Временная стоимость денег

Временная стоимость денег — это широко распространенная гипотеза сейчас принесет больше пользы, о том, что получение большей суммы денег чем получение такой же суммы позже. Это можно рассматривать как следствие разработанной позднее концепции временного предпочтения .

Временная стоимость денег относится к наблюдению, что лучше получить деньги раньше, чем позже. Деньги, которые у вас есть сегодня, можно инвестировать, чтобы получить положительную норму прибыли, производя больше денег завтра. Таким образом, доллар сегодня стоит больше, чем доллар в будущем. ^{[ 1 ]}

Временная расходов , стоимость денег входит в число факторов, которые учитываются при взвешивании альтернативных издержек а не сбережений или инвестирования денег. Таким образом, это одна из причин, по которой проценты выплачиваются или зарабатываются: проценты, будь то по банковскому депозиту или долгу , компенсируют вкладчику или кредитору потерю возможности использования своих денег. Инвесторы готовы отказаться от траты своих денег сейчас только в том случае, если они ожидают благоприятной чистой прибыли от своих инвестиций в будущем, так что увеличенная стоимость , которая будет доступна позже, достаточно высока, чтобы компенсировать как предпочтение тратить деньги сейчас, так и инфляцию (если она есть). ); см. требуемую норму прибыли .

История

Талмуд ( ~ 500 г. н.э.) признает временную ценность денег. В «Трактате Маккос» , стр. 3а, Талмуд обсуждает случай, когда свидетели ложно утверждали, что срок займа составлял 30 дней, хотя на самом деле он составлял 10 лет. Лжесвидетели должны выплатить разницу в стоимости займа «в ситуации, когда от него потребуют вернуть деньги (в течение) тридцати дней..., и ту же самую сумму в ситуации, когда от него потребуют вернуть деньги». деньги обратно (в течение) 10 лет... Разница представляет собой сумму, которую заемщик должен потерять в результате показаний (лжесвидетелей), следовательно, это сумма, которую он должен выплатить». ^{[ 2 ]}

Это понятие было позже описано Мартином де Аспилкуэтой (1491–1586) из школы Саламанки .

Расчеты

Проблемы временной стоимости денег включают чистую стоимость денежных потоков в разные моменты времени.

В типичном случае переменными могут быть: баланс (реальная или номинальная стоимость долга или финансового актива в денежных единицах), периодическая процентная ставка, количество периодов и серия денежных потоков. (В случае долга потоки денежных средств представляют собой платежи в счет основной суммы долга и процентов; в случае финансового актива это вклады в баланс или снятие с него.) В более общем смысле, потоки денежных средств могут не быть периодическими, но могут быть заданы. индивидуально. Любая из этих переменных может быть независимой переменной (искомым ответом) в данной задаче. Например, можно знать, что: проценты составляют 0,5% за период (скажем, за месяц); количество периодов – 60 (месяцев); первоначальный баланс (в данном случае долга) составляет 25 000 единиц; и итоговый баланс равен 0 единиц. Неизвестной переменной может быть ежемесячный платеж, который должен платить заемщик.

Например, 100 фунтов стерлингов, вложенные на один год и приносящие доход 5%, через год будут стоить 105 фунтов стерлингов; следовательно, 100 фунтов стерлингов, выплаченные сейчас , и 105 фунтов стерлингов, выплаченные ровно через год, имеют одинаковую ценность для получателя, который ожидает 5% процентов, предполагая, что инфляция будет равна нулю. То есть 100 фунтов стерлингов, инвестированные на один год под 5% годовых, имеют будущую стоимость в размере 105 фунтов стерлингов при предположении, что инфляция составит ноль процентов. ^{[ 3 ]}

