Индуктивность

Индуктивность
Общие символы	л
единица СИ	Генри (H)
В базовых единицах СИ	kg ⋅ m 2 ⋅ s −2 ⋅ A −2
Выводы из другие количества	L = В / ( Я / т ) L = Φ / я
Измерение	М 1 · Л 2 · Т −2 · Я −2

Индуктивность – это способность электрического проводника препятствовать изменению электрического тока протекающего через него . Электрический ток создает магнитное поле вокруг проводника. Напряженность магнитного поля зависит от величины электрического тока и следует за любыми изменениями величины тока. Согласно закону индукции Фарадея , любое изменение магнитного поля в цепи индуцирует электродвижущую силу (ЭДС) ( напряжение ) в проводниках — процесс, известный как электромагнитная индукция . Это индуцированное напряжение, создаваемое изменяющимся током, противодействует изменению тока. Об этом говорит закон Ленца , а напряжение называется обратной ЭДС .

Индуктивность определяется как отношение индуцированного напряжения к скорости изменения вызывающего его тока. Это константа пропорциональности, которая зависит от геометрии проводников цепи (например, площади и длины поперечного сечения) и магнитной проницаемости проводника и близлежащих материалов. Электронный компонент, предназначенный для добавления индуктивности в цепь, называется индуктором . Обычно он состоит из катушки или спирали проволоки.

Термин «индуктивность» был введен Оливером Хевисайдом в мае 1884 года как удобный способ обозначения «коэффициента самоиндукции». Принято использовать символ $L$ для индуктивности, в честь физика Генриха Ленца . В системе СИ единицей индуктивности является генри (Гн), который представляет собой величину индуктивности, вызывающую напряжение в один вольт , когда ток изменяется со скоростью один ампер в секунду. Единица названа в честь Джозефа Генри , который открыл индуктивность независимо от Фарадея.

История

Основная статья: История теории электромагнетизма

История электромагнитной индукции, грани электромагнетизма , началась с наблюдений древних: электрического заряда или статического электричества (потирание шелка о янтаре ), электрического тока ( молния ) и магнитного притяжения ( магнит ). Понимание единства этих сил природы и научная теория электромагнетизма были инициированы и достигнуты в 19 веке.

Электромагнитная индукция была впервые описана Майклом Фарадеем в 1831 году. В эксперименте Фарадея он обернул две проволоки вокруг противоположных сторон железного кольца. Он ожидал, что, когда ток начнет течь по одному проводу, своего рода волна пройдет через кольцо и вызовет электрический эффект на противоположной стороне. Используя гальванометр , он наблюдал переходный ток во второй катушке провода каждый раз, когда батарея подключалась или отключалась от первой катушки. Этот ток был вызван изменением магнитного потока , происходящим при подключении и отключении батареи. Фарадей обнаружил еще несколько проявлений электромагнитной индукции. Например, он видел переходные токи, когда быстро вставлял и вынимал стержневой магнит из катушки с проводами, и генерировал постоянный ( постоянный ) ток, вращая медный диск рядом со стержневым магнитом с помощью скользящего электрического вывода (« Диск Фарадея»). ").

Источник индуктивности

ток $i$ Протекание через проводник создает вокруг проводника магнитное поле , которое описывается законом цепи Ампера . Полный магнитный поток $\Phi$ через цепь равна произведению перпендикулярной составляющей плотности магнитного потока и площади поверхности, охватывающей путь тока. Если ток изменяется, магнитный поток $\Phi$ через изменение схемы. Согласно закону индукции Фарадея , любое изменение потока в цепи вызывает электродвижущую силу (ЭДС, ${\mathcal {E}}$) в цепи, пропорционально скорости изменения потока

$${\mathcal {E}}(t)=-{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\,\Phi (t)$$

Знак минус в уравнении указывает на то, что индуцированное напряжение имеет направление, противоположное изменению тока, вызвавшему его; это называется законом Ленца . Поэтому потенциал называется обратной ЭДС . Если ток увеличивается, напряжение положительное на конце проводника, через который ток поступает, и отрицательное на конце, через который он выходит, что имеет тенденцию к уменьшению тока. Если ток уменьшается, напряжение на том конце, через который ток выходит из проводника, положительное, стремясь сохранить ток. Самоиндукция, обычно называемая просто индуктивностью, $L$ - это соотношение между индуцированным напряжением и скоростью изменения тока

$$v(t)=L\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\qquad \qquad \qquad (1)\;$$

Таким образом, индуктивность — это свойство проводника или цепи, обусловленное его магнитным полем, которое имеет тенденцию противодействовать изменениям тока в цепи. Единицей индуктивности в системе СИ является генри (Гн), названный в честь Джозефа Генри , который представляет собой величину индуктивности, которая генерирует напряжение в один вольт , когда ток изменяется со скоростью один ампер в секунду.

Все проводники обладают некоторой индуктивностью, которая может иметь как желательные, так и вредные последствия для практических электрических устройств. Индуктивность цепи зависит от геометрии пути тока и от магнитной проницаемости близлежащих материалов; ферромагнитные материалы с более высокой проницаемостью, такие как железо, вблизи проводника имеют тенденцию увеличивать магнитное поле и индуктивность. Любое изменение цепи, которое увеличивает поток (общее магнитное поле) через цепь, создаваемое данным током, увеличивает индуктивность, поскольку индуктивность также равна отношению магнитного потока к току.

$$L={\Phi (i) \over i}$$

Индуктор состоящий — это электрический компонент, из проводника, форма которого увеличивает магнитный поток и добавляет индуктивность в цепь. Обычно он состоит из проволоки, намотанной в катушку или спираль . Витой провод имеет более высокую индуктивность, чем прямой провод той же длины, поскольку линии магнитного поля проходят через цепь несколько раз, и он имеет несколько потокосцеплений . Индуктивность пропорциональна квадрату числа витков катушки при условии полной потокосцепления.

