Логистическая функция

или Логистическая функция логистическая кривая — это обычная S-образная кривая ( сигмовидная кривая ) с уравнением

f(x)={\frac {L}{1+e^{-k(x-x_{0})}}}

где

L

– несущая способность , верхняя граница значений функции;

k

– темп роста логистики, крутизна кривой; и

x_{0}

это

x

значение средней точки функции. ^[1]

Логистическая функция имеет область действия действительных чисел , предел как $x\to -\infty$ равен 0, а предел как $x\to +\infty$ является $L$ .

Стандартная логистическая функция, где $L=1,k=1,x_{0}=0$ .

Стандартная логистическая функция , изображенная справа, где $L=1,k=1,x_{0}=0$ , имеет уравнение

f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}

и иногда его просто называют сигмовидной . ^[2] Его также иногда называют выходом , поскольку он является инверсией логита . ^[3]^[4]

Логистическая функция находит применение в ряде областей, включая биологию (особенно экологию ), биоматематику , химию , демографию , экономику , геонауки , математическую психологию , теорию вероятности , социологию , политологию , лингвистику , статистику и искусственные нейронные сети . Существуют различные обобщения , в зависимости от области.

История

Логистическая функция была введена в серии из трех статей Пьером Франсуа Верхюльстом между 1838 и 1847 годами, который разработал ее как модель роста населения путем корректировки модели экспоненциального роста под руководством Адольфа Кетле . ^[5] Ферхюльст впервые разработал эту функцию в середине 1830-х годов, опубликовав краткую заметку в 1838 году: ^[1] затем представил расширенный анализ и назвал функцию в 1844 г. (опубликовано в 1845 г.); ^[а]^[6] третий документ скорректировал поправочный член в своей модели роста населения Бельгии. ^[7]

Начальная стадия роста примерно экспоненциальная (геометрическая); затем, когда начинается насыщение, рост замедляется до линейного (арифметического), а при зрелости рост приближается к пределу с экспоненциально затухающим разрывом, как и начальный этап наоборот.

Ферхюльст не объяснил выбор термина «логистика» (франц. Logistic ), но он, по-видимому, противоположен логарифмической кривой, ^[8]^[б] и по аналогии с арифметикой и геометрической. Его модели роста предшествует обсуждение арифметического роста и геометрического роста (кривую которого он называет логарифмической кривой вместо современного термина «экспоненциальная кривая »), и поэтому «логистический рост», предположительно, назван по аналогии, термин «логистика» происходит от древнегреческого : λογῐστῐκός , латинизированное : логистикос , традиционный раздел греческой математики . ^[с]

Это слово происходит от древнегреческих математических терминов. ^[9]Название этой функции не связано с военным и управленческим термином «логистика» , который происходит от французского языка : logis «жилище», ^[10] хотя некоторые полагают, что этот греческий термин также повлиял на логистику ; ^[9] см . в разделе «Логистика § Происхождение» подробности .

Математические свойства

The стандартная логистическая функция — это логистическая функция с параметрами $k=1$ , $x_{0}=0$ , $L=1$ , что дает

$f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {e^{x/2}}{e^{x/2}+e^{-x/2}}}.$

На практике из-за характера показательной функции $e^{-x}$ , часто бывает достаточно вычислить стандартную логистическую функцию для $x$ в небольшом диапазоне действительных чисел, например в диапазоне, содержащемся в [−6, +6], поскольку он быстро сходится очень близко к значениям насыщения 0 и 1.

Симметрии

Логистическая функция обладает свойством симметрии, которое

$1-f(x)=f(-x).$

Это отражает то, что рост от 0, когда $x$ мала, симметрична распаду щели до предела (1), когда $x$ большой.

Дальше, $x\mapsto f(x)-1/2$ это нечетная функция .

Сумма логистической функции и ее отражение относительно вертикальной оси, $f(-x)$ , является

${\frac {1}{1+e^{-x}}}+{\frac {1}{1+e^{-(-x)}}}={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}+{\frac {1}{e^{x}+1}}=1.$

Таким образом, логистическая функция вращательно-симметрична относительно точки (0, 1/2). ^[11]

Обратная функция

Логистическая функция является обратной натуральной логит- функцией.

\operatorname {logit} p=\log {\frac {p}{1-p}}{\text{ for }}0<p<1

и таким образом преобразует логарифм шансов в вероятность . Преобразование логарифмического отношения правдоподобия двух альтернатив также принимает форму логистической кривой.

Гиперболический тангенс

Логистическая функция представляет собой функцию смещения и масштабированного гиперболического тангенса : $f(x)={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\tanh \left({\frac {x}{2}}\right),$ или $\tanh(x)=2f(2x)-1.$

Это следует из ${\begin{aligned}\tanh(x)&={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{x}\cdot \left(1-e^{-2x}\right)}{e^{x}\cdot \left(1+e^{-2x}\right)}}\\&=f(2x)-{\frac {e^{-2x}}{1+e^{-2x}}}=f(2x)-{\frac {e^{-2x}+1-1}{1+e^{-2x}}}=2f(2x)-1.\end{aligned}}$

Отношение гиперболического тангенса приводит к другой форме производной логистической функции:

${\frac {d}{dx}}f(x)={\frac {1}{4}}\operatorname {sech} ^{2}\left({\frac {x}{2}}\right),$

который связывает логистическую функцию с логистическим распределением .

Геометрически функция гиперболического тангенса представляет собой гиперболический угол на единичной гиперболе. $x^{2}-y^{2}=1$ , что влияет на $(x+y)(x-y)=1$ , и, таким образом, имеет асимптоты - линии, проходящие через начало координат, с наклоном ⁠ $-1$ ⁠ и с наклоном ⁠ $1$ ⁠ и вершина в ⁠ $(1,0)$ ⁠ соответствующий диапазону и средней точке ( ⁠ ${1}$ ⁠ ) Танха. Аналогично, логистическую функцию можно рассматривать как гиперболический угол на гиперболе $xy-y^{2}=1$ , что влияет на $y(x-y)=1$ , и, таким образом, имеет асимптоты - линии, проходящие через начало координат, с наклоном ⁠ $0$ ⁠ и с наклоном ⁠ $1$ ⁠ и вершина в ⁠ $(2,1)$ ⁠ , соответствующий диапазону и средней точке ( ⁠ $1/2$ ⁠ ) логистической функции.

Параметрически гиперболический косинус и гиперболический синус дают координаты единичной гиперболы: ^[д] $\left((e^{t}+e^{-t})/2,(e^{t}-e^{-t})/2\right)$ , с частным гиперболическим тангенсом. Сходным образом, ${\bigl (}e^{t/2}+e^{-t/2},e^{t/2}{\bigr )}$ параметризует гиперболу $xy-y^{2}=1$ , с коэффициентом логистической функции. Они соответствуют линейным преобразованиям (и изменению масштаба параметризации) гиперболы $xy=1$ , с параметризацией $(e^{-t},e^{t})$ : параметризация гиперболы логистической функции соответствует $t/2$ и линейное преобразование ${\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\0&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ , а параметризация единичной гиперболы (для гиперболического тангенса) соответствует линейному преобразованию ${\tfrac {1}{2}}{\bigl (}{\begin{smallmatrix}1&1\\-1&1\end{smallmatrix}}{\bigr )}$ .

