Закон Гаусса для магнетизма

В физике , закон магнетизма Гаусса — одно из четырёх уравнений Максвелла лежащих в основе классической электродинамики . В нем говорится, что магнитное поле $B$ имеет дивергенцию, равную нулю, ^{[ 1 ]} другими словами, это соленоидальное векторное поле . Это эквивалентно утверждению, что магнитных монополей не существует. ^{[ 2 ]} Вместо «магнитных зарядов» основной сущностью магнетизма является магнитный диполь . (Если бы монополи когда-либо были обнаружены, закон пришлось бы изменить, как описано ниже .)

Закон Гаусса для магнетизма можно записать в двух формах: дифференциальной и интегральной . Эти формы эквивалентны в силу теоремы о расходимости .

Название «Закон Гаусса для магнетизма». ^{[ 1 ]} не используется повсеместно. Закон еще называют «Отсутствие свободных магнитных полюсов ». ^{[ 2 ]} Его также называют «требованием трансверсальности». ^{[ 3 ]} потому что для плоских волн требуется, чтобы поляризация была поперечна направлению распространения.

Дифференциальная форма

Дифференциальная форма закона Гаусса для магнетизма:

$\nabla \cdot \mathbf {B} =0$

где $\nabla \cdot$ обозначает дивергенцию , а $B$ — магнитное поле .

Интегральная форма

Определение замкнутой поверхности.
**Слева:** некоторые примеры замкнутых поверхностей включают поверхность сферы, поверхность тора и поверхность куба. Магнитный поток через любую из этих поверхностей равен нулю.
**Справа:** некоторые примеры незамкнутых поверхностей включают поверхность диска , квадратную поверхность или поверхность полусферы. Все они имеют границы (красные линии) и не полностью охватывают трехмерный объем. Магнитный поток через эти поверхности *не обязательно равен нулю* .

Интегральная форма закона Гаусса для магнетизма гласит:

$\Phi _{B}=$ $\оинт$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$

где $S$ — любая замкнутая поверхность (см. изображение справа), $\Phi _{B}$ — магнитный поток через $S$ , а $d S$ — вектор , величина которого равна площади бесконечно малого участка поверхности $S$ и направление которого — направленная наружу нормаль к поверхности ( см. в разделе «Поверхностный интеграл» более подробную информацию ).

Таким образом, закон магнетизма Гаусса гласит, что суммарный магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю.

Интегральная и дифференциальная формы закона Гаусса для магнетизма математически эквивалентны в силу теоремы о дивергенции . Тем не менее, тот или иной вариант может оказаться более удобным для использования в конкретных вычислениях.

Закон в этой форме гласит, что для каждого элемента объема в пространстве существует одинаковое количество «линий магнитного поля», входящих и выходящих из объема. Никакой полный «магнитный заряд» не может накопиться ни в одной точке пространства. Например, южный полюс магнита точно так же силен, как и северный, а свободно плавающие южные полюса без сопровождающих их северных полюсов (магнитных монополей) не допускаются. Напротив, это не относится к другим полям, таким как электрические поля или гравитационные поля , где общий электрический заряд или масса могут накапливаться в объеме пространства.

Векторный потенциал

В соответствии с теоремой о разложении Гельмгольца закон Гаусса для магнетизма эквивалентен следующему утверждению: ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}

Существует векторное поле

A

такое, что

\mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} .

Векторное поле $А$ называется магнитным векторным потенциалом .

Обратите внимание, что существует более одного возможного $поля A$ , которое удовлетворяет этому уравнению для данного $B.$ поля На самом деле их бесконечно много: любое поле формы $\nabla φ$ можно добавить к $A,$ чтобы получить альтернативный выбор для $A$ по тождеству (см. Тождества векторного исчисления ): $\nabla \times \mathbf {A} =\nabla \times (\mathbf {A} +\nabla \phi )$ поскольку ротор градиента представляет собой нулевое векторное поле : $\nabla \times \nabla \phi ={\boldsymbol {0}}$

Этот произвол в $A$ называется калибровочной свободой .

