Комплексификация (группа Ли)

В математике комплексификация , заключающимся или универсальная комплексификация вещественной группы Ли задается непрерывным гомоморфизмом группы в комплексную группу Ли с универсальным свойством в том, что каждый непрерывный гомоморфизм исходной группы в другую комплексную группу Ли совместимо расширяется до комплексной аналитической группы Ли. гомоморфизм между комплексными группами Ли. Комплексификация, которая существует всегда, единственна с точностью до единственного изоморфизма . Ее алгебра Ли является фактором комплексификации алгебры Ли исходной группы. Они изоморфны, если исходная группа имеет фактор по дискретной нормальной подгруппе, которая является линейной.

Для компактных групп Ли комплексификация, иногда называемая комплексификацией Шевалле в честь Клода Шевалле , может быть определена как группа комплексных характеров алгебры Хопфа представительных функций , то есть матричных коэффициентов конечномерных представлений группы. В любом конечномерном точном унитарном представлении компактной группы она может быть конкретно реализована как замкнутая подгруппа комплексной полной линейной группы . Он состоит из операторов с полярным разложением g = u • exp iX , где u — унитарный оператор в компактной группе, а X — кососопряженный оператор в ее алгебре Ли. В этом случае комплексификация представляет собой комплексную алгебраическую группу , а ее алгебра Ли является комплексификацией алгебры Ли компактной группы Ли.

Универсальная комплексификация

Определение

Если G — группа Ли, универсальная комплексификация задается комплексной группой Ли и _GC непрерывным гомоморфизмом φ : G → GC _f с универсальным свойством, заключающимся в том, что, если : G → H — произвольный непрерывный гомоморфизм в комплексный гомоморфизм Ли группы H , то существует единственный комплексный аналитический гомоморфизм : GC → _F H такой , что f = F ∘ φ .

Универсальные комплексификации всегда существуют и единственны с точностью до единственного комплексного аналитического изоморфизма (сохраняющего включение исходной группы).

Существование

Если G связана с алгеброй Ли 𝖌 , то ее универсальная накрывающая группа G односвязна. Пусть GC _— односвязная комплексная группа Ли с алгеброй Ли — _{естественный} гомоморфизм ( единственный морфизм такой , что _{𝖌 C = 𝖌 ⊗ C, пусть Φ: G → GC} Φ * _: 𝖌 ↪ 𝖌 ⊗ C — каноническое включение) и предположим, что π : G → G — универсальное накрывающее отображение, так что ker π — фундаментальная группа G . Имеем включение Φ(ker π ) ⊂ Z( GC _равно ) его центру _{, которое следует из того факта, что ядро ​​присоединенного представления GC} , в сочетании с равенством

$(C_{\Phi (k)})_{*}\circ \Phi _{*}=\Phi _{*}\circ (C_{k})_{*}=\Phi _{*}$

что справедливо для любого k ∈ ker π . Обозначая через Φ(ker π ) ^* наименьшую замкнутую нормальную подгруппу Ли в G _C , содержащую Φ(ker π ) , мы теперь также должны иметь включение Φ(ker π ) ^* ⊂ Z( г _С ) . Мы определяем универсальную комплексификацию группы G как

$G_{\mathbf {C} }={\frac {\mathbf {G} _{\mathbf {C} }}{\Phi (\ker \pi )^{*}}}.$

В частности, если G односвязен, его универсальная комплексификация — это GC _просто .

Отображение φ : G → GC _. получается переходом к фактору Поскольку π — сюръективная субмерсия, из гладкости отображения π _C ∘ Φ следует гладкость φ .

Construction of the complexification map

Для несвязных групп Ли G с единичной компонентой G ^тот и группа компонентов Γ = G / G ^тот , расширение

$\{1\}\rightarrow G^{o}\rightarrow G\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\}$

вызывает расширение

$\{1\}\rightarrow (G^{o})_{\mathbf {C} }\rightarrow G_{\mathbf {C} }\rightarrow \Gamma \rightarrow \{1\}$

и комплексная группа Ли GC _G является комплексификацией группы .

Доказательство универсального свойства

Отображение φ : G → GC _{действительно обладает универсальным свойством ,} которое появляется в приведенном выше определении комплексификации. Доказательство этого утверждения естественным образом следует из рассмотрения следующей поучительной схемы.

Здесь, $f\colon G\rightarrow H$ — произвольный гладкий гомоморфизм групп Ли с комплексной группой Ли в качестве кообласти.

показывать

Существование карты F

For simplicity, we assume $G$ is connected. To establish the existence of $F$, we first naturally extend the morphism of Lie algebras $f_{*}\colon {\mathfrak {g}}\rightarrow {\mathfrak {h}}$ to the unique morphism ${\overline {f}}_{*}\colon {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }\rightarrow {\mathfrak {h}}$ of complex Lie algebras. Since $\mathbf {G} _{\mathbf {C} }$ is simply connected, Lie's second fundamental theorem now provides us with a unique complex analytic morphism ${\overline {F}}\colon \mathbf {G} _{\mathbf {C} }\rightarrow H$ between complex Lie groups, such that $({\overline {F}})_{*}={\overline {f}}_{*}$. We define $F\colon G_{\mathbf {C} }\rightarrow H$ as the map induced by ${\overline {F}}$, that is: $F(g\,\Phi (\ker \pi )^{*})={\overline {F}}(g)$ for any $g\in \mathbf {G} _{\mathbf {C} }$. To show well-definedness of this map (i.e. $\Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}$), consider the derivative of the map ${\overline {F}}\circ \Phi$. For any $v\in T_{e}\mathbf {G} \cong {\mathfrak {g}}$, we have