Этот принцип позволяет оценить вероятный поток доходов в будущем таким образом, что годовые доходы дисконтируются , а затем складываются вместе, обеспечивая таким образом единовременную «приведенную стоимость» всего потока доходов; все стандартные расчеты временной стоимости денег происходят из самого простого алгебраического выражения для текущей стоимости будущей суммы, «дисконтированной» к настоящему времени на сумму, равную временной стоимости денег. Например, сумма будущей стоимости $FV$ к получению в течение одного года дисконтируется по ставке процента $r$ дать текущую стоимость суммы $PV$ :

PV={\frac {FV}{(1+r)}}

Некоторые стандартные расчеты, основанные на временной стоимости денег:

Текущая стоимость : Текущая стоимость будущей суммы денег или потока денежных средств при заданной норме прибыли . Будущие денежные потоки «дисконтируются» по ставке дисконтирования; чем выше ставка дисконтирования, тем ниже текущая стоимость будущих денежных потоков. Определение соответствующей ставки дисконтирования является ключом к правильной оценке будущих денежных потоков, будь то доходы или обязательства. ^{[ 4 ]}
Текущая стоимость аннуитета : Аннуитет представляет собой серию равных платежей или поступлений, которые происходят через равные промежутки времени. Примерами являются аренда и арендные платежи. Платежи или поступления происходят в конце каждого периода для обычного аннуитета, тогда как они происходят в начале каждого периода для аннуитета. ^{[ 5 ]}

Приведенная стоимость бессрочного контракта представляет собой бесконечный и постоянный поток идентичных денежных потоков. ^{[ 6 ]}

Будущая стоимость : стоимость актива или денежных средств на определенную дату в будущем, основанная на стоимости этого актива в настоящем. ^{[ 7 ]}
Будущая стоимость аннуитета (FVA) : будущая стоимость потока платежей (аннуитета), при условии, что платежи инвестируются по заданной процентной ставке.

Существует несколько основных уравнений, которые представляют перечисленные выше равенства. Решения можно найти, используя (в большинстве случаев) формулы, финансовый калькулятор или электронную таблицу . Формулы запрограммированы в большинстве финансовых калькуляторов и в некоторых функциях электронных таблиц (таких как PV, FV, RATE, NPER и PMT). ^{[ 8 ]}

Для любого из приведенных ниже уравнений формула также может быть изменена для определения одной из других неизвестных. В случае стандартной формулы аннуитета не существует алгебраического решения в замкнутой форме для процентной ставки (хотя финансовые калькуляторы и программы электронных таблиц могут легко найти решения с помощью быстрых алгоритмов проб и ошибок).

Эти уравнения часто комбинируются для конкретных целей. Например, облигации с помощью этих уравнений можно легко оценить . Типичная купонная облигация состоит из двух типов платежей: потока купонных платежей, аналогичного аннуитету, и единовременного возврата капитала облигации в конце срока погашения , то есть будущего платежа. Эти две формулы можно объединить для определения текущей стоимости облигации.

Важно отметить, что процентная ставка i — это процентная ставка за соответствующий период. Для аннуитета, при котором производится один платеж в год, i будет годовой процентной ставкой. Для потока доходов или платежей с другим графиком платежей процентная ставка должна быть конвертирована в соответствующую периодическую процентную ставку. Например, ежемесячная ставка по ипотеке с ежемесячными платежами требует, чтобы процентная ставка была разделена на 12 (см. пример ниже). см . в разделе «Сложные проценты» Подробную информацию о конвертации между различными периодическими процентными ставками .

Норма прибыли в расчетах может быть либо рассчитанной переменной, либо заранее определенной переменной, которая измеряет ставку дисконтирования, процент, инфляцию, норму прибыли, стоимость собственного капитала, стоимость долга или любое количество других аналогичных понятий. Выбор подходящей ставки имеет решающее значение для анализа, а использование неправильной ставки дисконтирования сделает результаты бессмысленными.

Для расчетов, связанных с аннуитетами, необходимо решить, производятся ли выплаты в конце каждого периода (так называемый обычный аннуитет) или в начале каждого периода (так называемый аннуитет). При использовании финансового калькулятора или электронной таблицы обычно можно настроить любой расчет. Следующие формулы предназначены для обычного аннуитета. Для ответа на текущую стоимость аннуитета, PV обычного аннуитета можно умножить на (1 + i ).