Индуктивность катушки можно увеличить, поместив магнитопровод из ферромагнитного материала в отверстие в центре. Магнитное поле катушки намагничивает материал сердечника, выравнивая его магнитные домены , а магнитное поле сердечника добавляется к магнитному полю катушки, увеличивая поток через катушку. Это называется индуктором с ферромагнитным сердечником . Магнитный сердечник может увеличить индуктивность катушки в тысячи раз.

Если несколько электрических цепей расположены близко друг к другу, магнитное поле одной может проходить через другую; в этом случае цепи называются индуктивно связанными . Согласно закону индукции Фарадея , изменение тока в одной цепи может вызвать изменение магнитного потока в другой цепи и, таким образом, индуцировать напряжение в другой цепи. Понятие индуктивности в этом случае можно обобщить, определив взаимную индуктивность. $M_{k,\ell }$ цепи $k$ и схема $\ell$ как отношение напряжения, наведенного в цепи $\ell$ к скорости изменения тока в цепи $k$. Это принцип работы трансформатора . Свойство, описывающее воздействие одного проводника на самого себя, точнее называется самоиндукцией , а свойства, описывающие воздействие одного проводника с изменяющимся током на соседние проводники, — взаимной индуктивностью .

Самоиндукция и магнитная энергия

Если ток через проводник с индуктивностью увеличивается, напряжение $v(t)$ индуцируется в проводнике с полярностью, противоположной току, в дополнение к любому падению напряжения, вызванному сопротивлением проводника. Заряды, протекающие по цепи, теряют потенциальную энергию. Энергия внешней цепи, необходимая для преодоления этого «потенциального холма», сохраняется в увеличенном магнитном поле вокруг проводника. Следовательно, индуктор сохраняет энергию в своем магнитном поле. В любой момент времени $t$ сила $p(t)$ втекающий в магнитное поле, которое равно скорости изменения запасенной энергии $U$, является продуктом текущего $i(t)$ и напряжение $v(t)$ через проводник

$$p(t)={\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}=v(t)\,i(t)$$

Из (1) выше

$${\begin{aligned}{\frac {{\text{d}}U}{{\text{d}}t}}&=L(i)\,i\,{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}\\[3pt]{\text{d}}U&=L(i)\,i\,{\text{d}}i\,\end{aligned}}$$

Когда нет тока, нет магнитного поля и запасенная энергия равна нулю. Пренебрегая резистивными потерями, энергия $U$ (измеряется в джоулях , в СИ ), запасается индуктивностью с током $I$ через него равна сумме работы, необходимой для установления тока через индуктивность из нуля, а значит, и магнитного поля. Это дается:

$$U=\int _{0}^{I}L(i)\,i\,{\text{d}}i\,$$

Если индуктивность $L(i)$ постоянна в текущем диапазоне, запасенная энергия

$${\begin{aligned}U&=L\int _{0}^{I}\,i\,{\text{d}}i\\[3pt]&={\tfrac {1}{2}}L\,I^{2}\end{aligned}}$$

Таким образом, индуктивность также пропорциональна энергии, запасенной в магнитном поле для данного тока. Эта энергия сохраняется до тех пор, пока ток остается постоянным. Если ток уменьшается, магнитное поле уменьшается, индуцируя напряжение в проводнике в противоположном направлении: отрицательное на том конце, через который поступает ток, и положительное на том конце, через который он выходит. Это возвращает накопленную магнитную энергию во внешнюю цепь.

Если ферромагнитные материалы расположены рядом с проводником, например, в индукторе с магнитным сердечником , приведенное выше уравнение постоянной индуктивности справедливо только для линейных областей магнитного потока, при токах ниже уровня, при котором ферромагнитный материал насыщается , где индуктивность примерно постоянна. Если магнитное поле в индукторе приближается к уровню насыщения сердечника, индуктивность начинает изменяться с током, и необходимо использовать интегральное уравнение.

Индуктивное реактивное сопротивление

Напряжение ( $v$, синий) и ток ( $i$, красный) формы сигналов в идеальном индукторе, к которому приложен переменный ток. Ток отстает от напряжения на 90°.

Когда синусоидальный переменный ток (AC) проходит через линейную индуктивность, наведенная обратная ЭДС также имеет синусоидальную форму. Если ток через индуктивность $i(t)=I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)$, из (1) выше напряжение на нем равно $${\begin{aligned}v(t)&=L{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L\,{\frac {\text{d}}{{\text{d}}t}}\left[I_{\text{peak}}\sin \left(\omega t\right)\right]\\&=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\cos \left(\omega t\right)=\omega L\,I_{\text{peak}}\,\sin \left(\omega t+{\pi \over 2}\right)\end{aligned}}$$

где $I_{\text{peak}}$ - амплитуда (пиковое значение) синусоидального тока в амперах, $\omega =2\pi f$ - угловая частота переменного тока, при этом $f$ его частота в герцах , а $L$ это индуктивность.

Таким образом, амплитуда (пиковое значение) напряжения на индуктивности равна

$$V_{p}=\omega L\,I_{p}=2\pi f\,L\,I_{p}$$

Индуктивное реактивное сопротивление — это сопротивление индуктора переменному току. Оно определяется аналогично электрическому сопротивлению в резисторе, как отношение амплитуды ( пикового значения) переменного напряжения к току в составляющей

$$X_{L}={\frac {V_{p}}{I_{p}}}=2\pi f\,L$$

Реактивное сопротивление измеряется в омах . Видно, что индуктивное сопротивление дросселя увеличивается пропорционально частоте. $f$, поэтому индуктор проводит меньший ток при данном приложенном переменном напряжении по мере увеличения частоты. Поскольку индуцированное напряжение является наибольшим при увеличении тока, формы сигналов напряжения и тока не совпадают по фазе ; пики напряжения возникают раньше в каждом цикле, чем пики тока. Разность фаз между током и наведенным напряжением равна $\phi ={\tfrac {1}{2}}\pi$ радиан или 90 градусов, показывая, что в идеальном индукторе ток отстает от напряжения на 90 градусов .