$({\overline {F}})_{*}\Phi _{*}v=({\overline {F}})_{*}(v\otimes 1)=f_{*}\pi _{*}v$,

which (by simple connectedness of $\mathbf {G}$) implies ${\overline {F}}\circ \Phi =f\circ \pi$. This equality finally implies $\Phi (\ker \pi )\subset \ker {\overline {F}}$, and since $\ker {\overline {F}}$ is a closed normal Lie subgroup of $\mathbf {G} _{\mathbf {C} }$, we also have $\Phi (\ker \pi )^{*}\subset \ker {\overline {F}}$. Since $\pi _{\mathbb {C} }$ is a complex analytic surjective submersion, the map $F$ is complex analytic since ${\overline {F}}$ is. The desired equality $F\circ \varphi =f$ is imminent.

показывать

Уникальность карты F

To show uniqueness of $F$, suppose that $F_{1},F_{2}$ are two maps with $F_{1}\circ \varphi =F_{2}\circ \varphi =f$. Composing with $\pi$ from the right and differentiating, we get $(F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}\Phi _{*}$, and since $\Phi _{*}$ is the inclusion ${\mathfrak {g}}\hookrightarrow {\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$, we get $(F_{1})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}=(F_{2})_{*}(\pi _{\mathbf {C} })_{*}$. But $\pi _{\mathbf {C} }$ is a submersion, so $(F_{1})_{*}=(F_{2})_{*}$, thus connectedness of $G$ implies $F_{1}=F_{2}$.

Уникальность

Из универсального свойства следует, что универсальная комплексификация единственна с точностью до комплексного аналитического изоморфизма.

Инъективность

Если исходная группа линейна, то линейна и универсальная комплексификация, а гомоморфизм между ними является включением. Онищик и Винберг (1994) приводят пример связной вещественной группы Ли, для которой гомоморфизм не является инъективным даже на уровне алгебры Ли: они берут произведение T на универсальную накрывающую группу SL (2, R ) и факторизуют дискретной циклической подгруппой, порожденной иррациональным вращением в первом факторе и генератором центра во втором.

Основные примеры

Следующие изоморфизмы комплексификаций групп Ли с известными группами Ли могут быть построены непосредственно из общей конструкции комплексификации.

• Комплексификация специальной унитарной группы матриц 2x2 равна

$\mathrm {SU} (2)_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )$.

Это следует из изоморфизма алгебр Ли

${\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )$,

вместе с тем, что $\mathrm {SU} (2)$ просто связано.

• Комплексификация специальной линейной группы матриц 2x2 равна

$\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )$.

Это следует из изоморфизма алгебр Ли

${\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )$,

вместе с тем, что $\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )$ просто связано.

• Комплексификация специальной ортогональной группы матриц 3x3 равна

$\mathrm {SO} (3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}\cong \mathrm {SO} ^{+}(1,3)$,

где $\mathrm {SO} ^{+}(1,3)$ обозначает собственную ортохронную группу Лоренца . Это следует из того, что $\mathrm {SU} (2)$ представляет собой универсальное (двойное) покрытие $\mathrm {SO} (3)$, следовательно:

${\mathfrak {so}}(3)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {su}}(2)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )$.

Мы также используем тот факт, что $\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )$ представляет собой универсальное (двойное) покрытие $\mathrm {SO} ^{+}(1,3)$.

• Комплексификация собственной ортохронной группы Лоренца есть

$\mathrm {SO} ^{+}(1,3)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}$.

Это следует из того же изоморфизма алгебр Ли, что и во втором примере, снова с использованием универсального (двойного) накрытия собственной ортохронной группы Лоренца.

• Комплексификация специальной ортогональной группы матриц 4x4 равна

$\mathrm {SO} (4)_{\mathbf {C} }\cong {\frac {\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )\times \mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )}{\mathbf {Z} _{2}}}$.

Это следует из того, что $\mathrm {SU} (2)\times \mathrm {SU} (2)$ представляет собой универсальное (двойное) покрытие $\mathrm {SO} (4)$, следовательно ${\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\oplus {\mathfrak {su}}(2)$ и так ${\mathfrak {so}}(4)_{\mathbf {C} }\cong {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )\oplus {\mathfrak {sl}}(2,\mathbf {C} )$.

Последние два примера показывают, что группы Ли с изоморфными комплексификациями могут не быть изоморфными. Более того, комплексификации групп Ли $\mathrm {SU} (2)$ и $\mathrm {SL} (2,\mathbf {C} )$ показать, что комплексификация не является идемпотентной операцией, т.е. $(G_{\mathbf {C} })_{\mathbf {C} }\not \cong G_{\mathbf {C} }$ (об этом также свидетельствуют комплексификации $\mathrm {SO} (3)$ и $\mathrm {SO} ^{+}(1,3)$).

