Потенциал Леннарда-Джонса

В вычислительной химии , молекулярной физике и физической химии потенциал Леннарда -Джонса (также называемый потенциалом LJ или потенциалом 12-6 ; назван в честь Джона Леннарда-Джонса ) представляет собой межмолекулярный парный потенциал . Из всех межмолекулярных потенциалов потенциал Леннарда-Джонса, вероятно, является наиболее изученным. ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]} Он считается архетипической моделью простых, но реалистичных межмолекулярных взаимодействий . Потенциал Леннарда-Джонса часто используется в качестве строительного блока в молекулярных моделях (также известных как силовые поля ) для более сложных веществ. ^{[ 3 ]} Многие исследования идеализированной «субстанции Леннарда-Джонса» используют потенциал для понимания физической природы материи.

Обзор

Потенциал Леннарда-Джонса представляет собой упрощенную модель, которая, тем не менее, описывает существенные особенности взаимодействий между простыми атомами и молекулами: две взаимодействующие частицы отталкиваются друг от друга на очень близком расстоянии, притягиваются друг к другу на умеренном расстоянии и в конечном итоге перестают взаимодействовать на бесконечном расстоянии, поскольку показано на рисунке. Потенциал Леннарда-Джонса является парным потенциалом, т. е. он не охватывает трех- или многочастичных взаимодействий. ^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

Общий потенциал Леннарда-Джонса сочетает в себе потенциал отталкивания, $1/r^{n}$ , с привлекательным потенциалом, $-1/r^{m}$ , используя эмпирически определенные коэффициенты $A_{n}$ и $B_{m}$ : ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} $V_{\text{LJ}}(r)={\frac {A_{n}}{r^{n}}}-{\frac {B_{m}}{r^{m}}}.$ В своем обзоре 1931 г. ^{[ 5 ]} Леннард-Джонс предложил использовать $m=6$ чтобы соответствовать лондонской дисперсионной силе и $n=12$ на основе сопоставления экспериментальных данных. ^{[ 1 ]} Параметр $A_{n}=4\varepsilon \sigma ^{12}$ и $B_{m}=4\varepsilon \sigma ^{6}$ дает широко используемый потенциал Леннарда-Джонса 12-6: ^{[ 7 ]} $V_{\text{LJ}}(r)=4\varepsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right],$ где $r$ — расстояние между двумя взаимодействующими частицами, $ε$ — глубина потенциальной ямы , а $σ$ — расстояние, на котором потенциальная энергия между частицами $V$ равна нулю. Потенциал Леннарда-Джонса 12-6 имеет минимум на расстоянии $r=r_{\rm {min}}=2^{1/6}\sigma ,$ где потенциальная энергия имеет значение $V=-\varepsilon .$

Потенциал Леннарда-Джонса обычно является стандартным выбором для разработки теорий материи (особенно мягкой материи), а также для разработки и тестирования вычислительных методов и алгоритмов.

В прошлом были предложены многочисленные межмолекулярные потенциалы для моделирования простых мягких взаимодействий отталкивания и притяжения между сферически симметричными частицами, то есть общей формы, показанной на рисунке. Примерами других потенциалов являются потенциал Морса , потенциал Ми , ^{[ 8 ]} потенциал Букингема и потенциал Танга-Тённиса. ^{[ 9 ]} Хотя некоторые из них могут больше подходить для моделирования реальных жидкостей , ^{[ 10 ]} Простота потенциала Леннарда-Джонса, а также его зачастую удивительная способность точно отражать поведение реальной жидкости исторически сделали его парным потенциалом, имеющим величайшее общее значение. ^{[ 11 ]}

История

В 1924 году, когда Леннард-Джонс получил докторскую степень в Кембриджском университете , он опубликовал ^{[ 6 ]}^{[ 12 ]} серию знаковых статей о парных потенциалах, которые в конечном итоге будут названы в его честь. ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 13 ]}^{[ 1 ]} В этих статьях он скорректировал параметры потенциала, а затем использовал результат в модели вязкости газа, стремясь к набору значений, согласующихся с экспериментом. Его первоначальные результаты предполагали отталкивающий $n=13.5$ и привлекательный $m=3$ .

До Леннарда-Джонса, еще в 1903 году, Густав Ми работал над эффективными теориями поля; Эдуард Грюнайзен опирался на работу Ми для твердых тел, показав, что $n>m$ и $m>3$ требуется для твердых веществ. В результате этой работы потенциал Леннарда-Джонса иногда называют потенциалом Ми- Потенциал Грюнайзена в физике твердого тела . ^{[ 3 ]}

В 1930 году, после открытия квантовой механики , Фриц Лондон показал, что теория предсказывает, что дальнодействующая сила притяжения должна иметь $m=6$ . В 1931 году Леннард-Джонс применил эту форму потенциала для описания многих свойств жидкостей, подготовив почву для многих последующих исследований. ^{[ 1 ]}

Безразмерный (приведенные единицы)

безразмерные (приведенные) единицы
Свойство	Символ	Уменьшенная форма
Длина	$r^{*}$	${\frac {r}{\sigma }}$
Время	$t^{*}$	$t{\sqrt {\frac {\varepsilon }{m\sigma ^{2}}}}$
Температура	$T^{*}$	${\frac {k_{B}T}{\varepsilon }}$
Сила	$F^{*}$	${\frac {F\sigma }{\varepsilon }}$
Энергия	$U^{*}$	${\frac {U}{\varepsilon }}$
Давление	$p^{*}$	${\frac {p\sigma ^{3}}{\varepsilon }}$
Плотность	$\rho ^{*}$	$\rho \sigma ^{3}$
Поверхностное натяжение	$\gamma ^{*}$	${\frac {\gamma \sigma ^{2}}{\varepsilon }}$

Безразмерные приведенные единицы можно определить на основе потенциальных параметров Леннарда-Джонса, что удобно для молекулярного моделирования. С числовой точки зрения преимущества этой системы единиц включают вычисление значений, близких к единице, использование упрощенных уравнений и возможность легкого масштабирования результатов. ^{[ 14 ]}^{[ 15 ]} Эта сокращенная система единиц требует указания параметра размера. $\sigma$ и энергетический параметр $\varepsilon$ потенциала Леннарда-Джонса и массы частицы $m$ . Все физические свойства можно напрямую преобразовать с учетом соответствующего размера, см. таблицу. Сокращённые единицы часто обозначаются аббревиатурой и обозначаются звездочкой.

В общем, уменьшенные единицы также могут быть построены на основе других потенциалов молекулярного взаимодействия, которые состоят из параметра длины и параметра энергии.

Взаимодействия на дальнем расстоянии

Наглядный пример сходимости схемы коррекции для учета дальнодействующих взаимодействий потенциала Леннарда-Джонса. В этом, $X$ указывает на образцовую наблюдаемую и $r_{\mathrm {c} }$ примененный радиус среза. Скорректированное значение дальнего действия обозначается как $X_{\mathrm {corr} }$ (символы и линия как ориентир для глаза); гипотетическое «истинное» значение как $X_{\mathrm {true} }$ (пунктирная линия).

Потенциал Леннарда-Джонса, ср. уравнение (1) и рисунок вверху имеют бесконечный диапазон. Только при его рассмотрении исследуется «истинный» и «полный» потенциал Леннарда-Джонса. Для оценки наблюдаемого ансамбля частиц, взаимодействующих потенциалом Леннарда-Джонса с использованием молекулярного моделирования, взаимодействия могут быть оценены явно только до определенного расстояния – просто из-за того, что число частиц всегда будет конечным. Максимальное расстояние, применяемое при моделировании, обычно называют радиусом отсечки. $r_{\mathrm {c} }$ (потому что потенциал Леннарда-Джонса радиально симметричен). Чтобы получить теплофизические свойства (как макроскопические, так и микроскопические) «истинного» и «полного» потенциала Леннарда-Джонса (ЛДж), необходимо учитывать вклад потенциала за пределами радиуса отсечки.

Различные схемы коррекции были разработаны для учета влияния дальнодействующих взаимодействий в моделировании и для обеспечения достаточно хорошего приближения «полного» потенциала. ^{[ 16 ]}^{[ 14 ]} Они основаны на упрощающих предположениях относительно структуры жидкости. В простых случаях, например при изучении равновесия однородных жидкостей, простые корректирующие члены дают превосходные результаты. В других случаях, например при исследовании неоднородных систем с разными фазами, учет дальнодействующих взаимодействий оказывается более утомительным. Эти поправки обычно называют «дальними поправками». Для большинства свойств известны и хорошо известны простые аналитические выражения. Для данной наблюдаемой $X$ , «исправленный» результат моделирования $X_{\mathrm {corr} }$ затем просто вычисляется на основе фактически выбранного значения $X_{\mathrm {sampled} }$ и значение дальней поправки $X_{\mathrm {lrc} }$ , например, для внутренней энергии $U_{\mathrm {corr} }=U_{\mathrm {sampled} }+U_{\mathrm {lrc} }$ . ^{[ 14 ]} Гипотетическое истинное значение наблюдаемого потенциала Леннарда-Джонса на действительно бесконечном расстоянии отсечки (термодинамический предел) $X_{\mathrm {true} }$ в целом можно только оценить.

Кроме того, качество схемы дальней коррекции зависит от радиуса отсечки. Допущения, сделанные при использовании схем коррекции, обычно не оправдываются при (очень) коротких радиусах обрезания. Это иллюстрируется примером, показанным на рисунке справа. Схема дальней коррекции называется сходящейся, если остаточная ошибка схемы коррекции достаточно мала на заданном расстоянии отсечки, ср. Фигура.

Расширения и модификации

Потенциал Леннарда-Джонса – как архетип межмолекулярных потенциалов – неоднократно использовался в качестве отправной точки для разработки более сложных или более обобщенных межмолекулярных потенциалов. В литературе были предложены различные расширения и модификации потенциала Леннарда-Джонса; более обширный список дан в статье « Межатомный потенциал ». Следующий список относится только к нескольким примерам потенциалов, которые напрямую связаны с потенциалом Леннарда-Джонса и имеют как историческое значение, так и до сих пор актуальны для настоящих исследований.

Потенциал Ми Потенциал Ми является обобщенной версией потенциала Леннарда-Джонса, т.е. показатели степени 12 и 6 вводятся как параметры $\lambda _{\mathrm {rep} }$ и $\lambda _{\mathrm {attr} }$ . Особенно термодинамические производные свойства, например, сжимаемость и скорость звука , как известно, очень чувствительны к крутизне отталкивательной части межмолекулярного потенциала, который поэтому может быть смоделирован более сложно с помощью потенциала Ми. ^{[ 17 ]} Первая явная формулировка потенциала Ми принадлежит Эдуарду Грюнайзену . ^{[ 18 ]}^{[ 19 ]} Следовательно, потенциал Ми был фактически предложен раньше потенциала Леннарда-Джонса. Потенциал Ми назван в честь Густава Ми . ^{[ 8 ]}
Букингемский потенциал Букингемский потенциал был предложен Ричардом Бэкингемом . Отталкивающая часть потенциала Леннарда-Джонса при этом заменена показательной функцией и включает дополнительный параметр.
Потенциал Стокмайера Потенциал Стокмайера назван в честь WH Stockmayer. ^{[ 20 ]} Потенциал Стокмайера представляет собой комбинацию потенциала Леннарда-Джонса, наложенного на диполь. Следовательно, частицы Штокмайера не сферически симметричны, а имеют важную ориентационную структуру.
Двухцентровый потенциал Леннарда-Джонса Двухцентровый потенциал Леннарда-Джонса состоит из двух одинаковых центров взаимодействия Леннарда-Джонса (одинаковые $\varepsilon$ , $\sigma$ , $m$ ), которые соединены как твердое тело. Его часто сокращают как 2CLJ. Обычно удлинение (расстояние между узлами Леннарда-Джонса) существенно меньше размерного параметра. $\sigma$ . Следовательно, два места взаимодействия значительно слиты.
Усеченный и сплайновый потенциал Леннарда-Джонса Усеченный и сплайновый потенциал Леннарда-Джонса представляет собой редко используемый, но полезный потенциал. Подобно более популярному потенциалу LJTS, он резко обрезается на определенном «конечном» расстоянии. $r_{\mathrm {end} }$ и за его пределами никакие дальнодействующие взаимодействия не рассматриваются. В отличие от потенциала LJTS, который сдвинут так, что потенциал становится непрерывным, усеченный и сплайновый потенциал Леннарда-Джонса становится непрерывным за счет использования произвольной, но благоприятной сплайн-функции.