Расчет индуктивности

В самом общем случае индуктивность можно рассчитать по уравнениям Максвелла. Многие важные случаи можно решить с помощью упрощений. Если рассматриваются высокочастотные токи со скин-эффектом , плотности поверхностного тока и магнитного поля можно получить путем решения уравнения Лапласа . Если проводниками являются тонкие провода, самоиндукция по-прежнему зависит от радиуса провода и распределения тока в проводе. Это распределение тока примерно постоянно (на поверхности или в объеме провода) для радиуса провода, намного меньшего, чем другие масштабы длины.

Индуктивность прямого одиночного провода

На практике более длинные провода имеют большую индуктивность, а более толстые — меньшую, что аналогично их электрическому сопротивлению (хотя зависимости не являются линейными и по своей сути отличаются от связей длины и диаметра с сопротивлением).

Отделение провода от других частей схемы вносит неизбежные ошибки в результаты любых формул. Эти индуктивности часто называют «частичными индуктивностями», отчасти для того, чтобы побудить учитывать другие вклады в индуктивность всей цепи, которые не учитываются.

Практические формулы

Вывод приведенных ниже формул см. в Rosa (1908). Полная низкочастотная индуктивность (внутренняя и внешняя) прямого провода равна:

$$L_{\text{DC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-0.75\right]$$

где

• $L_{\text{DC}}$ - это «низкочастотная» или индуктивность постоянного тока в наногенри (нГн или 10 ⁻⁹ ЧАС),
• $\ell$ длина провода в метрах,
• $r$ — радиус провода в метрах (следовательно, очень маленькое десятичное число),
• константа $200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}$ — это проницаемость свободного пространства , обычно называемая $\mu _{\text{o}}$, разделенный на $2\pi$; в отсутствие магнитореактивной изоляции значение 200 является точным при использовании классического определения µ ₀ = 4π × 10. ⁻⁷ H/m и исправить до 7 десятичных знаков при использовании переопределенного в 2019 году значения SI , равного μ ₀ = 1,256 637 062 12 (19) × 10. ⁻⁶  Ч /м .

Константа 0,75 — это всего лишь одно из нескольких значений параметра; разные диапазоны частот, разные формы или чрезвычайно длинные провода требуют немного другой константы ( см. ниже ). Этот результат основан на предположении, что радиус $r$ намного меньше длины $\ell$, что является обычным случаем для проводов и стержней. Диски или толстые цилиндры имеют немного другие формулы.

На достаточно высоких частотах скин-эффекты приводят к исчезновению внутренних токов, оставляя только токи на поверхности проводника; индуктивность переменного тока, $L_{\text{AC}}$ тогда определяется по очень похожей формуле:

$$L_{\text{AC}}=200{\text{ }}{\tfrac {\text{nH}}{\text{m}}}\,\ell \left[\ln \left({\frac {\,2\,\ell \,}{r}}\right)-1\right]$$где переменные $\ell$ и $r$ такие же, как указано выше; обратите внимание на измененный постоянный член, теперь равный 1, с 0,75 выше.

В примере из повседневного опыта можно сказать, что только один из проводников шнура лампы длиной 10 м , сделанного из провода 18 AWG , будет иметь индуктивность только около 19 мкГн, если его вытянуть прямо.

Взаимная индуктивность двух параллельных прямых проводов

Следует рассмотреть два случая:

1. Ток течет в одном и том же направлении по каждому проводу, и
2. ток течет в противоположных направлениях по проводам.

Токи в проводах не обязательно должны быть равными, хотя часто они бывают равными, как в случае полной цепи, где один провод является источником, а другой — обраткой.

Взаимная индуктивность двух проводных контуров

Это обобщенный случай парадигматической двухконтурной цилиндрической катушки, по которой течет однородный низкочастотный ток; петли представляют собой независимые замкнутые цепи, которые могут иметь разную длину, любую ориентацию в пространстве и проводить разные токи. Тем не менее, члены погрешности, которые не включены в интеграл, малы только в том случае, если геометрия контуров в основном гладкая и выпуклая: они не должны иметь слишком много изломов, острых углов, витков, пересечений, параллельных сегментов, вогнутых полостей или другие топологически «близкие» деформации. Необходимым предикатом для сведения формулы интегрирования трехмерного многообразия к интегралу двойной кривой является то, что пути тока представляют собой нитевидные цепи, то есть тонкие провода, радиус которых пренебрежимо мал по сравнению с его длиной.

Взаимная индуктивность накальной цепи $m$ по нитевой цепи $n$ задается двойной интегральной Неймана формулой

$$L_{m,n}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\oint _{C_{m}}\oint _{C_{n}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}\cdot \mathrm {d} \mathbf {x} _{n}}{\ \left|\mathbf {x} _{m}-\mathbf {x} _{n}\right|\ }}\ ,$$

где

$C_{m}$ и $C_{n}$ — это кривые, за которыми следуют провода.

$\mu _{0}$ — проницаемость свободного пространства ( 4 π ×10 ⁻⁷ Ч/м )

$\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}$ — небольшое приращение провода в цепи C _м

$\mathbf {x} _{m}$ это позиция $\mathrm {d} \mathbf {x} _{m}$ в космосе

$\mathrm {d} \mathbf {x} _{n}$ — небольшое приращение провода в цепи C _n

$\mathbf {x} _{n}$ это позиция $\mathrm {d} \mathbf {x} _{n}$ в космосе.