Производная

Стандартная логистическая функция имеет легко вычисляемую производную . Производная известна как плотность логистического распределения :

$f(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}},$

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}f(x)&={\frac {e^{x}\cdot (1+e^{x})-e^{x}\cdot e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&={\frac {e^{x}}{(1+e^{x})^{2}}}\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left({\frac {1}{1+e^{x}}}\right)\\&=\left({\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\left(1-{\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\right)\\&=f(x)\left(1-f(x)\right)\end{aligned}}$

Логистическое распределение представляет собой семейство масштабов местоположения , которое соответствует параметрам логистической функции. Если ⁠ $L=1$ ⁠ фиксирована, то середина ⁠ $x_{0}$ ⁠ — расположение и уклон ⁠ $k$ ⁠ — масштаб.

Интеграл

И наоборот, его первообразную можно вычислить заменой $u=1+e^{x}$ , с

$f(x)={\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}={\frac {u'}{u}},$

итак (отбрасывая константу интегрирования )

$\int {\frac {e^{x}}{1+e^{x}}}\,dx=\int {\frac {1}{u}}\,du=\ln u=\ln(1+e^{x}).$

В искусственных нейронных сетях это известно как функция softplus и (с масштабированием) представляет собой плавную аппроксимацию функции линейного изменения , точно так же, как логистическая функция (с масштабированием) является плавной аппроксимацией ступенчатой функции Хевисайда .

Логистическое дифференциальное уравнение

Уникальная стандартная логистическая функция является решением простого нелинейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

${\frac {d}{dx}}f(x)=f(x){\big (}1-f(x){\big )}$

с граничным условием $f(0)=1/2$ . Это уравнение представляет собой непрерывную версию логистической карты . Обратите внимание, что обратная логистическая функция является решением простого линейного обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка. ^[12]

Качественное поведение легко понять с точки зрения фазовой линии : производная равна 0, когда функция равна 1; и производная положительна для $f$ от 0 до 1 и отрицательный для $f$ выше 1 или меньше 0 (хотя отрицательные популяции обычно не соответствуют физической модели). Это приводит к неустойчивому равновесию при 0 и устойчивому равновесию при 1, и, таким образом, для любого значения функции больше 0 и меньше 1 оно возрастает до 1.

Логистическое уравнение является частным случаем дифференциального уравнения Бернулли и имеет следующее решение:

$f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+C}}.$

Выбор константы интегрирования $C=1$ дает другую хорошо известную форму определения логистической кривой:

$f(x)={\frac {e^{x}}{e^{x}+1}}={\frac {1}{1+e^{-x}}}.$

В более количественном отношении, как видно из аналитического решения, логистическая кривая показывает ранний экспоненциальный рост для отрицательного аргумента, который достигает линейного роста наклона 1/4 для аргумента, близкого к 0, а затем приближается к 1 с экспоненциально затухающим разрывом.

Дифференциальное уравнение, полученное выше, представляет собой частный случай общего дифференциального уравнения, которое моделирует только сигмовидную функцию для $x>0$ . Во многих приложениях моделирования более общая форма ^[13] ${\frac {df(x)}{dx}}={\frac {k}{a}}f(x){\big (}a-f(x){\big )},\quad f(0)={\frac {a}{1+e^{kr}}}$ может быть желанным. Его решением является сдвинутая и масштабированная сигмовидная $aS{\big (}k(x-r){\big )}$ .

Вероятностная интерпретация

Когда емкость $L=1$ , значение логистической функции находится в диапазоне ⁠ $(0,1)$ ⁠ и может быть интерпретировано как вероятность $p$ . ^[и] Более подробно $p$ можно интерпретировать как вероятность одной из двух альтернатив (параметр распределения Бернулли ); ^[ф] две альтернативы дополняют друг друга, поэтому вероятность другой альтернативы равна $q=1-p$ и $p+q=1$ . Эти две альтернативы кодируются как 1 и 0, что соответствует предельным значениям как $x\to \pm \infty$ .

В этой интерпретации входные данные $x$ представляют собой логарифмы шансов для первой альтернативы (относительно другой альтернативы), измеренные в «логистических единицах» (или логитах ), ⁠ $e^{x}$ ⁠ — коэффициент на первое событие (относительно второго), и, напоминая, что данные коэффициенты $O=O:1$ для ( ⁠ $O$ ⁠ против $1$ ), вероятность равна отношению за больше (за плюс против), $O/(O+1)$ , мы видим это $e^{x}/(e^{x}+1)=1/(1+e^{-x})=p$ – вероятность первой альтернативы. И наоборот, $x$ - это логарифм шансов против второй альтернативы, ⁠ $-x$ ⁠ — логарифм шансов для второго варианта, $e^{-x}$ - шансы для второй альтернативы, и $e^{-x}/(e^{-x}+1)=1/(1+e^{x})=q$ – вероятность второго варианта.

Это можно сформулировать более симметрично с точки зрения двух входов: ⁠ $x_{0}$ ⁠ и ⁠ $x_{1}$ ⁠ , который затем естественным образом обобщается на более чем две альтернативы. Учитывая два входных числа действительных чисел, ⁠ $x_{0}$ ⁠ и ⁠ $x_{1}$ ⁠ , интерпретируется как логиты, их разность $x_{1}-x_{0}$ - логарифм шансов для варианта 1 (логарифм шансов против варианта 0), $e^{x_{1}-x_{0}}$ это шансы, $e^{x_{1}-x_{0}}/(e^{x_{1}-x_{0}}+1)=1/\left(1+e^{-(x_{1}-x_{0})}\right)=e^{x_{1}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})$ – вероятность варианта 1, и аналогично $e^{x_{0}}/(e^{x_{0}}+e^{x_{1}})$ – вероятность варианта 0.

Эта форма немедленно обобщается на большее количество альтернатив как функция softmax , которая представляет собой векторную функцию, $i$ -я координата которой равна ${\textstyle e^{x_{i}}/\sum _{i=0}^{n}e^{x_{i}}}$ .

Более тонко, симметричная форма подчеркивает интерпретацию входного сигнала $x$ как $x_{1}-x_{0}$ и, таким образом, относительно некоторой контрольной точки, неявно $x_{0}=0$ . Примечательно, что функция softmax инвариантна при добавлении константы ко всем логитам. $x_{i}$ , что соответствует разнице $x_{j}-x_{i}$ это логарифмические шансы для варианта $j$ против варианта $i$ , но отдельные логиты $x_{i}$ сами по себе не являются шансами на журнал. Часто одна из опций используется как ссылка («поворот»), а ее значение фиксируется как $0$ , поэтому остальные логиты интерпретируются как шансы по сравнению с этой ссылкой. Обычно это делается с помощью первого варианта, отсюда и выбор нумерации: $x_{0}=0$ , а потом $x_{i}=x_{i}-x_{0}$ — это логарифмические шансы для варианта $i$ против варианта $0$ . С $e^{0}=1$ , это дает $+1$ термин во многих выражениях для логистической функции и обобщений. ^[г]

Обобщения

В моделировании роста существуют многочисленные обобщения, включая обобщенную логистическую кривую , функцию Гомпертца , кумулятивную функцию распределения смещенного распределения Гомпертца и гиперболастическую функцию типа I.

