Карта Абеля-Якоби

В математике отображение Абеля-Якоби — это конструкция алгебраической геометрии , которая связывает алгебраическую кривую с ее якобиевым многообразием . В римановой геометрии это более общая конструкция, отображающая многообразие в его тор Якоби. Название происходит от теоремы Абеля . и Якоби о том, что два эффективных дивизора тогда линейно эквивалентны и только тогда, когда они неразличимы при отображении Абеля – Якоби

Строительство карты

В комплексной алгебраической геометрии якобиан кривой C строится с помощью интегрирования по путям. А именно, предположим, что C имеет род g , что топологически означает, что

$H_{1}(C,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} ^{2g}.$

Геометрически эта группа гомологий состоит из (классов гомологий) циклов в C или, другими словами, замкнутых петель. Поэтому можем выбрать 2 г. петли $\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{2g}$ генерируя его. С другой стороны, другой, более алгебро-геометрический способ сказать, что род C равен g, состоит в том, что

$H^{0}(C,K)\cong \mathbb {C} ^{g},$

где K — каноническое расслоение на C .

По определению, это пространство глобально определенных голоморфных дифференциальных форм на C , поэтому мы можем выбрать g линейно независимых форм $\omega _{1},\ldots ,\omega _{g}$. Учитывая формы и замкнутые циклы, мы можем интегрировать и определить 2 g вектора.

$\Omega _{j}=\left(\int _{\gamma _{j}}\omega _{1},\ldots ,\int _{\gamma _{j}}\omega _{g}\right)\in \mathbb {C} ^{g}.$

следует Из билинейных соотношений Римана , что $\Omega _{j}$ создать невырожденную решетку $\Lambda$ (то есть они являются реальной основой для $\mathbb {C} ^{g}\cong \mathbb {R} ^{2g}$), а якобиан определяется формулой

$J(C)=\mathbb {C} ^{g}/\Lambda .$

Тогда отображение Абеля–Якоби определяется следующим образом. Мы выбираем некоторую базовую точку $p_{0}\in C$ и, почти имитируя определение $\Lambda ,$ определить карту

${\begin{cases}u:C\to J(C)\\u(p)=\left(\int _{p_{0}}^{p}\omega _{1},\dots ,\int _{p_{0}}^{p}\omega _{g}\right){\bmod {\Lambda }}\end{cases}}$

Хотя это, по-видимому, зависит от пути от $p_{0}$ к $p,$ любые два таких пути образуют замкнутый контур в $C$ и, следовательно, является элементом $H_{1}(C,\mathbb {Z} ),$ поэтому интегрирование по нему дает элемент $\Lambda .$ Таким образом, разница стирается при переходе к фактору по $\Lambda$. Изменение базовой точки $p_{0}$ меняет карту, но только путем перевода тора.

Отображение Абеля–Якоби риманова многообразия.

Позволять $M$ быть гладким компактным многообразием . Позволять $\pi =\pi _{1}(M)$ быть его фундаментальной группой. Позволять $f:\pi \to \pi ^{ab}$ быть его картой абелианизации . Позволять $\operatorname {tor} =\operatorname {tor} (\pi ^{ab})$ быть периодической подгруппой $\pi ^{ab}$. Позволять $g:\pi ^{ab}\to \pi ^{ab}/\operatorname {tor}$ быть фактором кручения. Если $M$ представляет собой поверхность, $\pi ^{ab}/\operatorname {tor}$ неканонически изоморфен $\mathbb {Z} ^{2g}$, где $g$ это род; в более общем смысле, $\pi ^{ab}/\operatorname {tor}$ неканонически изоморфен $\mathbb {Z} ^{b}$, где $b$ — первое число Бетти . Позволять $\varphi =g\circ f:\pi \to \mathbb {Z} ^{b}$ — составной гомоморфизм.

Определение. Обложка ${\bar {M}}$ многообразия $M$ соответствующий подгруппе $\ker(\varphi )\subset \pi$ называется универсальным (или максимальным) свободным абелевым накрытием.

Теперь предположим $M$ имеет риманову метрику . Позволять $E$ — пространство гармонических 1-форм на $M$, с двойным $E^{*}$ канонически отождествляемый с $H_{1}(M,\mathbb {R} )$. Путем интегрирования целочисленной гармонической 1-формы по путям от базовой точки $x_{0}\in M$, мы получаем карту окружности $\mathbb {R} /\mathbb {Z} =S^{1}$.

Аналогично, чтобы определить карту $M\to H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }$ не выбирая базис когомологий, мы рассуждаем следующим образом. Позволять $x$ быть точкой на универсальной обложке ${\tilde {M}}$ из $M$. Таким образом $x$ представлена ​​точкой $M$ вместе с дорогой $c$ от $x_{0}$ к этому. Интегрируя по пути $c$, получим линейную форму на $E$:

$h\to \int _{c}h.$

Это порождает карту

${\tilde {M}}\to E^{*}=H_{1}(M,\mathbb {R} ),$

которое, кроме того, сводится к карте

${\begin{cases}{\overline {A}}_{M}:{\overline {M}}\to E^{*}\\c\mapsto \left(h\mapsto \int _{c}h\right)\end{cases}}$

где ${\overline {M}}$ является универсальным свободным абелевым накрытием.

Определение. Разновидность Якоби (тор Якоби) $M$ это тор

$J_{1}(M)=H_{1}(M,\mathbb {R} )/H_{1}(M,\mathbb {Z} )_{\mathbb {R} }.$

Определение. Карта Абеля – Якоби

$A_{M}:M\to J_{1}(M),$

получается из приведенной выше карты переходом к факторам.

