Голоморфная функция

В математике голоморфная функция — это комплекснозначная функция одной или нескольких комплексных переменных, которая комплексно дифференцируема в окрестности каждой точки области в комплексном координатном пространстве . $\mathbb {C} ^{n}$ ⁠ . Существование комплексной производной в окрестности является очень сильным условием: оно означает, что голоморфная функция бесконечно дифференцируема и локально равна своему собственному ряду Тейлора ( аналитична ). Голоморфные функции — центральные объекты изучения комплексного анализа .

Хотя термин «аналитическая функция » часто используется как синоним «голоморфной функции», слово «аналитическая» определяется в более широком смысле для обозначения любой функции (действительной, комплексной или более общего типа), которую можно записать в виде сходящегося степенного ряда . в окрестности каждой точки своей области . То, что все голоморфные функции являются комплексными аналитическими функциями, и наоборот, является основной теоремой комплексного анализа . ^{[ 1 ]}

Голоморфные функции также иногда называют регулярными функциями . ^{[ 2 ]} Голоморфная функция, областью определения которой является вся комплексная плоскость, называется целой функцией . Фраза «голоморфен в точке ⁠ $z_{0}$ ⁠ " означает не просто дифференцируемый в ⁠ $z_{0}$ ⁠ , но дифференцируемо всюду в пределах некоторой близкой окрестности ⁠ $z_{0}$ ⁠ в комплексной плоскости.

Определение

Учитывая комплексную функцию ⁠ $f$ ⁠ одной комплексной переменной производная ⁠ , $f$ ⁠ в точку ⁠ $z_{0}$ ⁠ в своей области определяется как предел ^{[ 3 ]}

f'(z_{0})=\lim _{z\to z_{0}}{\frac {f(z)-f(z_{0})}{z-z_{0}}}.

Это то же определение, что и для производной вещественной функции , за исключением того, что все величины являются комплексными. В частности, за предел берется комплексное число ⁠ $z$ ⁠ имеет тенденцию ⁠ $z_{0}$ ⁠ , а это означает, что одно и то же значение получается для любой последовательности комплексных значений для ⁠ $z$ ⁠ это имеет тенденцию ⁠ $z_{0}$ ⁠ . Если предел существует, ⁠ $f$ ⁠ Говорят, что комплексно дифференцируем в точке ⁠ $z_{0}$ ⁠ . Эта концепция комплексной дифференцируемости имеет несколько общих свойств с реальной дифференцируемостью : она линейна и подчиняется правилу произведения , правилу фактора и правилу цепочки . ^{[ 4 ]}

Функция голоморфна на открытом множестве ⁠ $U$ ⁠ если он комплексно дифференцируем в каждой точке ⁠ $U$ ⁠ . Функция ⁠ $f$ ⁠ голоморфен ⁠ точке в $z_{0}$ ⁠, он голоморфен в некоторой окрестности ⁠ если $z_{0}$ ⁠ . ^{[ 5 ]} Функция голоморфна на некотором неоткрытом множестве ⁠ $A$ ⁠, если он голоморфен в каждой точке ⁠ $A$ ⁠ .

Функция может быть комплексно дифференцируемой в некоторой точке, но не голоморфной в этой точке. Например, функция $\textstyle f(z)=|z|{\vphantom {l}}^{2}=z{\bar {z}}$ комплексно дифференцируем в ⁠ $0$ ⁠ , но не является комплексно дифференцируемым где-либо еще, особенно. в том числе нигде рядом ⁠ $0$ ⁠ (см. уравнения Коши – Римана ниже). Итак, он не голоморфен в точке ⁠ $0$ ⁠ .