Вывод

$$M_{ij}\mathrel {\stackrel {\mathrm {def} }{=}} {\frac {\Phi _{ij}}{I_{j}}}$$

где

• $I_{j}$ ток через $j$по проводу, этот ток создает магнитный поток $\Phi _{ij}\ \,$через $i$поверхность
• $\Phi _{ij}$ — магнитный поток через i -ю поверхность, обусловленный электрической цепью , очерченной $C_{j}$:

$$\Phi _{ij}=\int _{S_{i}}\mathbf {B} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\int _{S_{i}}(\nabla \times \mathbf {A_{j}} )\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =\oint _{C_{i}}\mathbf {A} _{j}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}=\oint _{C_{i}}\left({\frac {\mu _{0}I_{j}}{4\pi }}\oint _{C_{j}}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {s} _{j}}{\left|\mathbf {s} _{i}-\mathbf {s} _{j}\right|}}\right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} _{i}$$

где

• $C_{i}$ кривая, охватывающая поверхность $S_{i}$; и $S_{i}$ — любая произвольная ориентируемая область с краем $C_{i}$
• $\mathbf {B} _{j}$ вектор магнитного поля, обусловленный $j$-й ток (цепи $C_{j}$).
• $\mathbf {A} _{j}$ векторный потенциал, обусловленный $j$-й ток.

Теорема Стокса использовалась для третьего шага равенства. Для последнего шага равенства мы использовали выражение запаздывающего потенциала для $A_{j}$ и мы игнорируем эффект запаздывающего времени (предполагая, что геометрия цепей достаточно мала по сравнению с длиной волны тока, который они несут). На самом деле это шаг аппроксимации, который справедлив только для локальных цепей из тонких проводов.

Самоиндукция проволочной петли

Формально самоиндукция проволочной петли будет определяться приведенным выше уравнением с $\ m=n\ .$ Однако здесь $\ 1/\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\$ становится бесконечным, что приводит к логарифмически расходящемуся интегралу. Это приводит к необходимости принять конечный радиус проволоки $\ a\$ и распределение тока в проводе. Остается вклад интеграла по всем точкам и поправочный член

$$L={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left[\ \ell \ Y+\oint _{C}\oint _{C'}{\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} \cdot \mathrm {d} \mathbf {x} '}{\ \left|\mathbf {x} -\mathbf {x} '\right|\ }}\ \right]+{\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\quad {\text{ for }}\;\left|\mathbf {s} -\mathbf {s} '\right|>{\tfrac {1}{2}}a\$$

где

$\ \mathbf {s} \$ и $\ \mathbf {s} '\$ — расстояния вдоль кривых $\ C\$ и $\ C'\$ соответственно

$\ a\$ это радиус провода

$\ \ell \$ это длина провода

$\ Y\$ – константа, зависящая от распределения тока в проводе:

$\ Y=0\$ когда ток течет по поверхности провода (общий скин-эффект ),

${\textstyle \ Y={\tfrac {1}{2}}\ }$ когда ток равномерно распределяется по сечению провода.

$\ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}\$ — это ошибка, размер которой зависит от кривой цикла:

$\ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}(\mu _{0}a)\$ когда петля имеет острые углы, и

${\textstyle \ {\mathcal {O}}_{\mathsf {bend}}={\mathcal {O}}{\mathord {\left({\mu _{0}a^{2}}/{\ell }\right)}}\ }$ когда это плавная кривая.

Оба они малы, если длина провода превышает его радиус.

Индуктивность соленоида

Соленоид — это длинная тонкая катушка; т. е. катушка, длина которой намного больше ее диаметра. В этих условиях и без использования магнитного материала плотность магнитного потока $B$ внутри катушки практически постоянна и определяется выражением $$B={\frac {\mu _{0}\,N\,i}{\ell }}$$

где $\mu _{0}$ магнитная постоянная , $N$ количество витков, $i$ текущий и $l$ длина катушки. Пренебрегая конечными эффектами, общий магнитный поток через катушку получается умножением плотности потока $B$ по площади поперечного сечения $A$: $$\Phi ={\frac {\mu _{0}\,N\,i\,A}{\ell }},$$

Когда это сочетается с определением индуктивности $L={\frac {N\,\Phi }{i}}$, отсюда следует, что индуктивность соленоида определяется выражением: $$L={\frac {\mu _{0}\,N^{2}\,A}{\ell }}.$$

Следовательно, для катушек с воздушным сердечником индуктивность зависит от геометрии катушки и количества витков и не зависит от тока.

Индуктивность коаксиального кабеля

Пусть внутренний проводник имеет радиус $r_{i}$ и проницаемость $\mu _{i}$, пусть диэлектрик между внутренним и внешним проводником имеет проницаемость $\mu _{d}$, и пусть внешний проводник имеет внутренний радиус $r_{o1}$, внешний радиус $r_{o2}$и проницаемость $\mu _{0}$. Однако для типичного применения коаксиальной линии мы заинтересованы в передаче сигналов (не постоянного тока) на частотах, для которых резистивным скин-эффектом нельзя пренебрегать . В большинстве случаев члены внутреннего и внешнего проводника пренебрежимо малы, и в этом случае можно аппроксимировать

$$L'={\frac {{\text{d}}L}{{\text{d}}\ell }}\approx {\frac {\mu _{d}}{2\pi }}\ln {\frac {r_{o1}}{r_{i}}}$$

Индуктивность многослойных катушек

Наиболее практичные индукторы с воздушным сердечником представляют собой многослойные цилиндрические катушки с квадратным поперечным сечением, чтобы минимизировать среднее расстояние между витками (круглое сечение было бы лучше, но его сложнее формировать).

Магнитные сердечники

Многие индукторы имеют магнитный сердечник в центре обмотки или частично вокруг нее. В достаточно большом диапазоне они демонстрируют нелинейную проницаемость с такими эффектами, как магнитное насыщение . Насыщение делает результирующую индуктивность функцией приложенного тока.