Линии поля

Магнитное поле $B$ можно изобразить с помощью силовых линий (также называемых линиями потока направление которых соответствует направлению $B$ , и чья поверхностная плотность пропорциональна величине $B.$ ) – то есть набора кривых , Закон Гаусса для магнетизма эквивалентен утверждению, что силовые линии не имеют ни начала, ни конца: каждая из них либо образует замкнутый контур, вращается вечно, так и не соединившись в точности, либо простирается до бесконечности.

Включение магнитных монополей

Если бы магнитные монополи были открыты, то закон магнетизма Гаусса установил бы, что расхождение $B$ было бы пропорционально магнитного заряда плотности $ρ m$ , аналогично закону Гаусса для электрического поля. Для нулевой чистой плотности магнитного заряда ( $ρ m = 0$ ) результатом является исходная форма закона магнетизма Гаусса.

Модифицированная формула для использования с СИ не является стандартной и зависит от выбора определяющего уравнения для магнитного заряда и тока; одном варианте магнитный заряд имеет единицы веберы , в другом амперметры — в .

Система	Уравнение
СИ ( веберовская конвенция) ^{[ 6 ]}	$\nabla \cdot \mathbf {B} =\rho _{\mathrm {m} }$
СИ ( условное обозначение ампер - метр ) ^{[ 7 ]}	$\nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\rho _{\mathrm {m} }$
CGS-гауссиан ^{[ 8 ]}	$\nabla \cdot \mathbf {B} =4\pi \rho _{\mathrm {m} }$

где $µ 0$ — проницаемость вакуума .

До сих пор примеры магнитных монополей оспариваются в обширных поисках. ^{[ 9 ]} хотя в некоторых статьях сообщается о примерах, соответствующих такому поведению. ^{[ 10 ]}

История

Идея о несуществовании магнитных монополей возникла в 1269 году Петром Перегрином де Марикуром . Его работа сильно повлияла на Уильяма Гилберта , чья работа «Де Магнете» 1600 года распространила эту идею дальше. В начале 1800-х годов Майкл Фарадей вновь ввел этот закон, и впоследствии он был использован в Джеймса Клерка Максвелла уравнениях электромагнитного поля .

Численные вычисления

При численном вычислении численное решение может не удовлетворять закону Гаусса для магнетизма из-за ошибок дискретизации численных методов. Однако во многих случаях, например в магнитогидродинамике , важно точно (с точностью до машинной точности) сохранить закон Гаусса для магнетизма. Нарушение закона Гаусса для магнетизма на дискретном уровне приведет к появлению сильной нефизической силы. Ввиду сохранения энергии нарушение этого условия приводит к неконсервативному интегралу энергии, а ошибка пропорциональна расходимости магнитного поля. ^{[ 11 ]}

