Теорема о коммутации следов

В математике теорема о коммутации следов явно определяет коммутант конкретной алгебры фон Неймана, действующей в гильбертовом пространстве при наличии следа .

Первый такой результат был доказан Фрэнсисом Джозефом Мюрреем и Джоном фон Нейманом в 1930-х годах и применим к алгебре фон Неймана, порожденной дискретной группой или динамической системой, связанной с измеримым преобразованием, сохраняющим вероятностную меру .

Другое важное применение — теория унитарных представлений унимодулярных и другим тесно связанным представлениям локально компактных групп , где теория была применена к регулярному представлению . В частности, эта структура привела к абстрактной версии теоремы Планшереля для унимодулярных локально компактных групп, разработанной Ирвингом Сигалом и Форрестом Стайнспрингом , и абстрактной теореме Планшереля для сферических функций, связанных с парой Гельфанда, разработанной Роджером Годементом . Их работа была оформлена в окончательной форме в 1950-х годах Жаком Диксмье как часть теории гильбертовых алгебр .

Лишь в конце 1960-х годов, отчасти благодаря результатам в алгебраической квантовой теории поля и квантовой статистической механике, полученным в школе Рудольфа Хаага , была разработана более общая бесследовая теория Томиты-Такесаки , ознаменовавшая новую эру в теории. алгебр фон Неймана.

Теорема о коммутации для конечных следов

Пусть H — гильбертово пространство , а M — алгебра фон Неймана на H с единичным вектором Ω такая, что

• M Ω плотно в H
• M плотно в H , где M ' обозначает коммутант M ' Ω
• ( ab Ω, Ω) = ( ba Ω) для всех a , b в M. Ω ,

Вектор Ω называется циклически разделяющим след-вектором . Он называется вектором следа, поскольку последнее условие означает, что матричный коэффициент, соответствующий Ω, определяет состояние следа на M . Он называется циклическим, поскольку Ω порождает H как топологический M -модуль. Это называется разделениепотому что если a Ω = 0 для a в M , то aM' Ω = (0), и, следовательно, a = 0.

Отсюда следует, что карта

$Ja\Omega =a^{*}\Omega$

для a в M определяет сопряженно-линейную изометрию H с квадратом тождества, J ² = Я. ​Оператор J обычно называют оператором модульного сопряжения .

Непосредственно проверяется, что JMJ и M коммутируют на подпространстве M Ω, так что

$JMJ\subseteq M^{\prime }.$

Теорема коммутации Мюррея и фон Неймана утверждает, что

$JMJ=M^{\prime }$

Один из самых простых способов увидеть это состоит в том, чтобы ввести K , замыкание реальногоподпространство M _sa Ω, где M _sa обозначает самосопряженные элементы в M . Отсюда следует, что

$H=K\oplus iK,$

ортогональная прямая сумма для действительной части внутреннего продукта. Это просто реальное ортогональное разложение для собственных пространств ±1 J .С другой стороны, для и b в _{a в Msa} M'sa скалярное произведение ( _{, Ω )} ab Ω вещественно, поскольку ab самосопряжено. Следовательно, К не изменится, если М заменить на М '.

В частности, Ω является следовым вектором для M' , а J не изменяется, если M заменяется на M '. Итак, противоположное включение

$JM^{\prime }J\subseteq M$

следует путем изменения ролей М и М' .