Связь между действительной дифференцируемостью и комплексной дифференцируемостью следующая: если комплексная функция ⁠ $f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ ⁠ голоморфен, то ⁠ $u$ ⁠ и ⁠ $v$ ⁠ имеют первые частные производные по ⁠ $x$ ⁠ и ⁠ $y$ ⁠ и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана : ^{[ 6 ]}

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\,

или, что то же самое, производная Виртингера от ⁠ $f$ ⁠ относительно ⁠ ${\bar {z}}$ ⁠ , комплексно- сопряженный ⁠ $z$ ⁠ , равен нулю: ^{[ 7 ]}

{\frac {\partial f}{\partial {\bar {z}}}}=0,

то есть, грубо говоря, ⁠ $f$ ⁠ функционально независим от ⁠ ${\bar {z}}$ ⁠ , комплексно-сопряженный ⁠ $z$ ⁠ .

Если непрерывность не задана, обратное не обязательно верно. Простое обратное: если ⁠ $u$ ⁠ и ⁠ $v$ ⁠ имеют непрерывные первые частные производные и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, тогда ⁠ $f$ ⁠ голоморфен. Более удовлетворительное обратное утверждение, которое гораздо труднее доказать, — это теорема Лумана–Меншоффа : если ⁠ $f$ ⁠ непрерывен, ⁠ $u$ ⁠ и ⁠ $v$ ⁠ имеют первые частные производные (но не обязательно непрерывные) и удовлетворяют уравнениям Коши – Римана, тогда ⁠ $f$ ⁠ голоморфен. ^{[ 8 ]}

Терминология

Термин «голоморфный» был введен в 1875 году Шарлем Брио и Жан-Клодом Буке , двумя учениками Коши , и происходит от греческого ὅλος ( hólos ), означающего «целое», и μορφή ( morphḗ ), означающего «форма» или «видимость». или «тип», в отличие от термина мероморфный, происходящего от μέρος ( méros ) означает «часть». Голоморфная функция напоминает целую функцию («целое») в области комплексной плоскости, тогда как мероморфная функция (определяемая как голоморфная, за исключением определенных изолированных полюсов ) напоминает рациональную дробь («часть») целых функций в области. сложной плоскости. ^{[ а ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]} Вместо этого Коши использовал термин синектика . ^{[ б ]}

Сегодня термин «голоморфная функция» иногда предпочитают термину «аналитическая функция». Важным результатом комплексного анализа является то, что каждая голоморфная функция является комплексно-аналитической, что не следует очевидным образом из определений. Однако термин «аналитический» также широко используется.

Характеристики

Поскольку комплексное дифференцирование линейно и подчиняется правилам произведения, фактора и цепочки, суммы, произведения и композиции голоморфных функций голоморфны, а фактор двух голоморфных функций голоморфен везде, где знаменатель не равен нулю. ^{[ 12 ]} То есть, если функции ⁠ $f$ ⁠ и ⁠ $g$ ⁠ голоморфны в области ⁠ $U$ ⁠ , то и ⁠ $f+g$ ⁠ , ⁠ $f-g$ ⁠ , ⁠ $fg$ ⁠ и ⁠ $f\circ g$ ⁠ . Кроме того, ⁠ $f/g$ ⁠ голоморфен, если ⁠ $g$ ⁠ не имеет нулей в ⁠ $U$ ⁠ ; в противном случае оно мероморфно .

Если кто-то идентифицирует ⁠ $\mathbb {C}$ ⁠ с настоящим самолётом ⁠ $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ ⁠ , то голоморфные функции совпадают с теми функциями двух действительных переменных с непрерывными первыми производными, которые решают уравнения Коши – Римана , набор двух уравнений в частных производных . ^{[ 6 ]}

Любую голоморфную функцию можно разделить на действительную и мнимую части ⁠ $f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ ⁠ , и каждая из них является гармонической функцией на ⁠ $\textstyle \mathbb {R} ^{2}$ ⁠ (каждый удовлетворяет уравнению Лапласа ⁠ $\textstyle \nabla ^{2}u=\nabla ^{2}v=0$ ⁠ ), с ⁠ $v$ ⁠ гармоническое сопряжение ⁠ $u$ ⁠ . ^{[ 13 ]} И наоборот, каждая гармоническая функция ⁠ $u(x,y)$ ⁠ в односвязной области ⁠ $\textstyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$ ⁠ — действительная часть голоморфной функции: Если ⁠ $v$ ⁠ — гармоническое сопряжение ⁠ $u$ ⁠ , единственный с точностью до константы, то ⁠ $f(x+iy)=u(x,y)+i\,v(x,y)$ ⁠ голоморфен.

