Кубооктаэдр

Кубооктаэдр
Тип	Архимедово тело
Лица	14
Края	24
Вершины	12
Конфигурация вершин	3.4.3.4
Символ Шлефли	${\begin{Bmatrix}4\\3\end{Bmatrix}}$
Группа симметрии	Октаэдрическая симметрия $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$ Тетраэдрическая симметрия $\mathrm {T} _{\mathrm {d} }$
Двугранный угол ( градусы )	примерно 125°
Двойной многогранник	Ромбический додекаэдр
Характеристики	выпуклый , векторное равновесие, Руперт недвижимость
Вершинная фигура
Сеть

Кубооктаэдр – это многогранник с 8 треугольными гранями и 6 квадратными гранями. Кубооктаэдр имеет 12 одинаковых вершин , в каждой из которых сходятся по 2 треугольника и 2 квадрата, и 24 одинаковых ребра , каждое из которых отделяет треугольник от квадрата. По сути, это квазиправильный многогранник , то есть архимедово тело , которое не только транзитивно по вершинам, но и по ребрам . Он радиально равносторонний . Его двойственный многогранник — ромбдодекаэдр .

Строительство

Кубооктаэдр можно построить разными способами:

• Его строительство можно начать со скрепления двух правильных треугольных куполов основанием к основанию. Это похоже на одно из тел Джонсона, треугольный ортобикупол . Разница в том, что треугольный ортобикупол построен с одним из куполов, скрученным так, что подобные многоугольные грани примыкают, а кубооктаэдр - нет. В результате кубооктаэдр также можно назвать треугольным гиробикуполом .
• Его построение можно начать с куба или правильного октаэдра , отметив середины их ребер и обрезав в этих точках все вершины. Этот процесс известен как выпрямление , благодаря чему кубооктаэдр получил название выпрямленный куб и выпрямленный октаэдр .
• Альтернативная конструкция — обрезка всех вершин, известная как усечение . можно начать с правильного тетраэдра , обрезав вершины и скосив края. Этот процесс известен как кантелляция , в результате чего кубооктаэдр получил название кантелляционного тетраэдра .

Из всех этих конструкций кубооктаэдр имеет 14 граней: 8 равносторонних треугольников и 6 квадратов. Он также имеет 24 ребра и 12 вершин.

Декартовы координаты вершин кубооктаэдра с длиной ребра ${\sqrt {2}}$ с центром в начале координат: $$(\pm 1,\pm 1,0),\qquad (\pm 1,0,\pm 1),\qquad (0,\pm 1,\pm 1).$$

Характеристики

Измерение и другие свойства метрик

Площадь поверхности кубооктаэдра $A$ можно определить суммированием всех площадей его многоугольных граней. Объем кубооктаэдра $V$ можно определить, разрезав его на два правильных треугольных купола, просуммировав их объемы. Учитывая, что длина ребра $a$, его площадь поверхности и объем равны: $${\begin{aligned}A&=\left(6+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}&&\approx 9.464a^{2}\\V&={\frac {5{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}&&\approx 2.357a^{3}.\end{aligned}}$$

Двугранный угол кубооктаэдра можно вычислить по углу треугольных куполов. Двугранный угол треугольного купола между квадратом и треугольником составляет примерно 125 °, между квадратом и шестиугольником - 54,7 °, а между треугольником и шестиугольником - 70,5 °. Следовательно, двугранный угол кубооктаэдра между квадратом и треугольником, на ребре, где соединяются основания двух треугольных куполов, равен 54,7° + 70,5°, примерно 125°. Следовательно, двугранный угол кубооктаэдра между квадратом и треугольником составляет примерно 125 °.

Процесс трансформации джиттербага

Бакминстер Фуллер обнаружил, что кубооктаэдр — единственный многогранник, в котором расстояние между его центром и вершиной такое же, как расстояние между его краями. Другими словами, он имеет одинаковые векторы длины в трехмерном пространстве, известные как вектор равновесия . Жесткие стойки и гибкие вершины кубооктаэдра также можно постепенно преобразовать в правильный икосаэдр , правильный октаэдр, правильный тетраэдр. Фуллер назвал это преобразованием джиттербага .

Кубооктаэдр обладает свойством Руперта , означающим, что существует многогранник такого же или большего размера, который может пройти через его отверстие.

