Смит Сет

Smith Schwartz или Set , ^{[ Примечание 1 ]} Иногда называется верхним циклом , обобщает идею победителя Condorcet к случаям, когда такой победитель не существует . Это делает это, позволяя обработать циклы кандидатов совместно, как если бы они были одним победителем Condorcet. ^{[ 1 ]}

Набор Smith предоставляет один стандарт оптимального выбора для результата выборов. Системы голосования, которые всегда выбирают кандидата из Smith Set, проходят критерий Смита . Альтернативный, более строгий критерий определяется набором Ландау .

Определение

Набор Smith официально определяется как самый маленький набор, так что каждый кандидат внутри Set S был паром непобедим каждому кандидату за S. пределами

В качестве альтернативы, это может быть определено как набор всех кандидатов с (нестарированным) битпатом для любого кандидата, который их побеждает.

Набор кандидатов, каждый из которых членов, пары, побеждает каждого кандидата за пределами набора, известен как доминирующий набор . Таким образом, набор Смита также называется наименьшим доминирующим набором .

Строгий верхний цикл (набор Schwartz)

Набор Шварц эквивалентен набору Смита, за исключением того, что он игнорирует связанные голоса. Формально, набор Schwartz - это набор, так что любой кандидат внутри набора имеет строгое битпат для любого кандидата, который их побеждает.

Набор Smith может быть построен из Schwartz, который многократно добавляя два типа кандидатов, пока не будут больше таких кандидатов за пределами набора:

кандидаты, которые прикушены с кандидатами в наборе,
Кандидаты, которые побеждают кандидата в наборе.

Обратите внимание, что кандидаты второго типа могут существовать только после добавления кандидатов первого типа.

Характеристики

Набор Смита всегда существует и не является пустым. Это также четко определен (см. Следующий раздел).
Набор Смита может иметь более одного кандидата, либо из -за парных связей, либо из -за циклов, таких как парадокс Кондорсе .
Победитель Condorcet , если кто -то существует, является единственным членом Smith Set. Если существуют слабые победители Condorcet, они находятся в сете Смита.
Набор Smith всегда является подмножеством взаимного большинства , представленного набором кандидатов, если кто -то существует. ^{[ 2 ]}

Свойства доминирующих наборов

Теорема: доминирующие наборы вложены ; То есть из каких -либо двух доминирующих наборов на выборах один представляет собой подмножество другого.

Доказательство: предположим, что, наоборот, существуют два доминирующих набора, D и E , ни один из которых не является подмножеством другого. Тогда должны существовать кандидаты d ∈ D , e ∈ E , что D ∉ e и e ∉ d . Но по гипотезе D побеждает каждого кандидата, не в D (включая E ), в то время как E побеждает каждого кандидата, не в E (включая D ), противоречие. ∎

Следствие: из этого следует, что набор Smith-это самый маленький непустые доминирующие набор, и что он четко определен.

Теорема: если D является доминирующим набором, то существует некоторый порог θ _D так что элементы D являются именно те кандидаты, чьи оценки Copeland не менее θ _D. , (Оценка кандидата в Копленд - это количество других кандидатов, которых он или она побеждает плюс половина числа других кандидатов, с которыми он или она связаны.)

Доказательство: выберите D в качестве элемента D с минимальной оценкой Copeland и определите этот балл с _D. θ Теперь предположим, что у некоторых кандидатов есть , θ оценка Copeland не меньше _D. чем Затем, поскольку D принадлежит D , а E - нет, из этого следует, что D побеждает E ; И для того, чтобы оценка Eopeland была как минимум равным D ' , должен быть какой -то третий кандидат , против которого E получает лучший результат, D. чем Если f ∈ D , то у нас есть элемент D , который не побеждает E , и если f ∉ d, то у нас есть кандидат за пределами D , которого D не побеждает, что в любом случае приводит к противоречию. ∎

Критерий Смита

Критерий Смита - это критерий системы голосования , который формализует более сильную идею правила большинства, чем у Кондорсе . Система голосования удовлетворяет критерию Смита, если она всегда выбирает кандидата из набора Смита.

Альтернативный, более строгий критерий определяется по определению ноги, требует наименьшего подмножества, которое соответствует другим условиям. Набор Smith не является {b, c}, потому что B не предназначен для большинства по сравнению с A; 65% ранжируются более чем B. (и т. Д.)

Pro \ с	А	Беременный	В	Дюймовый
А	—	65	40	60
Беременный	35	—	75	60
В	60	25	—	60
Дюймовый	40	40	40	—
Макс	60	65	75	60
Минимакс	60			60

В этом примере под минимальным, A и D Tie; При Smith // Minimax, победа.

В приведенном выше примере три кандидата в наборе Smith находятся в цикле большинства «рок/бумага/ножницы» : A ранжируется по B на 65% большинство, B ранжируется по C 75% большинством, а C - это ранжируется над 60% большинством.