Формула

В следующей формуле используются эти общие переменные:

PV — значение в нулевой момент времени (текущее значение)
FV — значение в момент времени n (будущее значение)
A — стоимость отдельных платежей в каждом периоде начисления процентов.
n — количество периодов (не обязательно целое число)
i - процентная ставка , по которой сумма начисляется за каждый период
g — скорость роста платежей за каждый период времени

Будущая стоимость текущей суммы

Формула будущей стоимости ( FV ) аналогична и использует те же переменные.

FV\ =\ PV\cdot (1+i)^{n}

Текущая стоимость будущей суммы

Формула приведенной стоимости является основной формулой временной стоимости денег; каждая из остальных формул выводится из этой формулы. Например, формула аннуитета представляет собой сумму ряда расчетов текущей стоимости.

Формула приведенной стоимости ( PV ) имеет четыре переменные, каждую из которых можно решить численными методами :

PV\ =\ {\frac {FV}{(1+i)^{n}}}

Совокупную приведенную стоимость будущих денежных потоков можно рассчитать путем суммирования вкладов FV _t , стоимости денежного потока в момент времени t :

PV\ =\ \sum _{t=1}^{n}{\frac {FV_{t}}{(1+i)^{t}}}

Обратите внимание, что этот ряд можно суммировать для заданного значения n или когда n равно ∞. ^{[ 9 ]} Это очень общая формула, которая приводит к нескольким важным частным случаям, приведенным ниже.

Текущая стоимость аннуитета для n периодов выплат

В этом случае значения денежных потоков остаются неизменными на протяжении n периодов. Приведенная стоимость формулы аннуитета (PVA) имеет четыре переменные, каждую из которых можно решить численными методами:

PV(A)\,=\,{\frac {A}{i}}\cdot \left[{1-{\frac {1}{\left(1+i\right)^{n}}}}\right]

Чтобы получить PV аннуитета , умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i ).

Текущая стоимость растущего аннуитета

В этом случае каждый денежный поток увеличивается в (1+ g ). Подобно формуле аннуитета, приведенная стоимость растущего аннуитета (PVGA) использует те же переменные с добавлением g , что и скорость роста аннуитета (A — аннуитетный платеж в первом периоде). Это расчет, который редко предусмотрен на финансовых калькуляторах.

Где я ≠ г:

PV(A)\,=\,{A \over (i-g)}\left[1-\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}\right]

Где я = г:

PV(A)\,=\,{A\times n \over 1+i}

Чтобы получить PV растущего аннуитета , умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i ).

Текущая стоимость бессрочного контракта

— Бессрочная рента это выплаты определенной суммы денег, которые происходят на регулярной основе и продолжаются вечно. Когда n → ∞, PV формулы бессрочного аннуитета (бессрочного аннуитета) становится простым делением.

PV(P)\ =\ {A \over i}

Текущая стоимость растущего бессрочного контракта

Когда бессрочный аннуитетный платеж растет с фиксированной скоростью ( g , при g < i ), его значение определяется в соответствии со следующей формулой, полученной путем установки n равным бесконечности в более ранней формуле для растущего бессрочного срока:

PV(A)\,=\,{A \over i-g}

На практике существует мало ценных бумаг с точными характеристиками, и применение этого подхода к оценке подлежит различным оговоркам и модификациям. Самое главное, редко можно найти растущий бессрочный аннуитет с фиксированными темпами роста и генерацией истинного постоянного денежного потока. Несмотря на эти оговорки, общий подход может использоваться при оценке недвижимости, акций и других активов.

Это хорошо известная модель роста Гордона, используемая для оценки акций .

Будущая стоимость аннуитета

Будущая стоимость (через n периодов) формулы аннуитета (FVA) имеет четыре переменные, каждую из которых можно решить численными методами:

FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-1}{i}}

Чтобы получить FV аннуитета, умножьте приведенное выше уравнение на (1 + i).

