Очерк дискретной математики
Дискретная математика – это изучение математических структур , которые по своей сути являются дискретными , а не непрерывными . В отличие от действительных чисел , которые обладают свойством изменяться «плавно», объекты, изучаемые в дискретной математике, такие как целые числа , графики и утверждения логики. [1] – не изменяются плавно таким образом, а имеют четкие, разделенные значения. [2] Таким образом, дискретная математика исключает такие темы «непрерывной математики», как исчисление и анализ .
Ниже приведены многие стандартные термины, которые обычно используются в курсах университетского уровня и в исследовательских работах. Однако это не полный список математических терминов; просто подборка типичных терминов искусства , с которыми можно столкнуться.
- Логика – изучение правильных рассуждений.
- Модальная логика - тип формальной логики.
- Теория множеств - раздел математики, изучающий множества.
- Теория чисел - Математика целочисленных свойств
- Комбинаторика - Раздел дискретной математики.
- Конечная математика - Программа по математике в колледжах и университетах
- Теория графов – Область дискретной математики
- Цифровая геометрия - имеет дело с оцифрованными моделями или изображениями объектов 2D или 3D евклидова пространства.
- Цифровая топология - свойства цифровых 2D- или 3D-изображений, соответствующие классическим топологическим свойствам.
- Алгоритмика — последовательность операций для задачи.
- Теория информации - Научное исследование цифровой информации.
- Вычислимость – способность эффективно решать задачи.
- Теория сложности вычислений . Неотъемлемая сложность вычислительных задач.
- Теория вероятностей - раздел математики, посвященный вероятности.
- Вероятность - раздел математики, посвященный случайности и неопределенности.
- Цепи Маркова – случайный процесс, не зависящий от прошлой истории
- Линейная алгебра – Отделение математики
- Функции – привязка одного выхода к каждому входу
- Частично упорядоченное множество - Математическое множество с упорядочением.
- Доказательства . Обоснование математических утверждений.
- Отношение – отношение между двумя наборами, определяемое набором упорядоченных пар.
Дискретные математические дисциплины [ править ]
Для дальнейшего чтения по дискретной математике, помимо базового уровня, посетите эти страницы. Многие из этих дисциплин тесно связаны с информатикой .
- Теория автоматов - Изучение абстрактных машин и автоматов.
- Теория кодирования - Исследование свойств кодов и их пригодности.
- Комбинаторика - Раздел дискретной математики.
- Вычислительная геометрия – Отделение информатики
- Цифровая геометрия - имеет дело с оцифрованными моделями или изображениями объектов 2D или 3D евклидова пространства.
- Дискретная геометрия - раздел геометрии, изучающий комбинаторные свойства и конструктивные методы.
- Теория графов - Область дискретной математики, изучающая графы - Вершины, соединенные попарно ребрами.
- Математическая логика - раздел математики.
- Дискретная оптимизация - Раздел математической оптимизации.
- Теория множеств - раздел математики, изучающий множества.
- Теория чисел - Математика целочисленных свойств
- Теория информации - Научное исследование цифровой информации.
- Теория игр – Математические модели стратегических взаимодействий.
Концепции дискретной математики [ править ]
Наборы [ править ]
- Набор (математика) - Коллекция математических объектов.
- Элемент (математика) - любой из отдельных объектов, составляющих множество в теории множеств.
- Диаграмма Венна - диаграмма, показывающая все возможные логические отношения между набором множеств.
- Пустое множество – математическое множество, не содержащее элементов.
- Подмножество - множество, все элементы которого принадлежат другому множеству.
- Союз (теория множеств) - Набор элементов в любом из некоторых множеств.
- Непересекающееся объединение - в математике операции над множествами.
- Пересечение (теория множеств) - набор элементов, общих для всех некоторых множеств.
- Непересекающиеся множества – множества, не имеющие общего элемента.
- Дополнение (теория множеств) - множество элементов, не входящих в данное подмножество.
- Симметричная разница - элементы ровно в одном из двух наборов.
- Упорядоченная пара – Пара математических объектов.
- Декартово произведение - математический набор, образованный из двух заданных наборов.
- Набор мощности - математический набор, содержащий все подмножества данного набора.
- Простые теоремы алгебры множеств
- Наивная теория множеств - Неформальные теории множеств
- Мультисет – математический набор с разрешенными повторениями.
Функции [ править ]
- Функция – привязка одного выхода к каждому входу
- Область определения функции – математическое понятие
- Codomain – целевой набор математической функции.
- Диапазон функции - подмножество кодомена функции.
- Изображение (математика) – Набор значений функции.
