Jump to content

Закон Гаусса для магнетизма

В физике , закон магнетизма Гаусса — одно из четырёх уравнений Максвелла лежащих в основе классической электродинамики . В нем говорится, что магнитное поле B имеет дивергенцию, равную нулю, [ 1 ] другими словами, это соленоидальное векторное поле . Это эквивалентно утверждению, что магнитных монополей не существует. [ 2 ] Вместо «магнитных зарядов» основной сущностью магнетизма является магнитный диполь . (Если бы монополи когда-либо были обнаружены, закон пришлось бы изменить, как описано ниже .)

Закон Гаусса для магнетизма можно записать в двух формах: дифференциальной и интегральной . Эти формы эквивалентны в силу теоремы о расходимости .

Название «Закон Гаусса для магнетизма». [ 1 ] не используется повсеместно. Закон еще называют «Отсутствие свободных магнитных полюсов ». [ 2 ] Его также называют «требованием трансверсальности». [ 3 ] потому что для плоских волн требуется, чтобы поляризация была поперечна направлению распространения.

Дифференциальная форма

[ редактировать ]

Дифференциальная форма закона Гаусса для магнетизма:

где ∇ · обозначает дивергенцию , а B магнитное поле .

Интегральная форма

[ редактировать ]
Определение замкнутой поверхности.
Слева: некоторые примеры замкнутых поверхностей включают поверхность сферы, поверхность тора и поверхность куба. Магнитный поток через любую из этих поверхностей равен нулю.
Справа: некоторые примеры незамкнутых поверхностей включают поверхность диска , квадратную поверхность или поверхность полусферы. Все они имеют границы (красные линии) и не полностью охватывают трехмерный объем. Магнитный поток через эти поверхности не обязательно равен нулю .

Интегральная форма закона Гаусса для магнетизма гласит:

\оинт

где S — любая замкнутая поверхность (см. изображение справа), — магнитный поток через S , а d S вектор , величина которого равна площади бесконечно малого участка поверхности S и направление которого — направленная наружу нормаль к поверхности ( см. в разделе «Поверхностный интеграл» более подробную информацию ).

Таким образом, закон магнетизма Гаусса гласит, что суммарный магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю.

Интегральная и дифференциальная формы закона Гаусса для магнетизма математически эквивалентны в силу теоремы о дивергенции . Тем не менее, тот или иной вариант может оказаться более удобным для использования в конкретных вычислениях.

Закон в этой форме гласит, что для каждого элемента объема в пространстве существует одинаковое количество «линий магнитного поля», входящих и выходящих из объема. Никакой полный «магнитный заряд» не может накопиться ни в одной точке пространства. Например, южный полюс магнита точно так же силен, как и северный, а свободно плавающие южные полюса без сопровождающих их северных полюсов (магнитных монополей) не допускаются. Напротив, это не относится к другим полям, таким как электрические поля или гравитационные поля , где общий электрический заряд или масса могут накапливаться в объеме пространства.

Векторный потенциал

[ редактировать ]

В соответствии с теоремой о разложении Гельмгольца закон Гаусса для магнетизма эквивалентен следующему утверждению: [ 4 ] [ 5 ]

Существует векторное поле A такое, что

Векторное поле А называется магнитным векторным потенциалом .

Обратите внимание, что существует более одного возможного поля A , которое удовлетворяет этому уравнению для данного B. поля На самом деле их бесконечно много: любое поле формы φ можно добавить к A, чтобы получить альтернативный выбор для A по тождеству (см. Тождества векторного исчисления ): поскольку ротор градиента представляет собой нулевое векторное поле :

Этот произвол в A называется калибровочной свободой .

Линии поля

[ редактировать ]

Магнитное поле B можно изобразить с помощью силовых линий (также называемых линиями потока направление которых соответствует направлению B , и чья поверхностная плотность пропорциональна величине B. ) – то есть набора кривых , Закон Гаусса для магнетизма эквивалентен утверждению, что силовые линии не имеют ни начала, ни конца: каждая из них либо образует замкнутый контур, вращается вечно, так и не соединившись в точности, либо простирается до бесконечности.

Включение магнитных монополей

[ редактировать ]

Если бы магнитные монополи были открыты, то закон магнетизма Гаусса установил бы, что расхождение B было бы пропорционально магнитного заряда плотности ρ m , аналогично закону Гаусса для электрического поля. Для нулевой чистой плотности магнитного заряда ( ρ m = 0 ) результатом является исходная форма закона магнетизма Гаусса.

Модифицированная формула для использования с СИ не является стандартной и зависит от выбора определяющего уравнения для магнитного заряда и тока; одном варианте магнитный заряд имеет единицы веберы , в другом амперметры в .

Система Уравнение
СИ ( веберовская конвенция) [ 6 ]
СИ ( условное обозначение ампер - метр ) [ 7 ]
CGS-гауссиан [ 8 ]

где µ 0 проницаемость вакуума .

До сих пор примеры магнитных монополей оспариваются в обширных поисках. [ 9 ] хотя в некоторых статьях сообщается о примерах, соответствующих такому поведению. [ 10 ]

Идея о несуществовании магнитных монополей возникла в 1269 году Петром Перегрином де Марикуром . Его работа сильно повлияла на Уильяма Гилберта , чья работа «Де Магнете» 1600 года распространила эту идею дальше. В начале 1800-х годов Майкл Фарадей вновь ввел этот закон, и впоследствии он был использован в Джеймса Клерка Максвелла уравнениях электромагнитного поля .