Будущая стоимость растущего аннуитета

Будущая стоимость (через n периодов) формулы растущего аннуитета (FVA) имеет пять переменных, каждую из которых можно решить численными методами:

Где я ≠ г:

FV(A)\,=\,A\cdot {\frac {\left(1+i\right)^{n}-\left(1+g\right)^{n}}{i-g}}

Где я = г:

FV(A)\,=\,A\cdot n(1+i)^{n-1}

Таблица формул

В следующей таблице приведены различные формулы, обычно используемые для расчета временной стоимости денег. ^{[ 10 ]} Эти значения часто отображаются в таблицах, где указаны процентная ставка и время.

Находить	Данный	Формула
Будущая стоимость (Ф)	Текущая стоимость (П)	$F=P\cdot (1+i)^{n}$
Текущая стоимость (П)	Будущая стоимость (Ф)	$P=F\cdot (1+i)^{-n}$
Повторный платеж (А)	Будущая стоимость (Ф)	$A=F\cdot {\frac {i}{(1+i)^{n}-1}}$
Повторный платеж (А)	Текущая стоимость (П)	$A=P\cdot {\frac {i(1+i)^{n}}{(1+i)^{n}-1}}$
Будущая стоимость (Ф)	Повторный платеж (А)	$F=A\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i}}$
Текущая стоимость (П)	Повторный платеж (А)	$P=A\cdot {\frac {(1+i)^{n}-1}{i(1+i)^{n}}}$
Будущая стоимость (Ф)	Первоначальный градиентный платеж (G)	$F=G\cdot {\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}}}$
Текущая стоимость (П)	Первоначальный градиентный платеж (G)	$P=G\cdot {\frac {(1+i)^{n}-in-1}{i^{2}(1+i)^{n}}}$
Фиксированный платеж (А)	Первоначальный градиентный платеж (G)	$A=G\cdot \left[{\frac {1}{i}}-{\frac {n}{(1+i)^{n}-1}}\right]$
Будущая стоимость (Ф)	Первоначальный экспоненциально увеличивающийся платеж (D) Увеличение процента (г)	$F=D\cdot {\frac {(1+g)^{n}-(1+i)^{n}}{g-i}}$ (для я ≠ г) $F=D\cdot {\frac {n(1+i)^{n}}{1+g}}$ (для я = г)
Текущая стоимость (П)	Первоначальный экспоненциально увеличивающийся платеж (D) Увеличение процента (г)	$P=D\cdot {\frac {\left({1+g \over 1+i}\right)^{n}-1}{g-i}}$ (для я ≠ г) $P=D\cdot {\frac {n}{1+g}}$ (для я = г)

Примечания:

A — фиксированная сумма платежа, каждый период
G — первоначальная сумма платежа возрастающей суммы платежа, которая начинается с G и увеличивается на G для каждого последующего периода.
D — первоначальная сумма платежа экспоненциально (геометрически) возрастающей суммы платежа, которая начинается с D ) раз и увеличивается в (1+ g в каждом последующем периоде.

Выводы

Вывод аннуитета

Формула текущей стоимости регулярного потока будущих платежей (аннуитета) получается из суммы формулы будущей стоимости одного будущего платежа, как показано ниже, где C — сумма платежа, а n — период.