Интегральная теорема Коши подразумевает, что контурный интеграл каждой голоморфной функции вдоль петли равен нулю: ^{[ 14 ]}

\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} z=0.

Здесь ⁠ $\gamma$ ⁠ — спрямляемый путь в односвязной комплексной области ⁠ $U\subset \mathbb {C}$ ⁠ начальная точка которого равна его конечной точке, и ⁠ $f\colon U\to \mathbb {C}$ ⁠ — голоморфная функция.

Интегральная формула Коши утверждает, что каждая голоморфная внутри диска функция полностью определяется своими значениями на границе диска. ^{[ 14 ]} Более того: предположим, что ⁠ $U\subset \mathbb {C}$ ⁠ — комплексная область, ⁠ $f\colon U\to \mathbb {C}$ ⁠ — голоморфная функция, а замкнутый диск ⁠ $D\equiv \{z:$ ⁠ содержится полностью в ⁠ $U$ ⁠ . Пусть ⁠ $\gamma$ ⁠ — круг, границу ⁠ образующий $D$ ⁠ . Тогда для каждого ⁠ $a$ ⁠ в интерьере ⁠ $D$ ⁠ :

f(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{z-a}}\,\mathrm {d} z

где контурный интеграл берется против часовой стрелки .

Производная ⁠ ${f'}(a)$ ⁠ можно записать в виде контурного интеграла ^{[ 14 ]} используя формулу дифференцирования Коши :

f'\!(a)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\gamma }{\frac {f(z)}{(z-a)^{2}}}\,\mathrm {d} z,

для любой простой петли, положительно обвивающей один раз ⁠ $a$ ⁠ и

f'\!(a)=\lim \limits _{\gamma \to a}{\frac {i}{2{\mathcal {A}}(\gamma )}}\oint _{\gamma }f(z)\,\mathrm {d} {\bar {z}},

для бесконечно малых положительных петель ⁠ $\gamma$ ⁠ вокруг ⁠ $a$ ⁠ .

В областях, где первая производная не равна нулю, голоморфные функции конформны : они сохраняют углы и форму (но не размер) маленьких фигур. ^{[ 15 ]}

Любая голоморфная функция аналитична . То есть голоморфная функция ⁠ $f$ ⁠ имеет производные любого порядка в каждой точке ⁠ $a$ ⁠ в своей области определения и совпадает со своим рядом Тейлора в точке ⁠ $a$ ⁠ в окрестностях ⁠ $a$ ⁠ . На самом деле, ⁠ $f$ ⁠ совпадает со своим рядом Тейлора в точке ⁠ $a$ ⁠ в любом диске с центром в этой точке и лежащем в пределах области определения функции.

С алгебраической точки зрения множество голоморфных функций на открытом множестве представляет собой коммутативное кольцо и комплексное векторное пространство . Кроме того, множество голоморфных функций в открытом множестве ⁠ $U$ ⁠ является областью целостности тогда и только тогда, когда открытое множество ⁠ $U$ ⁠ подключен. ^{[ 7 ]} Фактически, это локально выпуклое топологическое векторное пространство , полунормы которого являются супремумами на компактных подмножествах .