Секущая индуктивность или индуктивность с большим сигналом используется при расчете потока. Он определяется как:

$$L_{s}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {N\ \Phi }{i}}={\frac {\Lambda }{i}}$$

С другой стороны, дифференциальная индуктивность или индуктивность слабого сигнала используется при расчете напряжения. Он определяется как:

$$L_{d}(i)\mathrel {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}} {\frac {{\text{d}}(N\Phi )}{{\text{d}}i}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}$$

Напряжение цепи для нелинейного индуктора получается с помощью дифференциальной индуктивности, как показано законом Фарадея и цепным правилом исчисления.

$$v(t)={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}\Lambda }{{\text{d}}i}}{\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}=L_{d}(i){\frac {{\text{d}}i}{{\text{d}}t}}$$

Аналогичные определения можно получить и для нелинейной взаимной индуктивности.

Взаимная индуктивность

Дополнительная информация: Индуктивная связь.

Взаимная индуктивность определяется как отношение ЭДС, наведенной в одном контуре или катушке, к скорости изменения тока в другом контуре или катушке. Взаимная индуктивность обозначается М. символом

Вывод взаимной индуктивности

Приведенные выше уравнения индуктивности являются следствием уравнений Максвелла . Для важного случая электрических цепей, состоящих из тонких проводов, вывод прост.

В системе $K$ проволочные петли, каждая с одним или несколькими витками, потокосцепление петли $m$, $\lambda _{m}$, определяется $$\displaystyle \lambda _{m}=N_{m}\Phi _{m}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}\ i_{n}\,.$$

Здесь $N_{m}$ обозначает количество витков в цикле $m$; $\Phi _{m}$ магнитный поток через контур $m$; и $L_{m,n}$ некоторые константы, описанные ниже. Это уравнение следует из закона Ампера : магнитные поля и потоки являются линейными функциями токов . По закону индукции Фарадея имеем

$$\displaystyle v_{m}={\frac {{\text{d}}\lambda _{m}}{{\text{d}}t}}=N_{m}{\frac {{\text{d}}\Phi _{m}}{{\text{d}}t}}=\sum \limits _{n=1}^{K}L_{m,n}{\frac {{\text{d}}i_{n}}{{\text{d}}t}},$$

где $v_{m}$ обозначает напряжение, индуцированное в цепи $m$. Это согласуется с приведенным выше определением индуктивности, если коэффициенты $L_{m,n}$ отождествляются с коэффициентами индуктивности. Поскольку полные токи $N_{n}\ i_{n}$ способствовать $\Phi _{m}$ из этого также следует, что $L_{m,n}$ пропорционален произведению витков $N_{m}\ N_{n}$.

Взаимная индуктивность и энергия магнитного поля

приведенного выше уравнения для v _m на im _{Умножение} dt и суммирование по m дает энергию, переданную системе за интервал времени dt : $$\sum \limits _{m}^{K}i_{m}v_{m}{\text{d}}t=\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}{\text{d}}i_{n}\mathrel {\overset {!}{=}} \sum \limits _{n=1}^{K}{\frac {\partial W\left(i\right)}{\partial i_{n}}}{\text{d}}i_{n}.$$

Это должно согласовываться с изменением энергии магнитного поля W , вызванным токами. Условие интегрируемости

$$\displaystyle {\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{m}\partial i_{n}}}={\frac {\partial ^{2}W}{\partial i_{n}\partial i_{m}}}$$

требуется L _m,n = L _n,m . Таким образом , матрица индуктивности L _m,n является симметричной. Интеграл передачи энергии — это энергия магнитного поля как функция токов: $$\displaystyle W\left(i\right)={\frac {1}{2}}\sum \limits _{m,n=1}^{K}i_{m}L_{m,n}i_{n}.$$

Это уравнение также является прямым следствием линейности уравнений Максвелла. Полезно связать изменение электрического тока с увеличением или уменьшением энергии магнитного поля. Соответствующая передача энергии требует или генерирует напряжение. Механическая аналогия в случае K = 1 с энергией магнитного поля (1/2) Li ² — тело с массой M , скоростью u и кинетической энергией (1/2) Mu ² . Скорость изменения скорости (тока), умноженная на массу (индуктивность), требует или генерирует силу (электрическое напряжение).

Принципиальная схема двух взаимно связанных индукторов. Две вертикальные линии между обмотками указывают на то, что трансформатор имеет ферромагнитный сердечник . «n:m» показывает соотношение количества витков левого индуктора к количеству витков правого индуктора. На этом рисунке также показано соглашение о точках .

Взаимная индуктивность возникает, когда изменение тока в одном индукторе индуцирует напряжение в другом соседнем индукторе. Он важен как механизм работы трансформаторов , но также может вызвать нежелательное соединение между проводниками в цепи.

Взаимная индуктивность, $M_{ij}$, также является мерой связи между двумя индукторами. Взаимная индуктивность по цепи $i$ на трассе $j$ задается двойной интегральной Неймана формулой , см. методику расчета

Взаимная индуктивность также имеет зависимость: $$M_{21}=N_{1}\ N_{2}\ P_{21}\!$$где

• $M_{21}$ — взаимная индуктивность, а нижний индекс указывает зависимость напряжения, наведенного в катушке 2, от тока в катушке 1.
• $N_{1}$ - количество витков в катушке 1,
• $N_{2}$ - количество витков в катушке 2,
• $P_{21}$ – проницаемость пространства, занимаемого потоком.

