Арифметическая прогрессия

Доказательство без слов формул арифметической прогрессии с использованием повернутой копии блоков.

Арифметическая прогрессия или арифметическая последовательность (AP) — это последовательность чисел , в которой разница между любым последующим членом и предыдущим членом остается постоянной на протяжении всей последовательности. Постоянная разность называется общей разностью этой арифметической прогрессии. Например, последовательность 5, 7, 9, 11, 13, 15, . . . представляет собой арифметическую прогрессию с общей разностью 2.

Если начальный член арифметической прогрессии равен $a_{1}$ а общая разность последовательных членов равна $d$, тогда $n$-й член последовательности ( $a_{n}$) дается:

$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$

Конечная часть арифметической прогрессии называется конечной арифметической прогрессией , а иногда просто арифметической прогрессией. Сумма конечной арифметической прогрессии называется арифметической прогрессией .

История

Согласно анекдоту сомнительной достоверности, молодой Карл Фридрих Гаусс , который учился в начальной школе, заново изобрел формулу ${\tfrac {n(n+1)}{2}}$ для суммирования целых чисел от 1 до $n$, для случая $n=100$, группируя числа с обоих концов последовательности в пары, суммируя их до 101 и умножая на количество пар. Однако, независимо от правдивости этой истории, Гаусс не был первым, кто открыл эту формулу, и некоторые считают вероятным, что ее происхождение восходит к пифагорейцам в V веке до нашей эры. Подобные правила были известны в древности Архимеду , Гипсиклу и Диофанту ; в Китае — Чжан Цюцзянь ; в Индии – Арьябхате , Брахмагупте и Бхаскаре II ; а в средневековой Европе до Алкуина , Отрезать , Фибоначчи , Сакробоско и анонимным комментаторам Талмуда, известным как тосафисты .

Сумма

2	+	5	+	8	+	11	+	14	=	40
14	+	11	+	8	+	5	+	2	=	40
16	+	16	+	16	+	16	+	16	=	80

Вычисление суммы 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Когда последовательность переворачивается и прибавляется сама к себе почленно, полученная последовательность имеет в себе единственное повторяющееся значение, равное сумме первого и последнего чисел (2 + 14 = 16). Таким образом, 16 × 5 = 80 — это удвоенная сумма.

Сумма членов конечной арифметической прогрессии называется арифметической прогрессией . Например, рассмотрим сумму:

$2+5+8+11+14=40$

Эту сумму можно быстро найти, взяв количество n добавляемых членов (здесь 5), умножив на сумму первого и последнего числа в прогрессии (здесь 2 + 14 = 16) и разделив на 2:

${\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}$

В приведенном выше случае это дает уравнение:

$2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.$

Эта формула работает для любых действительных чисел. $a_{1}$ и $a_{n}$. Например: это

$\left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.$

Вывод

Анимированное доказательство формулы, дающей сумму первых целых чисел 1+2+...+n.

Чтобы вывести приведенную выше формулу, начните с выражения арифметического ряда двумя разными способами:

$S_{n}=a+a_{2}+a_{3}+\dots +a_{(n-1)}+a_{n}$

$S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +(a+(n-2)d)+(a+(n-1)d).$

Перепишем термины в обратном порядке:

$S_{n}=(a+(n-1)d)+(a+(n-2)d)+\dots +(a+2d)+(a+d)+a.$

Сложив соответствующие члены обеих частей двух уравнений и разделив обе части пополам:

$S_{n}={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d].$

Эту формулу можно упростить так:

${\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}[a+a+(n-1)d].\\&={\frac {n}{2}}(a+a_{n}).\\&={\frac {n}{2}}({\text{initial term}}+{\text{last term}}).\end{aligned}}$

Кроме того, среднее значение ряда можно рассчитать по формуле: $S_{n}/n$:

${\overline {a}}={\frac {a_{1}+a_{n}}{2}}.$

Формула очень похожа на среднее значение дискретного равномерного распределения .