Усеченный и смещенный потенциал Леннарда-Джонса (LJTS)

Усеченный и сдвинутый потенциал Леннарда-Джонса (LJTS) является часто используемой альтернативой «полному» потенциалу Леннарда-Джонса (см. уравнение (1)). «Полный» и «усеченный и сдвинутый» потенциал Леннарда-Джонса следует строго разделять. Это просто два разных межмолекулярных потенциала, обладающих разными теплофизическими свойствами. Усеченный и сдвинутый потенциал Леннарда-Джонса определяется как $V_{\text{LJTS}}(r)={\begin{cases}V_{\text{LJ}}(r)-V_{\text{LJ}}(r_{\text{end}})&~~~~r\leq r_{\text{end}}\\0&~~~~r>r_{\text{end}},\end{cases}}$ с $V_{\text{LJ}}(r)=4\varepsilon \left[\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{12}-\left({\frac {\sigma }{r}}\right)^{6}\right].$

Следовательно, потенциал LJTS усекается при $r_{\mathrm {end} }$ и сдвинут на соответствующее значение энергии $V_{\mathrm {LJ} }(r_{\mathrm {end} })$ . Последнее применяется для того, чтобы избежать скачка потенциала при $r_{\mathrm {end} }$ . Что касается потенциала LJTS, никаких дальнодействующих взаимодействий, кроме $r_{\mathrm {end} }$ необходимы – ни явно, ни неявно. Наиболее часто используемая версия усеченного и сдвинутого потенциала Леннарда-Джонса — это версия с $r_{\mathrm {end} }=2.5\,\sigma$ . ^{[ нужна ссылка ]} Тем не менее, разные $r_{\mathrm {end} }$ значения использовались в литературе. ^{[ 24 ]}^{[ 25 ]}^{[ 26 ]}^{[ 27 ]} Каждый потенциал LJTS с заданным радиусом усечения. $r_{\mathrm {end} }$ следует рассматривать как потенциал и, соответственно, как собственную субстанцию.

Потенциал LJTS вычислительно значительно дешевле, чем «полный» потенциал Леннарда-Джонса, но все же охватывает основные физические характеристики материи (наличие критической и тройной точки, мягкие взаимодействия отталкивания и притяжения, фазовые равновесия и т. д.). Поэтому потенциал LJTS используется для тестирования новых алгоритмов, методов моделирования и новых физических теорий. ^{[ 28 ]}^{[ 29 ]}^{[ 30 ]}

Интересно, что для однородных систем межмолекулярные силы, рассчитанные по потенциалу LJ и LJTS на заданном расстоянии, одинаковы (поскольку ${\text{d}}V/{\text{d}}r$ то же самое), тогда как на потенциальную энергию и давление влияет сдвиг. Кроме того, на свойства вещества LJTS может, кроме того, влиять выбранный алгоритм моделирования, т. е. отбор проб MD или MC (это, как правило, не относится к «полному» потенциалу Леннарда-Джонса).

Для потенциала LJTS с $r_{\mathrm {end} }=2.5\,\sigma$ сдвиг потенциальной энергии составляет примерно 1/60 энергии дисперсии в потенциальной яме: $V_{\mathrm {LJ} }(r_{\mathrm {end} }=2.5\,\sigma )=-0.0163\,\varepsilon$ . На рисунке справа показано сравнение парожидкостного равновесия «полного» потенциала Леннарда-Джонса и «усеченного и сдвинутого» потенциала Леннарда-Джонса. Результаты «полного» потенциала Леннарда-Джонса преобладают над значительно более высокими критическими температурой и давлением по сравнению с результатами потенциала LJTS, но критическая плотность очень похожа. ^{[ 31 ]}^{[ 32 ]}^{[ 26 ]} На давление пара и энтальпию испарения дальнодействующие взаимодействия сильнее влияют, чем на плотность насыщения. Это связано с тем, что потенциалом манипулируют в основном энергетически путем усечения и смещения.

Приложения

Потенциал Леннарда-Джонса имеет фундаментальное значение не только в вычислительной химии и физике мягкой материи , но и для моделирования реальных веществ. Потенциал Леннарда-Джонса используется для фундаментальных исследований поведения материи и для выяснения атомистических явлений. Его также часто используют в особых случаях, например, для изучения теплофизических свойств двумерных или четырехмерных веществ. ^{[ 33 ]}^{[ 34 ]}^{[ 35 ]} (вместо классических трех пространственных направлений нашей Вселенной).

Существует два основных применения потенциалов Леннарда-Джонса: (i) для изучения гипотетического вещества Леннарда-Джонса. ^{[ 13 ]} и (ii) для моделирования взаимодействий в моделях реального вещества. ^{[ 3 ]}^{[ 2 ]} Эти два приложения обсуждаются ниже.

Вещество Леннарда-Джонса

Вещество Леннарда-Джонса или «Леннарда-Джонза» — это название идеализированного вещества, которое возникает в результате взаимодействия атомов или молекул исключительно посредством потенциала Леннарда-Джонса. ^{[ 13 ]} Статистическая механика ^{[ 36 ]} и компьютерное моделирование ^{[ 15 ]}^{[ 16 ]} может быть использован для изучения потенциала Леннарда-Джонса и получения теплофизических свойств «вещества Леннарда-Джонса». Вещество Леннарда-Джонса часто называют «Леннарда-Джонза». ^{[ 13 ]} предполагая, что его рассматривают как (фиктивный) химический элемент . ^{[ 21 ]} Более того, его параметры энергии и длины можно подогнать под множество различных реальных веществ. И потенциал Леннарда-Джонса, и, соответственно, вещество Леннарда-Джонса представляют собой упрощенные, но реалистичные модели, например, они точно отражают основные физические принципы, такие как наличие критической и тройной точки , конденсации и замерзания . Отчасти из-за своей математической простоты потенциал Леннарда-Джонса широко использовался в исследованиях материи с первых дней компьютерного моделирования. ^{[ 37 ]}^{[ 38 ]}^{[ 39 ]}^{[ 40 ]}

Теплофизические свойства вещества Леннарда-Джонса

Теплофизические свойства вещества Леннарда-Джонса, ^{[ 13 ]} т.е. частицы, взаимодействующие с потенциалом Леннарда-Джонса, могут быть получены с помощью статистической механики. Некоторые свойства можно рассчитать аналитически, то есть с машинной точностью, тогда как большинство свойств можно получить только путем молекулярного моделирования. ^{[ 15 ]} На последнее, как правило, будут накладываться как статистические, так и систематические неопределенности. ^{[ 43 ]}^{[ 21 ]}^{[ 44 ]}^{[ 45 ]} Например, вириальные коэффициенты можно вычислить непосредственно из потенциала Леннарда с использованием алгебраических выражений. ^{[ 36 ]} поэтому сообщаемые данные не содержат неопределенности. Результаты молекулярного моделирования, например, давление при заданной температуре и плотности, имеют как статистические, так и систематические неопределенности. ^{[ 43 ]}^{[ 45 ]} Молекулярное моделирование потенциала Леннарда-Джонса, как правило, может быть выполнено с использованием либо молекулярно-динамического (МД) моделирования, либо моделирования Монте-Карло (МК). Для моделирования MC потенциал Леннарда-Джонса $V_{\mathrm {LJ} }(r)$ используется напрямую, тогда как МД-моделирование всегда основано на производной потенциала, т.е. силе $F=\mathrm {d} V/\mathrm {d} r$ . Эти различия в сочетании с различиями в трактовке дальнодействующих взаимодействий (см. ниже) могут влиять на рассчитанные теплофизические свойства. ^{[ 46 ]}^{[ 32 ]}

Поскольку Леннард-Джонезиум является архетипом моделирования простых, но реалистичных межмолекулярных взаимодействий, большое количество теплофизических свойств было изучено и описано в литературе. ^{[ 21 ]} Данные компьютерного эксперимента с потенциалом Леннарда-Джонса в настоящее время считаются наиболее точно известными данными в классической механике и вычислительной химии. Следовательно, такие данные также в основном используются в качестве ориентира для проверки и тестирования новых алгоритмов и теорий. Потенциал Леннарда-Джонса постоянно использовался с первых дней молекулярного моделирования. Первые результаты компьютерных экспериментов по потенциалу Леннарда-Джонса были опубликованы Розенблутом и Розенблютом. ^{[ 38 ]} и Вуд и Паркер ^{[ 37 ]} после того, как в 1953 году стало доступно молекулярное моделирование на « быстрых вычислительных машинах ». ^{[ 47 ]} С тех пор во многих исследованиях сообщалось о веществе Леннарда-Джонса; ^{[ 21 ]} около 50 000 точек данных находятся в открытом доступе. Современное состояние исследований теплофизических свойств вещества Леннарда-Джонса резюмировано Стефаном и др. ^{[ 21 ]} (без учета транспортных свойств и свойств смеси). США Национальный институт стандартов и технологий (NIST) предоставляет примеры молекулярной динамики и кодов Монте-Карло, а также полученные на их основе результаты. ^{[ 48 ]} Данные о транспортных свойствах жидкостей Леннарда-Джонса были собраны Bell et al. ^{[ 49 ]} и Лаутеншегер и Хассе. ^{[ 50 ]}

На рисунке справа показана фазовая диаграмма жидкости Леннарда-Джонса. Фазовые равновесия потенциала Леннарда-Джонса изучались неоднократно и, соответственно, сегодня известны с хорошей точностью. ^{[ 41 ]}^{[ 21 ]}^{[ 51 ]} На рисунке показаны корреляции результатов, полученных на основе результатов компьютерного эксперимента (поэтому вместо точек показаны линии).

Среднее межмолекулярное взаимодействие частицы Леннарда-Джонса сильно зависит от термодинамического состояния, т. е. температуры и давления (или плотности). Для твердых состояний притягивающее взаимодействие Леннарда-Джонса играет доминирующую роль, особенно при низких температурах. В жидких состояниях упорядоченная структура отсутствует по сравнению с твердыми состояниями. Средняя потенциальная энергия, приходящаяся на одну частицу, отрицательна. Для газообразных состояний притягивающие взаимодействия потенциала Леннарда-Джонса играют второстепенную роль – поскольку они находятся на большом расстоянии. Основная часть внутренней энергии сохраняется в виде кинетической энергии газообразных состояний. В сверхкритических состояниях притягивающее взаимодействие Леннарда-Джонса играет незначительную роль. С ростом температуры средняя кинетическая энергия частиц увеличивается и превышает энергетическую яму потенциала Леннарда-Джонса. Следовательно, частицы в основном взаимодействуют за счет мягких отталкивающих взаимодействий потенциалов, и средняя потенциальная энергия, приходящаяся на частицу, соответственно, положительна.