В статистике, где логистическая функция интерпретируется как вероятность одной из двух альтернатив, обобщением на три или более альтернатив является функция softmax , которая имеет векторное значение, поскольку она дает вероятность каждой альтернативы.

Приложения

В экологии: моделирование роста населения

Типичным применением логистического уравнения является распространенная модель роста населения (см. Также динамику населения ), первоначально предложенная Пьером-Франсуа Верхюльстом в 1838 году, где скорость воспроизводства пропорциональна как существующему населению, так и количеству доступных ресурсов. при прочих равных условиях. Уравнение Ферхюльста было опубликовано после того, как Ферхюльст прочитал » Томаса Мальтуса « Очерк принципа народонаселения , в котором описывается мальтузианская модель роста простого (неограниченного) экспоненциального роста. Ферхюльст вывел свое логистическое уравнение, описывающее самоограничивающийся рост биологической популяции. Уравнение было заново открыто в 1911 году А. Г. Маккендриком для роста бактерий в бульоне и экспериментально проверено с использованием метода нелинейной оценки параметров. ^[14] Уравнение также иногда называют уравнением Ферхюльста-Перла после его повторного открытия в 1920 году Рэймондом Перлом (1879–1940) и Лоуэллом Ридом (1888–1966) из Университета Джонса Хопкинса . ^[15] Другой ученый, Альфред Дж. Лотка, снова вывел это уравнение в 1925 году, назвав его законом роста населения .

Сдача в аренду $P$ представляют размер популяции ( $N$ вместо этого часто используется в экологии) и $t$ представляют время, эта модель формализуется дифференциальным уравнением :

${\frac {dP}{dt}}=rP\left(1-{\frac {P}{K}}\right),$

где константа $r$ определяет скорость роста и $K$ это грузоподъемность .

В уравнении ранний беспрепятственный темп роста моделируется первым членом $+rP$ . Стоимость ставки $r$ представляет собой пропорциональный прирост населения $P$ в одну единицу времени. Позже, по мере роста населения, модуль второго члена (который умножается $-rP^{2}/K$ ) становится почти таким же большим, как и первый, так как некоторые представители популяции $P$ мешают друг другу, конкурируя за какой-то критически важный ресурс, например, еду или жизненное пространство. Этот антагонистический эффект называется узким местом и моделируется значением параметра $K$ . Конкуренция снижает совокупный темп роста до тех пор, пока стоимость $P$ перестает расти (это называется зрелостью населения).Решение уравнения (с $P_{0}$ являющаяся исходной популяцией)

$P(t)={\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}={\frac {K}{1+\left({\frac {K-P_{0}}{P_{0}}}\right)e^{-rt}}},$

где

$\lim _{t\to \infty }P(t)=K,$

где $K$ это предельное значение $P$ , наивысшее значение, которого популяция может достичь за бесконечное время (или приблизиться к достижению за конечное время). Несущая способность асимптотически достигается независимо от начального значения $P(0)>0$ , а также в том случае, если $P(0)>K$ .

В экологии виды иногда называют $r$ -стратег или $K$ -стратеги в зависимости от избирательных процессов, которые сформировали стратегии их жизненной истории . Выбирая переменные размеры так, чтобы $n$ измеряет численность населения в единицах пропускной способности, и $\tau$ измеряет время в единицах $1/r$ , дает безразмерное дифференциальное уравнение

${\frac {dn}{d\tau }}=n(1-n).$

Интеграл

Первообразную экологической формы логистической функции можно вычислить заменой $u=K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)$ , с $du=rP_{0}e^{rt}dt$

$\int {\frac {KP_{0}e^{rt}}{K+P_{0}\left(e^{rt}-1\right)}}\,dt=\int {\frac {K}{r}}{\frac {1}{u}}\,du={\frac {K}{r}}\ln u+C={\frac {K}{r}}\ln \left(K+P_{0}(e^{rt}-1)\right)+C$

Изменяющаяся во времени пропускная способность

Поскольку условия окружающей среды влияют на пропускную способность, как следствие, она может изменяться во времени, при этом $K(t)>0$ , что приводит к следующей математической модели:

${\frac {dP}{dt}}=rP\cdot \left(1-{\frac {P}{K(t)}}\right).$

Особенно важным случаем является случай несущей способности, которая периодически меняется в зависимости от периода. $T$ :

$K(t+T)=K(t).$

Это можно показать ^[16] что в таком случае независимо от первоначального значения $P(0)>0$ , $P(t)$ будет стремиться к единственному периодическому решению $P_{*}(t)$ , период которого $T$ .

Типичное значение $T$ составляет один год: В таком случае $K(t)$ могут отражать периодические изменения погодных условий.

Еще одно интересное обобщение состоит в том, что пропускная способность $K(t)$ Это функция популяции в более ранний период, отражающая задержку в том, как популяция изменяет свою окружающую среду. Это приводит к уравнению логистической задержки: ^[17] который имеет очень богатое поведение, с бистабильностью в некотором диапазоне параметров, а также с монотонным спадом до нуля, плавным экспоненциальным ростом, прерывистым неограниченным ростом (т.е. множественными S-образными формами), прерывистым ростом или чередованием до стационарного уровня, колебательным подходом. на стационарный уровень, устойчивые колебания, сингулярности за конечное время, а также смерть за конечное время.

В статистике и машинном обучении

Логистические функции используются в статистике в нескольких целях. Например, они представляют собой кумулятивную функцию распределения логистического семейства распределений , и они, немного упрощенно, используются для моделирования шанса, который шахматист имеет, чтобы победить своего оппонента в рейтинговой системе Эло . Далее следуют более конкретные примеры.

Логистическая регрессия

Логистические функции используются в логистической регрессии для моделирования того, как вероятность $p$ на событие могут влиять одна или несколько независимых переменных : примером может служить модель

$p=f(a+bx),$

где $x$ – объясняющая переменная, $a$ и $b$ параметры модели, которые необходимо подобрать, и $f$ — стандартная логистическая функция.

Логистическая регрессия и другие лог-линейные модели также широко используются в машинном обучении . Обобщением логистической функции на несколько входных данных является функция активации softmax , используемая в полиномиальной логистической регрессии .

Другое применение логистической функции находится в модели Раша , используемой в теории реагирования на предмет . В частности, модель Раша формирует основу для оценки максимального правдоподобия местоположений объектов или людей в континууме на основе набора категориальных данных , например, способностей людей в континууме на основе ответов, которые были отнесены к категории правильных и неправильно.

Нейронные сети

Логистические функции часто используются в искусственных нейронных сетях для введения нелинейности в модель или для ограничения сигналов в пределах заданного интервала . Популярный элемент нейронной сети вычисляет линейную комбинацию своих входных сигналов и применяет ограниченную логистическую функцию в качестве функции активации к результату ; эту модель можно рассматривать как «сглаженный» вариант классического порогового нейрона .

Распространенный выбор функций активации или «сжатия», используемый для ограничения больших величин, чтобы ограничить реакцию нейронной сети. ^[18] является

$g(h)={\frac {1}{1+e^{-2\beta h}}},$

что является логистической функцией.

