Предельная теорема Эджворта

Предельная теорема Эджворта — это экономическая теорема, названная в честь Фрэнсиса Исидро Эджворта , утверждающая, что ядро ​​экономики сжимается до набора вальрасианских равновесий по мере того, как число агентов увеличивается до бесконечности.

То есть среди всех возможных результатов, которые могут возникнуть в результате свободного рыночного обмена или бартера между группами людей, в то время как точное место окончательного расчета (окончательного разделения товаров) между сторонами не определяется однозначно, поскольку число торговцев увеличивается , множество всех возможных окончательных расчетов сходится к множеству вальрасовских равновесий.

Интуитивно это можно интерпретировать как утверждение, что по мере роста экономики агенты все чаще ведут себя так, как если бы они были агентами, устанавливающими цены, даже если у них есть возможность торговаться.

Эджворт (1881) выдвинул гипотезу об этой теореме, предоставил большую часть необходимой интуиции и в некоторой степени продвинулся к ее доказательству. Формальные доказательства были представлены Дебре и Скарфом при различных предположениях (1963). а также Ауманн (1964), оба оказались в более строгих условиях, чем предполагал Эджворт. Дебре и Скарф рассмотрели случай «копии экономики», где существует конечное число типов агентов, а агенты, добавленные в экономику, чтобы сделать ее «крупной», относятся к тому же типу и в той же пропорции, что и те, которые уже в ней. Результат Ауманна основывался на существовании континуума агентов .

Ядро экономики

Основная статья: Core (теория игр)

Ядро экономики — это концепция теории кооперативных игр, определяемая как набор возможных . распределений в экономике, которые не могут быть улучшены подмножеством множества потребителей экономики (коалицией) Для экономики общего равновесия ядро ​​обычно не пусто (есть по крайней мере одно возможное распределение), но также «большое» в том смысле, что может существовать континуум возможных распределений, удовлетворяющих требованиям. Гипотеза в основном утверждает, что если число агентов также «большое», то единственные распределения в ядре — это именно то, что будет производить конкурентный рынок . По сути, эта гипотеза рассматривается как обеспечивающая некоторые теоретико-игровые основы для обычного предположения в теории общего равновесия агентов, принимающих цены. В частности, это означает, что в «большой» экономике люди действуют так, как если бы они были ценополучателями, хотя теоретически у них есть все полномочия устанавливать цены и пересматривать свои сделки. Следовательно, вымышленный вальрасианский аукционист общего равновесия, хотя, строго говоря, совершенно нереален, может рассматриваться как «короткий путь» к получению правильного ответа.

Иллюстрация, когда есть только два товара

Фрэнсис Исидро Эджворт впервые описал то, что позже стало известно как предельная теорема, в своей книге «Математическая психика» (1881). Он использовал вариант того, что сейчас известно как ящик Эджворта (с количеством продаваемых товаров, а не количеством имеющихся на соответствующих осях) для анализа торговли между группами трейдеров различного размера. В целом он обнаружил, что «контракт без конкуренции является неопределенным, контракт с совершенной конкуренцией является совершенно определенным, [и] контракт с более или менее совершенной конкуренцией является менее или более неопределенным».

Торговля без конкуренции

Рисунок 1. Коробка Эджворта, показывающая обмен мнениями между двумя людьми.

Если торговля двумя товарами , X и Y, происходит между одной парой торговцев , A и B, потенциальные результаты этой торговли могут быть показаны в блоке Эджворта ( рис. 1 ). На этой диаграмме A и B изначально владеют всем запасом X и Y соответственно (точка E). Линии U(a) и U(b) представляют собой кривые безразличия для A и B, которые проходят через точки, представляющие комбинации товаров, которые дают полезность , равную их первоначальным запасам. Поскольку торговля здесь предполагается не принудительной, ни один из торговцев не согласится на окончательное урегулирование, что поставит их в худшее положение, чем в начале, и, таким образом, U(a) и U(b) представляют собой внешние границы возможных расчетов. Эджворт продемонстрировал, что трейдеры в конечном итоге достигают точки на кривой контракта (между C и C') посредством стилизованного процесса переговоров, который называется процессом повторного заключения контракта . Поскольку ни один человек не может улучшить свое положение без ухудшения положения другого в точках контрактной кривой, как только трейдеры соглашаются провести расчет в определенной точке на ней, это является окончательным расчетом. Невозможно точно определить, где будет находиться окончательный расчет на кривой контракта. Это будет зависеть от процесса переговоров между двумя людьми; сторона, которая может получить преимущество при переговорах, сможет получить более высокую цену за свой товар и, таким образом, получить более высокую цену. прибыль от торговли .