С геометрической точки зрения функция ⁠ $f$ ⁠ голоморфен в ⁠ $z_{0}$ ⁠ тогда и только тогда, когда его внешняя производная ⁠ $\mathrm {d} f$ ⁠ в районе ⁠ $U$ ⁠ из ⁠ $z_{0}$ ⁠ равен ⁠ $f'(z)\,\mathrm {d} z$ ⁠ для некоторой непрерывной функции ⁠ $f'$ ⁠ . Это следует из

0=\mathrm {d} ^{2}f=\mathrm {d} (f'\,\mathrm {d} z)=\mathrm {d} f'\wedge \mathrm {d} z

это ⁠ $\mathrm {d} f'$ ⁠ также пропорционален ⁠ $\mathrm {d} z$ ⁠ , подразумевая, что производная ⁠ $\mathrm {d} f'$ ⁠ сам по себе голоморфен, и поэтому ⁠ $f$ ⁠ бесконечно дифференцируема. Точно так же ⁠ $\mathrm {d} (f\,\mathrm {d} z)=f'\,\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} z=0$ ⁠ подразумевает, что любая функция ⁠ $f$ ⁠ голоморфный в односвязной области ⁠ $U$ ⁠ также интегрируемо на ⁠ $U$ ⁠ .

(Для пути ⁠ $\gamma$ ⁠ из ⁠ $z_{0}$ от ⁠ до ⁠ $z$ ⁠ полностью лежит в ⁠ $U$ ⁠ , определить ⁠ $F_{\gamma }(z)=F(0)+\int _{\gamma }f\,\mathrm {d} z$ ⁠ ; в свете теоремы о жордановой кривой и обобщенной теоремы Стокса , ⁠ $F_{\gamma }(z)$ ⁠ не зависит от конкретного выбора пути ⁠ $\gamma$ ⁠ , и, таким образом , ⁠ $F(z)$ ⁠ — корректно определенная функция на ⁠ $U$ ⁠ имея ⁠ $\mathrm {d} F=f\,\mathrm {d} z$ ⁠ или ⁠ $f={\frac {\mathrm {d} F}{\mathrm {d} z}}$ ⁠ .

Примеры

Все полиномиальные функции в ⁠ $z$ ⁠ с комплексными коэффициентами — целые функции (голоморфные во всей комплексной плоскости ⁠ $\mathbb {C}$ ⁠ ), а также показательная функция ⁠ $\exp z$ ⁠ и тригонометрические функции ⁠ $\cos {z}={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}\exp(+iz)+\exp(-iz){\bigr )}$ ⁠ и ⁠ $\sin {z}=-{\tfrac {1}{2}}i{\bigl (}\exp(+iz)-\exp(-iz){\bigr )}$ ⁠ (ср. формулу Эйлера ). Главная ветвь функции комплексного ⁠ логарифма $\log z$ ⁠ голоморфен в области ⁠ $\mathbb {C} \smallsetminus \{z\in \mathbb {R} :z\leq 0\}$ ⁠ . Функцию квадратного корня можно определить как ⁠ ${\sqrt {z}}\equiv \exp {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}\log z{\bigr )}$ ⁠ и поэтому голоморфен везде, где логарифм ⁠ $\log z$ ⁠ есть. функция Обратная ⁠ ${\tfrac {1}{z}}$ ⁠ голоморфен на ⁠ $\mathbb {C} \smallsetminus \{0\}$ ⁠ . Обратная функция и любая другая рациональная функция мероморфны на ( ⁠ $\mathbb {C}$ ⁠ .)

Как следствие уравнений Коши-Римана , любая голоморфная функция с действительным знаком должна быть постоянной . Следовательно, абсолютное значение $|z|$ , аргумент ⁠ $\arg z$ ⁠ , настоящая часть ⁠ $\operatorname {Re} (z)$ ⁠ и мнимая часть ⁠ $\operatorname {Im} (z)$ ⁠ не голоморфны. Другим типичным примером непрерывной функции, которая не является голоморфной, является комплексно-сопряженная ⁠ ${\bar {z}}.$ ⁠ (Комплексное сопряжение антиголоморфно .)