- Инъективная функция - функция, сохраняющая различимость.
- Surjection – функция, при которой каждый элемент имеет прообраз (математика).
- Биекция – взаимно однозначное соответствие.
- Композиция функций – Операции с математическими функциями
- Частичная функция - функция, фактическая область определения которой может быть меньше, чем ее кажущаяся область определения.
- Многозначная функция – Обобщенная математическая функция.
- Бинарная функция – функция, которая принимает два входа.
- Функция пола — ближайшие целые числа из числа.
- Функция знака – математическая функция, возвращающая -1, 0 или 1.
- Карта включения – теоретико-множественная функция
- Принцип ячейки : если предметов больше, чем коробок с ними, одна коробка должна содержать как минимум два предмета.
- Состав отношения — математическая операция.
- Перестановки — математическая версия изменения порядка.
- Симметрия - математическая инвариантность относительно преобразований.
Арифметика [ править ]
- Десятичная дробь – число в десятичной системе счисления.
- Двоичная система счисления – число, выраженное в системе счисления с основанием 2.
- Делитель – целое число, являющееся делителем другого целого числа.
- Деление на ноль - Класс математического выражения
- Неопределенная форма - выражение в математическом анализе
- Пустой продукт – результат умножения без коэффициентов.
- Алгоритм Евклида - алгоритм вычисления наибольших общих делителей.
- Основная теорема арифметики : целые числа имеют уникальные простые факторизации.
- Модульная арифметика - вычисление по модулю фиксированного целого числа.
- Функция-преемник - элементарная операция над натуральным числом.
Элементарная алгебра [ править ]
Элементарная алгебра – Основные понятия алгебры
- Левая и правая части уравнения – математическая номенклатура.
- Линейное уравнение - уравнение, в котором не используются степени или произведения переменных.
- Квадратное уравнение – Полиномиальное уравнение второй степени.
- Точка решения : математическая формула, выражающая равенство.
- Арифметическая прогрессия – Последовательность чисел
- Рекуррентное отношение - шаблон, определяющий бесконечную последовательность чисел.
- Конечная разность – дискретный аналог производной.
- Оператор разности — шаблон, определяющий бесконечную последовательность чисел.
- Группы – набор с ассоциативной обратимой операцией.
- Групповой изоморфизм - биективный групповой гомоморфизм
- Подгруппы — подмножество группы, которая сама образует группу.
- Маленькая теорема Ферма . Простое число p делит a^p–a для любого целого числа a.
- Криптография - практика и изучение методов безопасной связи.
- Формула Фаульхабера - выражение для суммы степеней
Математические отношения [ править ]
- Бинарное отношение - Связь между элементами двух множеств.
- Гетерогенная связь – связь между элементами двух наборов.
- Рефлексивное отношение - бинарное отношение, которое связывает каждый элемент сам с собой.
- Рефлексивное свойство равенства – отношение, утверждающее, что две величины одинаковы.
- Симметричное отношение - Тип бинарного отношения
- Симметричное свойство равенства – отношение, утверждающее, что две величины одинаковы.
- Антисимметричное отношение - бинарное отношение, такое, что если A связано с B и отличается от него, то B не связано с A.
- Транзитивность (математика) - тип бинарного отношения.
- Транзитивное замыкание - наименьшее транзитивное отношение, содержащее данное бинарное отношение.
- Транзитивное свойство равенства – отношение, утверждающее, что две величины одинаковы.
- Эквивалентность и идентичность
- Отношение эквивалентности - математическая концепция сравнения объектов.
- Класс эквивалентности – математическое понятие
- Равенство (математика) - Отношение, утверждающее, что две величины одинаковы.
- Неравенство – математическое утверждение о том, что два значения не равны.
- Неравенство (математика) - математическое отношение, выраженное с помощью < или ≤.
- Сходство (геометрия) - свойство объектов, которые являются масштабированными или зеркальными версиями друг друга.
- Конгруэнтность (геометрия) – связь между двумя фигурами одинаковой формы и размера или зеркально отражающими друг друга.
- Уравнение - математическая формула, выражающая равенство.
- Идентичность (математика) - уравнение, которое удовлетворяется для всех значений переменных.
- Элемент идентичности - конкретный элемент алгебраической структуры.
- Функция идентичности . В математике это функция, которая всегда возвращает то же значение, которое использовалось в качестве ее аргумента.
- Свойство равенства замены — отношение, утверждающее, что две величины одинаковы.
- Графическая эквивалентность — математическая концепция сравнения объектов.
- Экстенсиональность – логический принцип
- Количественная оценка уникальности - логическое свойство быть единственным объектом, удовлетворяющим условию.