Как только взаимная индуктивность $M$ определен, его можно использовать для прогнозирования поведения схемы: $$v_{1}=L_{1}\ {\frac {{\text{d}}i_{1}}{{\text{d}}t}}-M\ {\frac {{\text{d}}i_{2}}{{\text{d}}t}}$$где

• $v_{1}$ – напряжение на интересующем индукторе;
• $L_{1}$ – индуктивность интересующего индуктора;
• ${\text{d}}i_{1}\,/\,{\text{d}}t$ является производной по времени тока через интересующий индуктор, обозначенный цифрой 1;
• ${\text{d}}i_{2}\,/\,{\text{d}}t$ — производная по времени тока через индуктор, обозначенный цифрой 2, который подключен к первому индуктору; и
• $M$ это взаимная индуктивность.

Знак минус возникает из-за смысла тока $i_{2}$ было определено на схеме. При обоих токах, обозначенных точками , знак $M$ будет положительным (вместо этого уравнение будет читаться со знаком плюс).

Коэффициент связи

Коэффициент связи представляет собой отношение фактического коэффициента напряжения холостого хода к коэффициенту, который был бы получен, если бы весь поток перешел от одной магнитной цепи к другой. Коэффициент связи связан с взаимной индуктивностью и самоиндукцией следующим образом. Из двух одновременных уравнений, выраженных в двухполюсной матрице, коэффициент трансформации холостого хода определяется как:

$${V_{2} \over V_{1}}_{\text{open circuit}}={M \over L_{1}}$$где

• $M^{2}=M_{1}M_{2}$

в то время как отношение, если весь поток связан, является соотношением витков, следовательно, отношением квадратного корня из индуктивностей

$${V_{2} \over V_{1}}_{\text{max coupling}}={\sqrt {L_{2} \over L_{1}\ }}$$

таким образом,

$$M=k{\sqrt {L_{1}\ L_{2}\ }}$$где

• $k$ коэффициент связи ,
• $L_{1}$ - индуктивность первой катушки, а
• $L_{2}$ - индуктивность второй катушки.

Коэффициент связи — удобный способ указать связь между определенной ориентацией катушек индуктивности с произвольной индуктивностью. Большинство авторов определяют диапазон как $0\leq k<1$, но некоторые определить это как $-1<k<1\,$. Разрешение отрицательных значений $k$ фиксирует инверсию фаз соединений катушек и направление обмоток.

Матричное представление

Взаимно связанные индукторы могут быть описаны любым из представлений матрицы параметров двухполюсной сети . Наиболее прямыми являются параметры z , которые определяются формулами

$$[\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}.$$

Параметры y определяются выражением

$$[\mathbf {y} ]={\frac {1}{s}}{\begin{bmatrix}L_{1}\ M\\M\ L_{2}\end{bmatrix}}^{-1}.$$ Где $s$ – комплексная частотная переменная, $L_{1}$ и $L_{2}$ – индуктивности первичной и вторичной катушек соответственно, $M$ - взаимная индуктивность между катушками.

Несколько связанных индукторов

Взаимная индуктивность может быть приложена к нескольким индукторам одновременно. Матричные представления для нескольких взаимно связанных индукторов имеют вид $${\begin{aligned}&[\mathbf {z} ]=s{\begin{bmatrix}L_{1}&M_{12}&M_{13}&\dots &M_{1N}\\M_{12}&L_{2}&M_{23}&\dots &M_{2N}\\M_{13}&M_{23}&L_{3}&\dots &M_{3N}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \\M_{1N}&M_{2N}&M_{3N}&\dots &L_{N}\\\end{bmatrix}}\\\end{aligned}}$$

Эквивалентные схемы

Т-образная схема

T эквивалентная схема взаимно связанных катушек индуктивности

Взаимно связанные индукторы могут быть эквивалентно представлены Т-образной цепью индукторов, как показано. Если связь сильная и индукторы имеют неравные значения, то последовательный индуктор на понижающей стороне может принять отрицательное значение.

Это можно проанализировать как сеть с двумя портами. С выходом, завершенным с некоторым произвольным сопротивлением $Z$, коэффициент усиления напряжения $A_{v}$, определяется,

$$A_{\mathrm {v} }={\frac {sMZ}{\,s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z\,}}={\frac {k}{\,s\left(1-k^{2}\right){\frac {\sqrt {L_{1}L_{2}}}{Z}}+{\sqrt {\frac {L_{1}}{L_{2}}}}\,}}$$

где $k$ константа связи и $s$ — комплексная частотная переменная, как указано выше.Для сильно связанных индукторов, где $k=1$ это сводится к

$$A_{\mathrm {v} }={\sqrt {L_{2} \over L_{1}}}$$

который не зависит от сопротивления нагрузки. Если индукторы намотаны на одном и том же сердечнике и имеют одинаковую геометрию, то это выражение равно числу витков двух индукторов, поскольку индуктивность пропорциональна квадрату соотношения витков.

Входное сопротивление сети определяется выражением:

$$Z_{\text{in}}={\frac {s^{2}L_{1}L_{2}-s^{2}M^{2}+sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)\left(1+{\frac {1-k^{2}}{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}\right)$$

Для $k=1$ это сводится к

$$Z_{\text{in}}={\frac {sL_{1}Z}{sL_{2}+Z}}={\frac {L_{1}}{L_{2}}}\,Z\,\left({\frac {1}{1+{\frac {Z}{\,sL_{2}\,}}}}\right)$$

Таким образом, текущий выигрыш $A_{i}$ является не независимой от нагрузки, если не выполняется дополнительное условие

$$|sL_{2}|\gg |Z|$$

выполняется, и в этом случае

$$Z_{\text{in}}\approx {L_{1} \over L_{2}}Z$$

и

$$A_{\text{i}}\approx {\sqrt {L_{1} \over L_{2}}}={1 \over A_{\text{v}}}$$

π-схема

π- эквивалентная схема связанных катушек индуктивности

Альтернативно, две связанные катушки индуктивности можно смоделировать с использованием π- эквивалентной схемы с дополнительными идеальными трансформаторами на каждом порту. Хотя схема сложнее Т-образной, ее можно обобщить. к цепям, состоящим из более чем двух связанных индукторов. Эквивалентные элементы схемы $L_{\text{s}}$, $L_{\text{p}}$ имеют физический смысл, моделируя соответственно магнитные сопротивления путей связи и магнитные сопротивления путей утечки . Например, электрические токи, протекающие через эти элементы, соответствуют магнитным потокам связи и рассеяния . Идеальные трансформаторы нормализуют все самоиндукции до 1 Генри, чтобы упростить математические формулы.