В целом, из-за большого промежутка времени, когда потенциал Леннарда-Джонса был изучен, и данные о теплофизических свойствах были представлены в литературе, а вычислительные ресурсы были недостаточными для точного моделирования (по современным стандартам), известно, что заметный объем данных является сомнительным. ^{[ 21 ]} Тем не менее во многих исследованиях такие данные используются как справочные. Отсутствие хранилищ данных и оценки данных является решающим элементом для будущей работы в долговременной области потенциальных исследований Леннарда-Джонса.

Характерные точки и кривые

Важнейшими характеристическими точками потенциала Леннарда-Джонса являются критическая точка пар-жидкость-твердое тело и тройная точка . Они неоднократно изучались в литературе и собраны в работе [11]. ^{[ 21 ]} Таким образом, критическая точка была оценена как расположенная на

$T_{\mathrm {c} }=1.321\pm 0.007\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}$
$\rho _{\mathrm {c} }=0.316\pm 0.005\,\sigma ^{-3}$
$p_{\mathrm {c} }=0.129\pm 0.005\,\varepsilon \sigma ^{-3}$

Данные неопределенности были рассчитаны на основе стандартного отклонения критических параметров, полученных из наиболее надежных доступных наборов данных о равновесии пар-жидкость . ^{[ 21 ]} Эти неопределенности можно принять как нижний предел точности, с которой критическая точка жидкости может быть получена из результатов молекулярного моделирования.

Характеристические кривые вещества Леннарда-Джонса. Толстая черная линия указывает на равновесие пар-жидкость; звездочка указывает на критическую точку. Коричневая линия указывает на равновесие твердого тела и жидкости. Другие черные сплошные линии и символы обозначают характеристические кривые Брауна (подробности см. в тексте) вещества Леннарда-Джонса: линии представляют собой результаты уравнения состояния , символы - результаты молекулярного моделирования, а треугольники - точные данные в пределе идеального газа, полученные из вириальных коэффициентов. . Данные взяты из. ^{[ 52 ]}^{[ 53 ]}^{[ 54 ]}

В настоящее время предполагается, что тройная точка расположена в точке

$T_{\mathrm {tr} }=0.69\pm 0.005\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}$
$\rho _{\mathrm {tr,gas} }=0.0017\pm 0.004\,\sigma ^{-3}$
$\rho _{\mathrm {tr,liq} }=0.845\pm 0.009\,\sigma ^{-3}$
$\rho _{\mathrm {tr,sol} }=0.961\pm 0.007\,\sigma ^{-3}$
$p_{\mathrm {tr} }=0.0012\pm 0.0007\,\varepsilon \sigma ^{-3}$

Неопределенности представляют собой разброс данных от разных авторов. ^{[ 41 ]} Критическая точка вещества Леннарда-Джонса изучалась гораздо чаще, чем тройная точка. Как для критической точки, так и для тройной точки пар-жидкость-твердое тело в нескольких исследованиях были получены результаты, выходящие за пределы указанных выше диапазонов. Вышеуказанные данные в настоящее время считаются правильными и надежными. Тем не менее определенность критической температуры и температуры тройной точки все еще остается неудовлетворительной.

Очевидно, кривые сосуществования фаз (см. рисунки) имеют принципиальное значение для характеристики потенциала Леннарда-Джонса. Кроме того, характеристические кривые Брауна ^{[ 55 ]} дать наглядное описание существенных особенностей потенциала Леннарда-Джонса. Характеристические кривые Брауна определяются как кривые, на которых определенные термодинамические свойства вещества соответствуют свойствам идеального газа . Для настоящей жидкости $Z$ и его производные могут соответствовать значениям идеального газа для особых $T$ , $\rho$ комбинации только в результате правила фаз Гиббса. Полученные точки вместе образуют характеристическую кривую. Определены четыре основные характеристические кривые: одна кривая 0-го порядка (называемая кривой Зенона ) и три кривые 1-го порядка (называемые кривыми Амагата , Бойля и Чарльза ). Характеристическая кривая должна иметь отрицательную или нулевую кривизну на всем протяжении и один максимум на двойной логарифмической диаграмме давление-температура. Более того, характеристические кривые Брауна и вириальные коэффициенты непосредственно связаны в пределе идеального газа и поэтому точно известны при $\rho \rightarrow 0$ . В литературе для потенциала Леннарда-Джонса сообщалось как о результатах компьютерного моделирования, так и о результатах уравнения состояния. ^{[ 53 ]}^{[ 21 ]}^{[ 52 ]}^{[ 56 ]}^{[ 57 ]}

Точки на кривой Зенона Z имеют коэффициент сжимаемости, равный единице. $Z=p/(\rho T)=1$ . Кривая Зенона начинается при температуре Бойля. $T_{\mathrm {B} }=3.417927982\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}$ , окружает критическую точку и имеет наклон, равный единице в пределе низких температур. ^{[ 52 ]} Точки на кривой Бойля B имеют $\left.{\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} (1/\rho )}}\right|_{T}=0$ . Кривая Бойля начинается с кривой Зенона при температуре Бойля, слабо окружает критическую точку и заканчивается на кривой давления пара. Точки на кривой Чарльза (также известной как кривая инверсии Джоуля-Томсона ) имеют $\left.{\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} T}}\right|_{p}=0$ и что еще более важно $\left.{\frac {\mathrm {d} T}{\mathrm {d} p}}\right|_{h}=0$ , т.е. отсутствие изменения температуры при изоэнтальпийном дросселировании. Оно возникает в $T=6.430798418\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}$ в пределе идеального газа пересекает кривую Зенона и заканчивается на кривой давления пара. Точки на кривой Амагата А имеют $\left.{\frac {\mathrm {d} Z}{\mathrm {d} T}}\right|_{\rho }=0$ . Оно также начинается в пределе идеального газа при $T=25.15242837\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}$ , окружает критическую точку и три другие характеристические кривые и переходит в область твердой фазы. Всестороннее обсуждение характеристических кривых потенциала Леннарда-Джонса дано Стефаном и Дейтерсом. ^{[ 52 ]}

Вириальные коэффициенты потенциала Леннарда-Джонса в зависимости от температуры: второй вириальный коэффициент $B$ (вверху) и третий вириальный коэффициент $C$ (нижний). Кругом обозначена температура Бойля. $T_{\mathrm {B} }$ . Результаты взяты из. ^{[ 52 ]}

Свойства жидкости Леннарда-Джонса

Свойства жидкости Леннарда-Джонса широко изучались в литературе из-за выдающейся важности потенциала Леннарда-Джонса в физике мягкой материи и смежных областях. ^{[ 13 ]} около 50 наборов данных компьютерных экспериментов по парожидкостному равновесию . На сегодняшний день опубликовано ^{[ 21 ]} Кроме того, за прошедшие годы было опубликовано более 35 000 точек данных об однородных состояниях жидкости, а недавно они были собраны и оценены на предмет выбросов в базе данных с открытым доступом. ^{[ 21 ]}

Парожидкостное равновесие вещества Леннарда-Джонса в настоящее время известно с точностью, т. е. с взаимной согласованностью термодинамически непротиворечивых данных, $\pm 1\%$ для давления пара, $\pm 0.2\%$ для плотности насыщенной жидкости, $\pm 1\%$ для плотности насыщенного пара, $\pm 0.75\%$ для энтальпии испарения, и $\pm 4\%$ для поверхностного натяжения. ^{[ 21 ]} Такое статус-кво нельзя считать удовлетворительным, учитывая тот факт, что статистические неопределенности, обычно сообщаемые для отдельных наборов данных, значительно ниже указанных выше значений (даже для гораздо более сложных полей молекулярных сил).

Как свойства фазового равновесия, так и свойства однородного состояния при произвольной плотности, как правило, могут быть получены только с помощью молекулярного моделирования, тогда как вириальные коэффициенты могут быть рассчитаны непосредственно из потенциала Леннарда-Джонса. ^{[ 36 ]} Численные данные для второго и третьего вириального коэффициента доступны в широком диапазоне температур. ^{[ 58 ]}^{[ 52 ]}^{[ 21 ]} Для более высоких вириальных коэффициентов (вплоть до шестнадцатого) количество доступных точек данных уменьшается с увеличением количества вириального коэффициента. ^{[ 59 ]}^{[ 60 ]} Также были изучены транспортные свойства (вязкость, теплопроводность и коэффициент самодиффузии) жидкости Леннарда-Джонса. ^{[ 61 ]}^{[ 62 ]} но база данных значительно менее плотная, чем для свойств однородного равновесия, таких как $pvT$ – или данные внутренней энергии. большое количество аналитических моделей ( уравнений состояния Более того, для описания жидкости Леннарда-Джонса разработано ) (подробнее см. ниже).

Свойства твердого тела Леннарда-Джонса

База данных и знания для твердого тела Леннарда-Джонса значительно беднее, чем для жидких фаз. Рано стало понятно, что взаимодействия в твердых фазах не следует приближать к попарно-аддитивным, особенно для металлов. ^{[ 63 ]}^{[ 64 ]}

Тем не менее, потенциал Леннарда-Джонса используется в физике твердого тела из-за его простоты и вычислительной эффективности. Таким образом, основные свойства твердых фаз и фазовые равновесия твердое тело-жидкость исследовались несколько раз, например, в работах ^{[ 51 ]}^{[ 41 ]}^{[ 42 ]}^{[ 65 ]}^{[ 66 ]}^{[ 54 ]}

Вещество Леннарда-Джонса образует ГЦК (гранецентрированную кубическую), ГПУ (гексагональную плотноупакованную) и другие плотноупакованные политипные решетки – в зависимости от температуры и давления, ср. рисунок выше с фазовой диаграммой. При низкой температуре и вплоть до умеренного давления решетка ГПУ является энергетически выгодной и, следовательно, равновесной структурой. Структура ГЦК-решетки энергетически выгодна как при высокой температуре, так и при высоком давлении и, следовательно, в целом является равновесной структурой в более широком диапазоне состояний. Линия сосуществования между фазами ГЦК и ГПУ начинается в $T=0$ примерно $p=878.5\,\varepsilon \sigma ^{-3}$ , проходит через температурный максимум примерно при $T=0.4\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}$ , а затем заканчивается на границе пар–твердая фаза примерно при $T=0.32\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}$ , что тем самым образует тройную точку. ^{[ 65 ]}^{[ 41 ]} Следовательно, только ГЦК твердая фаза обнаруживает фазовое равновесие с жидкой и сверхкритической фазой, ср. рисунок выше с фазовой диаграммой.

Сообщается, что тройная точка двух твердых фаз (ГЦК и ГПУ) и паровой фазы расположена по адресу: ^{[ 65 ]}^{[ 41 ]}

$T_{\mathrm {tr} }=0.32\pm 0.001\,\varepsilon k_{\mathrm {B} }^{-1}$
$\rho _{\mathrm {tr,gas} }=..$ еще не сообщалось
$\rho _{\mathrm {tr,fcc} }=1.03859\pm 0.0008\,\sigma ^{-3}$
$\rho _{\mathrm {tr,hcp} }=1.03861\pm 0.0007\,\sigma ^{-3}$
$p_{\mathrm {tr} }=0.96\cdot 10^{-9}\,\varepsilon \sigma ^{-3}$

Обратите внимание, что в литературе также сообщалось о других, значительно отличающихся значениях. Следовательно, база данных для тройной точки ГЦК-ГПУ-пар должна быть дополнительно укреплена в будущем.