Примеры

• Одним из простейших случаев теоремы о коммутации, где ее легко увидеть непосредственно, является случай конечной группы Γ, действующей в конечномерном пространстве внутреннего произведения $\ell ^{2}(\Gamma )$ левыми и правыми регулярными представлениями λ и ρ. Эти унитарные представления даются формулами $$(\lambda (g)f)(x)=f(g^{-1}x),\,\,(\rho (g)f)(x)=f(xg)$$ для f в $\ell ^{2}(\Gamma )$ и из теоремы коммутации следует, что $$\lambda (\Gamma )^{\prime \prime }=\rho (\Gamma )^{\prime },\,\,\rho (\Gamma )^{\prime \prime }=\lambda (\Gamma )^{\prime }.$$ Оператор J задается формулой $$Jf(g)={\overline {f(g^{-1})}}.$$ Точно такие же результаты остаются верными, если позволить Γ быть любой счетной дискретной группой . Алгебру фон Неймана λ(Γ)' ' обычно называют групповой алгеброй фон Неймана группы Γ.
• Другим важным примером является вероятностное пространство ( X , µ). Абелева алгебра фон Неймана A = L ^∞ ( X , µ) действует операторами умножения на H = L ² ( X , µ) и постоянная функция 1 представляет собой циклически разделяющий след-вектор. Отсюда следует, что $$A'=A,$$ так что A — максимальная абелева подалгебра в B ( H ), алгебры фон Неймана всех операторов в H. ограниченных
• Третий класс примеров объединяет два предыдущих. Исходя из эргодической теории , это было одним из первоначальных мотивов фон Неймана для изучения алгебр фон Неймана. Пусть ( X , µ) — вероятностное пространство и пусть Γ — счетная дискретная группа сохраняющих меру преобразований ( X , µ). Таким образом, группа действует унитарно в гильбертовом пространстве H = L ² ( X , µ) по формуле $$U_{g}f(x)=f(g^{-1}x),$$ для f в H и нормализует абелеву алгебру фон Неймана A = L ^∞ ( Х , мкм). Позволять $$H_{1}=H\otimes \ell ^{2}(\Gamma ),$$ тензорное произведение гильбертовых пространств. или Конструкция пространства группа-мера скрещенное произведение алгебры фон Неймана $$M=A\rtimes \Gamma$$ определяется как алгебра фон Неймана на H _1, порожденная алгеброй $A\otimes I$ и нормализующие операторы $U_{g}\otimes \lambda (g)$.
  Вектор $\Omega =1\otimes \delta _{1}$ является циклическим разделяющим след-вектором. Более того, оператор модульного сопряжения J и коммутант M ' могут быть явно идентифицированы.

Одним из наиболее важных случаев конструкции пространства группа-мера является случай, когда Γ является группой целых чисел Z , т.е. случай одной обратимойизмеримое преобразование T . Здесь T должен сохранять вероятностную меру µ. Полуконечные следы необходимы для обработки случая, когда T (или, в более общем смысле, Γ) сохраняет только бесконечную эквивалентную меру; и вся сила теории Томиты-Такесаки требуется, когда в классе эквивалентности нет инвариантной меры, даже если класс эквивалентности меры сохраняется T (или Γ).

Теорема коммутации для полуконечных следов

Пусть M — алгебра фон Неймана и M ₊ множество положительных операторов в M . По определению, полуконечный след (или иногда просто след ) на M — это функционал τ из M ₊ в [0, ∞] такой, что

1. $\tau (\lambda a+\mu b)=\lambda \tau (a)+\mu \tau (b)$ для a , b в M ₊ и λ, µ ≥ 0 ( полулинейность );
2. $\tau \left(uau^{*}\right)=\tau (a)$ для a в M ₊ и u унитарный оператор в M ( унитарная инвариантность );
3. τ вполне аддитивен на ортогональных семействах проекторов в M ( нормальность );
4. каждая проекция в M является ортогональной прямой суммой проекторов с конечным следом ( полуконечностью ).

Если, кроме того, τ ненулевой на каждой ненулевой проекции, то τ называется точным следом .

Если τ — точный след на M , пусть H = L ² ( M , τ) — пополнение гильбертова пространства пространства внутреннего произведения

$M_{0}=\left\{a\in M\mid \tau \left(a^{*}a\right)<\infty \right\}$

относительно внутреннего продукта

$(a,b)=\tau \left(b^{*}a\right).$

Алгебра фон Неймана M методом левого умножения действует на H и может быть отождествлена ​​со своим образом. Позволять

$Ja=a^{*}$

для a в M ₀ . Оператор J снова называется оператором модульного сопряжения и продолжается до сопряженно-линейной изометрии H, удовлетворяющей J ² = I. Коммутационная теорема Мюррея и фон Неймана

$JMJ=M^{\prime }$

снова действителен в этом случае. Этот результат может быть непосредственно доказан различными методами. но следует непосредственно из результата для конечных следов путем многократного использования следующего элементарного факта:

Если M ₁ ⊇ M ₂ — две алгебры фон Неймана такие, что p _n M ₁ = p _n M ₂ для семейства проекций p _n в коммутанте M _1, возрастающих до I в сильной операторной топологии , то M ₁ = M ₂ .