Отображение Абеля–Якоби уникально с точностью до перевода тора Якоби. Карта имеет приложения в систолической геометрии . Отображение Абеля – Якоби риманова многообразия проявляется в асимптотике теплового ядра на периодическом многообразии в большом времени ( Котани и Сунада (2000) и Сунада (2012) ).

Во многом таким же образом можно определить теоретико-графовый аналог отображения Абеля – Якоби как кусочно-линейное отображение конечного графа в плоский тор (или граф Кэли, связанный с конечной абелевой группой), что тесно связано к асимптотическому поведению случайных блужданий на кристаллических решетках и может использоваться для проектирования кристаллических структур.

Отображение Абеля–Якоби компактной римановой поверхности.

Мы даем аналитическую конструкцию отображения Абеля-Якоби на компактных римановых поверхностях.

Позволять $M$ обозначает компактную риманову поверхность рода $g>0$. Позволять $\{a_{1},...,a_{g},b_{1},...,b_{g}\}$ быть каноническим базисом гомологии на $M$, и $\{\zeta _{1},...,\zeta _{g}\}$ двойная основа для ${\mathcal {H}}^{1}(M)$, который представляет собой $g$ Размерное комплексное векторное пространство состоит из голоморфных дифференциальных форм . Двойной базис мы имеем в виду $\int _{a_{k}}\zeta _{j}=\delta _{jk}$, для $j,k=1,...,g$. Мы можем сформировать симметричную матрицу, элементы которой $\int _{b_{k}}\zeta _{j}$, для $j,k=1,...,g$. Позволять $L$ — решетка, порожденная $2g$-колонны $g\times 2g$ матрица, элементы которой состоят из $\int _{c_{k}}\zeta _{j}$ для $j,k=1,...,g$ где $c_{k}\in \{a_{k},b_{k}\}$. Мы звоним $J(M)={\mathbb {C}}^{g}/L(M)$ Якобианская разновидность ​ $M$ который представляет собой компактный коммутативный $g$-мерная комплексная группа Ли.

Мы можем определить карту $\varphi :M\to J(M)$ выбрав точку $P_{0}\in M$ и настройка $\varphi (P)=\left(\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{1},...,\int _{P_{0}}^{P}\zeta _{g}\right).$ которое является корректно определенным голоморфным отображением ранга 1 (максимального ранга). Тогда мы можем естественным образом распространить это на отображение классов дивизоров;

Если мы обозначим $\mathrm {Div} (M)$ группа делителей классов $M$ затем определите карту $\varphi :\mathrm {Div} (M)\to J(M)$ установив $\varphi (D)=\sum _{j=1}^{r}\varphi (P_{j})-\sum _{j=1}^{s}\varphi (Q_{j}),\quad D=P_{1}\cdots P_{r}/Q_{1}\cdots Q_{s}.$

Обратите внимание, что если $r=s$ тогда эта карта не зависит от выбора базовой точки, поэтому мы можем определить независимую от базовой точки карту. $\varphi _{0}:\mathrm {Div} ^{(0)}(M)\to J(M)$ где $\mathrm {Div} ^{(0)}(M)$ обозначает делители нулевой степени числа $M$.

Приведенная ниже теорема Абеля показывает, что ядро ​​отображения $\varphi _{0}$ это в точности подгруппа главных делителей. Вместе с проблемой обращения Якоби мы можем сказать, что $J(M)$ как группа изоморфна группе делителей нулевой степени по модулю своей подгруппы главных делителей.

Теорема Абеля – Якоби

Следующая теорема была доказана Абелем (известная как теорема Абеля): Предположим, что

$D=\sum \nolimits _{i}n_{i}p_{i}$

является делителем (имеется в виду формальная целочисленно-линейная комбинация точек C ). Мы можем определить

$u(D)=\sum \nolimits _{i}n_{i}u(p_{i})$

и поэтому говорим о ценности отображения Абеля–Якоби на дивизоры. Тогда теорема состоит в том, что если D и E являются двумя эффективными делителями, то это означает, что $n_{i}$ все положительные целые числа, то

$u(D)=u(E)$ тогда и только тогда, когда $D$ эквивалентен линейно ​ $E.$ Отсюда следует, что отображение Абеля-Якоби индуцирует инъективное отображение (абелевых групп) пространства классов дивизоров нулевой степени в якобиан.

Якоби доказал, что это отображение также сюръективно (известно как проблема обращения Якоби), поэтому две группы естественно изоморфны.

Из теоремы Абеля–Якоби следует, что многообразие Альбанезе компактной комплексной кривой (двойственное голоморфным 1-формам по модулю периодов) изоморфно своему якобиану многообразию (дивизорам степени 0 по модулю эквивалентности). Для многомерных компактных проективных многообразий многообразие Альбанезе и многообразие Пикара двойственно, но не обязательно изоморфно.

Ссылки

• Э. Арбарелло; М. Корнальба; П. Гриффитс; Дж. Харрис (1985). «1.3, Теорема Абеля ». Геометрия алгебраических кривых, Том 1 . Основные принципы математических наук. Издательство Спрингер . ISBN  978-0-387-90997-4 .
• Котани, Мотоко ; Сунада, Тошиказу (2000), «Карты Альбанезе и недиагональная долговременная асимптотика теплового ядра», Comm. Математика. Физ. , 209 : 633–670, Бибкод : 2000CMaPh.209..633K , doi : 10.1007/s002200050033
• Сунада, Тошиказу (2012), «Лекция по топологической кристаллографии», Япония. Дж. Математика. , 7 : 1–39, doi : 10.1007/s11537-012-1144-4
• Фаркас, Гершель М; Кра, Ирвин (23 декабря 1991 г.), поверхности Римана , Нью-Йорк: Springer, ISBN  978-0387977034