Симметрия и классификация

3D model of a cuboctahedron

Кубооктаэдр — это архимедово тело , то есть это очень симметричный и полуправильный многогранник, в вершине которого встречаются две или более различных правильных многоугольных грани. Кубооктаэдр имеет две симметрии, возникающие в результате упомянутых выше конструкций: ту же симметрию, что и правильный октаэдр или куб, октаэдрическую симметрию. $\mathrm {O} _{\mathrm {h} }$, и та же симметрия, что и правильный тетраэдр, тетраэдрическая симметрия $\mathrm {T} _{\mathrm {d} }$. Многоугольные грани, которые встречаются в каждой вершине, представляют собой два равносторонних треугольника и два квадрата, а фигура вершины кубооктаэдра равна $(3\cdot 4)^{2}=3^{2}\cdot 4^{2}$. Двойником кубооктаэдра является ромбдодекаэдр .

Радиальная равносторонняя симметрия

В кубооктаэдре длинный радиус (от центра до вершины) равен длине ребра; таким образом, его длинный диаметр (от вершины до противоположной вершины) равен двум длинам ребра. Его центр подобен вершине канонической пирамиды: на расстоянии одного ребра от всех остальных вершин. (В случае кубооктаэдра центр на самом деле является вершиной 6 квадратных и 8 треугольных пирамид). Эта радиальная равносторонняя симметрия является свойством лишь нескольких однородных многогранников , включая двумерный шестиугольник , трехмерный кубооктаэдр и четырехмерный 24- и 8-ячеечный (тессеракт) . Радиально равносторонние многогранники - это те, которые с длинными радиусами могут быть построены из равносторонних треугольников, которые пересекаются в центре многогранника, каждый из которых дает два радиуса и ребро. Следовательно, все внутренние элементы, которые встречаются в центре этих многогранников, имеют внутренние грани равностороннего треугольника, как при разрезе кубооктаэдра на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров.

Каждый из этих радиально равносторонних многогранников также встречается как ячейки характерной мозаики, заполняющей пространство : мозаика из правильных шестиугольников, выпрямленные кубические соты (чередующиеся кубооктаэдры и октаэдры), соты из 24 ячеек и тессерактические соты соответственно. Каждая тесселяция имеет двойную тесселяцию ; центры ячеек в мозаике являются вершинами ячеек в двойной мозаике. Самая плотная известная регулярная упаковка сфер в двух, трех и четырех измерениях использует центры ячеек одной из этих мозаик в качестве центров сфер.

Поскольку он радиально равносторонний, центр кубооктаэдра находится на расстоянии одного ребра от 12 вершин.

Связанные многогранники и соты

Кубооктаэдр, кубогемиоктаэдр и октагемиоктаэдр .

Кубооктаэдр делит свой скелет с двумя невыпуклыми однородными многогранниками : кубогемиоктаэдром и октагемиоктаэдром . Эти многогранники построены из скелета кубооктаэдра, в котором четыре шестиугольные плоскости делят его диагональ пополам, пересекая его внутреннюю часть. Если сложить шесть квадратов или восемь равносторонних треугольников, то получится кубогемикотаэдр или октагемиоктаэдр соответственно.

Кубооктаэдр 2-покрывает тетраполушестигексаэдр ( два , который соответственно имеет такую ​​же абстрактную вершинную фигуру треугольника и два квадрата: $3\cdot 4\cdot 3\cdot 4$) и половину вершин, ребер и граней. (Фактическая фигура вершины тетрагемишестиэдра равна ${\textstyle 3\cdot 4\cdot {\frac {3}{2}}\cdot 4}$, с ${\textstyle {\frac {a}{2}}}$ фактор из-за креста.)

Разложение на квадратные пирамиды и тетраэдры.

Кубооктаэдр можно разрезать на 6 квадратных пирамид и 8 тетраэдров, сходящихся в центральной точке. Это расчленение выражается в тетраэдрически-октаэдрических сотах , где пары квадратных пирамид объединяются в октаэдры .

График

График кубооктаэдра

Скелет кубооктаэдра можно представить в виде графа , одного из графов Архимеда . Он имеет 12 вершин и 24 ребра. Это граф квартики , который состоит из четырех вершин, соединяющих каждую вершину.

Граф кубооктаэдра можно построить как линейный граф куба, в результате чего он становится локально линейным графом .

Появление

Кубооктаэдр, вероятно, был известен Платону : Герона » «Определения цитируют слова Архимеда о том, что Платон знал твердое тело, состоящее из 8 треугольников и 6 квадратов.

