Интегрирующий фактор

В математике интегрирующий коэффициент — это функция , которая выбирается для облегчения решения данного уравнения, включающего дифференциалы . Он обычно используется для решения обычных дифференциальных уравнений , но также используется в исчислении многих переменных , когда умножение на интегрирующий коэффициент позволяет неточный дифференциал превратить в точный дифференциал (который затем можно проинтегрировать для получения скалярного поля ). Это особенно полезно в термодинамике , где температура становится интегрирующим фактором, который превращает энтропию в точный дифференциал.

Используйте [ править ]

Интегрирующим коэффициентом является любое выражение, на которое умножается дифференциальное уравнение для облегчения интегрирования. Например, нелинейное уравнение второго порядка

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}

признает ${\textstyle {\frac {dy}{dt}}}$ как интегрирующий фактор:

{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.

Чтобы интегрировать, обратите внимание, что обе части уравнения могут быть выражены как производные, если вернуться назад с помощью цепного правила :

{\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).

Поэтому,

\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.

где $C_{0}$ является константой.

Эта форма может быть более полезной в зависимости от приложения. Выполнение разделения переменных даст

\int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t

Это неявное решение, включающее неэлементарный интеграл . Этот же метод используется для определения периода простого маятника .

линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка Решение первого

Интегрирующие коэффициенты полезны для решения обыкновенных дифференциальных уравнений , которые можно выразить в виде

y'+P(x)y=Q(x)

Основная идея состоит в том, чтобы найти некоторую функцию, скажем $M(x)$ , называемый «интегрирующим коэффициентом», который мы можем умножить на наше дифференциальное уравнение, чтобы привести левую часть к общей производной. Для канонического линейного дифференциального уравнения первого порядка , показанного выше, интегрирующий коэффициент равен $e^{\int P(x)\,dx}$ .

Обратите внимание, что нет необходимости включать в интеграл произвольную константу или абсолютные значения, если интеграл $P(x)$ включает в себя логарифм. Во-первых, для решения уравнения нам нужен только один интегрирующий множитель, а не все возможные; во-вторых, такие константы и абсолютные значения будут сокращаться, даже если они будут включены. Для абсолютных значений это можно увидеть, написав $|f(x)|=f(x)\operatorname {sgn} f(x)$ , где $\operatorname {sgn}$ относится к знаковой функции , которая будет постоянной на интервале, если $f(x)$ является непрерывным. Как $\ln |f(x)|$ не определено, когда $f(x)=0$ , а логарифм в первообразной появляется только тогда, когда исходная функция включала логарифм или обратную величину (ни один из которых не определен для 0), такой интервал будет интервалом применимости нашего решения.

Чтобы получить это, пусть $M(x)$ — интегрирующий множитель линейного дифференциального уравнения первого порядка такого, что умножение на $M(x)$ преобразует частную производную в полную производную, тогда:

$M(x){\underset {\text{partial derivative}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}$
$M(x)y'+M(x)P(x)y$
$\underbrace {M(x)y'+M'(x)y} _{\text{total derivative}}$

Для перехода от шага 2 к шагу 3 необходимо, чтобы $M(x)P(x)=M'(x)$ , которое является разделимым дифференциальным уравнением , решение которого дает $M(x)$ с точки зрения $P(x)$ :

$M(x)P(x)=M'(x)$
$P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}$
$\int P(x)\,dx=\ln M(x)+c$
$M(x)=Ce^{\int P(x)\,dx}$

Для проверки умножаем на $M(x)$ дает

M(x)y'+P(x)M(x)y=Q(x)M(x)

Применяя правило произведения в обратном порядке, мы видим, что левую часть можно выразить как одну производную в $x$

M(x)y'+P(x)M(x)y=M(x)y'+M'(x)y={\frac {d}{dx}}(M(x)y)

Мы используем этот факт, чтобы упростить наше выражение до

{\frac {d}{dx}}\left(M(x)y\right)=Q(x)M(x)

Интеграция обеих сторон в отношении $x$

Ce^{\int P(x)\,dx}y=\int Q(x)Ce^{\int P(x)\,dx}dx

e^{\int P(x)\,dx}y=\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+C

где $C$ является константой.

Переместив экспоненту в правую часть, общее решение обыкновенного дифференциального уравнения будет:

y=e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx\right)+Ce^{-\int P(x)\,dx}

В случае однородного дифференциального уравнения $Q(x)=0$ а общее решение обыкновенного дифференциального уравнения:

y=Ce^{-\int P(x)\,dx}

.

например, рассмотрим дифференциальное уравнение

y'-{\frac {2y}{x}}=0.