Эти отношения приводят к упрощенным реализациям искусственных нейронных сетей с искусственными нейронами . Практики предупреждают, что сигмоидальные функции, которые антисимметричны относительно начала координат (например, гиперболический тангенс ), приводят к более быстрой сходимости при обучении сетей с обратным распространением ошибки . ^[19]

Логистическая функция сама по себе является производной от другой предлагаемой функции активации — softplus .

В медицине: моделирование роста опухолей

Другое применение логистической кривой находится в медицине, где логистическое дифференциальное уравнение используется для моделирования роста опухолей. Это приложение можно считать расширением вышеупомянутого использования в рамках экологии (см. также Обобщенную логистическую кривую , учитывающую больше параметров). Обозначая $X(t)$ размер опухоли на данный момент $t$ , его динамика определяется

$X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X,$

который относится к типу

$X'=F(X)X,\quad F'(X)\leq 0,$

где $F(X)$ это скорость пролиферации опухоли.

Если химиотерапия начинается с логарифмическим эффектом, уравнение можно пересмотреть следующим образом:

$X'=r\left(1-{\frac {X}{K}}\right)X-c(t)X,$

где $c(t)$ – уровень смертности, вызванной терапией. В идеализированном случае очень длительной терапии $c(t)$ можно смоделировать как периодическую функцию (периода $T$ ) или (в случае непрерывной инфузионной терапии) как постоянная функция, и мы имеем, что

${\frac {1}{T}}\int _{0}^{T}c(t)\,dt>r\to \lim _{t\to +\infty }x(t)=0,$

т.е. если средний уровень смертности, вызванный терапией, превышает базовый уровень пролиферации, то происходит ликвидация заболевания. Конечно, это упрощенная модель как роста, так и терапии (например, она не учитывает явление клональной резистентности).

В медицине: моделирование пандемии

Новый инфекционный патоген, к которому у населения нет иммунитета, обычно распространяется экспоненциально на ранних стадиях, пока количество восприимчивых людей велико. Вирус SARS-CoV-2, вызывающий COVID-19, демонстрировал экспоненциальный рост на ранних стадиях заражения в нескольких странах в начале 2020 года. ^[20] Факторы, в том числе отсутствие восприимчивых хозяев (из-за продолжающегося распространения инфекции до тех пор, пока она не преодолеет порог коллективного иммунитета ) или снижение доступности потенциальных хозяев из-за мер физического дистанцирования, могут привести к экспоненциальному виду кривых эпидемии, сначала линеаризуя (воспроизводя " переход от «логарифмического» к «логистическому», впервые отмеченный Пьером-Франсуа Верхюльстом , как отмечалось выше), а затем достигающий максимального предела. ^[21]

Логистическая функция или связанные с ней функции (например, функция Гомпертца ) обычно используются в описательной или феноменологической манере, поскольку они хорошо подходят не только для раннего экспоненциального роста, но и для возможного выравнивания пандемии по мере развития у населения коллективного иммунитета. . Это контрастирует с реальными моделями пандемий, которые пытаются сформулировать описание, основанное на динамике пандемии (например, коэффициенте заражения, инкубационном времени, социальном дистанцировании и т. д.). Однако были разработаны некоторые простые модели, которые дают логистическое решение. ^[22]^[23]^[24]

Моделирование ранних случаев COVID-19

Обобщенная логистическая функция , также называемая кривой роста Ричардса, была применена для моделирования ранней фазы вспышки COVID-19 . ^[25] Авторы подгоняют обобщенную логистическую функцию к совокупному числу инфицированных случаев, называемому здесь траекторией заражения . встречаются различные параметризации обобщенной логистической функции В литературе . Одной из часто используемых форм является

$f(t;\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3},\xi )={\frac {\theta _{1}}{[1+\xi \exp(-\theta _{2}\cdot (t-\theta _{3}))]^{1/\xi }}}$

где $\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}$ являются действительными числами, а $\xi$ является положительным действительным числом. Гибкость кривой $f$ обусловлен параметром $\xi$ : (i) если $\xi =1$ тогда кривая сводится к логистической функции, и (ii) как $\xi$ приближается к нулю, кривая сходится к функции Гомпертца . В эпидемиологическом моделировании $\theta _{1}$ , $\theta _{2}$ , и $\theta _{3}$ представляют окончательный размер эпидемии, уровень заражения и лаг-фазу соответственно. На правой панели приведен пример траектории заражения, когда $(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3})$ установлено на $(10000,0.2,40)$ .

Одним из преимуществ использования функции роста, такой как обобщенная логистическая функция , в эпидемиологическом моделировании является ее относительно простое применение в рамках многоуровневой модели , где можно объединить информацию из разных географических регионов.

В химии: модели реакций

Концентрация реагентов и продуктов автокаталитических реакций подчиняется логистической функции.Разложение катализатора реакции восстановления кислорода (ORR), не содержащего металлов платиновой группы (не содержащего МПГ), в катодах топливных элементов следует логистической функции распада: ^[26] предполагая автокаталитический механизм деградации.

В физике: распределение Ферми – Дирака.

Логистическая функция определяет статистическое распределение фермионов по энергетическим состояниям системы, находящейся в тепловом равновесии. В частности, это распределение вероятностей того, что каждый возможный энергетический уровень занят фермионом, согласно статистике Ферми-Дирака .

В оптике: мираж

Логистическая функция также находит применение в оптике, особенно при моделировании таких явлений, как миражи . При определенных условиях, таких как наличие градиента температуры или концентрации из-за диффузии и баланса силы тяжести, может возникнуть поведение логистической кривой. ^[27]^[28]

Мираж, возникающий в результате температурного градиента, который изменяет показатель преломления, связанный с плотностью/концентрацией материала на расстоянии, можно смоделировать с использованием жидкости с градиентом показателя преломления из-за градиента концентрации. Этот механизм можно приравнять к модели ограничения роста населения, в которой концентрированный регион пытается диффундировать в регион с более низкой концентрацией, одновременно стремясь к равновесию с гравитацией, что дает кривую логистической функции. ^[27]

В материаловедении: Фазовые диаграммы.

См. Диффузионная сварка .

В лингвистике: изменение языка

В лингвистике логистическая функция может использоваться для моделирования изменения языка : ^[29] инновация, которая сначала была маргинальной, со временем начинает распространяться быстрее, а затем медленнее по мере того, как она становится более универсальной.

В сельском хозяйстве: моделирование реакции сельскохозяйственных культур

Логистическую S-кривую можно использовать для моделирования реакции сельскохозяйственных культур на изменения факторов роста. Существует два типа функций отклика: положительные и отрицательные кривые роста. Например, урожайность сельскохозяйственных культур может увеличиваться с увеличением значения фактора роста до определенного уровня (положительная функция) или уменьшаться с увеличением значения фактора роста (отрицательная функция из-за отрицательного фактора роста), что требует обратного S-образная кривая.