Другие критерии

Любой метод выборов, который соответствует критерию Смита, также соответствует критерию победителя Condorcet , поскольку, если есть победитель Condorcet, то это единственный кандидат в наборе Smith. Методы Smith также соответствуют критерию неудачника Condorcet , потому что неудачник Condorcet никогда не попадет в набор Смита. Это также подразумевает критерий взаимного большинства , поскольку набор Smith является подмножеством набора MMC. ^{[ 3 ]}

Соблюдение методов

Критерий Смита удовлетворен ранжированными парами , методом Шульце , методом Нансона и несколькими другими методами. ^{[ Цитация необходима ]} Более того, любой метод голосования может быть изменен, чтобы удовлетворить критерий Смита, обнаружив, что Смит установил и устранив любых кандидатов вне его. Например, метод голосования Smith // Minimax применяет Minimax к кандидатам в наборе Smith. Другой подход заключается в том, чтобы избрать члена Смита, который является самым высоким в порядке отделки метода голосования.

Методы, провальные критерии Condorcet, также проваливают критерий Смита. Тем не менее, некоторые методы Condorcet (такие как Minimax ) могут потерпеть неудачу критерия Смита.

Отношение к другим наборам турнира

Набор Smith содержит набор Copeland в качестве подмножества.

Он также содержит набор банков и двухпартийный набор .

Вычисление набора Смита

Набор Smith может быть рассчитана с помощью алгоритма Floyd -Warshall во времени θ ( n ³(или алгоритм Косараджу во времени θ ( n ²).

Подробный алгоритм

Алгоритм может быть подробно представлен в примере. Предположим, что матрица результатов заключается в следующем:

2 -й 1 -й	А	Беременный	В	Дюймовый	И	Фон	Глин	счет
А	–	1	1	1	1	1	0	5
Беременный	0	–	0	0	1	0	0	1
В	0	1	–	0	1	⁠ 1 / 2 ⁠	1	3 ⁠ 1 / 2 ⁠
Дюймовый	0	1	1	–	1	1	1	5
И	0	0	0	0	–	0	0	0
Фон	0	1	⁠ 1 / 2 ⁠	0	1	–	0	2 ⁠ 1 / 2 ⁠
Глин	1	1	0	0	1	1	–	4

Здесь запись в основной таблице составляет 1, если первый кандидат был предпочтительнее второго большего числа избирателей, чем предпочли второе место в первое; 0, если противоположное соотношение удерживается; и ⁠ 1/2 . галстук ⁠ Если есть Последняя колонка дает оценку Copeland первого кандидата.

Алгоритм для вычисления набора Smith является агломеративным: он начинается с набора Copeland, который гарантированно будет его подмножества, но часто будет меньше, и добавляет предметы, пока больше не требуется. Первый шаг - сортировать кандидатов в соответствии со счетом:

2 -й 1 -й	А	Дюймовый	Глин	В	Фон	Беременный	И	счет
А	–	1	0	1	1	1	1	5
Дюймовый	0	–	1	1	1	1	1	5
Глин	1	0	–	0	1	1	1	4
В	0	0	1	–	⁠ 1 / 2 ⁠	1	1	3 ⁠ 1 / 2 ⁠
Фон	0	0	0	⁠ 1 / 2 ⁠	–	1	1	2 ⁠ 1 / 2 ⁠
Беременный	0	0	0	0	0	–	1	1
И	0	0	0	0	0	0	–	0

Мы смотрим на самый высокий счет (5) и рассмотрим кандидатов (победителей Коупленда), чей счет, по крайней мере, такой высокий, то есть {a, d}. Они, безусловно, принадлежат к набору Смита, и любых кандидатов, которых они не побеждают, должны быть добавлены. Чтобы найти непобежденных кандидатов, мы смотрим на ячейки в таблице под верхним левым квадратом 2 × 2, содержащим {a, d} (этот квадрат показан с помощью сломанной границы): рассматриваемые ячейки затенены в таблице. Нам нужно найти наименьший (позиционно) ненулевой вход между этими ячейками, которая является ячейкой в g. Все кандидаты так далеко вниз, как этот ряд, и любые более низкие строки с одинаковой оценкой должны быть добавлены в набор, который расширяется до {a, d, g}.

Теперь мы смотрим на любые новые ячейки, которые необходимо учитывать, которые находятся ниже верхнего левого квадрата, содержащего {a, d, g}, но за исключением тех, которые в первых двух столбцах, которые мы уже объяснили. Клетки, которые требуют внимания, затенены бледно -голубыми. Как и прежде, мы обнаружим наиболее низкую ненулевую вход между новыми ячейками, добавляя все ряды к нему, и все ряды с тем же баллом, что и к расширенному набору, который теперь состоит из {a, d, g, c} Полем

Мы повторяем операцию для новых ячеек ниже четырех членов, которые, как известно, принадлежат к набору Смита. Они затенены розовые, и позволяют нам найти кандидатов, не побежденных ни одним из {a, d, g, c}. Опять же, есть только один, F, которого мы добавляем в набор.