Продукт

Произведение всего n членов конечной арифметической прогрессии с начальным элементом 1 _, общими разностями d и a элементами определяется в замкнутом выражении

$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=a_{1}(a_{1}+d)(a_{1}+2d)...(a_{1}+(n-1)d)=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}$

где $\Gamma$ обозначает гамма-функцию . Формула недействительна, если $a_{1}/d$ является отрицательным или нулевым.

Это обобщение исходя из того, что произведение прогрессии $1\times 2\times \cdots \times n$ определяется факториалом $n!$ и что продукт

$m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n$

для положительных целых чисел $m$ и $n$ дается

${\frac {n!}{(m-1)!}}.$

Вывод

${\begin{aligned}a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}&=\prod _{k=0}^{n-1}(a_{1}+kd)\\&=\prod _{k=0}^{n-1}d\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a_{1}}{d}}+(n-1)\right)\\&=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}\end{aligned}}$

где $x^{\overline {n}}$ обозначает возрастающий факториал .

По рекуррентной формуле $\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)$, действительно для комплексного числа $z>0$,

$\Gamma (z+2)=(z+1)\Gamma (z+1)=(z+1)z\Gamma (z)$,

$\Gamma (z+3)=(z+2)\Gamma (z+2)=(z+2)(z+1)z\Gamma (z)$,

так что

${\frac {\Gamma (z+m)}{\Gamma (z)}}=\prod _{k=0}^{m-1}(z+k)$

для $m$ положительное целое число и $z$ положительное комплексное число.

Таким образом, если $a_{1}/d>0$,

$\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)={\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}$,

и, наконец,

$a_{1}a_{2}a_{3}\cdots a_{n}=d^{n}\prod _{k=0}^{n-1}\left({\frac {a_{1}}{d}}+k\right)=d^{n}{\frac {\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}+n\right)}{\Gamma \left({\frac {a_{1}}{d}}\right)}}$

Примеры

Пример 1

Беря пример $3,8,13,18,23,28,\ldots$, произведение членов арифметической прогрессии, заданной выражением $a_{n}=3+5(n-1)$ до 50-го срока

$P_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.$

Пример 2

Произведение первых 10 нечетных чисел $(1,3,5,7,9,11,13,15,17,19)$ дается

$1\cdot 3\cdot 5\cdots 19=\prod _{k=0}^{9}(1+2k)=2^{10}\cdot {\frac {\Gamma \left({\frac {1}{2}}+10\right)}{\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}}$ = 654,729,075

Стандартное отклонение

Стандартное отклонение любой арифметической прогрессии можно рассчитать как

$\sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}$

где $n$ количество членов в прогрессии и $d$ это общая разница между терминами. Формула очень похожа на стандартное отклонение дискретного равномерного распределения .

Перекрестки

Пересечение любых двух дважды бесконечных арифметических прогрессий либо пусто, либо другая арифметическая прогрессия, которую можно найти с помощью китайской теоремы об остатках . Если каждая пара прогрессий в семействе дважды бесконечных арифметических прогрессий имеет непустое пересечение, то существует число, общее для всех них; то есть бесконечные арифметические прогрессии образуют семейство Хелли . Однако пересечение бесконечного числа бесконечных арифметических прогрессий может быть одним числом, а не бесконечной прогрессией.

См. также

• Геометрическая прогрессия
• Гармоническая прогрессия
• Треугольное число
• Арифметико-геометрическая последовательность
• Неравенство средних арифметических и геометрических
• Простые числа в арифметической прогрессии
• Линейное разностное уравнение
• Обобщенная арифметическая прогрессия — набор целых чисел, построенный как арифметическая прогрессия, но допускающий несколько возможных различий.
• Героновы треугольники со сторонами в арифметической прогрессии.
• Задачи, связанные с арифметическими прогрессиями
• Утональность
• Полиномы, вычисляющие суммы степеней арифметических прогрессий

Внешние ссылки

• «Арифметический ряд» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Арифметическая прогрессия» . Математический мир .
• Вайсштейн, Эрик В. «Арифметический ряд» . Математический мир .