Комплексификация Шевалле

Алгебра Хопфа матричных коэффициентов

Если G — компактная группа Ли, *-алгебра A матричных коэффициентов конечномерных унитарных представлений является равномерно плотной *-подалгеброй в C ( G ) — *-алгебры комплекснозначных непрерывных функций G. на Естественно, это алгебра Хопфа с коумножением , заданным формулой

$\displaystyle {\Delta f(g,h)=f(gh).}$

Характеры A это *-гомоморфизмы A в C. — Их можно отождествить с точечными оценками f ↦ f ( g ) для g в G , а коумножение позволяет структуру группы на G. восстановить Гомоморфизмы A в C также образуют группу. Это комплексная группа Ли, и ее можно отождествить с комплексификацией G _C группы G . *-алгебра A порождается матричными коэффициентами любого точного представления σ группы G . Отсюда следует, что σ определяет точное комплексное аналитическое представление GC _группы .

Инвариантная теория

Оригинальный подход Шевалле (1946) к комплексификации компактной группы Ли может быть кратко изложен на языке классической теории инвариантов , описанной Вейлем (1946) . Пусть G — замкнутая подгруппа унитарной группы U ( V ) , где V — конечномерное комплексное пространство скалярного произведения. Ее алгебра Ли состоит из всех кососопряженных операторов X таких, что exp tX лежит в G для всех вещественных t . Положим W = V ⊕ C с тривиальным действием G на второе слагаемое. Группа G действует на W ^{⊗ N} , с элементом u, действующим как u ^{⊗ N} . Коммутант G алгебры) обозначается A _N = End _W (или централизатор ^{⊗ N} . Она порождается как *-алгебра своими унитарными операторами, а ее коммутантом является *-алгебра, натянутая на операторы u ^{⊗ N} . Комплексификация GC _группы G состоит из всех операторов g из GL( V ) таких, что g ^{⊗ N} коммутирует с AN _C и g второе слагаемое в тривиально действует на . По определению это замкнутая подгруппа GL( V ) . Определяющие соотношения (как коммутант) показывают, что G — алгебраическая подгруппа. Ее пересечение с U ( V ) совпадает с G , поскольку это априори большая компактная группа, для которой неприводимые представления остаются неприводимыми и неэквивалентными при ограничении G. на Поскольку AN _в порождается унитарами, обратимый оператор g лежит в GC _, если унитарный оператор u и положительный оператор p его полярном разложении g = u ⋅ p в GC _. оба лежат Таким образом, u лежит в G , и оператор p можно однозначно записать как p = exp T , где T — самосопряженный оператор. Из функционального исчисления для полиномиальных функций следует, что h ^{⊗ N} лежит в коммутанте AN _, если h = exp z T с z в C . В частности, если z чисто мнимый, T должен иметь форму iX с X в алгебре Ли группы G . Поскольку каждое конечномерное представление группы G встречается как прямое слагаемое группы W ^{⊗ N} , оно инвариантно слева относительно GC _, таким образом, каждое конечномерное представление G однозначно продолжается до GC _и . Расширение совместимо с полярным разложением. полярного разложения следует, что G — максимальная компактная подгруппа в GC _{Наконец, из} , поскольку строго большая компактная подгруппа будет содержать все целые степени положительного оператора p , замкнутой бесконечной дискретной подгруппы.

Разложения в комплексификации Шевалле.

Разложение Картана

Разложение, полученное из полярного разложения

$\displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot P=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}},}$

где 𝖌 — алгебра Ли группы , называется разложением Картана группы GC _. G Экспоненциальный множитель P инвариантен относительно сопряжения с помощью G , но не является подгруппой. Комплексификация инвариантна относительно сопряжения, поскольку G состоит из унитарных операторов, а P — из положительных операторов.

Разложение Гаусса

является Разложение Гаусса обобщением LU-разложения для полной линейной группы и специализацией разложения Брюа . Для GL( ) он утверждает, что относительно данного ортонормированного базиса , _e1 ..., en _V элемент g из GL( V ) может быть факторизован в виде

$\displaystyle {g=XDY}$

где X нижний унитреугольный , Y верхний унитреугольный и D тогда и только тогда, когда все главные миноры g диагональный не равны нулю. В этом случае X , Y и D определяются однозначно.

Фактически метод исключения Гаусса показывает, что существует уникальный X такой, что X ⁻¹ g – верхнетреугольный.

Верхняя и нижняя унитреугольные матрицы N ₊ и N ₋ являются замкнутыми унипотентными подгруппами группы GL( V ). Их алгебры Ли состоят из верхних и нижних строго треугольных матриц. Экспоненциальное отображение представляет собой полиномиальное отображение алгебры Ли в соответствующую подгруппу по нильпотентности. Обратное задается отображением логарифма, которое по унипотентности также является полиномиальным отображением. В частности, существует соответствие между замкнутыми связными подгруппами группы N _± и подалгебрами их алгебр Ли. Экспоненциальное отображение применяется в каждом случае, поскольку полиномиальная функция log ( e ^А и ^Б ) лежит в данной подалгебре Ли, если A и B есть и достаточно малы.

Разложение Гаусса можно расширить до комплексификаций других замкнутых связных подгрупп G группы U( V ), используя корневое разложение для записи комплексифицированной алгебры Ли в виде

$\displaystyle {{\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }={\mathfrak {n}}_{-}\oplus {\mathfrak {t}}_{\mathbf {C} }\oplus {\mathfrak {n}}_{+},}$

где 𝖙 — алгебра Ли максимального тора T группы G , а 𝖓 _± — прямая сумма соответствующих положительных и отрицательных корневых пространств. в весовом пространстве В разложении V как собственные пространства T , 𝖙 действует как диагональный, 𝖓 ₊ действует как понижающий оператор, а 𝖓 _- как повышающий оператор. 𝖓 _± — нильпотентные алгебры Ли, действующие как нильпотентные операторы; они являются сопряженными друг другу на V . В частности, T действует путем сопряжения 𝖓 ₊ , так что 𝖙 _C ⊕ 𝖓 ₊ является полупрямым произведением нильпотентной алгебры Ли на абелеву алгебру Ли.