Модель S-образной кривой зависимости урожайности сельскохозяйственных культур от глубины уровня грунтовых вод . ^[30]

Модель обратной S-образной кривой зависимости урожайности сельскохозяйственных культур от засоления почвы . ^[31]

В экономике и социологии: диффузия инноваций

Логистическую функцию можно использовать для иллюстрации хода распространения инновации на протяжении ее жизненного цикла.

В «Законах подражания» (1890) Габриэль Тард описывает возникновение и распространение новых идей через цепочки подражания. В частности, Тард выделяет три основных этапа распространения инноваций: первый соответствует трудным начинаниям, во время которых идее приходится бороться во враждебной среде, полной противоположных привычек и убеждений; второй соответствует собственно экспоненциальному взлету идеи, при этом $f(x)=2^{x}$ ; наконец, третий этап — логарифмический, с $f(x)=\log(x)$ , и соответствует моменту, когда импульс идеи постепенно замедляется, одновременно с этим появляются новые идеи оппонента. Сложившаяся ситуация останавливает или стабилизирует прогресс инновации, приближающийся к асимптоте.

В суверенном государстве субнациональные единицы (составляющие штаты или города) могут использовать кредиты для финансирования своих проектов. Однако этот источник финансирования обычно подчиняется строгим правовым правилам, а также ограничениям дефицита экономики , особенно ресурсов, которые банки могут кредитовать (из-за их собственного капитала или ограничений Базельского соглашения ). Эти ограничения, которые представляют собой уровень насыщения, наряду с экспоненциальным натиском экономической конкуренции за деньги, создают распространение государственных финансов по кредитным просьбам, и совокупная национальная реакция представляет собой сигмовидную кривую . ^[32]

Исторически сложилось так, что при появлении новых продуктов проводятся интенсивные исследования и разработки , которые приводят к значительному улучшению качества и снижению затрат. Это приводит к периоду быстрого роста промышленности. Некоторые из наиболее известных примеров: железные дороги, лампы накаливания, электрификация , автомобили и воздушные перевозки. В конце концов, возможности радикального улучшения и снижения затрат исчерпаны, продукт или процесс широко используются, при этом остается мало потенциальных новых клиентов, и рынки насыщаются.

Логистический анализ использовался в работах нескольких исследователей из Международного института прикладного системного анализа ( IIASA ). Эти статьи посвящены распространению различных инноваций, инфраструктур и замене источников энергии, а также роли труда в экономике, а также длительному экономическому циклу. Длинные экономические циклы исследовал Роберт Эйрес (1989). ^[33] Чезаре Маркетти опубликовал работы о длинных экономических циклах и распространении инноваций. ^[34]^[35] В книге Арнульфа Грюблера (1990) подробно описывается распространение инфраструктур, включая каналы, железные дороги, автомагистрали и авиалинии, показывая, что их распространение следует логистическим кривым. ^[36]

Карлота Перес использовала логистическую кривую, чтобы проиллюстрировать длинный ( Кондратьев ) деловой цикл со следующими обозначениями: начало технологической эры как вторжение , подъем как безумие , быстрое развитие как синергия и завершение как зрелость . ^[37]

Последовательный анализ

Связь ^[38] создал расширение теории последовательного анализа Уолда для накопления случайных величин без распределения до тех пор, пока положительная или отрицательная граница не будет сначала равна или превышена. Связь ^[39] выводит вероятность первого достижения положительной границы или ее превышения как $1/(1+e^{-\theta A})$ , логистическая функция. Это первое доказательство того, что логистическая функция может иметь в своей основе случайный процесс. Связь ^[40] приводит столетие примеров «логистических» экспериментальных результатов и недавно полученную связь между этой вероятностью и временем поглощения на границах.

См. также

Примечания

↑ Статья была представлена в 1844 году и опубликована в 1845 году: «(Lu à la séance du 30 ноября 1844 года)». "(Прочитано на заседании 30 ноября 1844 г.).", с. 1.
^ Ферхюльст сначала относится к арифметической прогрессии и геометрической прогрессии и называет кривую геометрического роста логарифмической кривой (что сбивает с толку, современный термин - это экспоненциальная кривая, которая является обратной). Затем он называет свою кривую логистической , в отличие от логарифмической , и сравнивает логарифмическую кривую и логистическую кривую на рисунке своей статьи.
^ В Древней Греции λογῐστῐκός относилось к практическим вычислениям и учету, в отличие от ἀριθμητική ( arithmētikḗ ), теоретического или философского изучения чисел. Как ни странно, в английском языке арифметика относится к практическим вычислениям, хотя она происходит от ἀριθμητική , а не от λογῐστῐκός . См., например, Луи Чарльз Карпински , Никомах из Герасы: Введение в арифметику (1926), с. 3: «Арифметика фундаментально ассоциируется у современных читателей, особенно у ученых и математиков, с искусством вычислений. Однако для древних греков после Пифагора арифметика была прежде всего философским исследованием, не имеющим необходимой связи с практическими делами. Действительно, греки дал отдельное название деловой арифметике, λογιστική [бухгалтерский учет или практическая логистика]... Вообще философы и математики Греции, несомненно, считали ниже своего достоинства рассматривать эту отрасль, которая, вероятно, составляла часть элементарного обучения дети."
^ Использование ⁠ $t$ ⁠ для параметра и ⁠ $(x,y)$ ⁠ для координат.
^ Это можно расширить до строки расширенного действительного числа , установив $f(-\infty )=0$ и $f(+\infty )=1$ , соответствующие предельным значениям.
^ Фактически, логистическая функция является обратным отображением естественного параметра распределения Бернулли, а именно логит-функции , и в этом смысле это «естественная параметризация» двоичной вероятности.
^ Например, функция softplus (интеграл логистической функции) представляет собой гладкую версию $\max(0,x)$ , а относительная форма представляет собой гладкую форму $\max(x_{0},x_{1})$ , в частности LogSumExp . Таким образом, Softplus обобщает как (обратите внимание на 0 и соответствующую 1 для эталонного класса) $\operatorname {LSE_{0}} ^{+}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\operatorname {LSE} (0,x_{1},\dots ,x_{n})=\ln(1+e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}).$