Эквивалентные значения элементов схемы можно рассчитать по коэффициентам связи с помощью $${\begin{aligned}L_{S_{ij}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{-\mathbf {C} _{ij}}}\\[3pt]L_{P_{i}}&={\frac {\det(\mathbf {K} )}{\sum _{j=1}^{N}\mathbf {C} _{ij}}}\end{aligned}}$$

где матрица коэффициентов связи и ее кофакторы определяются как

$\mathbf {K} ={\begin{bmatrix}1&k_{12}&\cdots &k_{1N}\\k_{12}&1&\cdots &k_{2N}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\k_{1N}&k_{2N}&\cdots &1\end{bmatrix}}\quad$ и $\quad \mathbf {C} _{ij}=(-1)^{i+j}\,\mathbf {M} _{ij}.$

Для двух связанных индукторов эти формулы упрощаются до

$L_{S_{12}}={\frac {-k_{12}^{2}+1}{k_{12}}}\quad$ и $\quad L_{P_{1}}=L_{P_{2}}\!=\!k_{12}+1,$

и для трех связанных индукторов (для краткости показано только для $L_{\text{s12}}$ и $L_{\text{p1}}$)

$L_{S_{12}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{13}\,k_{23}-k_{12}}}\quad$ и $\quad L_{P_{1}}={\frac {2\,k_{12}\,k_{13}\,k_{23}-k_{12}^{2}-k_{13}^{2}-k_{23}^{2}+1}{k_{12}\,k_{23}+k_{13}\,k_{23}-k_{23}^{2}-k_{12}-k_{13}+1}}.$

Резонансный трансформатор

Основная статья: Резонансная индуктивная связь

Когда к одной обмотке трансформатора подключают конденсатор, образуя настроенную цепь (резонансную цепь), такой трансформатор называется однонастроенным. Когда к каждой обмотке подключен конденсатор, это называется трансформатором с двойной настройкой . Эти резонансные трансформаторы могут хранить колеблющуюся электрическую энергию подобно резонансному контуру и, таким образом, функционировать как полосовой фильтр , позволяя частотам, близким к их резонансной частоте, проходить от первичной обмотки к вторичной, но блокируя другие частоты. Величина взаимной индуктивности между двумя обмотками вместе с добротностью цепи определяют форму кривой частотной характеристики. Преимущество трансформатора с двойной настройкой состоит в том, что он может иметь более широкую полосу пропускания, чем простая настроенная схема. Связь дважды настроенных цепей описывается как слабая, критическая или сверхсвязанная в зависимости от значения коэффициента связи. $k$. Когда две настроенные цепи слабо связаны друг с другом через взаимную индуктивность, полоса пропускания узкая. По мере увеличения взаимной индуктивности полоса пропускания продолжает расти. Когда взаимная индуктивность увеличивается за пределы критической связи, пик кривой частотной характеристики разделяется на два пика, и по мере увеличения связи эти два пика расходятся дальше друг от друга. Это известно как сверхсвязь.

Саморезонансные катушки с сильной связью можно использовать для беспроводной передачи энергии между устройствами на средних расстояниях (до двух метров). Сильная связь необходима для высокого процента передаваемой мощности, что приводит к пиковому расщеплению частотной характеристики.

Идеальные трансформаторы

Когда $k=1$индуктор называется тесно связанным. Если к тому же самоиндукции стремятся к бесконечности, дроссель становится идеальным трансформатором . В этом случае напряжения, токи и число витков могут быть связаны следующим образом:

$$V_{\text{s}}={\frac {N_{\text{s}}}{N_{\text{p}}}}V_{\text{p}}$$где

• $V_{\text{s}}$ - напряжение на вторичной катушке индуктивности,
• $V_{\text{p}}$ - напряжение на первичном индукторе (тот, который подключен к источнику питания),
• $N_{\text{s}}$ - количество витков вторичной катушки индуктивности, а
• $N_{\text{p}}$ — число витков первичного индуктора.

И наоборот, ток:

$$I_{\text{s}}={\frac {N_{\text{p}}}{N_{\text{s}}}}I_{\text{p}}$$где

• $I_{\text{s}}$ - ток через вторичный индуктор,
• $I_{\text{p}}$ - ток через первичный индуктор (тот, который подключен к источнику питания),
• $N_{\text{s}}$ - количество витков вторичной катушки индуктивности, а
• $N_{\text{p}}$ — число витков первичного индуктора.

Мощность через один индуктор такая же, как мощность через другой. В этих уравнениях не учитываются любые воздействия со стороны источников тока или источников напряжения.

Самоиндукция тонких проволок

См. Также: Индуктор § Формулы индуктивности.

В таблице ниже приведены формулы самоиндукции различных простых форм из тонких цилиндрических проводников (проводов). Как правило, они точны только в том случае, если радиус проволоки $a$ значительно меньше размеров формы, и если рядом нет ферромагнитных материалов (нет магнитопровода ).