Это был ключевой вывод Эджворта: результат торговли между двумя людьми можно предсказать в определенном диапазоне, но точный результат не определен.

Торговля с менее чем совершенной конкуренцией

Рисунок 2 – Торговля между двумя парами людей.

Рисунок 3 – Новые пределы контрактной кривой.

Предположим, к этой исходной паре добавляется еще одна пара идентичных трейдеров. Поскольку эти новые трейдеры идентичны первой паре, для анализа обмена можно использовать тот же ящик Эджворта. Чтобы изучить новые внешние границы торговли, Эджворт рассмотрел ситуацию, когда торговля происходит на границе торговли между двумя людьми (точка C или C' на рисунке 2 ). Если бы торговля произошла в точке C, один из B (скажем, B(1)) получил бы всю прибыль от торговли. Тот A, который торгует с B(1) (скажем, A(1)) теперь имеет смесь товаров X и Y, которыми он может торговать с A(2). Поскольку две группы А идентичны, они согласятся поровну разделить между собой свои постторговые запасы, поместив их в точку Р на рис. 2 , что дает им более высокую полезность, чем они получили бы в противном случае (кривая безразличия U'(a) вместо У(а)). У B(2) теперь есть возможность и сильный стимул предложить A лучшую цену за свои товары и торговать с ними по этой цене, оставив B(1) в стороне. Этот процесс конкуренции компаний B друг с другом за предложение более выгодной цены для A будет продолжаться до тех пор, пока для A не останется безразличие между торговлей в точке P и торговлей по кривой контракта ( Рисунок 3 ). Те же рассуждения можно применить к случаю, когда A(1) первоначально получает всю прибыль от торговли, и можно показать, что самый внешний предел, заданный U(b), также сдвинется внутрь. Это называется сокращающимся ядром рынка: по мере добавления дополнительной пары трейдеров возможный диапазон сделок сужается.

Рисунок 4 – Окончательный расчет по сделке с несколькими парами трейдеров.

Если добавляется третья пара трейдеров, ядро ​​рынка еще больше сжимается. Если торговля происходит при пределе, при котором B(1) получает всю прибыль от торговли, точка P теперь находится на двух третях пути вдоль линии EC. Это улучшает переговорную силу компаний А, которые могут попасть на более высокую кривую безразличия, поскольку Б конкурируют за право торговать с ними. Внешний предел окончательного расчета при наличии нескольких пар трейдеров можно обобщить ( рис. 4 ), где K = (n-1)/n.

Торговля с совершенной конкуренцией

Рисунок 5 – Торгуйте со многими парами трейдеров.

Если имеется достаточное количество трейдеров, ядро ​​рынка сократится настолько, что точка окончательного расчета будет совершенно определена ( рис. 5 ). Эта точка равна равновесию ценообразования , при котором предполагается торговля в моделях совершенной конкуренции .

Обобщение

Этот анализ может быть модифицирован для учета трейдеров, которые не являются идентичными или мотивация которых не является чисто эгоистичной, а также для ситуации, когда одна группа трейдеров больше другой. Если трейдеры разнородны, точка P не будет отражать сделку «разделения разницы» между группой трейдеров, и внешний предел торговли, определенный этой точкой, будет изменен соответствующим образом. Если полезность одного трейдера(ов) влияет на полезность другого (т.е. последний не эгоистичен), то соответствующий предел кривой контракта сузится внутрь, исключая наиболее несправедливые сделки. Если группы трейдеров имеют разный размер, внешние границы контрактной кривой не уменьшатся на равную величину.

См. также

• Кооперативные переговоры