Несколько переменных

Определение голоморфной функции напрямую обобщается на несколько комплексных переменных. Функция ⁠ $f\colon (z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})$ ⁠ в ⁠ $n$ ⁠ комплексная переменная аналитична в точке ⁠ $p$ ⁠, если существует окрестность ⁠ $p$ ⁠ в котором ⁠ $f$ ⁠ равен сходящемуся степенному ряду в ⁠ $n$ ⁠ комплексные переменные; ^{[ 16 ]} функция ⁠ $f$ ⁠ голоморфен в открытом подмножестве ⁠ $U$ ⁠ из ⁠ $\mathbb {C} ^{n}$ ⁠ если он аналитичен в каждой точке ⁠ $U$ ⁠ . Лемма Осгуда показывает (с использованием многомерной интегральной формулы Коши), что для непрерывной функции ⁠ $f$ ⁠ , это эквивалентно ⁠ $f$ ⁠ голоморфен по каждой переменной в отдельности (это означает, что если таковые имеются ⁠ $n-1$ координаты ⁠ фиксированы, то ограничение ⁠ $f$ ⁠ — голоморфная функция оставшейся координаты). Гораздо более глубокая теорема Хартогса доказывает, что предположение о непрерывности не является необходимым: ⁠ $f$ ⁠ голоморфен тогда и только тогда, когда он голоморфен по каждой переменной в отдельности.

В более общем смысле, функция нескольких комплексных переменных, интегрируемая с квадратом по каждому компактному подмножеству своей области определения, является аналитической тогда и только тогда, когда она удовлетворяет уравнениям Коши – Римана в смысле распределений.

Функции нескольких комплексных переменных в некоторых основных отношениях более сложны, чем функции одной комплексной переменной. Например, область сходимости степенного ряда не обязательно представляет собой открытый шар; эти области представляют собой логарифмически-выпуклые области Рейнхардта , простейшим примером которых является полидиск . Однако они также имеют некоторые фундаментальные ограничения. В отличие от функций одной комплексной переменной, возможные области, в которых существуют голоморфные функции, которые не могут быть расширены на более крупные области, сильно ограничены. Такое множество называется областью голоморфности .

Комплексный дифференциал ⁠ $(p,0)$ ⁠ -form ⁠ $\alpha$ ⁠ голоморфен тогда и только тогда, когда его антиголоморфная производная Дольбо равна нулю: ⁠ ${\bar {\partial }}\alpha =0$ ⁠ .

Расширение функционального анализа

Понятие голоморфной функции можно распространить на бесконечномерные пространства функционального анализа . Например, производная Фреше или Гато может использоваться для определения понятия голоморфной функции в банаховом пространстве над полем комплексных чисел.

См. также

Сноски

^ Оригинальные французские термины были голоморф и мероморф .

Когда функция непрерывна, монотропна и имеет производную, когда переменная движется в определенной части плоскости , мы будем говорить, что она голоморфна в этой части плоскости. Этим именем мы указываем, что она подобна целочисленным функциям , обладающим этими свойствами на всей протяженности плоскости. [...]

Рациональная дробь принимает в качестве полюсов корни знаменателя; это голоморфная функция в любой части плоскости, не содержащей ни одного из ее полюсов.

Когда функция голоморфна в какой-то части плоскости, за исключением некоторых полюсов, мы будем говорить, что она мероморфна в этой части плоскости, то есть подобна рациональным дробям. - Брио и Букет (1875) , стр. 14–15 ^{[ 9 ]}

[Когда функция непрерывна, монотропна и имеет производную, когда переменная движется в определенной части плоскости , мы говорим, что она голоморфна в этой части плоскости. Под этим названием мы подразумеваем, что оно напоминает целые функции , обладающие этими свойствами во всем объеме плоскости. ... ]

[Рациональная дробь допускает в качестве полюсов корни ; знаменателя это голоморфная функция во всей той части плоскости, которая не содержит полюсов.]