Математическая фразеология [ править ]
- Тогда и только тогда, когда – Логическая связка.
- Необходимое и достаточное — термины для описания условной связи между двумя утверждениями.
- Отличительные — связь, утверждающая, что две величины являются одинаковыми.
- Разница – одна из четырех основных арифметических операций.
- Абсолютное значение – расстояние от нуля до числа.
- До – математическое утверждение уникальности, за исключением эквивалентной структуры (отношения эквивалентности).
- Модульная арифметика - вычисление по модулю фиксированного целого числа.
- Характеристика (математика) - Термин по математике.
- Нормальная форма – стандартное представление математического объекта.
- Каноническая форма - стандартное представление математического объекта.
- Без потери общности – Выражение в математике
- Пустая истина - условное утверждение, которое истинно, поскольку антецедент не может быть удовлетворен.
- Противоречие – логическая несовместимость двух или более утверждений, Reductio ad абсурд – Аргумент, ведущий к логическому абсурду.
- Контрпример – Исключение из предложенного общего правила
- Достаточно большие – математическая концепция.
- Pons asinorum - Утверждение о том, что углы, лежащие против равных сторон равнобедренного треугольника, сами равны.
- Таблица математических символов . Значения символов, используемых в математике.
- Контрапозитив – концепция математической логики.
- Математическая индукция - форма математического доказательства.
Комбинаторика [ править ]
Комбинаторика - Раздел дискретной математики.
- Перестановки и комбинации – Выбор предметов из набора.
- Перестановка - математическая версия изменения порядка.
- Комбинация – Выбор предметов из набора.
- Факториал – произведение чисел от 1 до n.
- Пустой продукт – результат умножения без коэффициентов.
- Треугольник Паскаля - Треугольный массив биномиальных коэффициентов по математике.
- Комбинаторное доказательство - доказательства в перечислительной комбинаторике, основанные на биекциях или двойном учете комбинаторных объектов.
- Биективное доказательство - метод доказательства того, что множества имеют одинаковый размер.
- Двойной счет (метод доказательства) - Тип метода доказательства.
Вероятность [ править ]
Вероятность - раздел математики, посвященный случайности и неопределенности.
- Среднее — число, взятое как представитель списка чисел.
- Ожидаемое значение – среднее значение случайной величины.
- Дискретная случайная переменная – переменная, представляющая случайное явление.
- Пространство выборки - набор всех возможных исходов или результатов статистического испытания или эксперимента.
- Событие - в статистике и теории вероятностей набор результатов, которым присвоена вероятность.
- Условная вероятность — вероятность возникновения события при условии, что другое событие уже произошло.
- Независимость – когда возникновение одного события не влияет на вероятность другого.
- Случайные переменные — переменная, представляющая случайное явление.
Пропозициональная логика [ править ]
- Логический оператор — символ, соединяющий смысловые формулы в логике.
- Таблица истинности - математическая таблица, используемая в логике.
- Законы де Моргана – пара логических эквивалентностей
- Открытое предложение — формула, содержащая хотя бы одну свободную переменную.
- Список тем по логике : обзор и тематическое руководство по логике.
Математики, связанные с дискретной математикой [ править ]
![[икона]](/wiki/File:Wiki_letter_w_cropped.svg){kind=small} | Этот раздел нуждается в расширении . Вы можете помочь, дополнив это . ( январь 2016 г. ) |
- Пауль Эрдеш – венгерский математик (1913–1996)
- Леонард Эйлер – швейцарский математик (1707–1783).
- Ричард Карп - американский ученый-компьютерщик (род. 1935).
- Рональд Грэм – американский математик (1935–2020)
- Клод Шеннон — американский математик (1916–2001).
- Дональд Кнут - американский математик и ученый-компьютерщик (род. 1938).
- Джордж Секереш – венгерско-австралийский математик
- Аристотель – древнегреческий философ и эрудит (384–322 до н. э.).
См. также [ править ]
Ссылки [ править ]
- ^ Ричард Джонсонбо , Дискретная математика , Прентис Холл, 2008; Джеймс Франклин, Дискретное и непрерывное: фундаментальная дихотомия в математике , Журнал гуманистической математики 7 (2017), 355-378.
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Дискретная математика» . Математический мир .
Внешние ссылки [ править ]
- Архивы
- Джонатан Арбиб и Джон Дуайер, Дискретная математика в криптографии, 1-е издание ISBN 978-1-907934-01-8 .
- Джон Дуайер и Сьюзи Джаггер, Дискретная математика для бизнеса и вычислений, 1-е издание, 2010 г. ISBN 978-1-907934-00-1 .