Существуют различные способы сохранить закон Гаусса для магнетизма в численных методах, включая методы очистки дивергенций. ^{[ 12 ]} метод вынужденной транспортировки, ^{[ 13 ]} потенциально-ориентированные формулировки ^{[ 14 ]} и методы конечных элементов на основе комплексов де Рама ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} где стабильные и сохраняющие структуру алгоритмы строятся на неструктурированных сетках с дифференциальными формами конечных элементов.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б Чоу, Тай Л. (2006). Электромагнитная теория: современный взгляд . Джонс и Бартлетт . п. 134. ИСБН 0-7637-3827-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли . п. 237. ИСБН 0-471-30932-Х .
^ Джоаннопулос, Джон Д.; Джонсон, Стив Г.; Винн, Джошуа Н.; Мид, Роберт Д. (2008). Фотонные кристаллы: формирование потока света (2-е изд.). Издательство Принстонского университета . п. 9. ISBN 978-0-691-12456-8 .
^ Шильдерс, ВАЗ; и др. (2005). Справочник по численному анализу . Эльзевир Наука. п. 13. ISBN 978-0-444-51375-5 . ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}
^ Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли . п. 180. ИСБН 0-471-30932-Х .
^ Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли . п. 273, экв. 6.150.
^ См., например, уравнение 4 в Новаковски, М.; Келкар, Н.Г. (2005). «Закон Фарадея при наличии магнитных монополей». Письма по еврофизике . 71 (3): 346. arXiv : Physics/0508099 . Бибкод : 2005EL.....71..346N . дои : 10.1209/epl/i2004-10545-2 . S2CID 17729781 .
^ Мулен, Ф. (2001). «Магнитные монополи и сила Лоренца». Иль Нуово Чименто Б. 116 (8): 869–877. arXiv : math-ph/0203043 . Бибкод : 2001NCimB.116..869M .
^ Магнитные монополи , отчет группы данных о частицах , обновленный в августе 2015 года Д. Милстедом и Э. Дж. Вайнбергом. «На сегодняшний день не было подтвержденных наблюдений экзотических частиц, обладающих магнитным зарядом».
^ Кастельново, К.; Месснер, Р.; Сондхи, SL (3 января 2008 г.). «Магнитные монополи в спиновом льду». Природа. 451 (7174): 42–45. arXiv:0710.5515. Бибкод:2008Natur.451...42C. doi: 10.1038/nature06433. PMID 18172493. S2CID 2399316.
^ Брэкбилл, Ю.; Барнс, округ Колумбия (май 1980 г.). «Влияние ненулевого ∇ · B на численное решение уравнений магнитной гидродинамики». Журнал вычислительной физики . 35 (3): 426–430. Бибкод : 1980JCoPh..35..426B . дои : 10.1016/0021-9991(80)90079-0 .
^ Тот, Габор (1 июля 2000 г.). «Ограничение ∇·B=0 в кодах магнитогидродинамики, учитывающих удары». Журнал вычислительной физики . 161 (2): 605–652. Бибкод : 2000JCoPh.161..605T . дои : 10.1006/jcph.2000.6519 . ISSN 0021-9991 . S2CID 122112157 .
^ Эрнквист, Ларс; Фогельсбергер, Марк; Моц, Филип (21 июля 2014 г.). «Схема транспорта с ограничениями для МГД на неструктурированных статических и движущихся сетках» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 442 (1): 43–55. arXiv : 1402.5963 . Бибкод : 2014МНРАС.442...43М . дои : 10.1093/mnras/stu865 . ISSN 0035-8711 .
^ Жардин, Стивен (2010). Вычислительные методы в физике плазмы (1-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 9780429075537 .
^ Ху, Кайбо; Ма, Иконг; Сюй, Цзиньчао (1 февраля 2017 г.). «Стабильные методы конечных элементов, сохраняющие ∇·B=0 точно для МГД-моделей». Нумерическая математика . 135 (2): 371–396. дои : 10.1007/s00211-016-0803-4 . ISSN 0945-3245 . S2CID 30546761 .
^ Ма, Иконг; Ху, Кайбо; Ху, Сяочжэ; Сюй, Цзиньчао (июль 2016 г.). «Надежные предобуславливатели для несжимаемых МГД-моделей». Журнал вычислительной физики . 316 : 721–746. arXiv : 1503.02553 . Бибкод : 2016JCoPh.316..721M . дои : 10.1016/j.jcp.2016.04.019 . S2CID 7777728 .

Внешние ссылки

СМИ, связанные с законом Гаусса о магнетизме, на Викискладе?

[Chow-1] Перейти обратно: ^а ^б Чоу, Тай Л. (2006). Электромагнитная теория: современный взгляд . Джонс и Бартлетт . п. 134. ИСБН 0-7637-3827-1 .

[Jackson-2] Перейти обратно: ^а ^б Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли . п. 237. ИСБН 0-471-30932-Х .