По теореме Энгеля , если 𝖆 ⊕ 𝖓 — полупрямое произведение с 𝖆 абелевым и 𝖓 нильпотентным, действующим в конечномерном векторном пространстве W с операторами из 𝖆, диагонализируемыми и операторами из 𝖓 нильпотентными, существует вектор w , который является собственным вектором для 𝖆 и уничтожается 𝖓 . На самом деле достаточно показать, что существует вектор, аннулируемый 𝖓 , что следует индукцией по dim 𝖓 , поскольку производная алгебра 𝖓' аннулирует ненулевое подпространство векторов, на которых 𝖓 / 𝖓' и 𝖆 действуют с теми же гипотезами .

Повторное применение этого аргумента к 𝖙 _C ⊕ 𝖓 ₊ показывает, что существует ортонормированный базис e ₁ , ..., e _n матрицы V, состоящий из собственных векторов 𝖙 _C с 𝖓 _+, действующими как верхние треугольные матрицы с нулями на диагонали.

Если N _± и TC _{, то разложение Гаусса утверждает ,} — комплексные группы Ли, соответствующие 𝖓 ₊ и 𝖙 _C что подмножество

$\displaystyle {N_{-}T_{\mathbf {C} }N_{+}}$

является прямым произведением и состоит из элементов G _C, у которых главные миноры не равны нулю. Он открытый и плотный. Более того, если T обозначает максимальный тор в U( V ) ,

$\displaystyle {N_{\pm }=\mathbf {N} _{\pm }\cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,T_{\mathbf {C} }=\mathbf {T} _{\mathbf {C} }\cap G_{\mathbf {C} }.}$

Эти результаты являются непосредственным следствием соответствующих результатов для GL( V ) .

Разложение Брюа

Если W = NG ₊ ( T / T обозначает группу Вейля группы T а B обозначает подгруппу Бореля TCN ₎ , _, то разложение Гаусса также является следствием более точного разложения Брюа

$\displaystyle {G_{\mathbf {C} }=\bigcup _{\sigma \in W}B\sigma B,}$

разложение GC _в объединение двойных классов B . несвязное Комплексная размерность двойного смежного класса BσB определяется длиной σ как элемента W . Размерность максимизируется на элементе Кокстера и дает уникальный открытый плотный двойной смежный класс. Его обратная функция сопрягает B в борелевскую подгруппу нижнетреугольных матриц GC _в .

Разложение Брюа легко доказать для SL( n , C ) . Пусть B — борелевская подгруппа верхнетреугольных матриц, а T _C — подгруппа диагональных матриц. Итак, N( Т _C ) / Т _C знак равно S _n . Для g в SL( n , C ) возьмите b в B так, чтобы bg максимизировало количество нулей, появляющихся в начале его строк. Поскольку число, кратное одной строке, может быть добавлено к другой, каждая строка имеет разное количество нулей. Умножая на матрицу w из N( TC _что ) , следует, wbg в B. лежит Для уникальности, если w ₁ b w ₂ = b ₀ , то элементы w ₁ w ₂ исчезают ниже диагонали. Итак, произведение лежит в TC _{, что} доказывает уникальность.

Шевалле (1955) показал, что выражение элемента g в виде g = b ₁ σb ₂ становится уникальным, если b ₁ ограничено тем, что он лежит в верхней унитреугольной подгруппе N _σ = N ₊ ∩ σ N ₋ σ. ⁻¹ . Действительно, если M _σ = N ₊ ∩ σ N ₊ σ ⁻¹ , это следует из тождества

$\displaystyle {N_{+}=N_{\sigma }\cdot M_{\sigma }.}$

Группа N ₊ имеет естественную фильтрацию нормальными подгруппами N ₊ ( k ) с нулями в первых k − 1 супердиагоналях, а последовательные факторы абелевы. Определив N _σ ( k ) и M _σ ( k ) как пересечения с N ₊ ( k ) , из этого следует путем уменьшения индукции по k , что N ₊ ( k ) = N _σ ( k ) ⋅ M _σ ( k ) . Действительно, N _σ ( k ) N ₊ ( k + 1) и M _σ ( k ) N ₊ ( k + 1) задаются в N ₊ ( k ) путем исчезновения дополнительных элементов ( i , j ) на k -м супердиагональна в зависимости от того, сохраняет ли σ порядок i < j или нет.