Смеси веществ Леннарда-Джонса

Смеси частиц Леннарда-Джонса чаще всего используются как прототип для разработки теорий и методов растворов, а также для изучения свойств растворов в целом. Это восходит к фундаментальной работе по теории конформных решений Лонге-Хиггинса. ^{[ 67 ]} и Леланд, Роулинсон и коллеги. ^{[ 68 ]}^{[ 69 ]} Сегодня они являются основой большинства теорий смесей. ^{[ 70 ]}^{[ 71 ]}

Смеси двух или более компонентов Леннарда-Джонса создаются путем изменения хотя бы одного потенциального параметра взаимодействия ( $\varepsilon$ или $\sigma$ ) одного из компонентов относительно другого. Для бинарной смеси это дает три типа парных взаимодействий, которые моделируются потенциалом Леннарда-Джонса: взаимодействия 1-1, 2-2 и 1-2. Для перекрестных взаимодействий 1–2 необходимы дополнительные предположения для задания параметров $\varepsilon _{\mathrm {12} }$ или $\sigma _{\mathrm {12} }$ от $\varepsilon _{\mathrm {11} }$ , $\sigma _{\mathrm {11} }$ и $\varepsilon _{\mathrm {22} }$ , $\sigma _{\mathrm {22} }$ . Для этих так называемых правил комбинирования можно использовать различные варианты (все более или менее эмпирические, а не строго основанные на физических аргументах). ^{[ 72 ]} Наиболее широко используемый ^{[ 72 ]} правило комбинирования — правило Лоренца и Бертло. ^{[ 73 ]}

$\sigma _{12}=\eta _{12}{\frac {\sigma _{11}+\sigma _{22}}{2}}$

$\varepsilon _{12}=\xi _{12}{\sqrt {\varepsilon _{11}\varepsilon _{22}}}$

Параметр $\xi _{12}$ – дополнительный параметр взаимодействия смеси, не зависящий от состояния. Параметр $\eta _{12}$ обычно устанавливается равным единице, поскольку среднее арифметическое значение параметра размера перекрестного взаимодействия можно считать физически правдоподобным. Параметр $\xi _{12}$ с другой стороны, часто используется для корректировки среднего геометрического , чтобы воспроизвести фазовое поведение модельной смеси. Для аналитических моделей, например уравнений состояния , параметр отклонения обычно записывается как $k_{12}=1-\xi _{12}$ . Для $\xi _{12}>1$ , энергия дисперсии перекрестного взаимодействия и, соответственно, сила притяжения между разнородными частицами усиливаются, а силы притяжения между разнородными частицами уменьшаются для $\xi _{12}<1$ .

как жидкие, так и твердофазные равновесия Для смесей Леннарда-Джонса можно изучать , т.е. пар-жидкость , жидкость-жидкость , газ-газ, твердое тело-пар, твердое тело-жидкость и твердое тело. Соответственно, могут существовать различные типы тройных точек (трехфазного равновесия) и критических точек, а также различные эвтектические и азеотропные точки . ^{[ 74 ]}^{[ 71 ]} Бинарные смеси Леннарда-Джонса в жидкой области (различные типы равновесий жидкой и газовой фаз) ^{[ 31 ]}^{[ 75 ]}^{[ 76 ]}^{[ 77 ]}^{[ 78 ]} изучены более полно, чем фазовые равновесия, состоящие из твердых фаз. ^{[ 79 ]}^{[ 80 ]}^{[ 81 ]}^{[ 82 ]}^{[ 83 ]} В литературе исследовано большое количество различных смесей Леннарда-Джонса. На сегодняшний день не существует стандарта для таких случаев. Обычно параметры бинарного взаимодействия и параметры двух компонентов выбираются так, чтобы получить смесь со свойствами, удобными для данной задачи. Тем не менее, это часто затрудняет сравнение.

Что касается поведения жидкой фазы, смеси демонстрируют практически идеальное поведение (в смысле закона Рауля ) при $\xi _{12}=1$ . Для $\xi _{12}>1$ преобладают притягивающие взаимодействия, и смеси имеют тенденцию образовывать высококипящие азеотропы, т.е. для стабилизации парожидкостного равновесия требуется более низкое давление, чем давление паров чистых компонентов. Для $\xi _{12}<1$ преобладают отталкивающие взаимодействия, и смеси имеют тенденцию образовывать низкокипящие азеотропы, т.е. для стабилизации парожидкостного равновесия требуется более высокое давление, чем давление паров чистых компонентов, поскольку средние дисперсионные силы уменьшаются. Особенно низкие значения $\xi _{12}$ кроме того, это приведет к появлению разрывов в смешиваемости жидкость-жидкость. Также в литературе изучались различные типы фазового равновесия, включающие твердые фазы, например, Кэрол и соавт. ^{[ 81 ]}^{[ 83 ]}^{[ 80 ]}^{[ 79 ]} Кроме того, существуют случаи, когда границы твердой фазы нарушают равновесие жидкой фазы. Однако для фазовых равновесий, включающих твердые фазы, количество опубликованных данных невелико.

Уравнения состояния

Большое количество уравнений состояния (EOS) для потенциала/вещества Леннарда-Джонса было предложено с тех пор, как его характеристика и оценка стали доступны благодаря первому компьютерному моделированию. ^{[ 47 ]} Из-за фундаментальной важности потенциала Леннарда-Джонса большинство доступных в настоящее время EOS на молекулярной основе построены на основе жидкости Леннарда-Джонса. Они были всесторонне рассмотрены Stephan et al. ^{[ 11 ]}^{[ 52 ]}

Уравнения состояния жидкости Леннарда-Джонса имеют особое значение в физике мягких материалов и физической химии и используются в качестве отправной точки для разработки EOS для сложных жидкостей, например, полимеров и сопутствующих жидкостей. Мономерные единицы этих моделей обычно напрямую заимствуются из EOS Леннарда-Джонса в качестве строительного блока, например, PHC EOS, ^{[ 84 ]} БЭКОН ЭОС, ^{[ 85 ]}^{[ 86 ]} и SAFT типа EOS. ^{[ 17 ]}^{[ 87 ]}^{[ 88 ]}^{[ 89 ]}

В литературе предложено более 30 ЭОС Леннарда-Джонса. Комплексная оценка ^{[ 11 ]}^{[ 52 ]} таких EOS показало, что несколько EOS ^{[ 90 ]}^{[ 91 ]}^{[ 92 ]}^{[ 93 ]} описывают потенциал Леннарда-Джонса с хорошей и одинаковой точностью, но ни один из них не является выдающимся. Три из этих EOS демонстрируют неприемлемое нефизическое поведение в некоторой жидкой области, например, в множественных петлях Ван-дер-Ваальса, но в остальном они достаточно точны. Только EOS Леннарда-Джонса Колафы и Незбеды ^{[ 91 ]} оказалось надежным и точным для большинства термодинамических свойств жидкости Леннарда-Джонса. ^{[ 52 ]}^{[ 11 ]} Кроме того, EOS Леннарда-Джонса Johnson et al. ^{[ 94 ]} оказалось менее точным практически для всех доступных справочных данных. ^{[ 21 ]}^{[ 11 ]} чем Колафа и Незбеда ЭОС. ^{[ 91 ]}

Потенциал Леннарда-Джонса как строительный блок для силовых полей

Потенциал Леннарда-Джонса широко используется для молекулярного моделирования реальных веществ. По сути, существует два способа использования потенциала Леннарда-Джонса для молекулярного моделирования: (1) Реальный атом или молекула вещества моделируется непосредственно с помощью потенциала Леннарда-Джонса, что дает очень хорошие результаты для благородных газов и метана , т.е. дисперсионно взаимодействующих сферические частицы. В случае метана молекула предполагается сферически симметричной, а атомы водорода слиты с атомом углерода в единое целое. Это упрощение, как правило, можно применить и к более сложным молекулам, но оно обычно дает плохие результаты. (2) Молекула реального вещества построена из множества участков взаимодействия Леннарда-Джонса, которые могут быть соединены либо жесткими связями, либо гибкими дополнительными потенциалами (и в конечном итоге также состоят из других типов потенциалов, например, частичных зарядов). молекулярные модели (часто называемые « силовыми полями ») практически для всех молекулярных и ионных частиц, например для Используя эту схему, можно построить алканы .

При использовании первого изложенного подхода молекулярная модель имеет только два параметра потенциала Леннарда-Джонса. $\varepsilon$ и $\sigma$ которые можно использовать для установки, например $\varepsilon /k_{\mathrm {B} }=120\,\mathrm {K}$ и $\sigma =0.34\,\mathrm {nm}$ можно использовать для аргона . После адаптации параметров модели $ε$ и $σ$ к реальным свойствам вещества потенциал Леннарда-Джонса можно использовать для описания простого вещества (например, благородных газов ) с хорошей точностью. Очевидно, что этот подход является лишь хорошим приближением для сферических и просто дисперсионно взаимодействующих молекул и атомов. Прямое использование потенциала Леннарда-Джонса имеет то большое преимущество, что результаты моделирования и теории потенциала Леннарда-Джонса могут использоваться напрямую. Следовательно, доступные результаты для потенциала и вещества Леннарда-Джонса можно напрямую масштабировать, используя соответствующие $\varepsilon$ и $\sigma$ (см. сокращенные единицы). Потенциальные параметры Леннарда-Джонса $\varepsilon$ и $\sigma$ вообще может быть приспособлено к любому желаемому свойству реального вещества. В физике мягких сред для параметризации обычно используются экспериментальные данные фазового равновесия пар-жидкость или критическая точка; в физике твердого тела скорее используются сжимаемость, теплоемкость или постоянные решетки. ^{[ 63 ]}^{[ 64 ]}

Второй изложенный подход использования потенциала Леннарда-Джонса в качестве строительного блока вытянутых и сложных молекул гораздо более сложен. Таким образом, молекулярные модели индивидуальны в том смысле, что результаты моделирования применимы только для этой конкретной модели. Этот подход к разработке молекулярных силовых полей сегодня в основном применяется в физике мягкой материи и связанных с ней областях, таких как химическая инженерия , химия и вычислительная биология. Большое количество силовых полей основано на потенциале Леннарда-Джонса, например силовое поле TraPPE , ^{[ 95 ]} силовое поле OPLS, ^{[ 96 ]} и силовое поле МолМод ^{[ 97 ]} (обзор молекулярных силовых полей выходит за рамки настоящей статьи). Для современного моделирования твердотельных материалов используются более сложные многочастичные потенциалы (например, потенциалы EAM). ^{[ 98 ]}) используются.

Потенциал Леннарда-Джонса дает хорошее приближение межмолекулярных взаимодействий для многих приложений: макроскопические свойства, рассчитанные с использованием потенциала Леннарда-Джонса, хорошо согласуются с экспериментальными данными для простых веществ, таких как аргон, с одной стороны, и потенциальной функцией $V_{\mathrm {LJ} }(r)$ находится в справедливом согласии с результатами квантовой химии , с другой стороны. Потенциал Леннарда-Джонса хорошо описывает молекулярные взаимодействия в жидких фазах, тогда как молекулярные взаимодействия в твердых фазах описаны лишь приблизительно. Главным образом это связано с тем, что многочастичные взаимодействия играют существенную роль в твердых фазах, которые не входят в потенциал Леннарда-Джонса. Поэтому потенциал Леннарда-Джонса широко используется в физике мягкого вещества он используется реже и связанных с ней областях, тогда как в физике твердого тела . Благодаря своей простоте потенциал Леннарда-Джонса часто используется для описания свойств газов и простых жидкостей, а также для моделирования дисперсионных и отталкивающих взаимодействий в молекулярных моделях . Он особенно точен для атомов благородных газов и метана . Кроме того, это хорошее приближение для молекулярных взаимодействий на больших и коротких расстояниях для нейтральных атомов и молекул. Поэтому потенциал Леннарда-Джонса очень часто используется в качестве строительного блока. молекулярные модели сложных молекул, например, алканов или воды . ^{[ 95 ]}^{[ 99 ]}^{[ 97 ]} Потенциал Леннарда-Джонса также можно использовать для моделирования адсорбционных взаимодействий на границах раздела твердое тело и жидкость, то есть физической адсорбции или хемосорбции .

