полет Леви
Полет Леви — это случайное блуждание , в котором длины шагов имеют стабильное распределение : [ 1 ] распределение вероятностей с тяжелым хвостом . Когда это определяется как прогулка по пространству размерностью больше единицы, шаги совершаются в изотропных случайных направлениях. Более поздние исследователи расширили использование термина «полет Леви», включив в него также случаи, когда случайное блуждание происходит на дискретной сетке, а не в непрерывном пространстве. [ 2 ]
Термин «полет Леви» был придуман в честь Поля Леви Бенуа Мандельбротом . [ 3 ] который использовал это для одного конкретного определения распределения размеров шагов. Он использовал термин « полет Коши» для случая, когда распределение размеров шагов является распределением Коши . [ 4 ] и полет Рэлея , когда распределение является нормальным [ 5 ] (что не является примером распределения вероятностей с тяжелым хвостом).
Частный случай, для которого Мандельброт использовал термин «полет Леви». [ 3 ] определяется функцией выживания распределения размеров шагов U , [ 6 ]
Здесь D — параметр, связанный с фрактальной размерностью , а распределение — это частный случай распределения Парето .
Характеристики
[ редактировать ]Полеты Леви по своей конструкции являются марковскими процессами . Для общих распределений размера шага, удовлетворяющих степенному условию, расстояние от начала случайного блуждания стремится после большого числа шагов к устойчивому распределению благодаря обобщенной центральной предельной теореме , позволяющей многим процессам моделироваться с использованием полетов Леви.
Плотности вероятностей частиц, совершающих полет Леви, можно смоделировать с помощью обобщенной версии уравнения Фоккера-Планка , которое обычно используется для моделирования броуновского движения . Уравнение требует использования дробных производных . Для длин прыжков, которые имеют симметричное распределение вероятностей, уравнение принимает простую форму в терминах дробной производной Рисса . В одном измерении уравнение имеет вид
где γ – константа, подобная константе диффузии, α – параметр устойчивости [ нужна ссылка ] и f ( x , t ) — потенциал. Производную Рисса можно понять с точки зрения ее преобразования Фурье .
![{\displaystyle F_{k}\left[{\frac {\partial ^{\alpha }\varphi (x,t)}{\partial |x|^{\alpha }}}\right]=-|k| ^{\alpha }F_{k}[\varphi (x,t)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2991424fe3f2d2284bd5e8c81d1a70845503c83)
Это можно легко расширить на несколько измерений.
Другим важным свойством полета Леви является расхождение дисперсий во всех случаях, кроме случая α = 2, т.е. броуновского движения. В общем, дробный момент распределения θ расходится, если α ≤ θ . Также,
Экспоненциальное масштабирование длин шагов придает полетам Леви свойство масштабной инвариантности : [ нужна ссылка ] и они используются для моделирования данных, демонстрирующих кластеризацию. [ нужна ссылка ]
Приложения
[ редактировать ]Определение полета Леви вытекает из математики, связанной с теорией хаоса , и полезно при стохастических измерениях и моделировании случайных или псевдослучайных природных явлений. Примеры включают анализ данных о землетрясениях , финансовую математику , криптографию , анализ сигналов, а также множество приложений в астрономии , биологии и физике .
Было обнаружено, что скачок между состояниями климата, наблюдаемыми в палеоклиматических записях, можно описать как полет Леви или альфа-стабильный процесс. [ 7 ] Другое применение — гипотеза полета Леви о поиске пищи . Когда акулы и другие океанские хищники не могут найти пищу, они отказываются от броуновского движения ( случайного движения, наблюдаемого в закрученных молекулах газа) и выбирают полет Леви — смесь длинных траекторий и коротких случайных движений, наблюдаемых в турбулентных жидкостях. Исследователи проанализировали более 12 миллионов движений, зарегистрированных за 5700 дней у 55 помеченных регистратором данных животных 14 видов океанских хищников Атлантического и Тихого океанов, включая шелковистых акул , желтоперого тунца , голубого марлина и рыбу-меч. Данные показали, что полеты Леви, чередующиеся с броуновским движением, могут описать характер охоты животных. [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] Птицы и другие животные (включая человека) [ 12 ] следовать по маршрутам, смоделированным с помощью полета Леви (например, при поиске еды). [ 13 ] Примером животного, в частности жука, который использует схему полета Леви, является Pterostichus melanarius . Когда жуки голодны и еды мало, они избегают поиска добычи в местах, которые другие особи P. melanarius посещали . Такое поведение оптимально для широко рассредоточенной добычи, которая не всегда может быть полностью съедена за один раз, например слизней. [ 14 ]
Кроме того, биологический полет, по-видимому, также может быть имитирован с помощью других моделей, таких как составные коррелированные случайные блуждания, которые растут по масштабам, сходясь к оптимальным блужданиям Леви. [ 13 ] Составные броуновские блуждания можно точно настроить на теоретически оптимальные блуждания Леви, но они не так эффективны, как поиск Леви в большинстве типов ландшафтов, что позволяет предположить, что давление отбора для характеристик блужданий Леви более вероятно, чем многомасштабные нормальные диффузионные модели. [ 15 ]
Эффективная маршрутизация в сети может быть реализована с помощью каналов, имеющих распределение длины полета Леви с определенными значениями альфа. [ 2 ]
См. также
[ редактировать ]- Аномальная диффузия
- Распределение с толстым хвостом
- Распределение с тяжелым хвостом
- Процесс Леви
- Альфа-стабильное распределение Леви
- Гипотеза полета Леви о поиске пищи
Примечания
[ редактировать ]- ^ Чечкин Алексей Владимирович; Мецлер, Ральф; Клафтер, Джозеф; Гончар, Всеволод Ю. (2008). «Введение в теорию полетов Леви» . Аномальный транспорт . стр. 129–162. дои : 10.1002/9783527622979.ch5 . ISBN 9783527622979 .