Разложение Брюа для других классических простых групп можно вывести из приведенного выше разложения, используя тот факт, что они являются подгруппами с неподвижной точкой складных автоморфизмов SL( n , C ) . Для Sp( n , C ) пусть J будет матрицей размера n × n с единицами на антидиагонали и нулями в других местах, и установите

$\displaystyle {A={\begin{pmatrix}0&J\\-J&0\end{pmatrix}}.}$

Тогда Sp( n , C ) — подгруппа неподвижных точек инволюции θ ( g ) = A ( g ^т ) ⁻¹ А ⁻¹ SL(2 n , C ) . подгруппы N _± , TC _B и Это оставляет инвариантными. Если базисные элементы пронумерованы n , n −1, ..., 1, −1, ..., − n , то группа Вейля Sp( n , C ) состоит из σ, удовлетворяющего σ ( j ) знак равно - j , то есть коммутация с θ . Аналоги B , TC _, и N _± определяются пересечением с Sp( n , т.е. как C ) неподвижные точки θ . Из единственности разложения g = nσb = θ ( n ) θ ( σ ) θ ( b ) следует разложение Брюа для Sp( n , C ) .

Тот же аргумент работает для SO( n , C ) . Это можно реализовать как неподвижные точки ψ ( g ) = B ( g ^т ) ⁻¹ Б ⁻¹ в SL( n , C ) , где B = J .

Разложение Ивасавы

Ивасавы Разложение

$\displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot A\cdot N}$

дает разложение для GC _, для которого, в отличие от разложения Картана, прямой фактор A ⋅ N является замкнутой подгруппой, но он уже не инвариантен относительно сопряжения с помощью G . Это полупрямое произведение нильпотентной на подгруппы N абелеву подгруппу A .

Для U( V ) и его комплексификации GL( V ) это разложение может быть получено как повторная формулировка процесса ортонормировки Грама – Шмидта .

Фактически, пусть e ₁ , ..., en _— ортонормированный базис V и пусть g — элемент из GL( V ) . Применяя процесс Грама–Шмидта к ge ₁ , ..., gen _n , существует единственный ортонормированный базис f ₁ , ..., f _n и положительные константы a _i такие, что

$\displaystyle {f_{i}=a_{i}ge_{i}+\sum _{j<i}n_{ji}ge_{j}.}$

Если k является унитарным переводом ( ei ₎ что в ( fi _, ) , из этого следует g ⁻¹ k лежит в подгруппе AN , где A — подгруппа положительных диагональных матриц относительно ( ei ₎ , а N — подгруппа верхних унитреугольных матриц .

Используя обозначения разложения Гаусса, подгруппы в разложении Ивасавы для GC _{формулой} определяются

$\displaystyle {A=\exp i{\mathfrak {t}}=\mathbf {A} \cap G_{\mathbf {C} },\,\,\,N=\exp {\mathfrak {n}}_{+}=\mathbf {N} \cap G_{\mathbf {C} }.}$

разложение является прямым Поскольку для GL( V ) , достаточно проверить, GC _что = GAN . свойств разложения Ивасавы для GL( V ) отображение G × A × N является диффеоморфизмом своего образа в GC _Из , который замкнут. другой стороны, размер изображения такой же, как размер GC _С , поэтому оно также открыто. Итак, = _потому GAN , что GC _GC связен.

Желобенко (1973) предлагает метод явного вычисления элементов разложения. Для g в GC _​ установите h = g * g . Это положительный самосопряженный оператор, поэтому его главные миноры не исчезают. Поэтому с помощью разложения Гаусса его можно однозначно записать в виде h = XDY с X в N ₋ , D в TC _​ и Y в N ₊ . Поскольку h самосопряжен, единственность вызывает Y = X * . Поскольку он также положителен, D должен лежать в A и иметь вид D = exp iT для некоторого единственного T в 𝖙 . Пусть a = exp iT /2 его единственный квадратный корень в A. — Положим n = Y и k = g n ⁻¹ а ⁻¹ . Тогда k унитарно, как и в G , и g = kan .

Сложные структуры на однородных пространствах

Разложение Ивасавы можно использовать для описания комплексных структур на G - орбите s в проективном пространстве векторов старшего веса конечномерных неприводимых представлений G комплексном . отождествление между G / T и GC _{В частности ,} / B можно использовать для формулировки теоремы Бореля–Вейля . Он утверждает, что каждое неприводимое представление группы G можно получить голоморфной индукцией по характеру T или, что то же самое, реализовать в пространстве сечений голоморфного линейного расслоения на G / T .

Замкнутые связные подгруппы группы G , содержащие T, описываются теорией Бореля–де Зибенталя . Они являются в точности централизаторами торов S ⊆ T . Поскольку каждый тор топологически порождается одним элементом x , они аналогичны централизаторам C _G ( X ) элементов X в 𝖙 . По результату Хопфа CG _{содержится в} ( x ) всегда связен: действительно, любой элемент вместе с S некотором максимальном торе, обязательно содержащемся в CG _y ( x ) .

Для неприводимого конечномерного представления V _λ со старшим весовым вектором v веса λ стабилизатор C v в G является замкнутой подгруппой H . Поскольку v собственным вектором T , H содержит T. является Комплексификация GC _а также действует на V стабилизатором является замкнутая комплексная подгруппа P, содержащая TC _, . Поскольку v аннулируется каждым повышающим оператором, соответствующим положительному корню α , P содержит борелевскую B. подгруппу Вектор v также является вектором старшего веса для копии sl _2, соответствующей α , поэтому он аннулируется понижающим оператором, генерирующим 𝖌 _{− α,} если ( λ , α ) = 0 . Алгебра Ли p группы P является прямой суммой 𝖙 _C и векторов корневого пространства, аннулирующих v , так что

$\displaystyle {{\mathfrak {p}}={\mathfrak {b}}\oplus \bigoplus _{(\alpha ,\lambda )=0}{\mathfrak {g}}_{-\alpha }.}$