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Ферхюльст, Пьер-Франсуа (1838). «Уведомление о законе о том, что численность населения продолжает увеличиваться» (PDF) . Заочная математика и физика . 10 :113–121 . Проверено 3 декабря 2014 г.
^ «Sigmoid — документация PyTorch 1.10.1» .
^ выходная документация для пакета R ClusterPower .
^ «Scipy.special.expit — Руководство по SciPy v1.7.1» .
^ Крамер 2002 , стр. 3–5.
^ Ферхюльст, Пьер-Франсуа (1845). «Математические исследования закона увеличения численности населения» . Новые мемуары Королевской академии наук и беллетристики Брюсселя . 18 : 8 . Проверено 18 февраля 2013 г. название логистическое дадим кривой . Мы
^ Ферхюльст, Пьер-Франсуа (1847). «Вторая диссертация о законе роста населения» . Мемуары Королевской академии наук, литературы и изящных искусств Бельгии . 20 :1–32. дои : 10.3406/marb.1847.3457 . Проверено 18 февраля 2013 г.
^ Шульман, Бонни (1998). «Математика жива! Использование оригинальных источников для преподавания математики в социальном контексте» . ПРИМУС . 8 (март): 1–14. дои : 10.1080/10511979808965879 . Диаграмма убедила меня: там две кривые с надписью «Логистика» и «Логарифмия» нарисованы на одних и тех же осях, и видно, что есть область, где они почти точно совпадают, а затем расходятся.
Я пришел к выводу, что намерение Ферхюльста, назвав кривую, действительно состояло в том, чтобы предложить такое сравнение, и что слово «логистика» должно было передать «логарифмическое» качество кривой.
^ Jump up to: ^а ^б Тепик, Дж.; Танаков И.; Стоич, Гордан (2011). «Древняя логистика – историческая хронология и этимология» (PDF) . Технический вестник . 18 (3). S2CID 42097070 . Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2019 года.
^ Барон де Жомини (1830). Аналитическая таблица основных сочетаний войны и их связи с политикой государств: служить введением к трактату о крупных военных операциях . п. 74 .
^ Рауль Рохас. Нейронные сети. Систематическое введение (PDF) . Проверено 15 октября 2016 г.
^ Коциан, Александр; Кармасси, Джулия; Села, Фатьон; Инкроччи, Лука; Милаццо, Паоло; Чесса, Стефано (7 июня 2020 г.). «Прогнозирование временных рядов байесовского сигмоидного типа с отсутствующими данными для тепличных культур» . Датчики . 20 (11): 3246. Бибкод : 2020Senso..20.3246K . дои : 10.3390/s20113246 . ПМК 7309099 . ПМИД 32517314 .
^ Кюркчиев, Николай и Святослав Марков. «Сигмовидные функции: некоторые аспекты аппроксимации и моделирования». Академическое издательство LAP LAMBERT, Саарбрюккен (2015).
^ А.Г. Маккендрика; М. Кесава Пайа1 (январь 1912 г.). «XLV. — Скорость размножения микроорганизмов: математическое исследование» . Труды Королевского общества Эдинбурга . 31 : 649–653. дои : 10.1017/S0370164600025426 . {{cite journal}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )
^ Раймонд Перл и Лоуэлл Рид (июнь 1920 г.). «О темпах роста населения Соединенных Штатов» (PDF) . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . Том. 6, нет. 6. с. 275.
^ Гриффитс, Грэм; Шиссер, Уильям (2009). «Линейные и нелинейные волны» . Схоларпедия . 4 (7): 4308. Бибкод : 2009SchpJ...4.4308G . doi : 10.4249/scholarpedia.4308 . ISSN 1941-6016 .
^ Юкалов В.И.; Юкалова, Е.П.; Сорнетт, Д. (2009). «Периодичная эволюция из-за задержки пропускной способности». Физика D: Нелинейные явления . 238 (17): 1752–1767. arXiv : 0901.4714 . Бибкод : 2009PhyD..238.1752Y . дои : 10.1016/j.physd.2009.05.011 . S2CID 14456352 .
^ Gershenfeld 1999, p. 150.
^ ЛеКун, Ю.; Ботту, Л.; Орр, Г.; Мюллер, К. (1998). «Эффективный BackProp» (PDF) . Ин Орр, Г.; Мюллер, К. (ред.). Нейронные сети: хитрости профессии . Спрингер. ISBN 3-540-65311-2 .
^ Worldometer: ПАНДЕМИЯ КОРОНАВИРУСА COVID-19.
^ Вильялобос-Ариас, Марио (2020). «Использование обобщенной логистической регрессии для прогнозирования численности населения, зараженного Covid-19». arXiv : 2004.02406 [ q-bio.PE ].
^ Постников, Евгений Б. (июнь 2020 г.). «Оценка динамики COVID-19 «на обратной стороне конверта»: обеспечивает ли простейшая модель SIR количественные параметры и прогнозы?» . Хаос, солитоны и фракталы . 135 : 109841. Бибкод : 2020CSF...13509841P . дои : 10.1016/j.chaos.2020.109841 . ПМК 7252058 . ПМИД 32501369 .
^ Сайто, Такеси (июнь 2020 г.). «Логистическая кривая в модели SIR и ее применение к смертности от COVID-19 в Японии». medRxiv 10.1101/2020.25.06.20139865v2 .
^ Райзер, Пол А. (2020). «Модифицированная модель SIR, дающая логистическое решение». arXiv : 2006.01550 [ q-bio.PE ].
^ Ли, Се Юн; Лей, Боуэн; Маллик, Бани (2020). «Оценка кривых распространения COVID-19 с использованием глобальных данных и заимствованной информации» . ПЛОС ОДИН . 15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . Бибкод : 2020PLoSO..1536860L . дои : 10.1371/journal.pone.0236860 . ПМК 7390340 . ПМИД 32726361 .
^ Инь, Си; Зеленай, Петр (13 июля 2018 г.). «Кинетические модели механизмов разложения катализаторов ORR, не содержащих МПГ» . ECS-транзакции . 85 (13): 1239–1250. дои : 10.1149/08513.1239ecst . ОСТИ 1471365 . S2CID 103125742 .
^ Jump up to: ^а ^б Таналихит, Паттарапон; Воракиттамронг, Танабоди; Чайдет, Наттанон; Канчанапусакит, Виттайя (24–25 мая 2021 г.). «Измерение градиента показателя преломления раствора сахара» . Физический журнал: серия конференций . 2145 : 012072. doi : 10.1088/1742-6596/2145/1/012072 . S2CID 245811843 .
^ Лопес-Ариас, Т; Кальса, Г; Граттон, Луизиана; Осс, С. (2009). «Миражи в бутылке» . Физическое образование . 44 (6): 582. дои : 10.1088/0031-9120/44/6/002 . S2CID 59380632 .
^ Бод, Хэй, Дженнеди (ред.) 2003, стр. 147–156.
^ Сборник данных о растениеводстве и глубине уровня грунтовых вод в почве разных авторов. На линии: [1]
^ Сборник данных о растениеводстве и засолении почв различных авторов. На линии: [2]
^ Роча, Лено С.; Роча, Фредерико С.А.; Соуза, Тарсис Т.П. (5 октября 2017 г.). «Является ли государственный сектор вашей страны диффузным заемщиком? Эмпирические данные из Бразилии» . ПЛОС ОДИН . 12 (10): e0185257. arXiv : 1604.07782 . Бибкод : 2017PLoSO..1285257R . дои : 10.1371/journal.pone.0185257 . ISSN 1932-6203 . ПМЦ 5628819 . ПМИД 28981532 .
^ Эйрес, Роберт (февраль 1989 г.). «Технологические трансформации и длинные волны» (PDF) . Международный институт прикладного системного анализа . Архивировано из оригинала (PDF) 1 марта 2012 года . Проверено 6 ноября 2010 г.
^ Маркетти, Чезаре (1996). «Повсеместные длинные волны: циклотимично ли общество» (PDF) . Институт глобальных изменений Аспена . Архивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2012 года.
^ Маркетти, Чезаре (1988). «Возвращение к Кондратьеву - после одного цикла» (PDF) . Чезаре Маркетти . Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2012 года . Проверено 6 ноября 2010 г.
^ Грюблер, Арнульф (1990). Взлет и падение инфраструктур: динамика эволюции и технологических изменений на транспорте (PDF) . Гейдельберг и Нью-Йорк: Physica-Verlag.
^ Перес, Карлота (2002). Технологические революции и финансовый капитал: динамика пузырей и золотого века . Великобритания: Эдвард Элгар Паблишинг Лимитед. ISBN 1-84376-331-1 .
^ Линк, ЮЗ; Хит, РА (1975). «Последовательная теория психологической дискриминации». Психометрика . 40 (1): 77–105. дои : 10.1007/BF02291481 .
^ Линк, SW (1978). «Теория относительного суждения психометрической функции». Внимание и эффективность VII . Тейлор и Фрэнсис. стр. 619–630. ISBN 9781003310228 .
^ SW Link, Волновая теория различия и сходства (книга), Тейлор и Фрэнсис, 1992.

