Ошибка отслеживания

В финансах , ошибка отслеживания или активный риск является мерой риска в инвестиционном портфеле который возникает из-за активных управленческих решений, принимаемых менеджером портфеля ; он показывает, насколько точно портфель соответствует индексу, к которому он привязан. Лучшим показателем является стандартное отклонение разницы между доходностью портфеля и индекса.

Многие портфели управляются на основе эталона, обычно индекса. Ожидается, что некоторые портфели, особенно индексные фонды , будут точно воспроизводить доходность индекса, до торговых и других затрат, в то время как другие « активно управляют » портфелем, отклоняясь от индекса, чтобы генерировать активную доходность . Ошибка отслеживания измеряет отклонение от контрольного показателя: индексный фонд имеет ошибку отслеживания, близкую к нулю, в то время как активно управляемый портфель обычно имеет более высокую ошибку отслеживания. Таким образом, ошибка отслеживания не включает в себя какой-либо риск (доходность), который является просто функцией движения рынка. Помимо риска (доходности) от конкретного выбора акций или «бета-коэффициентов» отрасли и факторов , он также может включать риск (доходность) от решений о выборе времени выхода на рынок .

Разделив активную доходность портфеля на ошибку отслеживания портфеля, получим коэффициент информации , который является показателем эффективности с поправкой на риск.

Определение

Если ошибка отслеживания измеряется исторически, она называется «реализованной» или «фактической» ошибкой отслеживания. Если модель используется для прогнозирования ошибки отслеживания, она называется ошибкой отслеживания «ex ante». Ошибка отслеживания ex-post более полезна для отчетности о результатах деятельности, тогда как ошибка отслеживания ex-ante обычно используется менеджерами портфеля для контроля риска. Существуют различные типы моделей прогнозируемых ошибок отслеживания: от простых моделей акций, в которых бета используется в качестве основного определяющего фактора, до более сложных многофакторных моделей с фиксированным доходом . В факторной модели портфеля несистематический риск (т. е. стандартное отклонение остатков) в инвестиционной сфере называется «ошибкой отслеживания». Последний способ вычисления ошибки отслеживания дополняет приведенные ниже формулы, но результаты могут различаться (иногда в 2 раза).

Формулы

Формула фактической ошибки отслеживания представляет собой стандартное отклонение активной доходности, определяемое по формуле:

TE=\omega ={\sqrt {\operatorname {Var} (r_{p}-r_{b})}}={\sqrt {{E}[(r_{p}-r_{b})^{2}]-({E}[r_{p}-r_{b}])^{2}}}={\sqrt {(w_{p}-w_{b})^{T}\Sigma (w_{p}-w_{b})}}

где $r_{p}-r_{b}$ – это активная доходность, т. е. разница между доходностью портфеля и эталонной доходностью. ^[1] и $(w_{p}-w_{b})$ – вектор весов активного портфеля относительно эталона. Оптимизационная конусного задача максимизации прибыли с учетом ошибок отслеживания и линейных ограничений может быть решена с помощью программирования второго порядка : $\max _{w}\;\mu ^{T}(w-w_{b}),\quad {\text{s.t.}}\;(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})\leq \omega ^{2},\;Ax\leq b,\;Cx=d$

Интерпретация

При предположении о нормальности доходности активный риск x процентов будет означать, что примерно 2/3 активной доходности портфеля (одно стандартное отклонение от среднего значения) будет находиться в пределах от +x до -x процентов от Можно ожидать, что средняя избыточная доходность и около 95% активной доходности портфеля (два стандартных отклонения от среднего значения) упадут между +2x и -2x процентами средней избыточной доходности.

Примеры

индексные фонды будут иметь минимальные ошибки отслеживания. Ожидается, что
Обратные биржевые фонды созданы для того, чтобы действовать как инверсия индекса или другого эталона и, таким образом, отражать ошибки отслеживания относительно коротких позиций в базовом индексе или эталоне.

Создание индексного фонда

Ожидается, что индексные фонды будут минимизировать ошибку отслеживания по отношению к индексу, который они пытаются воспроизвести, и эту проблему можно решить с помощью стандартных методов оптимизации. Для начала определитесь $\omega ^{2}$ быть: $\omega ^{2}=(w-w_{b})^{T}\Sigma (w-w_{b})$ где $w-w_{b}$ — вектор активных весов для каждого актива относительно эталонного индекса и $\Sigma$ — ковариационная матрица для активов в индексе. Хотя создание индексного фонда может включать в себя хранение всех $N$ инвестиционные активы в индексе, иногда лучше инвестировать только в подмножество $K$ активов. Эти соображения приводят к следующей задаче смешанно-целочисленного квадратичного программирования (MIQP) : ${\begin{aligned}\min _{w}&\quad \omega ^{2}\\{\text{s.t.}}&\quad w_{j}\leq y_{j},\quad \sum _{j=1}^{N}y_{j}\leq K\\&\quad \ell _{j}y_{j}\leq w_{j}\leq u_{j}y_{j},\quad y_{j}\in \{0,1\},\quad \ell _{j},\;u_{j}\geq 0\end{aligned}}$ где $y_{j}$ является логическим условием включения актива в индексный фонд и определяется как: $y_{j}={\begin{cases}1,\quad &w_{j}>0\\0,\quad &{\text{otherwise}}\end{cases}}$

Ссылки

^ Корнюжоль, Жерар; Тютюнджю, Реха (2007). Методы оптимизации в финансах . Математика, финансы и риск. Издательство Кембриджского университета. стр. 178–180. ISBN 978-0521861700 .

Внешние ссылки

[1] Корнюжоль, Жерар; Тютюнджю, Реха (2007). Методы оптимизации в финансах . Математика, финансы и риск. Издательство Кембриджского университета. стр. 178–180. ISBN 978-0521861700 .

[1]