Гильбертовы алгебры

Смотрите также: теория Томиты-Такесаки

Теория гильбертовых алгебр была введена Годементом (под названием «унитарные алгебры»), Сигалом и Диксмье для формализации классического метода определения следа для ядерных операторов, начиная с операторов Гильберта – Шмидта . Приложения в теории представлений групп естественным образом приводят к примерам гильбертовых алгебр. Любая алгебра фон Неймана, наделенная полуконечным следом, имеет каноническое «завершенное» или связанная с ним «полная» гильбертова алгебра; и наоборот, полная гильбертова алгебра именно этого вида может быть канонически связана с каждой гильбертовой алгеброй. Теорию гильбертовых алгебр можно использовать для вывода коммутационных теорем Мюррея и фон Неймана; с тем же успехом основные результаты о гильбертовых алгебрах можно вывести и непосредственно из теорем коммутации следов. Теорию гильбертовых алгебр обобщил Такесаки. как инструмент доказательства теорем коммутации для полуконечных весов в теории Томиты – Такесаки ; без них можно обойтись при работе с государствами.

Определение

Гильбертова алгебра это алгебра ${\mathfrak {A}}$ с инволюцией x → x * и скалярным произведением (,) таким, что

1. ( a , b ) = ( b *, a *) для a , b в ${\mathfrak {A}}$;
2. левое умножение на фиксированное a в ${\mathfrak {A}}$ является ограниченным оператором;
3. * является сопряженным, другими словами ( xy , z ) = ( y , x * z );
4. линейная оболочка всех продуктов xy плотна в ${\mathfrak {A}}$.

Примеры

• Операторы Гильберта–Шмидта в бесконечномерном гильбертовом пространстве образуют гильбертову алгебру со скалярным произведением ( a , b ) = Tr ( b * a ).
• Если ( X , µ) — бесконечное пространство с мерой, алгебра L ^∞ ( Х ) $\cap$ л ² ( X ) — гильбертова алгебра с обычным скалярным произведением из L ² ( Х ).
• Если M — алгебра фон Неймана с точным полуконечным следом τ, то *-подалгебра M _0, определенная выше, является гильбертовой алгеброй со скалярным произведением ( a , b ) = τ( b * a ).
• Если G — унимодулярная локально компактная группа , то алгебра свертки L ¹ ( Г ) $\cap$л ² ( G ) — гильбертова алгебра с обычным скалярным произведением из L ² ( Г ).
• Если ( G , K ) — пара Гельфанда , то алгебра свертки L ¹ ( K \ G / K ) $\cap$л ² ( K \ G / K ) — гильбертова алгебра с обычным скалярным произведением из L ² ( Г ); здесь Л ^п ( K \ G / K ) обозначает замкнутое подпространство K -биинвариантных функций в L ^п ( Г ).
• Любая плотная *-подалгебра гильбертовой алгебры является также гильбертовой алгеброй.

Характеристики

Пусть H — пополнение гильбертова пространства ${\mathfrak {A}}$ относительно скалярного произведения и пусть J обозначает продолжение инволюции до сопряженно-линейной инволюции H . Определим представление λ и антипредставление ρ ${\mathfrak {A}}$ на себя путем левого и правого умножения:

$\lambda (a)x=ax,\,\,\rho (a)x=xa.$

Эти действия непрерывно распространяются на действия на H . В этом случае теорема коммутации для гильбертовых алгебр утверждает, что

$\lambda ({\mathfrak {A}})^{\prime \prime }=\rho ({\mathfrak {A}})^{\prime }$

Более того, если

$M=\lambda ({\mathfrak {A}})^{\prime \prime },$

алгебру фон Неймана, порожденную операторами λ( a ), то

$JMJ=M^{\prime }$

Эти результаты были независимо доказаны Годементом (1954) и Сигалом (1953) .

Доказательство опирается на понятие «ограниченных элементов» в пополнении гильбертова пространства H .

Элемент x в H называется ограниченным (относительно ${\mathfrak {A}}$ отображение a → xa ), если ${\mathfrak {A}}$ в H простирается до ограниченный оператор на H , обозначаемый λ( x ). В этом случае легко доказать, что:

• Jx также является ограниченным элементом, обозначаемым x *, и λ( x *) = λ( x )*;
• a → ax задается ограниченным оператором ρ( x ) = J λ( x *) J на ​​H ;
• M ' порождается ρ( x ) с x ; ограниченным
• λ( x ) и ρ( y ) коммутируют для x , y ограничено.