Мы видим, что в этом случае $P(x)={\frac {-2}{x}}$

M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(x)dx}

M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{x}}\,dx}=e^{-2\ln x}={\left(e^{\ln x}\right)}^{-2}=x^{-2}

M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.

Умножив обе части на $M(x)$ мы получаем

{\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0

Приведенное выше уравнение можно переписать как

{\frac {d(x^{-2}y)}{dx}}=0

Интегрируя обе части по x, получаем

x^{-2}y=C

или

y=Cx^{2}

Того же результата можно добиться, используя следующий подход

{\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0

{\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0

{\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0

{\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.

Обращение правила частного дает

\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0

или

{\frac {y}{x^{2}}}=C,

или

y=Cx^{2}.

где $C$ является константой.

линейных обыкновенных дифференциальных уравнений порядка Решение второго

Метод интегрирующих множителей для уравнений первого порядка естественно распространить и на уравнения второго порядка. Основной целью при решении уравнений первого порядка было нахождение интегрирующего множителя $M(x)$ такое, что умножение $y'+p(x)y=h(x)$ по этому это даст $(M(x)y)'=M(x)h(x)$ , после чего последующее интегрирование и деление на $M(x)$ даст $y$ . Для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, если мы хотим $M(x)=e^{\int p(x)\,dx}$ действовать как интегрирующий фактор, тогда

(M(x)y)''=M(x)\left(y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y\right)=M(x)h(x)

Это означает, что уравнение второго порядка должно иметь точно такой вид: $y''+2p(x)y'+\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=h(x)$ чтобы можно было использовать интегрирующий коэффициент.

Пример 1 [ править ]

Например, дифференциальное уравнение

y''+2xy'+\left(x^{2}+1\right)y=0

можно решить именно с помощью интегрирующих факторов. Соответствующий $p(x)$ можно сделать вывод, исследуя $y'$ срок. В этом случае, $2p(x)=2x$ , так $p(x)=x$ . После изучения $y$ термин, мы видим, что у нас действительно есть $p(x)^{2}+p'(x)=x^{2}+1$ , поэтому мы умножим все члены на интегрирующий коэффициент $e^{\int x\,dx}=e^{x^{2}/2}$ . Это дает нам

e^{x^{2}/2}y''+2e^{x^{2}/2}p(x)y'+e^{x^{2}/2}\left(p(x)^{2}+p'(x)\right)y=0

который можно переставить, чтобы дать

\left(e^{x^{2}/2}y\right)''=0

Двойное интегрирование дает

e^{x^{2}/2}y=c_{1}x+c_{2}

Деление на интегрирующий коэффициент дает:

y={\frac {c_{1}x+c_{2}}{e^{x^{2}/2}}}

Пример 2 [ править ]

Несколько менее очевидное применение интегрирующих коэффициентов второго порядка включает следующее дифференциальное уравнение:

y''+2\cot(x)y'-y=1

На первый взгляд, это явно не тот вид, который необходим для интегрирующих факторов второго порядка. У нас есть $2p(x)$ срок перед $y'$ но нет $p(x)^{2}+p'(x)$ перед $y$ . Однако,

p(x)^{2}+p'(x)=\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)

и из пифагорейского тождества, касающегося котангенса и косеканса,

\cot ^{2}(x)-\csc ^{2}(x)=-1

поэтому у нас действительно есть необходимый термин перед $y$ и может использовать интегрирующие факторы.

e^{\int \cot(x)\,dx}=e^{\ln(\sin(x))}=\sin(x)

Умножив каждое слагаемое на $\sin(x)$ дает

\sin(x)y''+2\cot(x)\sin(x)y'-\sin(x)y=\sin(x)

который переставлен

(\sin(x)y)''=\sin(x)

Двойное интегрирование дает

\sin(x)y=-\sin(x)+c_{1}x+c_{2}

Наконец, деление на интегрирующий коэффициент дает

y=c_{1}x\csc(x)+c_{2}\csc(x)-1

линейных дифференциальных уравнений n- го Решение порядка

Интегрирующие коэффициенты можно распространить на любой порядок, хотя форма уравнения, необходимая для их применения, становится все более конкретной по мере увеличения порядка, что делает их менее полезными для порядков 3 и выше. Общая идея состоит в том, чтобы дифференцировать функцию $M(x)y$ $n$ раз для $n$ дифференциальное уравнение го порядка и объединить подобные члены. Это даст уравнение в виде

M(x)F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)

Если $n$ уравнение го порядка соответствует виду $F\!\left(y,y',y'',\ldots ,y^{(n)}\right)$ это получается после дифференцирования $n$ раз можно умножить все члены на интегрирующий коэффициент и проинтегрировать $h(x)M(x)$ $n$ раз, разделив на интегрирующий коэффициент с обеих сторон, чтобы получить окончательный результат.