядка с одиннадцатью вычислениями функций на шаг» , Numerische Mathematik , 16 : 268–277 .
• Купер, Дж.Дж.; Вернер, Дж. Х. (1972), «Некоторые явные методы Рунге-Кутты высокого порядка» , SIAM Journal on Numerical Analysis , 9 .
• Батчер, Дж. К. (1996), «История методов Рунге-Кутты» , Прикладная численная математика , 20 : 247–260 .

Внешние ссылки

• «Метод Рунге-Кутты» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Метод Рунге–Кутты 4-го порядка.
• Реализация библиотеки компонентов трекера в Matlab — реализует 32 встроенных алгоритма Рунге Кутты в RungeKStep, 24 встроенных алгоритма Рунге-Кутты-Нистрема в RungeKNystroemSStep и 4 общих алгоритма Рунге-Кутты-Нистрема в RungeKNystroemGStep.