Самоиндукция тонких проволок

Тип	Индуктивность	Комментарий
Один слой соленоид	Аппроксимационная формула Уиллера для токовой модели катушки с воздушным сердечником: ${\mathcal {L}}={\frac {N^{2}D^{2}}{18D+40\ell }}$ (дюймы) ${\mathcal {L}}={\frac {N^{2}D^{2}}{45.72D+101.6\ell }}$ (см) Эта формула дает погрешность не более 1% при $\ell >0.4\,D~.$	${\mathcal {L}}$ индуктивность в мкГн (10 −6 Генри) $N$ количество витков $D$ диаметр в (дюймах) (см) $\ell$ длина в (дюймах) (см)
Коаксиальный кабель (ВЧ)	${\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{2\pi }}\ell \ln \left({\frac {b}{a}}\right)$	$b$: Внутренний радиус внешних условий $a$: Внутренний радиус проводника $\ell$: Длина $\mu _{0}$: см. сноску к таблице.
Круговая петля	${\mathcal {L}}=\mu _{0}\ r\ \left[\ln \left({\frac {8r}{a}}\right)-2+{\tfrac {1}{4}}Y+{\mathcal {O}}\left({\frac {a^{2}}{r^{2}}}\right)\right]$	$r$: Радиус петли $a$: Радиус проволоки $\mu _{0},Y$: см. сноски к таблице.
Прямоугольник из круглый провод	${\begin{aligned}{\mathcal {L}}={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ {\biggl [}\ &\ell _{1}\ln \left({\frac {2\ell _{1}}{a}}\right)+\ell _{2}\ \ln \left({\frac {2\ell _{2}}{a}}\right)+2{\sqrt {\ell _{1}^{2}+\ell _{2}^{2}\ }}\\&-\ell _{1}\ \sinh ^{-1}\left({\frac {\ell _{1}}{\ell _{2}}}\right)-\ell _{2}\sinh ^{-1}\left({\frac {\ell _{2}}{\ell _{1}}}\right)\\&-\left(2-{\tfrac {1}{4}}Y\ \right)\left(\ell _{1}+\ell _{2}\right)\ {\biggr ]}\end{aligned}}$	$\ell _{1},\ell _{2}$: Длина сторон $\ \ell _{1}\gg a,\ell _{2}\gg a\$ $a$: Радиус проволоки $\mu _{0},Y$: см. сноски к таблице.
Пара параллельных провода	${\mathcal {L}}={\frac {\ \mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \left[\ln \left({\frac {s}{a}}\right)+{\tfrac {1}{4}}Y\right]$	$a$: Радиус проволоки $s$: Расстояние разделения, $s\geq 2a$ $\ell$: Длина пары $\mu _{0},Y$: см. сноски к таблице.
Пара параллельных провода (ВЧ)	${\begin{aligned}{\mathcal {L}}&={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \cosh ^{-1}\left({\frac {s}{2a}}\right)\\&={\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \ln \left({\frac {s}{2a}}+{\sqrt {{\frac {s^{2}}{4a^{2}}}-1}}\right)\\&\approx {\frac {\mu _{0}}{\pi }}\ \ell \ \ln \left({\frac {s}{a}}\right)\end{aligned}}$	$a$: Радиус проволоки $s$: Расстояние разделения, $s\geq 2a$ $\ell$: Длина (каждой) пары $\mu _{0}$: см. сноску к таблице.

$Y$ — это приблизительно постоянная величина от 0 до 1, которая зависит от распределения тока в проводе: $Y=0$ когда ток течет только по поверхности провода (полный скин-эффект ), $Y=1$ когда ток равномерно распределяется по сечению провода ( постоянный ток ). Для круглых проводов Роза (1908) дает формулу, эквивалентную:

$$Y\approx {\frac {1}{\,1+a\ {\sqrt {{\tfrac {1}{8}}\mu \sigma \omega \,}}\,}}$$

где

• $\omega =2\pi f$ – угловая частота, радиан в секунду;
• $\mu =\mu _{0}\,\mu _{\text{r}}$ – чистая магнитная проницаемость провода;
• $\sigma$ – удельная проводимость провода; и
• $a$ это радиус провода.

${\mathcal {O}}(x)$ представляет собой небольшие термины, которые были исключены из формулы, чтобы сделать ее проще. Прочтите термин ${}+{\mathcal {O}}(x)$ как «плюс небольшие поправки, которые варьируются порядка $x$ большое (см. обозначение О ).

См. также

• Электромагнитная индукция
• Гиратор
• Гидравлическая аналогия
• Индуктивность утечки
• Схема LC , Схема RLC , Схема RL
• Кинетическая индуктивность

Общие ссылки

• Фредерик В. Гровер (1952). Расчеты индуктивности . Dover Publications, Нью-Йорк.
• Гриффитс, Дэвид Дж. (1998). Введение в электродинамику (3-е изд.) . Прентис Холл. ISBN  0-13-805326-Х .
• Вангснесс, Роальд К. (1986). Электромагнитные поля (2-е изд.). Уайли. ISBN  0-471-81186-6 .
• Хьюз, Эдвард. (2002). Электрические и электронные технологии (8-е изд.) . Прентис Холл. ISBN  0-582-40519-Х .
• Купфмюллер К. , Введение в теоретическую электротехнику, Springer-Verlag, 1959.
• Хевисайд О., Электротехническая документация. Том 1. – Л.; Нью-Йорк: Макмиллан, 1892, с. 429-560.
• Фриц Лэнгфорд-Смит , редактор (1953). Справочник проектировщика радиотрона , 4-е издание, Amalgamated Wireless Valve Company Pty., Ltd. Глава 10, «Расчет индуктивности» (стр. 429–448), включает множество формул и номограмм для катушек, соленоидов и взаимной индуктивности.
• Ф. В. Сирс и М. В. Земанский, 1964 г., Университетская физика: третье издание (полный том) , Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Reading MA, LCCC 63-15265 (без ISBN).

Внешние ссылки

• Лаборатория автомобильной электроники Клемсона: калькулятор индуктивности