[Когда функция голоморфна в части плоскости, за исключением определенных полюсов, мы говорим, что она мероморфна в этой части плоскости, то есть она похожа на рациональные дроби. - Харкнесс и Морли (1893) , с. 161 ^{[ 10 ]}]
^ Брио и Букет (1859) , с. 11 ранее также использовали Коши термин синектика ( по-французски Synectique ) в первом издании своей книги. ^{[ 11 ]}

Ссылки

^ «Аналитические функции одной комплексной переменной» . Энциклопедия математики . Европейское математическое общество / Спрингер. 2015 г. - через энциклопедию ofmath.org.
^ «Аналитическая функция» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] , получено 26 февраля 2021 г.
^ Альфорс, Л. , Комплексный анализ, 3-е изд. (МакГроу-Хилл, 1979).
^ Хенричи, П. (1986) [1974, 1977]. Прикладной и вычислительный комплексный анализ . Уайли. Три тома, изд.: 1974, 1977, 1986.
^ Эбенфельт, Питер; Хунгербюлер, Норберт; Кон, Джозеф Дж.; Мок, Нгайминг; Штраубе, Эмиль Дж. (2011). Комплексный анализ . Научные и деловые СМИ. Спрингер – через Google.
^ Jump up to: ^а ^б Маркушевич, А.И. (1965). Теория функций комплексного переменного . Прентис-Холл. [В трех томах.]
^ Jump up to: ^а ^б Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Современный анализ. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл . ISBN 9780821869536 . МР 0180696 . Збл 0141.08601 – через Google.
^ Грей, Джей Ди; Моррис, ЮАР (апрель 1978 г.). «Когда функция, удовлетворяющая уравнениям Коши-Римана, является аналитической?». Американский математический ежемесячник . 85 (4): 246–256. дои : 10.2307/2321164 . JSTOR 2321164 .
^ Jump up to: ^а ^б Бриот, Калифорния ; Буке, Ж.-К. (1875). «§15 голоморфные функции» . Теория эллиптических функций на ( французском языке) (2-е изд.). Готье-Виллар. стр. 14–15.
^ Jump up to: ^а ^б Харкнесс, Джеймс ; Морли, Фрэнк (1893). «5. Интеграция» . Трактат по теории функций . Макмиллан. п. 161.
^ Бриот, Калифорния ; Буке, Ж.-К. (1859). «§10» . Теория двоякопериодических функций . Малле-Башелье. п. 11.
^ Хенричи, Питер (1993) [1986]. Прикладной и вычислительный комплексный анализ . Библиотека классической литературы Уайли. Том. 3 (Переиздание). Нью-Йорк – Чичестер – Брисбен – Торонто – Сингапур: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-58986-1 . МР 0822470 . Zbl 1107.30300 – через Google.
^ Эванс, LC (1998). Уравнения в частных производных . Американское математическое общество.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Ланг, Серж (2003). Комплексный анализ . Спрингер Верлаг GTM. Спрингер Верлаг .
^ Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). McGraw – Hill Book Co. Нью-Йорк: ISBN 978-0-07-054234-1 . МР 0924157 .
^ Ганнинг и Росси. Аналитические функции нескольких комплексных переменных . п. 2.

Дальнейшее чтение

Блейки, Джозеф (1958). Университетская математика (2-е изд.). Лондон, Великобритания: Блэки и сыновья. ОСЛК 2370110 .

Внешние ссылки

«Аналитическая функция» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]

[11] Оригинальные французские термины были голоморф и мероморф .

Когда функция непрерывна, монотропна и имеет производную, когда переменная движется в определенной части плоскости , мы будем говорить, что она голоморфна в этой части плоскости. Этим именем мы указываем, что она подобна целочисленным функциям , обладающим этими свойствами на всей протяженности плоскости. [...]

Рациональная дробь принимает в качестве полюсов корни знаменателя; это голоморфная функция в любой части плоскости, не содержащей ни одного из ее полюсов.

Когда функция голоморфна в какой-то части плоскости, за исключением некоторых полюсов, мы будем говорить, что она мероморфна в этой части плоскости, то есть подобна рациональным дробям. - Брио и Букет (1875) , стр. 14–15 ^{[ 9 ]}

[Когда функция непрерывна, монотропна и имеет производную, когда переменная движется в определенной части плоскости , мы говорим, что она голоморфна в этой части плоскости. Под этим названием мы подразумеваем, что оно напоминает целые функции , обладающие этими свойствами во всем объеме плоскости. ... ]

[Рациональная дробь допускает в качестве полюсов корни ; знаменателя это голоморфная функция во всей той части плоскости, которая не содержит полюсов.]