Алгебра Ли группы H = P ∩ G задается формулой p ∩ 𝖌 . По разложению GC _. = GAN Ивасавы Поскольку AN фиксирует C v , G -орбита v в комплексном проективном пространстве V _λ совпадает с GC _{орбитой} и

$\displaystyle {G/H=G_{\mathbf {C} }/P.}$

В частности

$\displaystyle {G/T=G_{\mathbf {C} }/B.}$

Используя отождествление алгебры Ли T с ее двойственной, H равна централизатору λ в G и, следовательно, связна. Группа P также связна. На самом деле пространство G / H односвязно, поскольку ее можно записать как фактор (компактной) универсальной накрывающей компактной полупростой группы G / Z по связной подгруппе, где Z — центр G . Если П ^тот компонентом P , GC _P / P имеет GC _/ является единичным ^тот как накрывающее пространство, так что P = P ^тот . Однородное пространство G _C / P имеет комплексную структуру, поскольку P — комплексная подгруппа. Орбита в комплексном проективном пространстве замкнута в топологии Зарисского по теореме Чоу , так же как и гладкое проективное многообразие. Теорема Бореля-Вейля и ее обобщения обсуждаются в этом контексте в Серре (1954) , Хельгасоне (1994) , Дуйстермаате и Колке (2000) и Сепански (2007) .

Параболическую подгруппу P также можно записать как объединение двойных классов класса B

$\displaystyle {P=\bigcup _{\sigma \in W_{\lambda }}B\sigma B,}$

где W _λ — стабилизатор λ в группе Вейля W . Он порождается отражениями, соответствующими простым корням, ортогональным λ .

Некомпактные вещественные формы

Существуют и другие замкнутые подгруппы комплексификации компактной связной группы Ли G, имеющие ту же комплексифицированную алгебру Ли. Это действительные GC формы _. другие

Инволюции односвязных компактных групп Ли

Если G — односвязная компактная группа Ли и σ — автоморфизм порядка 2, то подгруппа неподвижных точек K = G ^п подключается автоматически . (Фактически это верно для любого автоморфизма группы G для внутренних автоморфизмов , как это было показано Стейнбергом и вообще Борелем .)

Наиболее наглядно это можно увидеть, когда инволюция σ соответствует эрмитовому симметричному пространству . В этом случае σ является внутренней и реализуется элементом однопараметрической подгруппы exp tT, содержащейся в центре G ^п . Внутренность σ означает, что K содержит максимальный тор G и поэтому имеет максимальный ранг. С другой стороны, централизатор подгруппы, порожденной тором S элементов exp tT, связен, так как если x — любой элемент из K, то существует максимальный тор, содержащий x и S , лежащий в централизаторе. С другой стороны, он содержит K , поскольку S является центральным в K и содержится в K, поскольку z лежит в S . Итак, K является централизатором S и, следовательно, связен. В частности, K содержит центр G .

Для общей инволюции σ связность G ^п можно увидеть следующим образом.

Отправной точкой является абелева версия результата: если T — максимальный тор односвязной группы G , а σ — инволюция, оставляющая инвариант T и выбор положительных корней (или, что то же самое, камера Вейля ), то подгруппа с неподвижной точкой Т ^п подключен. Фактически ядро ​​экспоненциального отображения из ${\mathfrak {t}}$ на T — решетка Λ с Z -базисом, индексированным простыми корнями, которые σ переставляет. Разбивая по орбитам, T можно записать как произведение термов T, на которых σ действует тривиально, или термов T ² где σ меняет местами множители. Подгруппа с фиксированной точкой соответствует взятию диагональных подгрупп во втором случае, поэтому связна.

Теперь пусть x — любой элемент, фиксированный σ, пусть S — максимальный тор в C _G ( x ) ^п и пусть T — единичный компонент C _G ( x , S ). Тогда T — максимальный тор в G содержащий x и S. , Он инвариантен относительно σ и единичной компоненты T ^п это С. ​Фактически, поскольку x и S коммутируют, они содержатся в максимальном торе, который, поскольку он связен, должен лежать в T . По построению T инвариантно относительно σ. Тождественный компонент T ^п содержит S , лежит в C _G ( x ) ^п и централизует S он равен S. , поэтому Но S является центральным в T , поэтому T должен быть абелевым и, следовательно, максимальным тором. Поскольку σ действует как умножение на −1 в алгебре Ли ${\mathfrak {t}}\ominus {\mathfrak {s}}$, так оно и поэтому также ${\mathfrak {t}}$ являются абелевыми.

Доказательство завершается показом, что σ сохраняет камеру Вейля, ассоциированную с T . Ибо тогда Т ^п подключен, поэтому должен равняться S . Следовательно, x лежит в S . Поскольку x было произвольным, G ^п поэтому должен быть подключен.

Чтобы получить камеру Вейля, инвариантную относительно σ, обратите внимание, что здесь нет корневого пространства. ${\mathfrak {g}}_{\alpha }$ на котором и x, и S действовали тривиально, поскольку это противоречило бы тому факту, что C _G ( x , S ) имеет ту же алгебру Ли, что и T . должен существовать элемент s Следовательно, в S такой, что t = xs действует нетривиально в каждом корневом пространстве. В этом случае t является регулярным элементом T T его централизатора в G равна . — единичная компонента есть уникальная ниша Вейля А. Здесь ${\mathfrak {t}}$ такой, что лежит в exp A , а 0 лежит в замыкании A. t Поскольку t фиксировано σ, альков остается инвариантным слева по σ, а значит, и камера Вейля C, содержащая ее.