Один платеж C в будущий момент m имеет следующую будущую стоимость в будущий момент n :

FV\ =C(1+i)^{n-m}

Суммирование всех платежей от момента 1 до момента n, а затем изменение t

FVA\ =\sum _{m=1}^{n}C(1+i)^{n-m}\ =\sum _{k=0}^{n-1}C(1+i)^{k}

Обратите внимание, что это геометрическая прогрессия с начальным значением a = C , мультипликативным коэффициентом 1 + i и n членами. Применяя формулу геометрической прогрессии, получаем

FVA\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{1-(1+i)}}\ ={\frac {C(1-(1+i)^{n})}{-i}}

Текущая стоимость аннуитета (PVA) получается простым делением на $(1+i)^{n}$ :

PVA\ ={\frac {FVA}{(1+i)^{n}}}={\frac {C}{i}}\left(1-{\frac {1}{(1+i)^{n}}}\right)

Другой простой и интуитивно понятный способ определить будущую стоимость аннуитета — рассмотреть пожертвование, проценты по которому выплачиваются в виде аннуитета, а основная сумма которого остается постоянной. Основная сумма этого гипотетического вклада может быть рассчитана как сумма процентов по которой равна сумме аннуитетного платежа:

{\text{Principal}}\times i=C

{\text{Principal}}={\frac {C}{i}}+{\text{goal}}

Обратите внимание, что никакие деньги не входят и не выходят из комбинированной системы основного капитала + накопленных аннуитетных платежей, и, таким образом, будущая стоимость этой системы может быть рассчитана просто по формуле будущей стоимости:

FV=PV(1+i)^{n}

Первоначально, до каких-либо выплат, текущая стоимость системы равна лишь основной сумме вклада. $PV={\frac {C}{i}}$ . В конце концов, будущая стоимость представляет собой основную сумму фонда (которая одинакова) плюс будущую стоимость общей суммы аннуитетных платежей ( $FV={\frac {C}{i}}+FVA$ ). Подставим это обратно в уравнение:

{\frac {C}{i}}+FVA={\frac {C}{i}}(1+i)^{n}

FVA={\frac {C}{i}}\left[\left(1+i\right)^{n}-1\right]

Бессрочный вывод

Не показывая здесь формальный вывод, формула бессрочной ренты выведена из формулы аннуитета. В частности, термин:

\left({1-{1 \over {(1+i)^{n}}}}\right)

можно видеть, что оно приближается к значению 1 по n мере увеличения . На бесконечности оно равно 1, оставляя ${C \over i}$ как единственный оставшийся срок.

Непрерывное компаундирование

Ставки иногда конвертируются в эквивалент непрерывной сложной процентной ставки, поскольку непрерывный эквивалент более удобен (например, его легче дифференцировать). Каждую из приведенных выше формул можно переформулировать в их непрерывных эквивалентах. Например, текущая стоимость будущего платежа в момент времени 0 в момент времени t может быть пересчитана следующим образом, где e — основание натурального логарифма , а r — ставка непрерывного начисления процентов:

{\text{PV}}={\text{FV}}\cdot e^{-rt}

Это можно обобщить на ставки дисконтирования, которые изменяются во времени: вместо постоянной ставки дисконтирования r используется функция времени r ( t ). В этом случае коэффициент дисконтирования и, следовательно, текущая стоимость денежного потока в момент времени T определяется интегралом от непрерывно начисляемой ставки r ( t ):

{\text{PV}}={\text{FV}}\cdot \exp \left(-\int _{0}^{T}r(t)\,dt\right)

Действительно, основная причина использования непрерывного начисления сложных процентов состоит в том, чтобы упростить анализ различных ставок дисконтирования и позволить использовать инструменты исчисления. Кроме того, для процентов, начисленных и капитализированных за ночь (следовательно, начисляемых ежедневно), непрерывное начисление процентов является близким приближением к фактическому ежедневному начислению процентов. Более сложный анализ включает использование дифференциальных уравнений , как подробно описано ниже.