Теорема о коммутации непосредственно следует из последнего утверждения. В частности $$M=\lambda ({\mathfrak {B}})''.$$

Пространство всех ограниченных элементов ${\mathfrak {B}}$ образует гильбертову алгебру, содержащую ${\mathfrak {A}}$ как плотная *-подалгебра. Его называют завершенным или полным, поскольку любой элемент из H ограничен относительно ${\mathfrak {B}}$ на самом деле уже должен лежать в ${\mathfrak {B}}$. Функционал τ на M _+, определяемый формулой $$\tau (x)=(a,a)$$если x = λ ( a )* λ ( a ) и ∞ в противном случае, дает точный полуконечный след на M с $$M_{0}={\mathfrak {B}}.$$

Таким образом:

Между алгебрами фон Неймана на H с точным полуконечным следом и полными гильбертовыми алгебрами с пополнением гильбертового пространства H существует однозначное соответствие.

См. также

• алгебра фон Неймана
• Аффилированный оператор
• Теория Томиты-Такесаки

Ссылки

• Браттели, О.; Робинсон, Д.В. (1987), Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1, второе издание , Springer-Verlag, ISBN  3-540-17093-6
• Конн, А. (1979), О некоммутативной теории интегрирования , Конспект лекций по математике, том. (Операторная алгебра), Springer-Verlag, стр. 19–143, ISBN  978-3-540-09512-5
• Дьедонне, Ж. (1976), Трактат об анализе, Vol. II , Академическое издательство, ISBN  0-12-215502-5
• Диксмье, Дж. (1957), Операторные алгебры в гильбертовом пространстве: алгебры фон Неймана , Готье-Вилларс
• Диксмье, Дж. (1981), Алгебры фон Неймана , Северная Голландия, ISBN  0-444-86308-7 (английский перевод)
• Диксмье, Дж. (1969), C*-алгебры и их представления , Готье-Виллар, ISBN  0-7204-0762-1
• Диксмье, Дж. (1977), алгебры C* , Северная Голландия, ISBN  0-7204-0762-1 (английский перевод)
• Годемент, Р. (1951), “Память по теории характеров в локально компактных унимодулярных группах”, J. Math. Чистое приложение. , 30 :1–110
• Годемент, Р. (1954), “Теория характеров I. Унитарные алгебры”, Ann. математики. , 59 (1), Анналы математики: 47–62, номер документа : 10.2307/1969832 , JSTOR   1969832.
• Мюррей, ФДж ; фон Нейман, Дж. (1936), «О кольцах операторов», Ann. математики. , 2, 37 (1), Анналы математики: 116–229, doi : 10.2307/1968693 , JSTOR   1968693
• Мюррей, ФДж ; фон Нейман, Дж. (1937), «О кольцах операторов II», Пер. амер. Математика. Соц. , 41 (2), Американское математическое общество: 208–248, doi : 10.2307/1989620 , JSTOR   1989620
• Мюррей, ФДж ; фон Нейман, Дж. (1943), «О кольцах операторов IV», Ann. математики. , 2, 44 (4), Анналы математики: 716–808, doi : 10.2307/1969107 , JSTOR   1969107
• Педерсен, Г.К. (1979), C*-алгебры и их группы автоморфизмов , Монографии Лондонского математического общества, том. 14, Академик Пресс, ISBN  0-12-549450-5
• Риффель, Массачусетс; ван Даэле, А. (1977), «Ограниченный операторный подход к теории Томиты – Такесаки», Pacific J. Math. , 69 : 187–221, doi : 10.2140/pjm.1977.69.187
• Сигал, И.Е. (1953), «Некоммутативное расширение абстрактной интеграции», Ann. математики. , 57 (3), Анналы математики: 401–457, doi : 10.2307/1969729 , JSTOR   1969729 (раздел 5)
• Саймон, Б. (1979), Идеалы трассировки и их приложения , Серия лекций Лондонского математического общества, том. 35, Издательство Кембриджского университета, ISBN  0-521-22286-9
• Такесаки, М. (1979), Теория операторных алгебр I , Springer-Verlag, ISBN  3-540-42914-Х
• Такесаки, М. (2002), Теория операторных алгебр II , Springer-Verlag, ISBN  3-540-42248-Х