Общепризнано, что основные ограничения потенциала Леннарда-Джонса заключаются в том, что потенциал является парным потенциалом (не охватывает взаимодействия многих тел) и что $1/r^{12}$ Показатель степени используется для отталкивания. Результаты квантовой химии показывают, что необходимо использовать показатель степени выше 12, то есть более крутой потенциал. Более того, потенциал Леннарда-Джонса имеет ограниченную гибкость, т.е. только два параметра модели $\varepsilon$ и $\sigma$ может быть использован для описания реального вещества.

См. также

Ссылки

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Фишер, Иоганн; Вендланд, Мартин (01 октября 2023 г.). «К истории ключевых эмпирических межмолекулярных потенциалов» . Жидкостно-фазовые равновесия . 573 : 113876. Бибкод : 2023FlPEq.57313876F . дои : 10.1016/j.fluid.2023.113876 . ISSN 0378-3812 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Ленхард, Йоханнес; Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (16 мая 2024 г.). «К истории потенциала Леннарда-Джонса» . Аннален дер Физик . 536 (6). дои : 10.1002/andp.202400115 . ISSN 0003-3804 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Швердтфегер, Питер; Уэльс, Дэвид Дж. (26 апреля 2024 г.). «100 лет потенциала Леннарда-Джонса» . Журнал химической теории и вычислений . 20 (9): 3379–3405. doi : 10.1021/acs.jctc.4c00135 . ISSN 1549-9618 . ПМИД 38669689 .
^ Стоун, Эй Джей (2016). Теория межмолекулярных сил (второе издание в мягкой обложке). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-878915-4 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Леннард-Джонс, JE (1 сентября 1931 г.). «Сплоченность» . Труды Физического общества . 43 (5): 461–482. Бибкод : 1931PPS....43..461L . дои : 10.1088/0959-5309/43/5/301 . ISSN 0959-5309 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Джонс, Дж. Э. (1924). «Об определении молекулярных полей. — I. По изменению вязкости газа с температурой» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического и физического характера . 106 (738): 441–462. Бибкод : 1924RSPSA.106..441J . дои : 10.1098/rspa.1924.0081 . ISSN 0950-1207 .
^ Ван, Сипэн; Рамирес-Хинестроса, Симон; Добникар, Юре; Френкель, Даан (2020). «Потенциал Леннарда-Джонса: когда (не) его использовать» . Физическая химия Химическая физика . 22 (19): 10624–10633. arXiv : 1910.05746 . Бибкод : 2020PCCP...2210624W . дои : 10.1039/C9CP05445F . ISSN 1463-9076 . ПМИД 31681941 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Ми, Густав (1903). «К кинетической теории одноатомных тел» . Анналы физики (на немецком языке). 316 (8): 657–697. Бибкод : 1903АнП...316..657М . дои : 10.1002/andp.19033160802 .
^ Тан, КТ; Тоеннис, Дж. Питер (15 апреля 1984 г.). «Улучшенная простая модель потенциала Ван-дер-Ваальса, основанная на универсальных функциях затухания коэффициентов дисперсии» . Журнал химической физики . 80 (8): 3726–3741. Бибкод : 1984ЖЧФ..80.3726Т . дои : 10.1063/1.447150 . ISSN 0021-9606 .
^ Лафит, Томас; Апостолаку, Анастасия; Авенданьо, Карлос; Галиндо, Ампаро; Аджиман, Клэр С.; Мюллер, Эрих А.; Джексон, Джордж (21 октября 2013 г.). «Точная статистическая теория связывания жидкости для цепных молекул, образованных из сегментов Ми» . Журнал химической физики . 139 (15). Бибкод : 2013JChPh.139o4504L . дои : 10.1063/1.4819786 . hdl : 10044/1/12859 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 24160524 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Стефан, Саймон; Штаубах, Йенс; Хассе, Ганс (2020). «Обзор и сравнение уравнений состояния жидкости Леннарда-Джонса» . Жидкостно-фазовые равновесия . 523 : 112772. Бибкод : 2020FlPEq.52312772S . doi : 10.1016/j.fluid.2020.112772 . S2CID 224844789 .
^ Джонс, Дж. Э. (1924). «К определению молекулярных полей. — II. Из уравнения состояния газа» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического и физического характера . 106 (738): 463–477. Бибкод : 1924RSPSA.106..463J . дои : 10.1098/rspa.1924.0082 . ISSN 0950-1207 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Ленхард, Йоханнес; Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (февраль 2024 г.). «Дитя предсказания. Об истории, онтологии и вычислениях Леннарда-Джонезиума» . Исследования по истории и философии науки . 103 : 105–113. дои : 10.1016/j.shpsa.2023.11.007 . ПМИД 38128443 . S2CID 266440296 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Аллен, Майкл П.; Тилдесли, Доминик Дж. (23 ноября 2017 г.). «Компьютерное моделирование жидкостей». Оксфордская стипендия онлайн . дои : 10.1093/oso/9780198803195.001.0001 . ISBN 9780198803195 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Округ Колумбия Рапапорт (1 апреля 2004 г.). Искусство молекулярно-динамического моделирования . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-82568-9 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Френкель, Д.; Смит, Б. (2002), Понимание молекулярного моделирования (второе изд.), Сан-Диего: Academic Press, ISBN 0-12-267351-4
^ Перейти обратно: ^а ^б Лафит, Томас; Апостолаку, Анастасия; Авенданьо, Карлос; Галиндо, Ампаро; Аджиман, Клэр С.; Мюллер, Эрих А.; Джексон, Джордж (16 октября 2013 г.). «Точная статистическая теория связывания жидкости для цепных молекул, образованных из сегментов Ми» . Журнал химической физики . 139 (15): 154504. Бибкод : 2013JChPh.139o4504L . дои : 10.1063/1.4819786 . hdl : 10044/1/12859 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 24160524 .
^ Грюнайзен, Эдвард (1911). «Связь теплового расширения с теплоемкостью твердых элементов» . Журнал электрохимии и прикладной физической химии . 17 (17): 737–739. дои : 10.1002/bbpc.191100004 . S2CID 178760389 .
^ Грюнайзен, Э. (1912). «Теория твердого тела одноатомных элементов» . Анналы физики (на немецком языке). 344 (12): 257–306. Бибкод : 1912АнП...344..257Г . дои : 10.1002/andp.19123441202 .
^ Стокмайер, WH (1 мая 1941 г.). «Вторые вириальные коэффициенты полярных газов» . Журнал химической физики . 9 (5): 398–402. Бибкод : 1941ЖЧФ...9..398С . дои : 10.1063/1.1750922 . ISSN 0021-9606 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т Стефан, Саймон; Тол, Моника; Врабец, Ядран; Хассе, Ганс (28 октября 2019 г.). «Теплофизические свойства жидкости Леннарда-Джонса: база данных и оценка данных» . Журнал химической информации и моделирования . 59 (10): 4248–4265. doi : 10.1021/acs.jcim.9b00620 . ISSN 1549-9596 . ПМИД 31609113 . S2CID 204545481 .
^ Врабец, Ядран; Кедия, Гаурав Кумар; Фукс, Гвидо; Хассе, Ганс (10 мая 2006 г.). «Комплексное исследование сосуществования пара и жидкости в усеченной и смещенной жидкости Леннарда – Джонса, включая свойства плоской и сферической границы раздела» . Молекулярная физика . 104 (9): 1509–1527. Бибкод : 2006МолФ.104.1509В . дои : 10.1080/00268970600556774 . ISSN 0026-8976 . S2CID 96606562 .
^ Хейер, Микаэла; Стефан, Саймон; Лю, Цзиньлу; Чепмен, Уолтер Г.; Хассе, Ганс; Лангенбах, Кай (18 августа 2018 г.). «Уравнение состояния усеченной и сдвинутой жидкости Леннарда-Джонса с радиусом обрезания 2,5 σ на основе теории возмущений и ее приложений к межфазной термодинамике» . Молекулярная физика . 116 (15–16): 2083–2094. Бибкод : 2018МолФ.116.2083H . дои : 10.1080/00268976.2018.1447153 . ISSN 0026-8976 . S2CID 102956189 .
^ Шауль, Кэтрин Р.С.; Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (2010). «Влияние усечения и сдвига на вириальные коэффициенты потенциалов Леннарда – Джонса» . Сборник Чехословацких химических сообщений . 75 (4): 447–462. дои : 10.1135/cccc2009113 . ISSN 1212-6950 .
^ Ши, Вэй; Джонсон, Дж. Карл (2001). «Перевзвешивание гистограммы и исследование масштабирования конечных размеров жидкостей Леннарда – Джонса». Жидкостно-фазовые равновесия . 187–188: 171–191. Бибкод : 2001FlPEq.187..171S . дои : 10.1016/S0378-3812(01)00534-9 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дуников, Д.О.; Малышенко, ИП; Жаховский, В.В. (08.10.2001). «Закон соответствующих состояний и моделирование молекулярной динамики жидкости Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 115 (14): 6623–6631. Бибкод : 2001JChPh.115.6623D . дои : 10.1063/1.1396674 . ISSN 0021-9606 .
^ Ливия Б. Партай, Кристоф Ортнер, Альберт П. Барток, Крис Дж. Пикард и Габор Чаньи «Политипизм в структуре основного состояния Леннарда-Ионезия», Physical Chemistry Chemical Physics 19 19369 (2017)
^ Чипев, Никола; Секлер, Штеффен; Хайнен, Матиас; Врабец, Ядран; Гратл, Фабио; Хорш, Мартин; Бернройтер, Мартин; Гласс, Колин В.; Нитхаммер, Кристоф; Хаммер, Николай; Кришок, Бернд (2019). «TweTriS: Моделирование двадцати триллионов атомов» . Международный журнал приложений для высокопроизводительных вычислений . 33 (5): 838–854. дои : 10.1177/1094342018819741 . ISSN 1094-3420 . S2CID 59345875 .
^ Стефан, Саймон; Лю, Цзиньлу; Лангенбах, Кай; Чепмен, Уолтер Г.; Хассе, Ганс (2018). «Граница раздела пар-жидкость усеченной и смещенной жидкости Леннарда-Джонса: сравнение молекулярного моделирования, теории градиента плотности и теории функционала плотности» . Журнал физической химии C. 122 (43): 24705–24715. дои : 10.1021/acs.jpcc.8b06332 . ISSN 1932-7447 . S2CID 105759822 .
^ Коб, Уолтер; Андерсен, Ханс К. (1 мая 1995 г.). «Тестирование теории связи мод для переохлажденной бинарной смеси Леннарда-Джонса I: корреляционная функция Ван Хова» . Физический обзор E . 51 (5): 4626–4641. arXiv : cond-mat/9501102 . Бибкод : 1995PhRvE..51.4626K . дои : 10.1103/PhysRevE.51.4626 . ПМИД 9963176 . S2CID 17662741 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (01.06.2020). «Влияние дисперсионных дальнодействующих взаимодействий на свойства парожидкостных равновесий и границ раздела бинарных смесей Леннарда-Джонса» . Молекулярная физика . 118 (9–10): e1699185. Бибкод : 2020МолФ.11899185С . дои : 10.1080/00268976.2019.1699185 . ISSN 0026-8976 . S2CID 214174102 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Смит, Б. (1992), «Фазовые диаграммы жидкостей Леннарда-Джонса» (PDF) , Journal of Chemical Physics , 96 (11): 8639–8640, Бибкод : 1992JChPh..96.8639S , doi : 10.1063/1.462271