Крамер, Дж. С. (2002). Истоки логистической регрессии (PDF) (Технический отчет). Том. 119. Институт Тинбергена. стр. 167–178. дои : 10.2139/ssrn.360300 .
- Опубликовано как: Крамер, Дж. С. (2004). «Ранние истоки логит-модели». Исследования по истории и философии науки. Часть C: Исследования по истории и философии биологических и биомедицинских наук . 35 (4): 613–626. дои : 10.1016/j.shpsc.2004.09.003 .
Джаннеди, Стефани; Бод, Ренс; Хэй, Дженнифер (2003). Вероятностная лингвистика . Кембридж, Массачусетс: MIT Press. ISBN 0-262-52338-8 .
Гершенфельд, Нил А. (1999). Природа математического моделирования . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-57095-4 .
Кингсленд, Шэрон Э. (1995). Моделирование природы: эпизоды из истории популяционной экологии . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-43728-0 .
Вайсштейн, Эрик В. «Логистическое уравнение» . Математический мир .

Внешние ссылки

[6] Статья была представлена в 1844 году и опубликована в 1845 году: «(Lu à la séance du 30 ноября 1844 года)». "(Прочитано на заседании 30 ноября 1844 г.).", с. 1.

[10] Ферхюльст сначала относится к арифметической прогрессии и геометрической прогрессии и называет кривую геометрического роста логарифмической кривой (что сбивает с толку, современный термин - это экспоненциальная кривая, которая является обратной). Затем он называет свою кривую логистической , в отличие от логарифмической , и сравнивает логарифмическую кривую и логистическую кривую на рисунке своей статьи.

[11] В Древней Греции λογῐστῐκός относилось к практическим вычислениям и учету, в отличие от ἀριθμητική ( arithmētikḗ ), теоретического или философского изучения чисел. Как ни странно, в английском языке арифметика относится к практическим вычислениям, хотя она происходит от ἀριθμητική , а не от λογῐστῐκός . См., например, Луи Чарльз Карпински , Никомах из Герасы: Введение в арифметику (1926), с. 3: «Арифметика фундаментально ассоциируется у современных читателей, особенно у ученых и математиков, с искусством вычислений. Однако для древних греков после Пифагора арифметика была прежде всего философским исследованием, не имеющим необходимой связи с практическими делами. Действительно, греки дал отдельное название деловой арифметике, λογιστική [бухгалтерский учет или практическая логистика]... Вообще философы и математики Греции, несомненно, считали ниже своего достоинства рассматривать эту отрасль, которая, вероятно, составляла часть элементарного обучения дети."

[15] Использование ⁠ $t$ ⁠ для параметра и ⁠ $(x,y)$ ⁠ для координат.

[18] Это можно расширить до строки расширенного действительного числа , установив $f(-\infty )=0$ и $f(+\infty )=1$ , соответствующие предельным значениям.

[19] Фактически, логистическая функция является обратным отображением естественного параметра распределения Бернулли, а именно логит-функции , и в этом смысле это «естественная параметризация» двоичной вероятности.

[20] Например, функция softplus (интеграл логистической функции) представляет собой гладкую версию $\max(0,x)$ , а относительная форма представляет собой гладкую форму $\max(x_{0},x_{1})$ , в частности LogSumExp . Таким образом, Softplus обобщает как (обратите внимание на 0 и соответствующую 1 для эталонного класса) $\operatorname {LSE_{0}} ^{+}(x_{1},\dots ,x_{n}):=\operatorname {LSE} (0,x_{1},\dots ,x_{n})=\ln(1+e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}).$

[verhulst1838-1] Jump up to: ^а ^б Ферхюльст, Пьер-Франсуа (1838). «Уведомление о законе о том, что численность населения продолжает увеличиваться» (PDF) . Заочная математика и физика . 10 :113–121 . Проверено 3 декабря 2014 г.

[2] «Sigmoid — документация PyTorch 1.10.1» .

[3] выходная документация для пакета R ClusterPower .

[4] «Scipy.special.expit — Руководство по SciPy v1.7.1» .

[FOOTNOTECramer20023–5-5] Крамер 2002 , стр. 3–5.

[7] Ферхюльст, Пьер-Франсуа (1845). «Математические исследования закона увеличения численности населения» . Новые мемуары Королевской академии наук и беллетристики Брюсселя . 18 : 8 . Проверено 18 февраля 2013 г. название логистическое дадим кривой . Мы

[8] Ферхюльст, Пьер-Франсуа (1847). «Вторая диссертация о законе роста населения» . Мемуары Королевской академии наук, литературы и изящных искусств Бельгии . 20 :1–32. дои : 10.3406/marb.1847.3457 . Проверено 18 февраля 2013 г.

[9] Шульман, Бонни (1998). «Математика жива! Использование оригинальных источников для преподавания математики в социальном контексте» . ПРИМУС . 8 (март): 1–14. дои : 10.1080/10511979808965879 . Диаграмма убедила меня: там две кривые с надписью «Логистика» и «Логарифмия» нарисованы на одних и тех же осях, и видно, что есть область, где они почти точно совпадают, а затем расходятся.
Я пришел к выводу, что намерение Ферхюльста, назвав кривую, действительно состояло в том, чтобы предложить такое сравнение, и что слово «логистика» должно было передать «логарифмическое» качество кривой.

[tts-12] Jump up to: ^а ^б Тепик, Дж.; Танаков И.; Стоич, Гордан (2011). «Древняя логистика – историческая хронология и этимология» (PDF) . Технический вестник . 18 (3). S2CID 42097070 . Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2019 года.

[13] Барон де Жомини (1830). Аналитическая таблица основных сочетаний войны и их связи с политикой государств: служить введением к трактату о крупных военных операциях . п. 74 .

[14] Рауль Рохас. Нейронные сети. Систематическое введение (PDF) . Проверено 15 октября 2016 г.

[16] Коциан, Александр; Кармасси, Джулия; Села, Фатьон; Инкроччи, Лука; Милаццо, Паоло; Чесса, Стефано (7 июня 2020 г.). «Прогнозирование временных рядов байесовского сигмоидного типа с отсутствующими данными для тепличных культур» . Датчики . 20 (11): 3246. Бибкод : 2020Senso..20.3246K . дои : 10.3390/s20113246 . ПМК 7309099 . ПМИД 32517314 .

[17] Кюркчиев, Николай и Святослав Марков. «Сигмовидные функции: некоторые аспекты аппроксимации и моделирования». Академическое издательство LAP LAMBERT, Саарбрюккен (2015).