[Когда функция голоморфна в части плоскости, за исключением определенных полюсов, мы говорим, что она мероморфна в этой части плоскости, то есть она похожа на рациональные дроби. - Харкнесс и Морли (1893) , с. 161 ^{[ 10 ]}]

[13] Брио и Букет (1859) , с. 11 ранее также использовали Коши термин синектика ( по-французски Synectique ) в первом издании своей книги. ^{[ 11 ]}

[1] «Аналитические функции одной комплексной переменной» . Энциклопедия математики . Европейское математическое общество / Спрингер. 2015 г. - через энциклопедию ofmath.org.

[2] «Аналитическая функция» , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994] , получено 26 февраля 2021 г.

[3] Альфорс, Л. , Комплексный анализ, 3-е изд. (МакГроу-Хилл, 1979).

[4] Хенричи, П. (1986) [1974, 1977]. Прикладной и вычислительный комплексный анализ . Уайли. Три тома, изд.: 1974, 1977, 1986.

[5] Эбенфельт, Питер; Хунгербюлер, Норберт; Кон, Джозеф Дж.; Мок, Нгайминг; Штраубе, Эмиль Дж. (2011). Комплексный анализ . Научные и деловые СМИ. Спрингер – через Google.

[Mark-6] Jump up to: ^а ^б Маркушевич, А.И. (1965). Теория функций комплексного переменного . Прентис-Холл. [В трех томах.]

[Gunning-7] Jump up to: ^а ^б Ганнинг, Роберт С .; Росси, Хьюго (1965). Аналитические функции нескольких комплексных переменных . Современный анализ. Энглвуд Клиффс, Нью-Джерси: Прентис-Холл . ISBN 9780821869536 . МР 0180696 . Збл 0141.08601 – через Google.

[8] Грей, Джей Ди; Моррис, ЮАР (апрель 1978 г.). «Когда функция, удовлетворяющая уравнениям Коши-Римана, является аналитической?». Американский математический ежемесячник . 85 (4): 246–256. дои : 10.2307/2321164 . JSTOR 2321164 .

[Briot-Bouquet-1875-9] Jump up to: ^а ^б Бриот, Калифорния ; Буке, Ж.-К. (1875). «§15 голоморфные функции» . Теория эллиптических функций на ( французском языке) (2-е изд.). Готье-Виллар. стр. 14–15.

[Harkness-Morley-1893-10] Jump up to: ^а ^б Харкнесс, Джеймс ; Морли, Фрэнк (1893). «5. Интеграция» . Трактат по теории функций . Макмиллан. п. 161.

[Briot-Bouquet-1859-12] Бриот, Калифорния ; Буке, Ж.-К. (1859). «§10» . Теория двоякопериодических функций . Малле-Башелье. п. 11.

[14] Хенричи, Питер (1993) [1986]. Прикладной и вычислительный комплексный анализ . Библиотека классической литературы Уайли. Том. 3 (Переиздание). Нью-Йорк – Чичестер – Брисбен – Торонто – Сингапур: John Wiley & Sons . ISBN 0-471-58986-1 . МР 0822470 . Zbl 1107.30300 – через Google.

[15] Эванс, LC (1998). Уравнения в частных производных . Американское математическое общество.

[Lang-16] Jump up to: ^а ^б ^с Ланг, Серж (2003). Комплексный анализ . Спрингер Верлаг GTM. Спрингер Верлаг .

[17] Рудин, Уолтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). McGraw – Hill Book Co. Нью-Йорк: ISBN 978-0-07-054234-1 . МР 0924157 .

[18] Ганнинг и Росси. Аналитические функции нескольких комплексных переменных . п. 2.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ а ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ б ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 11 ]

Базы данных авторитетного контроля
Международный	БЫСТРЫЙ
Национальный	Франция Данные БнФ Германия Израиль Соединенные Штаты Япония Чешская Республика