Усеченный тетраэдр

Усеченный тетраэдр
Тип	Архимедово тело , Однородный многогранник , Многогранник Гольдберга
Лица	4 шестиугольника 4 треугольника
Края	18
Вершины	12
Группа симметрии	тетраэдрическая симметрия $\mathrm {T} _{\mathrm {h} }$
Двойной многогранник	триакис тетраэдр
Вершинная фигура
Сеть

В геометрии представляет усеченный тетраэдр собой архимедово тело . Он имеет 4 правильные шестиугольные грани, 4 равносторонние треугольные грани, 12 вершин и 18 ребер (двух типов). Его можно построить, усекая все 4 вершины правильного тетраэдра .

Строительство

Усеченный тетраэдр можно построить из правильного тетраэдра , отсекая все его вершины (процесс, известный как усечение) . Получившийся многогранник имеет 4 равносторонних треугольника и 4 правильных шестиугольника, 18 ребер и 12 вершин. Многогранник Гольдберга — это многогранник, грани которого состоят из 12 пятиугольников и числа, кратного 10 шестиугольникам. Существует три класса многогранников Гольдберга, один из них построен путем многократного усечения всех вершин, а усеченный тетраэдр является одним из них и обозначается как $\mathrm {G} _{\mathrm {III} }(1,1)$.

Характеристики

Учитывая длину ребра $a$. Площадь поверхности усеченного тетраэдра $A$ представляет собой сумму площадей четырех правильных шестиугольников и четырех равносторонних треугольников, а ее объем $V$ является: $${\begin{aligned}A&=7{\sqrt {3}}a^{2}&&\approx 12.124a^{2},\\V&={\tfrac {23}{12}}{\sqrt {2}}a^{3}&&\approx 2.711a^{3}.\end{aligned}}$$

Двугранный угол усеченного тетраэдра между треугольником и шестиугольником составляет примерно 109,47 °, а между соседними шестиугольными гранями - примерно 70,53 °.

Считается, что наиболее плотная упаковка усеченного тетраэдра ${\textstyle \Phi ={\frac {207}{208}}}$, как сообщили две независимые группы, использующие методы Монте-Карло , авторы Damasceno, Engel & Glotzer (2012) и Jiao & Torquato (2013) . Хотя не существует математического доказательства того, что это наилучшая возможная упаковка для усеченного тетраэдра, высокая близость к единству и независимость результатов делают маловероятным обнаружение еще более плотной упаковки. Если усечение углов немного меньше, чем у усеченного тетраэдра, эту новую форму можно использовать для полного заполнения пространства.

3D модель усеченного тетраэдра

Усеченный тетраэдр представляет собой архимедово тело , то есть представляет собой высокосимметричный и полуправильный многогранник, две или более различных правильных многоугольных граней. в вершине которого встречаются Усеченный тетраэдр имеет ту же трехмерную групповую симметрию, что и правильный тетраэдр, тетраэдрическую симметрию. $\mathrm {T} _{\mathrm {h} }$. Многоугольные грани, которые встречаются в каждой вершине, представляют собой один равносторонний треугольник и два правильных шестиугольника, а фигура вершины обозначается как $3\cdot 6^{2}$. Его двойной многогранник — триакис-тетраэдр , каталонское тело , имеет ту же симметрию, что и усеченный тетраэдр.

Связанные многогранники

Усеченный тетраэдр можно встретить при построении многогранников. Например, расширенный усеченный тетраэдр представляет собой тело Джонсона , построенное из усеченного тетраэдра путем прикрепления треугольного купола к его шестиугольной грани. — Усеченный тетраэдр триакис это многогранник, построенный из усеченного тетраэдра путем добавления трех тетраэдров к его треугольным граням, что интерпретируется названием « триакис ». Он классифицируется как плезиоэдр , что означает, что он может мозаично располагаться в трехмерном пространстве, известном как соты ; Примером являются триакисные усеченные тетраэдрические соты .

Многогранник Фриауфа назван в честь Ж.Б. Фриауфа , в котором он описал его как интерметаллическую структуру, образованную соединением металлических элементов. Его можно найти в таких кристаллах, как сложные металлические сплавы, примером является дицинк-магний MgZn ₂ . Это версия усеченного тетраэдра с более низкой симметрией, интерпретируемая как усеченный тетрагональный дисфеноид с трехмерной группой симметрии как группа диэдра. $D_{2\mathrm {d} }$ порядка 8.

Усечение усеченного тетраэдра дает в результате многогранник 54 ребра, 32 вершины и 20 граней — 4 шестиугольника, 4 девятиугольника и 12 трапеций . Этот многогранник использовался Adidas в качестве базовой геометрии мяча Джабулани, разработанного для чемпионата мира 2010 года .

Усеченный тетраэдрический граф

График усеченного тетраэдра

В математической области теории графов усеченный тетраэдр — это архимедов граф , граф вершин и ребер усеченного тетраэдра, одного из архимедовых тел . Он имеет 12 вершин и 18 ребер. Это связный кубический граф, и связный кубический транзитивный граф.

Примеры

• 
  рисунок в De божественной пропорции (1509)
• 
  рисунок в перспективе регулярных тел (1568)
• 
  кристаллическая модель
• 
  фотографии с разных ракурсов ( Matemateca )
• 
  4-сторонний штамп
• 
  12 перестановок ​ $(4,2,0,0)$ (коричневый)

См. также

• Четвертькубические соты – заполняет пространство, используя усеченные тетраэдры и тетраэдры меньшего размера.
• Усеченный 5-клеточный - аналогичный однородный многогранник в 4-х измерениях.
• Усеченный триакис тетраэдр
• Триакис усеченный тетраэдр
• Октаэдр – выпрямленный тетраэдр.

Ссылки

• Читай, RC; Уилсон, Р.Дж. (1998), Атлас графиков , Oxford University Press

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. , « Усеченный тетраэдр » (« Архимедово тело ») в MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Усеченный тетраэдрический граф» . Математический мир .
• Клитцинг, Ричард. «3D выпуклые однородные многогранники x3x3o — тут» .
• Редактируемая для печати сетка усеченного тетраэдра с интерактивным 3D-просмотром
• Однородные многогранники
• Многогранники виртуальной реальности Энциклопедия многогранников