- ^ Jump up to: а б Дж. М. Кляйнберг (2000). «Навигация в маленьком мире» . Природа . 406 (6798): 845. Бибкод : 2000Natur.406..845K . дои : 10.1038/35022643 . ПМИД 10972276 .
- ^ Jump up to: а б Мандельброт (1982 , стр. 289)
- ^ Мандельброт (1982 , стр. 290)
- ^ Мандельброт (1982 , стр. 288)
- ^ Мандельброт (1982 , стр. 294)
- ^ П.Д. Дитлевсен, «Наблюдение альфа-стабильного шума и бистабильного климатического потенциала в записях ледяного керна», Geophys. Рез. Письмо 26, 1441–1444, 1999.
- ^ Симс, Дэвид В.; Саутхолл, Эмили Дж.; Хамфрис, Николас Э.; Хейс, Грэм С.; Брэдшоу, Кори Дж. А.; Питчфорд, Джонатан В.; Джеймс, Алекс; Ахмед, Мохаммед З.; Бриерли, Эндрю С.; Хинделл, Марк А.; Морритт, Дэвид; Музил, Майкл К.; Райтон, Дэвид; Шепард, Эмили LC; Уэрмут, Виктория Дж.; Уилсон, Рори П.; Витт, Мэтью Дж.; Меткалф, Джулиан Д. (2008). «Законы масштабирования поискового поведения морских хищников». Природа . 451 (7182): 1098–1102. Бибкод : 2008Natur.451.1098S . дои : 10.1038/nature06518 . ПМИД 18305542 . S2CID 4412923 .
- ^ Хамфрис, Николас Э.; Кейруш, Нуну; Дайер, Дженнифер Р.М.; Паде, Николас Г.; Музил, Майкл К.; Шефер, Курт М.; Фуллер, Дэниел В.; Брунншвайлер, Юрг М.; Дойл, Томас К.; Хоутон, Джонатан Д.Р.; Хейс, Грэм С.; Джонс, Кэтрин С.; Ноубл, Лесли Р.; Уэрмут, Виктория Дж.; Саутхолл, Эмили Дж.; Симс, Дэвид В. (2010). «Экологический контекст объясняет модели Леви и броуновского движения морских хищников» (PDF) . Природа . 465 (7301): 1066–1069. Бибкод : 2010Natur.465.1066H . дои : 10.1038/nature09116 . ПМИД 20531470 . S2CID 4316766 .
- ^ Витце, Александра. «Акулы обладают математическими способностями» . открытие.com . Проверено 22 февраля 2013 г.
- ^ Дэйси, Джеймс (11 июня 2010 г.). «Акулы охотятся с помощью рейсов Леви» . Physicsworld.com . Проверено 22 февраля 2013 г.
- ^ Рейнольдс, Гретхен (1 января 2014 г.). «Навигация по нашему миру как птицы» и некоторые авторы утверждают, что движение пчел . Нью-Йорк Таймс .
- ^ Jump up to: а б Симс, Дэвид В .; Рейнольдс, Эндрю М.; Хамфрис, Николас Э.; Саутхолл, Эмили Дж.; Уэрмут, Виктория Дж.; Меткалф, Бретт; Твитчетт, Ричард Дж. (29 июля 2014 г.). «Иерархические случайные блуждания по следам окаменелостей и происхождение оптимального поискового поведения» . Труды Национальной академии наук . 111 (30): 11073–11078. Бибкод : 2014PNAS..11111073S . дои : 10.1073/pnas.1405966111 . ISSN 0027-8424 . ПМК 4121825 . ПМИД 25024221 .
- ^ Гай, Адам Г.; Бохан, Дэвид А.; Пауэрс, Стивен Дж.; Рейнольдс, Эндрю М. (1 сентября 2008 г.). «Избегание жужелицами конспецифического запаха: механизм возникновения безчешуйчатых моделей поиска» . Поведение животных . 76 (3): 585–591. дои : 10.1016/j.anbehav.2008.04.004 . ISSN 0003-3472 .
- ^ Хамфрис, Северная Каролина; Симс, Д.В. (2014). «Оптимальные стратегии поиска пищи: ходьба Леви балансирует поиск и эксплуатацию патчей в очень широком диапазоне условий» (PDF) . Журнал теоретической биологии . 358 : 179–193. Бибкод : 2014JThBi.358..179H . дои : 10.1016/j.jtbi.2014.05.032 . ПМИД 24882791 .
Ссылки
[ редактировать ]- Мандельброт, Бенуа Б. (1982). Фрактальная геометрия природы (обновленное и дополненное издание). Нью-Йорк: WH Freeman. ISBN 0-7167-1186-9 . OCLC 7876824 .
Дальнейшее чтение
[ редактировать ]- Ченг, З.; Савит, Р. (1987). «Фрактальное и нефрактальное поведение в полетах Леви» (PDF) . Журнал математической физики . 28 (3): 592. Бибкод : 1987JMP....28..592C . дои : 10.1063/1.527644 . hdl : 2027.42/70735 .
- Шлезингер, Майкл Ф.; Клафтер, Джозеф; Зумофен, Герт (декабрь 1999 г.). «Выше, ниже и за пределами броуновского движения» (PDF) . Американский журнал физики . 67 (12): 1253–1259. Бибкод : 1999AmJPh..67.1253S . дои : 10.1119/1.19112 . Архивировано из оригинала (PDF) 28 марта 2012 г.