Примеры

Использование непрерывного начисления процентов дает следующие формулы для различных инструментов:

Аннуитет: $\ PV\ =\ {A(1-e^{-rt}) \over e^{r}-1}$
Бессрочность: $\ PV\ =\ {A \over e^{r}-1}$
Растущий аннуитет: $\ PV\ =\ {Ae^{-g}(1-e^{-(r-g)t}) \over e^{(r-g)}-1}$
Растущая вечность: $\ PV\ =\ {Ae^{-g} \over e^{(r-g)}-1}$
Аннуитет с непрерывными выплатами: $\ PV\ =\ {1-e^{(-rt)} \over r}$

Эти формулы предполагают, что платеж A производится в первый период платежа, а аннуитет заканчивается в момент времени t. ^{[ 11 ]}

Дифференциальные уравнения

Обыкновенные и уравнения в частных производных дифференциальные уравнения (ОДУ и УЧП) — уравнения, включающие производные и одну (соответственно, несколько) переменных, повсеместно встречаются в более продвинутых трактовках финансовой математики . Хотя временную стоимость денег можно понять и без использования системы дифференциальных уравнений, дополнительная сложность проливает дополнительный свет на временную стоимость и обеспечивает простое введение перед рассмотрением более сложных и менее знакомых ситуаций. Далее следует изложение ( Carr & Flesaker 2006 , стр. 6–7).

Фундаментальное изменение, которое вносит перспектива дифференциального уравнения, заключается в том, что вместо вычисления числа ( текущее значение сейчас ) вычисляется функция (текущее значение сейчас или в любой момент в будущем ). эту функцию Затем можно проанализировать — как ее значение меняется со временем? — или по сравнению с другими функциями.

Формально утверждение о том, что «значение уменьшается со временем», дается определением линейного дифференциального оператора. ${\mathcal {L}}$ как:

{\mathcal {L}}:=-\partial _{t}+r(t).

Это означает, что стоимость уменьшается (−) с течением времени (∂ _t ) по ставке дисконтирования ( r ( t )). Применительно к функции это дает:

{\mathcal {L}}f=-\partial _{t}f(t)+r(t)f(t).

Для инструмента, поток платежей которого описывается f ( t ), значение V ( t ) удовлетворяет неоднородному ОДУ первого порядка ${\mathcal {L}}V=f$ («неоднородный» означает, что у вас есть f , а не 0, а «первый порядок» означает, что у вас есть первые производные, но нет более высоких производных) — это кодирует тот факт, что когда возникает какой-либо денежный поток, стоимость инструмента изменяется на стоимость денежного потока (если вы получаете купон на 10 фунтов стерлингов, оставшаяся стоимость уменьшается ровно на 10 фунтов стерлингов).

Стандартным техническим инструментом анализа ОДУ являются функции Грина , из которых могут быть построены другие решения. С точки зрения временной стоимости денег, функция Грина (для ОДУ временной стоимости) — это стоимость облигации, по которой выплачивается 1 фунт стерлингов в определенный момент времени u — тогда стоимость любого другого потока денежных потоков можно получить, взяв комбинации этого основного денежного потока. В математических терминах этот мгновенный денежный поток моделируется как дельта-функция Дирака. $\delta _{u}(t):=\delta (t-u).$

Функция Грина для стоимости в момент времени t денежного потока в 1 фунт стерлингов в момент времени u равна

b(t;u):=H(u-t)\cdot \exp \left(-\int _{t}^{u}r(v)\,dv\right)

где H – ступенчатая функция Хевисайда – обозначение « $;u$ «стоит подчеркнуть, что u — это параметр (фиксированный в любом случае — время, когда возникнет денежный поток), а t — переменная (время). Другими словами, будущие денежные потоки экспоненциально дисконтируются (exp) на сумму (интеграл, $\textstyle {\int }$ ) будущих ставок дисконтирования ( $\textstyle {\int _{t}^{u}}$ для будущего, r ( v ) для ставок дисконтирования), в то время как прошлые денежные потоки стоят 0 ( $H(u-t)=1{\text{ if }}t<u,0{\text{ if }}t>u$ ), потому что они уже произошли. Обратите внимание, что стоимость денежного потока на момент возникновения денежного потока не определена четко — в этой точке существует разрыв, и можно использовать соглашение (предполагать, что денежные потоки уже произошли или еще не произошли), или просто не определять значение в этот момент.