[McKendric_Logistic-21] А.Г. Маккендрика; М. Кесава Пайа1 (январь 1912 г.). «XLV. — Скорость размножения микроорганизмов: математическое исследование» . Труды Королевского общества Эдинбурга . 31 : 649–653. дои : 10.1017/S0370164600025426 . {{cite journal}}: CS1 maint: числовые имена: список авторов ( ссылка )

[22] Раймонд Перл и Лоуэлл Рид (июнь 1920 г.). «О темпах роста населения Соединенных Штатов» (PDF) . Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки . Том. 6, нет. 6. с. 275.

[23] Гриффитс, Грэм; Шиссер, Уильям (2009). «Линейные и нелинейные волны» . Схоларпедия . 4 (7): 4308. Бибкод : 2009SchpJ...4.4308G . doi : 10.4249/scholarpedia.4308 . ISSN 1941-6016 .

[delay_carrying-24] Юкалов В.И.; Юкалова, Е.П.; Сорнетт, Д. (2009). «Периодичная эволюция из-за задержки пропускной способности». Физика D: Нелинейные явления . 238 (17): 1752–1767. arXiv : 0901.4714 . Бибкод : 2009PhyD..238.1752Y . дои : 10.1016/j.physd.2009.05.011 . S2CID 14456352 .

[Gershenfeld-1999-25] Gershenfeld 1999, p. 150.

[LeCun-1998-26] ЛеКун, Ю.; Ботту, Л.; Орр, Г.; Мюллер, К. (1998). «Эффективный BackProp» (PDF) . Ин Орр, Г.; Мюллер, К. (ред.). Нейронные сети: хитрости профессии . Спрингер. ISBN 3-540-65311-2 .

[27] Worldometer: ПАНДЕМИЯ КОРОНАВИРУСА COVID-19.

[28] Вильялобос-Ариас, Марио (2020). «Использование обобщенной логистической регрессии для прогнозирования численности населения, зараженного Covid-19». arXiv : 2004.02406 [ q-bio.PE ].

[29] Постников, Евгений Б. (июнь 2020 г.). «Оценка динамики COVID-19 «на обратной стороне конверта»: обеспечивает ли простейшая модель SIR количественные параметры и прогнозы?» . Хаос, солитоны и фракталы . 135 : 109841. Бибкод : 2020CSF...13509841P . дои : 10.1016/j.chaos.2020.109841 . ПМК 7252058 . ПМИД 32501369 .

[30] Сайто, Такеси (июнь 2020 г.). «Логистическая кривая в модели SIR и ее применение к смертности от COVID-19 в Японии». medRxiv 10.1101/2020.25.06.20139865v2 .

[Reiser2020-31] Райзер, Пол А. (2020). «Модифицированная модель SIR, дающая логистическое решение». arXiv : 2006.01550 [ q-bio.PE ].

[32] Ли, Се Юн; Лей, Боуэн; Маллик, Бани (2020). «Оценка кривых распространения COVID-19 с использованием глобальных данных и заимствованной информации» . ПЛОС ОДИН . 15 (7): e0236860. arXiv : 2005.00662 . Бибкод : 2020PLoSO..1536860L . дои : 10.1371/journal.pone.0236860 . ПМК 7390340 . ПМИД 32726361 .

[33] Инь, Си; Зеленай, Петр (13 июля 2018 г.). «Кинетические модели механизмов разложения катализаторов ORR, не содержащих МПГ» . ECS-транзакции . 85 (13): 1239–1250. дои : 10.1149/08513.1239ecst . ОСТИ 1471365 . S2CID 103125742 .

[Measuring_refractive_index_gradient_of_sugar_solution-34] Jump up to: ^а ^б Таналихит, Паттарапон; Воракиттамронг, Танабоди; Чайдет, Наттанон; Канчанапусакит, Виттайя (24–25 мая 2021 г.). «Измерение градиента показателя преломления раствора сахара» . Физический журнал: серия конференций . 2145 : 012072. doi : 10.1088/1742-6596/2145/1/012072 . S2CID 245811843 .

[35] Лопес-Ариас, Т; Кальса, Г; Граттон, Луизиана; Осс, С. (2009). «Миражи в бутылке» . Физическое образование . 44 (6): 582. дои : 10.1088/0031-9120/44/6/002 . S2CID 59380632 .

[probabilistic_linguistics-36] Бод, Хэй, Дженнеди (ред.) 2003, стр. 147–156.

[37] Сборник данных о растениеводстве и глубине уровня грунтовых вод в почве разных авторов. На линии: [1]

[38] Сборник данных о растениеводстве и засолении почв различных авторов. На линии: [2]

[39] Роча, Лено С.; Роча, Фредерико С.А.; Соуза, Тарсис Т.П. (5 октября 2017 г.). «Является ли государственный сектор вашей страны диффузным заемщиком? Эмпирические данные из Бразилии» . ПЛОС ОДИН . 12 (10): e0185257. arXiv : 1604.07782 . Бибкод : 2017PLoSO..1285257R . дои : 10.1371/journal.pone.0185257 . ISSN 1932-6203 . ПМЦ 5628819 . ПМИД 28981532 .

[40] Эйрес, Роберт (февраль 1989 г.). «Технологические трансформации и длинные волны» (PDF) . Международный институт прикладного системного анализа . Архивировано из оригинала (PDF) 1 марта 2012 года . Проверено 6 ноября 2010 г.

[41] Маркетти, Чезаре (1996). «Повсеместные длинные волны: циклотимично ли общество» (PDF) . Институт глобальных изменений Аспена . Архивировано из оригинала (PDF) 5 марта 2012 года.

[42] Маркетти, Чезаре (1988). «Возвращение к Кондратьеву - после одного цикла» (PDF) . Чезаре Маркетти . Архивировано из оригинала (PDF) 9 марта 2012 года . Проверено 6 ноября 2010 г.

[Grubler1990-43] Грюблер, Арнульф (1990). Взлет и падение инфраструктур: динамика эволюции и технологических изменений на транспорте (PDF) . Гейдельберг и Нью-Йорк: Physica-Verlag.

[Perez2002-44] Перес, Карлота (2002). Технологические революции и финансовый капитал: динамика пузырей и золотого века . Великобритания: Эдвард Элгар Паблишинг Лимитед. ISBN 1-84376-331-1 .

[A_sequential_theory_of_psychological_discrimination-45] Линк, ЮЗ; Хит, РА (1975). «Последовательная теория психологической дискриминации». Психометрика . 40 (1): 77–105. дои : 10.1007/BF02291481 .

[The_Relative_Judgment_Theory_of_the_Psychometric_Function-46] Линк, SW (1978). «Теория относительного суждения психометрической функции». Внимание и эффективность VII . Тейлор и Фрэнсис. стр. 619–630. ISBN 9781003310228 .

[The_wave_theory_of_difference_and_similarity-47] SW Link, Волновая теория различия и сходства (книга), Тейлор и Фрэнсис, 1992.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[а]

[6]

[7]

[8]

[б]

[с]

[9]

[10]

[11]

[д]

[12]

[13]

[и]

[ф]

[г]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]