Бесконечный косой многоугольник

Правильный зигзагообразный косой апейрогон
Правильный зигзагообразный косой апейрогон
Ребра и вершины	∞
Символ Шлефли	{∞}#{ }
Группа симметрии	D ∞d , [2 + ,∞], (2*∞)

В геометрии или бесконечный косой многоугольник косой апейрогон — это бесконечный 2- многогранник с вершинами, которые не все являются коллинеарными . Бесконечные зигзагообразные скошенные многоугольники — это двумерные бесконечные скошенные многоугольники с вершинами, чередующимися между двумя параллельными линиями. Бесконечные спиральные многоугольники — это трехмерные бесконечные косые многоугольники с вершинами на поверхности цилиндра .

Правильные бесконечные косые многоугольники существуют в многоугольниках Петри аффинных и гиперболических групп Коксетера . Они построены как единый оператор как композиция всех отражений группы Кокстера.

Правильные зигзагообразные косые апейрогоны в двух измерениях

Правильный зигзагообразный косой апейрогон имеет (2*∞), D _∞d фриза групповую симметрию .

Правильные зигзагообразные косые апейрогоны существуют как многоугольники Петри трех правильных мозаик плоскости: {4,4}, {6,3} и {3,6}. Эти правильные зигзагообразные косые апейрогоны имеют внутренние углы 90 °, 120 ° и 60 ° соответственно от правильных многоугольников внутри мозаики:

Многоугольники Петри трех правильных мозаик плоскости

Изотоксальные косые апейрогоны в двух измерениях

Изотоксальный . апейрогон имеет один тип ребра между двумя чередующимися типами вершин имеет степень свободы Внутренний угол α. {∞ _α } — двойственный многоугольник изогональному косому апейрогону.

{∞ _0°}
{∞ _30°}

Изогональные косые апейрогоны в двух измерениях

Изогональные зигзагообразные косые апейрогоны в двух измерениях

Изогональный симметрией группы косой апейрогон чередует два типа ребер с различной Фриза . Искаженные правильные зигзагообразные косые апейрогоны образуют изогональные зигзагообразные косые апейрогоны с трансляционной симметрией:

p1, [∞] ⁺, (∞∞), C _∞

Изогональные удлиненные косые апейрогоны в двух измерениях

Другие изогональные косые апейрогоны имеют чередующиеся края, параллельные направлению фриза. Эти изогональные вытянутые косые апейрогоны имеют вертикальную зеркальную симметрию в середине ребер, параллельных направлению фриза:

п2мг, [2 ⁺,∞], (2*∞), D _∞d

Квазиправильные удлиненные косые апейрогоны в двух измерениях

Изогональный удлиненный косой апейрогон имеет два разных типа ребер; если оба его типа ребер имеют одинаковую длину: его нельзя назвать регулярным, поскольку два его типа ребер все еще различны («транс-ребро» и «цис-ребро»), но его можно назвать квазирегулярным.

Примеры квазиправильных удлиненных косых апейрогонов можно рассматривать как усеченные многоугольники Петри в усеченных правильных мозаиках евклидовой плоскости:

Гиперболические косые апейрогоны

Бесконечные правильные косые многоугольники аналогично находятся в евклидовой плоскости и в гиперболической плоскости .

Гиперболические бесконечные правильные косые многоугольники также существуют как многоугольники Петри, зигзагообразные ребра на всех правильных мозаиках гиперболической плоскости . И снова, как и в евклидовой плоскости, гиперболические бесконечные квазиправильные косые многоугольники могут быть построены как усеченные многоугольники Петри внутри ребер всех усеченных правильных мозаик гиперболической плоскости.

Регулярные и однородные мозаики с бесконечными косыми многоугольниками в гиперболической плоскости.
{3,7}	т{3,7}
Обычный перекос	Квазирегулярный перекос

Бесконечные спиральные многоугольники в трех измерениях

Правильный *апейрогон* в трех измерениях
{∞} # {3} Бесконечный правильный винтовой многоугольник (нарисовано в перспективе )

Бесконечный спиральный (косой) многоугольник может существовать в трех измерениях, где вершины можно рассматривать как ограниченные поверхностью цилиндра . Эскиз справа представляет собой трехмерное перспективное изображение такого бесконечного правильного спирального многоугольника.

Этот бесконечный спиральный многоугольник можно в основном рассматривать как построенный из вершин бесконечной стопки однородных n -угольных призм или антипризм , хотя в целом угол закручивания не ограничивается целочисленным делителем 180 °. Бесконечный винтовой (косой) многоугольник имеет винтовую симметрию по оси.

Бесконечная стопка призм , например кубов, содержит бесконечный винтовой многоугольник по диагоналям квадратных граней с углом закручивания 90° и с символом Шлефли {∞} # {4}.

Бесконечная стопка антипризм, например октаэдров , образует бесконечные спиральные многоугольники, 3 из которых здесь выделены красным, зеленым и синим цветом, каждый с углом поворота 60° и символом Шлефли {∞} # {6}.

Последовательность ребер спирали Бурдейка – Кокстера может представлять собой бесконечные правильные винтовые многоугольники с иррациональным углом закручивания:

Бесконечные изогональные спиральные многоугольники в трех измерениях

Стопка правильных призм может создавать изогональные спиральные апейрогоны с чередующимися краями вокруг оси и вдоль оси; например, стопка кубов может создать изогональный спиральный апейрогон с чередующимися красными и синими краями:

Точно так же чередующаяся стопка призм и антипризм может создать бесконечный изогональный спиральный многоугольник; например, треугольная стопка призм и антипризм с бесконечным изогональным винтовым многоугольником:

Бесконечный изогональный спиральный многоугольник с иррациональным углом закручивания также может быть построен из усеченных тетраэдров, сложенных подобно спирали Бурдейка – Коксетера , с чередованием двух типов ребер между парами шестиугольных граней и парами треугольных граней:

Ссылки

Коксетер , HSM; Правильные комплексные многогранники (1974). Глава 1. Правильные многоугольники , 1.5. Правильные многоугольники в n измерениях, 1.7. Зигзагообразные и антипризматические многоугольники , 1.8. Спиральные многоугольники . 4.3. Флаги и ортосхемы , 11.3. Полигоны Петри