^ Смит, Б.; Френкель, Д. (15 апреля 1991 г.). «Парожидкостное равновесие в двумерной жидкости Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 94 (8): 5663–5668. Бибкод : 1991ЖЧФ..94.5663С . дои : 10.1063/1.460477 . ISSN 0021-9606 . S2CID 1580499 .
^ Скализе, Освальдо Х (июнь 2001 г.). «Газ-жидкостное равновесие типа I двумерной бинарной смеси Леннарда – Джонса» . Жидкостно-фазовые равновесия . 182 (1–2): 59–64. Бибкод : 2001FlPEq.182...59S . дои : 10.1016/s0378-3812(01)00380-6 . ISSN 0378-3812 .
^ Глуча, М.; Сэндлер, С.И. (ноябрь 1999 г.). «Фазовая диаграмма четырехмерной жидкости Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 111 (17): 8043–8047. Бибкод : 1999JChPh.111.8043H . дои : 10.1063/1.480138 . ISSN 0021-9606 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Хилл, Террелл Л. (1956). Статистическая механика: принципы и избранные приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-65390-0 . OCLC 15163657 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Вуд, WW; Паркер, Франция (1957). «Уравнение Монте-Карло состояния молекул, взаимодействующих с потенциалом Леннарда-Джонса. I. Сверхкритическая изотерма при температуре примерно в два раза выше критической» . Журнал химической физики . 27 (3): 720–733. Бибкод : 1957JChPh..27..720W . дои : 10.1063/1.1743822 . ISSN 0021-9606 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Розенблут, Маршалл Н.; Розенблут, Арианна В. (1954). «Дальнейшие результаты по уравнениям состояния Монте-Карло» . Журнал химической физики . 22 (5): 881–884. Бибкод : 1954ЖЧФ..22..881Р . дои : 10.1063/1.1740207 . ISSN 0021-9606 .
^ Олдер, Би Джей; Уэйнрайт, TE (1959). «Исследования по молекулярной динамике. I. Общий метод» . Журнал химической физики . 31 (2): 459–466. Бибкод : 1959ЖЧФ..31..459А . дои : 10.1063/1.1730376 . ISSN 0021-9606 .
^ Рахман, А. (19 октября 1964 г.). «Корреляции в движении атомов в жидком аргоне» . Физический обзор . 136 (2А): А405–А411. Бибкод : 1964PhRv..136..405R . дои : 10.1103/PhysRev.136.A405 . ISSN 0031-899X .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (28 ноября 2018 г.). «Комплексное высокоточное уравнение состояния и свойств сосуществования классических кристаллов Леннарда-Джонса и низкотемпературных жидких фаз» . Журнал химической физики . 149 (20): 204508. Бибкод : 2018JChPh.149t4508S . дои : 10.1063/1.5053714 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 30501268 . S2CID 54629914 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (07 августа 2020 г.). «Ошибка: «Комплексное высокоточное уравнение состояния и свойств сосуществования для классических кристаллов Леннарда-Джонса и низкотемпературных жидких фаз» [J. Chem. Phys. 149, 204508 (2018)]» . Журнал химической физики . 153 (5): 059901. дои : 10.1063/5.0021283 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 32770918 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Шаппалс, Майкл; Мекленфельд, Андреас; Крегер, Лейф; Боцан, Виталий; Кестер, Андреас; Стефан, Саймон; Гарсиа, Эддер Дж.; Руткай, Габор; Раабе, Габриэле; Кляйн, Питер; Леонхард, Кай (12 сентября 2017 г.). «Круговое исследование: молекулярное моделирование термодинамических свойств на основе моделей с внутренними степенями свободы» . Журнал химической теории и вычислений . 13 (9): 4270–4280. дои : 10.1021/acs.jctc.7b00489 . ISSN 1549-9618 . ПМИД 28738147 .
^ Леффлер, Ханнес Х.; Бозисио, Стефано; Дуарте Рамос Матос, Гильерме; Су, Донхёк; Ру, Бенуа; Мобли, Дэвид Л.; Мишель, Жюльен (13 ноября 2018 г.). «Воспроизводимость расчетов свободной энергии в различных пакетах программного обеспечения для молекулярного моделирования» . Журнал химической теории и вычислений . 14 (11): 5567–5582. дои : 10.1021/acs.jctc.8b00544 . hdl : 20.500.11820/52d85d71-d3df-468b-8f88-9c52e83da1f1 . ISSN 1549-9618 . ПМИД 30289712 . S2CID 52923832 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Ленхард, Йоханнес; Кюстер, Уве (2019). «Воспроизводимость и концепция численного решения» . Разум и машины . 29 (1): 19–36. дои : 10.1007/s11023-019-09492-9 . ISSN 0924-6495 . S2CID 59159685 .
^ Ши, Вэй; Джонсон, Дж. Карл (15 сентября 2001 г.). «Перевзвешивание гистограммы и исследование масштабирования конечных размеров жидкостей Леннарда – Джонса» . Жидкостно-фазовые равновесия . 187–188: 171–191. Бибкод : 2001FlPEq.187..171S . дои : 10.1016/S0378-3812(01)00534-9 . ISSN 0378-3812 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Метрополис, Николай; Розенблут, Арианна В.; Розенблут, Маршалл Н.; Теллер, Огаста Х.; Теллер, Эдвард (1953). «Уравнение расчета состояний на быстрых вычислительных машинах» . Журнал химической физики . 21 (6): 1087–1092. Бибкод : 1953ЖЧФ..21.1087М . дои : 10.1063/1.1699114 . ISSN 0021-9606 . ОСТИ 4390578 . S2CID 1046577 .
^ Дэниел Сидериус (01 сентября 2017 г.). Веб-сайт стандартного справочного моделирования NIST — SRD 173 . Национальный институт стандартов и технологий. дои : 10.18434/T4M88Q .
^ «Модифицированное энтропийное масштабирование транспортных свойств жидкости Леннарда-Джонса» . dx.doi.org . doi : 10.1021/acs.jpcb.9b05808.s001 . Проверено 20 мая 2024 г.
^ Лаутеншлегер, Мартин П.; Хассе, Ганс (29 апреля 2021 г.). «Транспортные свойства усеченной и смещенной жидкости Леннарда-Джонса на основе неравновесного молекулярно-динамического моделирования» . dx.doi.org . дои : 10.31219/osf.io/67w4u . Проверено 20 мая 2024 г.
^ Перейти обратно: ^а ^б Кестер, Андреас; Маусбах, Питер; Врабец, Ядран (10 октября 2017 г.). «Предплавление, равновесие твердого тела и жидкости и термодинамические свойства в области высокой плотности на основе потенциала Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 147 (14): 144502. Бибкод : 2017JChPh.147n4502K . дои : 10.1063/1.4990667 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 29031254 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Стефан, Саймон; Дейтерс, Ульрих К. (20 августа 2020 г.). «Характеристические кривые жидкости Леннарда-Джонса» . Международный журнал теплофизики . 41 (10): 147. Бибкод : 2020IJT....41..147S . дои : 10.1007/s10765-020-02721-9 . ISSN 1572-9567 . ПМК 7441092 . ПМИД 32863513 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Дейтерс, Ульрих К.; Ноймайер, Арнольд (11 августа 2016 г.). «Компьютерное моделирование характеристических кривых чистых жидкостей» . Журнал химических и инженерных данных . 61 (8): 2720–2728. doi : 10.1021/acs.jced.6b00133 . ISSN 0021-9568 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Агравал, Рупал; Кофке, Дэвид А. (1995). «Термодинамические и структурные свойства модельных систем при сосуществовании твердого тела и жидкости: II. Плавление и сублимация системы Леннарда-Джонса» . Молекулярная физика . 85 (1): 43–59. дои : 10.1080/00268979500100921 . ISSN 0026-8976 .
^ Браун, Э.Х. (1960). «О термодинамических свойствах жидкостей». Бюллетень Международного института холода . Приложение 1960-1: 169–178.
^ Апфельбаум, Э.М.; Воробьев В.С. (18.06.2020). «Линия единичного коэффициента сжимаемости (Зено-линия) для кристаллических состояний» . Журнал физической химии Б. 124 (24): 5021–5027. doi : 10.1021/acs.jpcb.0c02749 . ISSN 1520-6106 . ПМИД 32437611 . S2CID 218835048 .
^ Апфельбаум, Э.М.; Воробьев В.С.; Мартынов Г.А. (2008). «К теории линии Зенона» . Журнал физической химии А. 112 (26): 6042–6044. Бибкод : 2008JPCA..112.6042A . дои : 10.1021/jp802999z . ISSN 1089-5639 . ПМИД 18543889 .
^ Николас, Джей-Джей; Габбинс, Кентукки; Стритт, ВБ; Тилдесли, диджей (1979). «Уравнение состояния жидкости Леннарда-Джонса» . Молекулярная физика . 37 (5): 1429–1454. Бибкод : 1979МолФ..37.1429Н . дои : 10.1080/00268977900101051 . ISSN 0026-8976 .
^ Фэн, Чао; Шульц, Эндрю Дж.; Чаудхари, Випин; Кофке, Дэвид А. (28 июля 2015 г.). «Вириальные коэффициенты с восьмого по шестнадцатый модели Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 143 (4): 044504. Бибкод : 2015JChPh.143d4504F . дои : 10.1063/1.4927339 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 26233142 .
^ Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (10 ноября 2009 г.). «Шестой, седьмой и восьмой вириальные коэффициенты модели Леннарда-Джонса» . Молекулярная физика . 107 (21): 2309–2318. Бибкод : 2009МолФ.107.2309С . дои : 10.1080/00268970903267053 . ISSN 0026-8976 . S2CID 94811614 .
^ Белл, Ян Х.; Мессерли, Ричард; Тол, Моника; Костильола, Лоренцо; Дайр, Йеппе К. (25 июля 2019 г.). «Модифицированное энтропийное масштабирование транспортных свойств жидкости Леннарда-Джонса» . Журнал физической химии Б. 123 (29): 6345–6363. doi : 10.1021/acs.jpcb.9b05808 . ISSN 1520-6106 . ПМК 7147083 . ПМИД 31241958 .
^ Лаутеншлегер, Мартин П.; Хассе, Ганс (2019). «Транспортные свойства усеченной и смещенной жидкости Леннарда-Джонса на основе неравновесного молекулярно-динамического моделирования» . Жидкостно-фазовые равновесия . 482 : 38–47. Бибкод : 2019FlPEq.482...38L . дои : 10.1016/j.fluid.2018.10.019 . S2CID 106113718 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Чжэнь, Шу; Дэвис, Дж.Дж. (16 августа 1983 г.). «Расчет параметров потенциальной энергии Леннарда-Джонсона-м для металлов» . Physica Status Solidi A (на немецком языке). 78 (2): 595–605. Бибкод : 1983PSSAR..78..595Z . дои : 10.1002/pssa.2210780226 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Халичоглу, Т.; Паунд, генеральный менеджер (16 августа 1975 г.). «Расчет параметров потенциальной энергии формы свойств кристаллического состояния» . Физический статус Солиди А. 30 (2): 619–623. Бибкод : 1975PSSAR..30..619H . дои : 10.1002/pssa.2210300223 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Травессет, Алекс (28 октября 2014 г.). «Фазовая диаграмма степенного закона и системы Леннарда-Джонса: кристаллические фазы» . Журнал химической физики . 141 (16): 164501. Бибкод : 2014JChPh.141p4501T . дои : 10.1063/1.4898371 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 25362319 .