[Joannopoulos-3] Джоаннопулос, Джон Д.; Джонсон, Стив Г.; Винн, Джошуа Н.; Мид, Роберт Д. (2008). Фотонные кристаллы: формирование потока света (2-е изд.). Издательство Принстонского университета . п. 9. ISBN 978-0-691-12456-8 .

[4] Шильдерс, ВАЗ; и др. (2005). Справочник по численному анализу . Эльзевир Наука. п. 13. ISBN 978-0-444-51375-5 . ^{[ постоянная мертвая ссылка ]}

[5] Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли . п. 180. ИСБН 0-471-30932-Х .

[6] Джексон, Джон Дэвид (1999). Классическая электродинамика (3-е изд.). Уайли . п. 273, экв. 6.150.

[7] См., например, уравнение 4 в Новаковски, М.; Келкар, Н.Г. (2005). «Закон Фарадея при наличии магнитных монополей». Письма по еврофизике . 71 (3): 346. arXiv : Physics/0508099 . Бибкод : 2005EL.....71..346N . дои : 10.1209/epl/i2004-10545-2 . S2CID 17729781 .

[8] Мулен, Ф. (2001). «Магнитные монополи и сила Лоренца». Иль Нуово Чименто Б. 116 (8): 869–877. arXiv : math-ph/0203043 . Бибкод : 2001NCimB.116..869M .

[9] Магнитные монополи , отчет группы данных о частицах , обновленный в августе 2015 года Д. Милстедом и Э. Дж. Вайнбергом. «На сегодняшний день не было подтвержденных наблюдений экзотических частиц, обладающих магнитным зарядом».

[10] Кастельново, К.; Месснер, Р.; Сондхи, SL (3 января 2008 г.). «Магнитные монополи в спиновом льду». Природа. 451 (7174): 42–45. arXiv:0710.5515. Бибкод:2008Natur.451...42C. doi: 10.1038/nature06433. PMID 18172493. S2CID 2399316.

[11] Брэкбилл, Ю.; Барнс, округ Колумбия (май 1980 г.). «Влияние ненулевого ∇ · B на численное решение уравнений магнитной гидродинамики». Журнал вычислительной физики . 35 (3): 426–430. Бибкод : 1980JCoPh..35..426B . дои : 10.1016/0021-9991(80)90079-0 .

[12] Тот, Габор (1 июля 2000 г.). «Ограничение ∇·B=0 в кодах магнитогидродинамики, учитывающих удары». Журнал вычислительной физики . 161 (2): 605–652. Бибкод : 2000JCoPh.161..605T . дои : 10.1006/jcph.2000.6519 . ISSN 0021-9991 . S2CID 122112157 .

[13] Эрнквист, Ларс; Фогельсбергер, Марк; Моц, Филип (21 июля 2014 г.). «Схема транспорта с ограничениями для МГД на неструктурированных статических и движущихся сетках» . Ежемесячные уведомления Королевского астрономического общества . 442 (1): 43–55. arXiv : 1402.5963 . Бибкод : 2014МНРАС.442...43М . дои : 10.1093/mnras/stu865 . ISSN 0035-8711 .

[14] Жардин, Стивен (2010). Вычислительные методы в физике плазмы (1-е изд.). Бока-Ратон: CRC Press. ISBN 9780429075537 .

[15] Ху, Кайбо; Ма, Иконг; Сюй, Цзиньчао (1 февраля 2017 г.). «Стабильные методы конечных элементов, сохраняющие ∇·B=0 точно для МГД-моделей». Нумерическая математика . 135 (2): 371–396. дои : 10.1007/s00211-016-0803-4 . ISSN 0945-3245 . S2CID 30546761 .

[16] Ма, Иконг; Ху, Кайбо; Ху, Сяочжэ; Сюй, Цзиньчао (июль 2016 г.). «Надежные предобуславливатели для несжимаемых МГД-моделей». Журнал вычислительной физики . 316 : 721–746. arXiv : 1503.02553 . Бибкод : 2016JCoPh.316..721M . дои : 10.1016/j.jcp.2016.04.019 . S2CID 7777728 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]