Спряжения по комплексификации

Пусть G — односвязная компактная группа Ли с GC _{комплексификацией} . Карта c ( g ) = ( g *) ⁻¹ определяет автоморфизм GC _G как вещественной группы Ли с как подгруппой неподвижной точки. Оно сопряжено-линейно по ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ и удовлетворяет c ² = идентификатор. Такие автоморфизмы либо G _C , либо ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ называются спряжениями . Поскольку GC _{сопряжение} также односвязен, любое c ₁ на ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$ соответствует единственному c ₁ группы GC _{автоморфизму} .

Классификация сопряжений c ₀ сводится к классификации инволюций σ группы G , поскольку при a c ₁ существует автоморфизм φ комплексной группы GC _что такой,

$\displaystyle {c_{0}=\varphi \circ c_{1}\circ \varphi ^{-1}}$

ездит с c . сопряжение c ₀ Тогда оставляет G инвариантным и ограничивается инволютивным автоморфизмом σ. Благодаря простой связности то же самое справедливо и на уровне алгебр Ли. уровне алгебры Ли c0 _На можно восстановить по σ по формуле

$\displaystyle {c_{0}(X+iY)=\sigma (X)-i\sigma (Y)}$

для X , Y в ${\mathfrak {g}}$.

Чтобы доказать существование φ, пусть ψ = 1 _c — автоморфизм комплексной группы GC _. c На уровне алгебры Ли он определяет самосопряженный оператор для комплексного скалярного произведения

$\displaystyle {(X,Y)=-B(X,c(Y)),}$

где B — форма Киллинга на ${\mathfrak {g}}_{\mathbf {C} }$. Таким образом ² является положительным оператором и автоморфизмом вместе со всеми своими вещественными степенями. В частности, возьмите

$\displaystyle {\varphi =(\psi ^{2})^{1/4}}$

Это удовлетворяет

$\displaystyle {c_{0}c=\varphi c_{1}\varphi ^{-1}c=\varphi cc_{1}\varphi =(\psi ^{2})^{1/2}\psi ^{-1}=\varphi ^{-1}cc_{1}\varphi ^{-1}=c\varphi c_{1}\varphi ^{-1}=cc_{0}.}$

Разложение Картана в реальной форме

комплексификации GC _Для описано разложение Картана выше. Полученный из полярного разложения в комплексной общей линейной группе , он дает диффеоморфизм

$\displaystyle {G_{\mathbf {C} }=G\cdot \exp i{\mathfrak {g}}=G\cdot P=P\cdot G.}$

На GC _с существует оператор сопряжения c, соответствующий G , а также инволюция σ, коммутирующая c . Пусть c ₀ = c σ и пусть G ₀ — подгруппа неподвижных точек группы c . Она замкнута в группе матриц G _C и, следовательно, является группой Ли. Инволюция σ действует как на , так и на G0 _G . Для алгебры Ли группы G существует разложение

$\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$

в собственные пространства +1 и −1 оператора σ. Подгруппа неподвижных точек K группы σ в G связна, поскольку G односвязна. Его алгебра Ли является собственным пространством +1. ${\mathfrak {k}}$. Алгебра Ли группы имеет _G0 вид

$\displaystyle {{\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$

и подгруппа неподвижных точек группы σ снова равна K что G ∩ G0 _, = K. так В G0 _{Картана} существует разложение

$\displaystyle {G_{0}=K\cdot \exp i{\mathfrak {p}}=K\cdot P_{0}=P_{0}\cdot K}$

что снова является диффеоморфизмом на прямую и соответствует полярному разложению матриц. ограничение разложения на GC _Это . замкнутое подмножество G0 _{Произведение дает диффеоморфизм на} . Чтобы проверить, что он сюръективен, для g в G ₀ напишите g = u ⋅ p с u в G и p в P . Поскольку c ₀ g = g , из единственности следует, что σ u = u и σ p = p ⁻¹ . Следовательно, лежит в K , а p в P0 _u .

Разложение Картана в G0 _G0 показывает, что связна _{множителя} односвязна и некомпактна из-за прямого P0 _. , Таким образом, — _G0 некомпактная вещественная полупростая группа Ли.

Более того, если задана максимальная абелева подалгебра ${\mathfrak {a}}$ в ${\mathfrak {p}}$, А = эксп ${\mathfrak {a}}$ — торическая подгруппа такая, что σ( a ) = a ⁻¹ на А ; и любые два таких ${\mathfrak {a}}$сопряжены элементом K. из Свойства А можно показать непосредственно. A замкнута, поскольку замыкание A является торической подгруппой, удовлетворяющей σ( a ) = a ⁻¹ , поэтому его алгебра Ли лежит в ${\mathfrak {m}}$ и, следовательно, равен ${\mathfrak {a}}$ по максимальности. A может быть сгенерирован топологически одним элементом exp X , поэтому ${\mathfrak {a}}$ является централизатором X в ${\mathfrak {m}}$. На K -орбите любого элемента ${\mathfrak {m}}$ существует элемент Y такой, что (X,Ad k Y) минимизируется при k = 1. Полагая k = exp tT с T в ${\mathfrak {k}}$, отсюда следует, что ( X ,[ T , Y ]) = 0 и, следовательно, [ X , Y ] = 0, так что Y должен лежать в ${\mathfrak {a}}$. Таким образом ${\mathfrak {m}}$ представляет собой объединение сопряженных ${\mathfrak {a}}$. В частности, некоторое сопряжение X лежит в любом другом выборе ${\mathfrak {a}}$, который централизует это сопряжение; поэтому по максимальности единственные возможности - это сопряжения ${\mathfrak {a}}$.