^ Хансен, Жан-Пьер; Верле, Лу (5 августа 1969 г.). «Фазовые переходы системы Леннарда-Джонса» . Физический обзор . 184 (1): 151–161. Бибкод : 1969PhRv..184..151H . дои : 10.1103/PhysRev.184.151 . ISSN 0031-899X .
^ Лонге-Хиггинс, ХК (7 февраля 1951 г.). «Статистическая термодинамика многокомпонентных систем» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 205 (1081): 247–269. Бибкод : 1951RSPSA.205..247L . дои : 10.1098/rspa.1951.0028 . ISSN 0080-4630 . S2CID 202575459 .
^ Лиланд, ТВ; Роулинсон, Дж.С.; Сатер, Джорджия (1968). «Статистическая термодинамика смесей молекул разного размера» . Труды Фарадеевского общества . 64 : 1447. дои : 10.1039/tf9686401447 . ISSN 0014-7672 .
^ Мансури, Г. Али; Лиланд, Томас В. (1972). «Статистическая термодинамика смесей. Новая версия теории конформных решений» . Журнал Химического общества, Faraday Transactions 2 . 68 : 320. дои : 10.1039/f29726800320 . ISSN 0300-9238 .
^ Роулинсон, Дж.С.; Суинтон, Флорида (1982). Жидкости и жидкие смеси (Третье изд.). Лондон: Баттерворт.
^ Перейти обратно: ^а ^б Дейтерс, Ульрих К.; Краска, Томас (2012). Фазовые равновесия жидкости высокого давления: феноменология и расчеты (1-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-444-56354-5 . OCLC 787847134 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Шнабель, Торстен; Врабец, Ядран; Хассе, Ганс (2007). «В отличие от параметров Леннарда – Джонса для равновесия пар-жидкость». Журнал молекулярных жидкостей . 135 (1–3): 170–178. arXiv : 0904.4436 . дои : 10.1016/j.molliq.2006.12.024 . S2CID 16111477 .
^ Лоренц, Х.А. (1881). «О применении теоремы вириала в кинетической теории газов» . Анналы физики (на немецком языке). 248 (1): 127–136. Бибкод : 1881АнП...248..127Л . дои : 10.1002/andp.18812480110 .
^ ван Кониненбург, PH; Скотт, РЛ (18 декабря 1980 г.). «Критические линии и фазовые равновесия в бинарных смесях Ван-дер-Ваальса» . Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 298 (1442): 495–540. Бибкод : 1980RSPTA.298..495K . дои : 10.1098/rsta.1980.0266 . ISSN 0080-4614 . S2CID 122538015 .
^ Потофф, Джеффри Дж.; Панагиотопулос, Атанассиос З. (22 декабря 1998 г.). «Критическая точка и фазовое поведение чистой жидкости и смеси Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 109 (24): 10914–10920. Бибкод : 1998JChPh.10910914P . дои : 10.1063/1.477787 . ISSN 0021-9606 .
^ Проценко Сергей П.; Байдаков, Владимир Георгиевич (2016). «Бинарные смеси Леннарда-Джонса с сильно асимметричными взаимодействиями компонентов. 1. Влияние энергетических параметров на фазовые равновесия и свойства границ раздела жидкость-газ». Жидкостно-фазовые равновесия . 429 : 242–253. Бибкод : 2016FlPEq.429..242P . дои : 10.1016/j.fluid.2016.09.009 .
^ Проценко Сергей П.; Байдаков Владимир Георгиевич; Брюханов, Василий М. (2016). «Бинарные смеси Леннарда-Джонса с сильно асимметричными взаимодействиями компонентов. 2. Влияние размера частиц на фазовые равновесия и свойства границ раздела жидкость-газ». Жидкостно-фазовые равновесия . 430 : 67–74. Бибкод : 2016FlPEq.430...67P . дои : 10.1016/j.fluid.2016.09.022 .
^ Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (23 января 2020 г.). «Молекулярные взаимодействия на границе раздела пар-жидкость: бинарные смеси простых жидкостей» . Физический обзор E . 101 (1): 012802. Бибкод : 2020PhRvE.101a2802S . дои : 10.1103/PhysRevE.101.012802 . ISSN 2470-0045 . ПМИД 32069593 . S2CID 211192904 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Ламм, Моника Х.; Холл, Кэрол К. (2002). «Равновесие между твердой, жидкой и паровой фазами в бинарных смесях Леннарда – Джонса». Жидкостно-фазовые равновесия . 194–197: 197–206. Бибкод : 2002FlPEq.194..197L . дои : 10.1016/S0378-3812(01)00650-1 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Ламм, Моника Х.; Холл, Кэрол К. (2001). «Моделирование методом Монте-Карло полных фазовых диаграмм для бинарных смесей Леннарда – Джонса». Жидкостно-фазовые равновесия . 182 (1–2): 37–46. Бибкод : 2001FlPEq.182...37L . дои : 10.1016/S0378-3812(01)00378-8 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Хичкок, Моника Р.; Холл, Кэрол К. (15 июня 1999 г.). «Фазовое равновесие твердого тела и жидкости для бинарных смесей Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 110 (23): 11433–11444. Бибкод : 1999JChPh.11011433H . дои : 10.1063/1.479084 . ISSN 0021-9606 .
^ Юнгблут, Светлана; Деллаго, Кристоф (14 марта 2011 г.). «Кристаллизация бинарной смеси Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 134 (10): 104501. Бибкод : 2011JChPh.134j4501J . дои : 10.1063/1.3556664 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 21405169 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Ламм, Моника Х.; Холл, Кэрол К. (2004). «Влияние давления на полное фазовое поведение бинарных смесей» . Журнал Айше . 50 (1): 215–225. Бибкод : 2004АИЧЕ..50..215Л . дои : 10.1002/aic.10020 . ISSN 0001-1541 .
^ Коттерман, РЛ; Праусниц, Дж. М. (1986). «Молекулярная термодинамика жидкостей низкой и высокой плотности. Часть II: Фазовые равновесия для смесей, содержащих компоненты с большими различиями в молекулярном размере или потенциальной энергии» . Журнал Айше . 32 (11): 1799–1812. Бибкод : 1986АИЧЕ..32.1799С . дои : 10.1002/aic.690321105 . ISSN 0001-1541 . S2CID 96417239 .
^ Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен; Фишер, Иоганн (1996). «Баконовое семейство уравнений состояния: 1. Неполярные и полярные чистые жидкости» . Журнал Айше . 42 (4): 1116–1126. Бибкод : 1996АИЧЕ..42.1116М . дои : 10.1002/aic.690420423 . ISSN 0001-1541 .
^ Вайнгерль, Ульрика; Вендланд, Мартин; Фишер, Иоганн; Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен (2001). «Баконовое семейство уравнений состояния: 2. Неполярные и полярные смеси жидкостей» . Журнал Айше . 47 (3): 705–717. Стартовый код : 2001АИЧЕ..47..705W . дои : 10.1002/aic.690470317 .
^ Блас, Ф.Дж.; Вега, Л.Ф. (1997). «Термодинамическое поведение гомоядерных и гетероядерных цепей Леннарда-Джонса с местами ассоциации из моделирования и теории» . Молекулярная физика . 92 (1): 135–150. Бибкод : 1997MolPh..92..135F . дои : 10.1080/002689797170707 . ISSN 0026-8976 .
^ Краска, Томас; Габбинс, Кейт Э. (1996). «Расчеты фазовых равновесий с использованием модифицированного уравнения состояния SAFT. 1. Чистые алканы, алканолы и вода» . Исследования в области промышленной и инженерной химии . 35 (12): 4727–4737. дои : 10.1021/ie9602320 . ISSN 0888-5885 .
^ Гонасги, Д.; Чепмен, Уолтер Г. (1994). «Прогнозирование свойств модельных полимерных растворов и смесей» . Журнал Айше . 40 (5): 878–887. Бибкод : 1994АИЧЕ..40..878Г . дои : 10.1002/aic.690400514 . ISSN 0001-1541 .
^ Мекке, М.; Мюллер, А.; Винкельманн, Дж.; Врабец, Дж.; Фишер Дж.; Спан, Р.; Вагнер, В. (1 марта 1996 г.). «Точное уравнение состояния типа Ван-дер-Ваальса для жидкости Леннарда-Джонса» . Международный журнал теплофизики . 17 (2): 391–404. Бибкод : 1996IJT....17..391M . дои : 10.1007/BF01443399 . ISSN 1572-9567 . S2CID 123304062 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Колафа, Иржи; Незбеда, Иво (1994). «Жидкость Леннарда-Джонса: точное аналитическое и теоретически обоснованное уравнение состояния». Жидкостно-фазовые равновесия . 100 : 1–34. Бибкод : 1994FlPEq.100....1K . дои : 10.1016/0378-3812(94)80001-4 .
^ Тол, Моника; Руткай, Габор; Кестер, Андреас; Люстиг, Рольф; Спан, Роланд; Врабец, Ядран (2016). «Уравнение состояния жидкости Леннарда-Джонса» . Журнал физических и химических справочных данных . 45 (2): 023101. Бибкод : 2016JPCRD..45b3101T . дои : 10.1063/1.4945000 . ISSN 0047-2689 .
^ Готшалк, Матиас (01 декабря 2019 г.). «EOS для жидкости Леннарда-Джонса: подход вириального расширения» . Достижения АИП . 9 (12): 125206. Бибкод : 2019AIPA....9l5206G . дои : 10.1063/1.5119761 . ISSN 2158-3226 .
^ Джонсон, Дж. Карл; Золлвег, Джон А.; Габбинс, Кейт Э. (20 февраля 1993 г.). «Возвращение к уравнению состояния Леннарда-Джонса» . Молекулярная физика . 78 (3): 591–618. Бибкод : 1993MolPh..78..591J . дои : 10.1080/00268979300100411 . ISSN 0026-8976 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Эггиманн, Бекки Л.; Суннарборг, Амара Дж.; Стерн, Хадсон Д.; Блисс, Эндрю П.; Зипманн, Дж. Илья (2 января 2014 г.). «Онлайн-база данных параметров и свойств силового поля TraPPE» . Молекулярное моделирование . 40 (1–3): 101–105. дои : 10.1080/08927022.2013.842994 . ISSN 0892-7022 . S2CID 95716947 .
^ Йоргенсен, Уильям Л.; Максвелл, Дэвид С.; Тирадо-Ривз, Джулиан (январь 1996 г.). «Разработка и испытания полноатомного силового поля OPLS на конформационную энергетику и свойства органических жидкостей» . Журнал Американского химического общества . 118 (45): 11225–11236. дои : 10.1021/ja9621760 . ISSN 0002-7863 .
^ Перейти обратно: ^а ^б Стефан, Саймон; Хорш, Мартин Т.; Врабец, Ядран; Хассе, Ганс (3 июля 2019 г.). «MolMod – база данных силовых полей с открытым доступом для молекулярного моделирования жидкостей» . Молекулярное моделирование . 45 (10): 806–814. arXiv : 1904.05206 . дои : 10.1080/08927022.2019.1601191 . ISSN 0892-7022 . S2CID 119199372 .
^ Менделев М.И.; Хан, С.; Сроловиц, диджей; Экланд, Дж.Дж.; Вс, ДЯ; Аста, М. (2003). «Разработка новых межатомных потенциалов, подходящих для кристаллического и жидкого железа» . Философский журнал . 83 (35): 3977–3994. Бибкод : 2003PMag...83.3977A . дои : 10.1080/14786430310001613264 . ISSN 1478-6435 . S2CID 4119718 .
^ Абаскаль, JLF; Вега, К. (15 декабря 2005 г.). «Общая модель конденсированных фаз воды: TIP4P/2005» . Журнал химической физики . 123 (23): 234505. Бибкод : 2005JChPh.123w4505A . дои : 10.1063/1.2121687 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 16392929 .