Ссылки

Цитируемые работы

• Барнс, Дж. (2012). Жемчужины геометрии . Спрингер . дои : 10.1007/978-3-642-30964-9 . ISBN  978-3-642-30964-9 .
• Берман, Мартин (1971). «Выпуклые многогранники с правильными гранями». Журнал Института Франклина . 291 (5): 329–352. дои : 10.1016/0016-0032(71)90071-8 . МР   0290245 .
• Чай, Ин; Юань, Липин; Замфиреску, Тюдор (2018). «Свойство Руперта архимедовых тел». Американский математический ежемесячник . 125 (6): 497–504. дои : 10.1080/00029890.2018.1449505 . S2CID   125508192 .
• Кокрам, Бернис (2020). В фокусе Сакральная геометрия: ваш личный путеводитель . Уэллфлит Пресс. ISBN  978-1-57715-225-5 .
• Коксетер, HSM (1973) [1948]. Правильные многогранники (3-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications .
• Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники , Издательство Кембриджского университета , ISBN  978-0-521-55432-9
• Дюдя, МВ (2018). Многооболочечные многогранные кластеры . Углеродные материалы: химия и физика. Том. 10. Спрингер . дои : 10.1007/978-3-319-64123-2 . ISBN  978-3-319-64123-2 .
• Фан, Конг (1996). «Об обобщенных клетках». Журнал теории графов . 23 (1): 21–31. doi : 10.1002/(SICI)1097-0118(199609)23:1<21::AID-JGT2>3.0.CO;2-M . МР   1402135 .
• Гика, Матила (1977). Геометрия искусства и жизни ([Начдр.] ред.). Нью-Йорк: Dover Publications . стр. 51–56, 81–84 . ISBN  9780486235424 .
• Грюнбаум, Бранко (2003). « Новые» однородные многогранники». В Бездеке, Андрас (ред.). Дискретная геометрия . ЦРК Пресс . ISBN  9780203911211 .
• Джонсон, Норман В. (1966). «Выпуклые многогранники с правильными гранями» . Канадский математический журнал . 18 : 169–200. дои : 10.4153/cjm-1966-021-8 . МР   0185507 . S2CID   122006114 . Збл   0132.14603 .
• Коджа, М.; Коджа, НЕТ (2013). «Группы Кокстера, кватернионы, симметрии многогранников и 4D-многогранники» . Математическая физика: материалы 13-й региональной конференции, Анталья, Турция, 27–31 октября 2010 г. Всемирная научная.
• Линти, Г. (2013). «Катенированные соединения - Группа 13 [Al, Ga, In, Tl]». В Ридейке, Дж.; Поппельммайер, К. (ред.). Комплексная неорганическая химия II: от элементов к приложениям . Ньюнес.
• Огиевецкий О.; Шлосман, С. (2021). «Платоновые соединения и цилиндры». У Новикова С.; Кричевер И.; Огиевецкий О.; Шлосман, С. (ред.). Интегрируемость, квантование и геометрия. II. Квантовые теории и алгебраическая геометрия . Американское математическое общество . ISBN  978-1-4704-5592-7 .
• Писански, Т.; Серватиус, Б. (2013). Конфигурация с графической точки зрения . Спрингер. дои : 10.1007/978-0-8176-8364-1 . ISBN  978-0-8176-8363-4 .
• Посаментье, А.С.; Таллер, Б.; Дорнер, К.; Геретшлегер, Р.; Мареш, Г.; Шпрейцер, К.; Штулпфаррер, Д. (2022). Геометрия в нашем трехмерном мире . Всемирная научная . ISBN  978-981-12-3712-6 .
• Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998). Атлас графов . Издательство Оксфордского университета .
• Тернбол, HW (1931). «Руководство по греческой математике». Природа . 128 (3235): 739–740. Бибкод : 1931Natur.128..739T . дои : 10.1038/128739a0 . S2CID   3994109 .
• ван Леувен, П.; Фрейша, З.; Кано, И. (2023). «Введение в киральность». Энантиоселективные реакции образования связей CC: с металлокомплексной, органо- и биокаталитической точек зрения . Академическая пресса . ISBN  978-0-443-15774-5 .
• Верхейен, Х.Ф. (1989). «Комплект джиттербаг-трансформаторов и анализ их движения». Компьютеры и математика с приложениями . 17 (1–3): 203–250. дои : 10.1016/0898-1221(89)90160-0 . МР   0994201 .
• Уильямс, Роберт (1979). Геометрическая основа естественной структуры: справочник по дизайну . Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-23729-9 .

Внешние ссылки

• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников
• Вайсштейн, Эрик В. , « Кубооктаэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
• Кубооктаэдр на Hexnet, веб-сайте, посвященном математике шестиугольников.
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники o3x4o - co» .
• Редактируемая сетка кубооктаэдра для печати с интерактивным 3D-просмотром