Аналогичные утверждения справедливы и для действия K на ${\mathfrak {a}}_{0}=i{\mathfrak {a}}$ в ${\mathfrak {p}}_{0}$. Моревер, из разложения Картана для , ₌ если A0 _G0 exp ${\mathfrak {a}}_{0}$, затем

$\displaystyle {G_{0}=KA_{0}K.}$

См. также

• Реальная форма (теория лжи)

Ссылки

• Бурбаки, Н. (1981), Группы и алгебры Ли (глава 3) , Элементы математики, Герман, ISBN  978-3540339403
• Бурбаки, Н. (1981a), Группы Ли и алгебры (главы 4,5 и 6) , Элементы математики, Массон, ISBN  978-2225760761
• Бурбаки, Н. (1982), Группы и алгебры Ли (глава 9) , Элементы математики, Массон, ISBN  978-3540343929
• Брёкер, Т.; Том Дик, Т. (1985), Представления компактных групп Ли , Тексты для аспирантов по математике , том. 98, Спрингер, ISBN  978-3540136781
• Брюа, Ф. (1956), “Об индуцированных представлениях групп Ли” , Bull. Соц. Математика. Франция , 84 : 97–205, doi : 10.24033/bsmf.1469
• Бамп, Дэниел (2004), Группы лжи , Тексты для выпускников по математике, том. 225, Спрингер, ISBN  978-0387211541
• Картер, Роджер В. (1989) [1972], Простые группы лиева типа , Wiley Classics Library, vol. 22, Уайли, ISBN  9780471506836
• Шевалле, К. (2018) [1946], Теория групп Ли I , Дувр, ISBN  9780486824536
• Шевалле, К. (1955), «О некоторых простых группах» , Tôhoku Mathematical Journal , 7 (1–2): 14–66, doi : 10.2748/tmj/1178245104
• Дьедонне, Ж. (1977), Компактные группы Ли и полупростые группы Ли, Глава XXI , Трактат об анализе, том. 5, Академическое издательство, ISBN  978-0122155055
• Дуйстермаат, Джей-Джей; Колк, А. (2000), Группы Ли , Universitext, Springer, ISBN  978-3540152934
• Гельфанд, ИМ; Наймарк, М. А. (1950), "Унитарные представления классических групп" , Тр. Матем. Инст. Стеклов. (на русском языке), 36 : 3–288.
• Хельгасон, Сигурдур (1978), Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства , Academic Press, ISBN  978-0821828489
• Хельгасон, Сигурдур (1994), Геометрический анализ симметричных пространств , Математические обзоры и монографии, том. 39 (2-е изд.), Американское математическое общество, ISBN.  978-0821815380
• Хохшильд, Г. (1965), Структура групп Ли , Холден-Дей
• Хохшильд, Г. (1966), «Комплексификация реальных аналитических групп», Transactions of the American Mathematical Society , 125 (3): 406–413, doi : 10.2307/1994572 , JSTOR   1994572
• Хамфрис, Джеймс Э. (1981), Линейные алгебраические группы , Тексты для аспирантов по математике, том. 21, Спрингер, ISBN  978-0387901084
• Хамфрис, Джеймс Э. (1997), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Тексты для аспирантов по математике, том. 9 (2-е изд.), Springer, ISBN  978-3540900535
• Кнапп, Энтони В. (2001), Теория представлений полупростых групп: обзор, основанный на примерах , Princeton Mathematical Series, vol. 36, Издательство Принстонского университета, ISBN  978-0691090894
• Онищик А.Л.; Винберг, Е.Б. (1994), Группы Ли и алгебры Ли III: Структура групп Ли и алгебр Ли , Энциклопедия математических наук, том. 41, Спрингер, ISBN  9783540546832
• Сепански, Марк Р. (2007), Компактные группы Ли , Тексты для выпускников по математике, том. 235, Спрингер, ISBN  978-0387302638
• Серр, Жан-Пьер (1954), «Линейные представления и однородные кэлеровы пространства компактных групп Ли, Лекция № 100» , Семинар Бурбаки , 2 , заархивировано из оригинала 13 июля 2012 г. , получено 7 марта 2013 г.
• Стейнберг, Роберт (2006) [1974], Классы сопряженности в алгебраических группах , Конспекты лекций по математике, том. 366, Спрингер, ISBN  978-3-540-37931-7
• Вейль, Герман (2016) [1946], Классические группы, их инварианты и представления (2-е изд.), Princeton University Press, ISBN  978-1-4008-8390-5
• Вольф, Джозеф А. (2010), Пространства постоянной кривизны , AMS Chelsea Publishing (6-е изд.), Американское математическое общество, ISBN  978-0821852828
• Желобенко Д.П. (1973), Компактные группы Ли и их представления , Переводы математических монографий, вып. 40 (3-е изд.), Американское математическое общество, ISBN.  978-0-8218-1590-8