Численные вычисления

[ редактировать ]

При численном вычислении численное решение может не удовлетворять закону Гаусса для магнетизма из-за ошибок дискретизации численных методов. Однако во многих случаях, например в магнитогидродинамике , важно точно (с точностью до машинной точности) сохранить закон Гаусса для магнетизма. Нарушение закона Гаусса для магнетизма на дискретном уровне приведет к появлению сильной нефизической силы. Ввиду сохранения энергии нарушение этого условия приводит к неконсервативному интегралу энергии, а ошибка пропорциональна расходимости магнитного поля. [ 11 ]

Существуют различные способы сохранить закон Гаусса для магнетизма в численных методах, включая методы очистки дивергенций. [ 12 ] метод вынужденной транспортировки, [ 13 ] потенциально-ориентированные формулировки [ 14 ] и методы конечных элементов на основе комплексов де Рама [ 15 ] [ 16 ] где стабильные и сохраняющие структуру алгоритмы строятся на неструктурированных сетках с дифференциальными формами конечных элементов.

См. также

[ редактировать ]
  1. ^ Перейти обратно: а б Чоу, Тай Л. (2006). Электромагнитная теория: современный взгляд . Джонс и Бартлетт . п. 134. ИСБН  0-7637-3827-1 .
  2. ^ Перейти обратно: а б Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли . п. 237. ИСБН  0-471-30932-Х .
  3. ^ Джоаннопулос, Джон Д.; Джонсон, Стив Г.; Винн, Джошуа Н.; Мид, Роберт Д. (2008). Фотонные кристаллы: формирование потока света (2-е изд.). Издательство Принстонского университета . п. 9. ISBN  978-0-691-12456-8 .
  4. ^ Шильдерс, ВАЗ; и др. (2005). Справочник по численному анализу . Эльзевир Наука. п. 13. ISBN  978-0-444-51375-5 . [ постоянная мертвая ссылка ]
  5. ^ Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли . п. 180. ИСБН  0-471-30932-Х .
  6. ^ Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли . п. 273, экв. 6.150.
  7. ^ См., например, уравнение 4 в Новаковски, М.; Келкар, Н.Г. (2005). «Закон Фарадея при наличии магнитных монополей». Письма по еврофизике . 71 (3): 346. arXiv : Physics/0508099 . Бибкод : 2005EL.....71..346N . дои : 10.1209/epl/i2004-10545-2 . S2CID   17729781 .
  8. ^ Мулен, Ф. (2001). «Магнитные монополи и сила Лоренца». Иль Нуово Чименто Б. 116 (8): 869–877. arXiv : math-ph/0203043 . Бибкод : 2001NCimB.116..869M .
  9. ^ Магнитные монополи , отчет группы данных о частицах , обновленный в августе 2015 года Д. Милстедом и Э. Дж. Вайнбергом. «На сегодняшний день не было подтвержденных наблюдений экзотических частиц, обладающих магнитным зарядом».
  10. ^ Кастельново, К.; Месснер, Р.; Сондхи, SL (3 января 2008 г.). «Магнитные монополи в спиновом льду». Природа. 451 (7174): 42–45. arXiv:0710.5515. Бибкод:2008Natur.451...42C. doi: 10.1038/nature06433. PMID 18172493. S2CID 2399316.
  11. ^ Брэкбилл, Ю.; Барнс, округ Колумбия (май 1980 г.). «Влияние ненулевого ∇ · B на численное решение уравнений магнитной гидродинамики». Журнал вычислительной физики . 35 (3): 426–430. Бибкод : 1980JCoPh..35..426B . дои : 10.1016/0021-9991(80)90079-0 .
  12. ^ Тот, Габор (1 июля 2000 г.). «Ограничение ∇·B=0 в кодах магнитогидродинамики, учитывающих удары». Журнал вычислительной физики . 161 (2): 605–652. Бибкод : 2000JCoPh.161..605T . дои : 10.1006/jcph.2000.6519 . ISSN   0021-9991 . S2CID   122112157 .
  13. ^ Эрнквист, Ларс; Фогельсбергер, Марк; Моц, Филип (21 июля 2014 г.). «Схема транспорта с ограничениями для МГД на неструктурированных статических и движущихся сетках» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 442 (1): 43–55. arXiv : 1402.5963 . Бибкод : 2014МНРАС.442...43М . дои : 10.1093/mnras/stu865 . ISSN   0035-8711 .
  14. ^ Жардин, Стивен (2010). Вычислительные методы в физике плазмы (1-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press. ISBN  9780429075537 .
  15. ^ Ху, Кайбо; Ма, Иконг; Сюй, Цзиньчао (1 февраля 2017 г.). «Стабильные методы конечных элементов, сохраняющие ∇·B=0 точно для МГД-моделей». Нумерическая математика . 135 (2): 371–396. дои : 10.1007/s00211-016-0803-4 . ISSN   0945-3245 . S2CID   30546761 .
  16. ^ Ма, Иконг; Ху, Кайбо; Ху, Сяочжэ; Сюй, Цзиньчао (июль 2016 г.). «Надежные предобуславливатели для несжимаемых МГД-моделей». Журнал вычислительной физики . 316 : 721–746. arXiv : 1503.02553 . Бибкод : 2016JCoPh.316..721M . дои : 10.1016/j.jcp.2016.04.019 . S2CID   7777728 .
[ редактировать ]
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: 46c71e728e756681aed3f6693c725391__1719893160
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/46/91/46c71e728e756681aed3f6693c725391.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Gauss's law for magnetism - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)