Клетки, которые учитываются, затенены бледно -зелеными, и, поскольку все их записи равны нулю, нам не нужно добавлять никаких новых кандидатов в набор, который поэтому фиксируется как {a, d, g, c, f}. И, заметив, что все записи в черном ящике равны нулю, у нас есть подтверждение, что все кандидаты над ним побеждают всех кандидатов внутри него.

Следующая функция C иллюстрирует алгоритм, возвращая кардинальность Смита, установленного для данной удвоенной матрицы результатов R и массива удвоенных баллов Copeland. Есть n кандидатов; r _{i j} - это 2, если больше избирателей предпочитают I к J , чем предпочитают j to i , 1, если цифры равны, и 0, если больше избирателей предпочитают j , я чем предпочитаю I , J ; S _я - сумма над j of r _{i j} . Предполагается, что кандидаты сортируются в порядке снижения баллов Коупленда.

int smithset(int ** r, int * s, int n) {
  int row, col, lhs, rhs;
  for (rhs = 1, lhs = 0; lhs < rhs; lhs = rhs, rhs = row + 1) {
    for (; rhs < n && s[rhs] == s[rhs - 1]; rhs++); /* this line optional */
    for (col = rhs, row = n; col == rhs && row >= rhs; row--)
      for (col = lhs; col < rhs && r[row - 1][col] == 0; col++);
  }
  return lhs;
}

Смотрите также

Condorcet Criterion
МЕТОД CODORCET
Ландау Сет
Предварительный заказ
Частичный порядок
Максимальные и минимальные элементы - набор Smith может быть определена как максимальные элементы определенного частичного порядка.

Примечания

^ Многие авторы оставляют за собой термин «Schwartz Set» для строгого набора Смита, описанного ниже.

Ссылки

Уорд, Бенджамин (1961). «Правило большинства и распределение». Журнал разрешения конфликтов . 5 (4): 379–389. doi : 10.1177/002200276100500405 . S2CID 145231466 . В анализе принятия последовательных решений на основе правила большинства описывается набор Смита и набор Шварца.
Смит, Дж. Х. (1973). «Агрегация предпочтений с переменными избирателями». Econcemetrica . 41 (6). Экономическое общество: 1027–1041. doi : 10.2307/1914033 . JSTOR 1914033 . Представляет версию обобщенного критерия Condorcet, которая удовлетворена, когда парные выборы основаны на простом выборе большинства, и для любого доминирующего набора любой кандидат в наборе в совокупности предпочтительнее любому кандидату, которого нет в наборе. Но Смит не обсуждает идею самого маленького доминирующего набора.
Фишберн, Питер С. (1977). «Функции социального выбора Condorcet». Siam Journal по прикладной математике . 33 (3): 469–489. doi : 10.1137/0133030 . Генерализованный критерий Condorcet Смит Смит к самому маленькому доминирующему набору и называет его принцип Смита Кондорсе.
Шварц, Томас (1986). Логика коллективного выбора . Нью -Йорк: издательство Колумбийского университета. Обсуждает набор Smith (с именем getcha) и набор Schwartz (с именем gotcha) в качестве возможных стандартов для оптимального коллективного выбора.
Шварц, Томас (1970). «О возможности оценки рациональной политики». Теория и решение . 1 : 89–106. doi : 10.1007/bf00132454 . S2CID 154326683 . Вводит понятие Шварца, установленного в конце статьи в качестве возможной альтернативы максимизации, в присутствии циклических предпочтений в качестве стандарта рационального выбора.
Шварц, Томас (1972). «Рациональность и миф о максимуме». Noûs . 6 (2). Noûs, vol. 6, № 2: 97–117. doi : 10.2307/2216143 . JSTOR 2216143 . Дает аксиоматическую характеристику и оправдание набора Schwartz в качестве возможного стандарта для оптимального, рационального коллективного выбора.
Деб, Раджат (1977). «На правиле Шварта». Журнал экономической теории . 16 : 103–110. doi : 10.1016/0022-0531 (77) 90125-9 . Доказывает, что набор Schwartz является набором неиспользованных элементов переходного закрытия отношения парного предпочтения.
Сомдеб Лахири (ND), «Групповое и многокритериальное принятие решений». Ориентируется на некоторые свойства выбора.

[1] Многие авторы оставляют за собой термин «Schwartz Set» для строгого набора Смита, описанного ниже.

[2] ttp://cse.unl.edu/~lksoh/classes/csce475_875_fall17/handouts/10votingsocialchoice.pdf ^{[ только URL PDF ]}

[3] ttp://dss.in.tum.de/files/brandt-research/dodgson.pdf ^{[ только URL PDF ]}

[4] ttp://dss.in.tum.de/files/brandt-research/dodgson.pdf ^{[ только URL PDF ]}

[ Примечание 1 ]

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]