Если ставка дисконтирования постоянна, $r(v)\equiv r,$ это упрощает

b(t;u)=H(u-t)\cdot e^{-(u-t)r}={\begin{cases}e^{-(u-t)r}&t<u\\0&t>u,\end{cases}}

где $(u-t)$ «время, оставшееся до поступления денежных средств».

Таким образом, для потока денежных потоков f ( u ), заканчивающегося ко времени T (которое можно установить равным $T=+\infty$ без временного горизонта) значение в момент времени t, $V(t;T)$ определяется путем объединения значений этих отдельных денежных потоков:

V(t;T)=\int _{t}^{T}f(u)b(t;u)\,du.

Это формализует временную стоимость денег до будущих значений денежных потоков с различными ставками дисконтирования и является основой многих формул финансовой математики, таких как формула Блэка-Шоулза с различными процентными ставками .

См. также

Актуарная наука

Дисконтированный денежный поток

Рост прибыли

Экспоненциальный рост

Финансовый менеджмент

Гиперболическое дисконтирование

Внутренняя норма доходности

Чистая текущая стоимость

Временная стоимость опциона

Реальная и номинальная стоимость (экономика)

Окупаемость вложенного времени

Эффект снежного кома

Примечания

^ Гитман и Зуттер (2013). Принципы управленческих финансов (13-е изд.). Пирсон Образования Лимитед. п. 213. ИСБН 978-0-273-77986-5 .
^ «Маккот 3а Талмуд Уильяма Дэвидсона онлайн» .
^ Картер, Шона (3 декабря 2003 г.). «Понимание временной стоимости денег» .
^ Персонал, Инвестопедия (25 ноября 2003 г.). «Приведенная стоимость – PV» .
^ «Приведенная стоимость аннуитета» .
^ Персонал, Инвестопедия (24 ноября 2003 г.). «Вечность» .
^ Персонал, Инвестопедия (23 ноября 2003 г.). «Будущая стоимость – FV» .
^ Хови, М. (2005). Моделирование электронных таблиц для финансов. Френчс Форест, Новый Южный Уэльс: Pearson Education Australia.
^ http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html Геометрическая серия
^ «Экзамен NCEES FE» .
^ «Аннуитеты и бессрочные облигации с непрерывным начислением процентов» . 11 октября 2012 г.

Ссылки

Карр, Питер; Флесакер, Бьорн (2006), Надежное воспроизведение условных требований по умолчанию (слайды презентации) (PDF) , Bloomberg LP , заархивировано из оригинала (PDF) 27 февраля 2009 г. См. также Аудиопрезентация и статья . {{citation}}: Внешняя ссылка в |postscript= ( помощь ) CS1 maint: постскриптум ( ссылка )
Кроссон, С.В., и Нидлз, Б.Э. (2008). Управленческий учет (8-е изд.). Бостон: Компания Houghton Mifflin.

Внешние ссылки

«Временная стоимость денег» Электронная книга

[1] Гитман и Зуттер (2013). Принципы управленческих финансов (13-е изд.). Пирсон Образования Лимитед. п. 213. ИСБН 978-0-273-77986-5 .

[2] «Маккот 3а Талмуд Уильяма Дэвидсона онлайн» .

[3] Картер, Шона (3 декабря 2003 г.). «Понимание временной стоимости денег» .

[4] Персонал, Инвестопедия (25 ноября 2003 г.). «Приведенная стоимость – PV» .

[5] «Приведенная стоимость аннуитета» .

[6] Персонал, Инвестопедия (24 ноября 2003 г.). «Вечность» .

[7] Персонал, Инвестопедия (23 ноября 2003 г.). «Будущая стоимость – FV» .

[8] Хови, М. (2005). Моделирование электронных таблиц для финансов. Френчс Форест, Новый Южный Уэльс: Pearson Education Australia.

[9] ttp://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html Геометрическая серия

[10] «Экзамен NCEES FE» .

[11] «Аннуитеты и бессрочные облигации с непрерывным начислением процентов» . 11 октября 2012 г.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]