Внешние ссылки

Модель Леннарда-Джонса на SklogWiki .

[FischerWendland-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д Фишер, Иоганн; Вендланд, Мартин (01 октября 2023 г.). «К истории ключевых эмпирических межмолекулярных потенциалов» . Жидкостно-фазовые равновесия . 573 : 113876. Бибкод : 2023FlPEq.57313876F . дои : 10.1016/j.fluid.2023.113876 . ISSN 0378-3812 .

[:17-2] Перейти обратно: ^а ^б ^с Ленхард, Йоханнес; Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (16 мая 2024 г.). «К истории потенциала Леннарда-Джонса» . Аннален дер Физик . 536 (6). дои : 10.1002/andp.202400115 . ISSN 0003-3804 .

[SchwerdtfegerWales-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Швердтфегер, Питер; Уэльс, Дэвид Дж. (26 апреля 2024 г.). «100 лет потенциала Леннарда-Джонса» . Журнал химической теории и вычислений . 20 (9): 3379–3405. doi : 10.1021/acs.jctc.4c00135 . ISSN 1549-9618 . ПМИД 38669689 .

[4] Стоун, Эй Джей (2016). Теория межмолекулярных сил (второе издание в мягкой обложке). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-878915-4 .

[LJ_1931-5] Перейти обратно: ^а ^б Леннард-Джонс, JE (1 сентября 1931 г.). «Сплоченность» . Труды Физического общества . 43 (5): 461–482. Бибкод : 1931PPS....43..461L . дои : 10.1088/0959-5309/43/5/301 . ISSN 0959-5309 .

[:32-6] Перейти обратно: ^а ^б Джонс, Дж. Э. (1924). «Об определении молекулярных полей. — I. По изменению вязкости газа с температурой» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического и физического характера . 106 (738): 441–462. Бибкод : 1924RSPSA.106..441J . дои : 10.1098/rspa.1924.0081 . ISSN 0950-1207 .

[WhenToUse-7] Ван, Сипэн; Рамирес-Хинестроса, Симон; Добникар, Юре; Френкель, Даан (2020). «Потенциал Леннарда-Джонса: когда (не) его использовать» . Физическая химия Химическая физика . 22 (19): 10624–10633. arXiv : 1910.05746 . Бибкод : 2020PCCP...2210624W . дои : 10.1039/C9CP05445F . ISSN 1463-9076 . ПМИД 31681941 .

[:30-8] Перейти обратно: ^а ^б Ми, Густав (1903). «К кинетической теории одноатомных тел» . Анналы физики (на немецком языке). 316 (8): 657–697. Бибкод : 1903АнП...316..657М . дои : 10.1002/andp.19033160802 .

[9] Тан, КТ; Тоеннис, Дж. Питер (15 апреля 1984 г.). «Улучшенная простая модель потенциала Ван-дер-Ваальса, основанная на универсальных функциях затухания коэффициентов дисперсии» . Журнал химической физики . 80 (8): 3726–3741. Бибкод : 1984ЖЧФ..80.3726Т . дои : 10.1063/1.447150 . ISSN 0021-9606 .

[10] Лафит, Томас; Апостолаку, Анастасия; Авенданьо, Карлос; Галиндо, Ампаро; Аджиман, Клэр С.; Мюллер, Эрих А.; Джексон, Джордж (21 октября 2013 г.). «Точная статистическая теория связывания жидкости для цепных молекул, образованных из сегментов Ми» . Журнал химической физики . 139 (15). Бибкод : 2013JChPh.139o4504L . дои : 10.1063/1.4819786 . hdl : 10044/1/12859 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 24160524 .

[:2-11] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Стефан, Саймон; Штаубах, Йенс; Хассе, Ганс (2020). «Обзор и сравнение уравнений состояния жидкости Леннарда-Джонса» . Жидкостно-фазовые равновесия . 523 : 112772. Бибкод : 2020FlPEq.52312772S . doi : 10.1016/j.fluid.2020.112772 . S2CID 224844789 .

[12] Джонс, Дж. Э. (1924). «К определению молекулярных полей. — II. Из уравнения состояния газа» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А, содержащая статьи математического и физического характера . 106 (738): 463–477. Бибкод : 1924RSPSA.106..463J . дои : 10.1098/rspa.1924.0082 . ISSN 0950-1207 .

[Lennard-Jonesium-13] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж Ленхард, Йоханнес; Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (февраль 2024 г.). «Дитя предсказания. Об истории, онтологии и вычислениях Леннарда-Джонезиума» . Исследования по истории и философии науки . 103 : 105–113. дои : 10.1016/j.shpsa.2023.11.007 . ПМИД 38128443 . S2CID 266440296 .

[:28-14] Перейти обратно: ^а ^б ^с Аллен, Майкл П.; Тилдесли, Доминик Дж. (23 ноября 2017 г.). «Компьютерное моделирование жидкостей». Оксфордская стипендия онлайн . дои : 10.1093/oso/9780198803195.001.0001 . ISBN 9780198803195 .

[Rapaport2004-15] Перейти обратно: ^а ^б ^с Округ Колумбия Рапапорт (1 апреля 2004 г.). Искусство молекулярно-динамического моделирования . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-82568-9 .

[:0-16] Перейти обратно: ^а ^б Френкель, Д.; Смит, Б. (2002), Понимание молекулярного моделирования (второе изд.), Сан-Диего: Academic Press, ISBN 0-12-267351-4

[:31-17] Перейти обратно: ^а ^б Лафит, Томас; Апостолаку, Анастасия; Авенданьо, Карлос; Галиндо, Ампаро; Аджиман, Клэр С.; Мюллер, Эрих А.; Джексон, Джордж (16 октября 2013 г.). «Точная статистическая теория связывания жидкости для цепных молекул, образованных из сегментов Ми» . Журнал химической физики . 139 (15): 154504. Бибкод : 2013JChPh.139o4504L . дои : 10.1063/1.4819786 . hdl : 10044/1/12859 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 24160524 .

[18] Грюнайзен, Эдвард (1911). «Связь теплового расширения с теплоемкостью твердых элементов» . Журнал электрохимии и прикладной физической химии . 17 (17): 737–739. дои : 10.1002/bbpc.191100004 . S2CID 178760389 .

[19] Грюнайзен, Э. (1912). «Теория твердого тела одноатомных элементов» . Анналы физики (на немецком языке). 344 (12): 257–306. Бибкод : 1912АнП...344..257Г . дои : 10.1002/andp.19123441202 .

[20] Стокмайер, WH (1 мая 1941 г.). «Вторые вириальные коэффициенты полярных газов» . Журнал химической физики . 9 (5): 398–402. Бибкод : 1941ЖЧФ...9..398С . дои : 10.1063/1.1750922 . ISSN 0021-9606 .

[:20-21] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я ^дж ^к ^л ^м ^н ^тот ^п ^д ^р ^с ^т Стефан, Саймон; Тол, Моника; Врабец, Ядран; Хассе, Ганс (28 октября 2019 г.). «Теплофизические свойства жидкости Леннарда-Джонса: база данных и оценка данных» . Журнал химической информации и моделирования . 59 (10): 4248–4265. doi : 10.1021/acs.jcim.9b00620 . ISSN 1549-9596 . ПМИД 31609113 . S2CID 204545481 .

[22] Врабец, Ядран; Кедия, Гаурав Кумар; Фукс, Гвидо; Хассе, Ганс (10 мая 2006 г.). «Комплексное исследование сосуществования пара и жидкости в усеченной и смещенной жидкости Леннарда – Джонса, включая свойства плоской и сферической границы раздела» . Молекулярная физика . 104 (9): 1509–1527. Бибкод : 2006МолФ.104.1509В . дои : 10.1080/00268970600556774 . ISSN 0026-8976 . S2CID 96606562 .

[23] Хейер, Микаэла; Стефан, Саймон; Лю, Цзиньлу; Чепмен, Уолтер Г.; Хассе, Ганс; Лангенбах, Кай (18 августа 2018 г.). «Уравнение состояния усеченной и сдвинутой жидкости Леннарда-Джонса с радиусом обрезания 2,5 σ на основе теории возмущений и ее приложений к межфазной термодинамике» . Молекулярная физика . 116 (15–16): 2083–2094. Бибкод : 2018МолФ.116.2083H . дои : 10.1080/00268976.2018.1447153 . ISSN 0026-8976 . S2CID 102956189 .

[24] Шауль, Кэтрин Р.С.; Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (2010). «Влияние усечения и сдвига на вириальные коэффициенты потенциалов Леннарда – Джонса» . Сборник Чехословацких химических сообщений . 75 (4): 447–462. дои : 10.1135/cccc2009113 . ISSN 1212-6950 .

[25] Ши, Вэй; Джонсон, Дж. Карл (2001). «Перевзвешивание гистограммы и исследование масштабирования конечных размеров жидкостей Леннарда – Джонса». Жидкостно-фазовые равновесия . 187–188: 171–191. Бибкод : 2001FlPEq.187..171S . дои : 10.1016/S0378-3812(01)00534-9 .

[:29-26] Перейти обратно: ^а ^б Дуников, Д.О.; Малышенко, ИП; Жаховский, В.В. (08.10.2001). «Закон соответствующих состояний и моделирование молекулярной динамики жидкости Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 115 (14): 6623–6631. Бибкод : 2001JChPh.115.6623D . дои : 10.1063/1.1396674 . ISSN 0021-9606 .

[27] Ливия Б. Партай, Кристоф Ортнер, Альберт П. Барток, Крис Дж. Пикард и Габор Чаньи «Политипизм в структуре основного состояния Леннарда-Ионезия», Physical Chemistry Chemical Physics 19 19369 (2017)

[28] Чипев, Никола; Секлер, Штеффен; Хайнен, Матиас; Врабец, Ядран; Гратл, Фабио; Хорш, Мартин; Бернройтер, Мартин; Гласс, Колин В.; Нитхаммер, Кристоф; Хаммер, Николай; Кришок, Бернд (2019). «TweTriS: Моделирование двадцати триллионов атомов» . Международный журнал приложений для высокопроизводительных вычислений . 33 (5): 838–854. дои : 10.1177/1094342018819741 . ISSN 1094-3420 . S2CID 59345875 .

[29] Стефан, Саймон; Лю, Цзиньлу; Лангенбах, Кай; Чепмен, Уолтер Г.; Хассе, Ганс (2018). «Граница раздела пар-жидкость усеченной и смещенной жидкости Леннарда-Джонса: сравнение молекулярного моделирования, теории градиента плотности и теории функционала плотности» . Журнал физической химии C. 122 (43): 24705–24715. дои : 10.1021/acs.jpcc.8b06332 . ISSN 1932-7447 . S2CID 105759822 .

[30] Коб, Уолтер; Андерсен, Ханс К. (1 мая 1995 г.). «Тестирование теории связи мод для переохлажденной бинарной смеси Леннарда-Джонса I: корреляционная функция Ван Хова» . Физический обзор E . 51 (5): 4626–4641. arXiv : cond-mat/9501102 . Бибкод : 1995PhRvE..51.4626K . дои : 10.1103/PhysRevE.51.4626 . ПМИД 9963176 . S2CID 17662741 .

[Stephan_e1699185-31] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (01.06.2020). «Влияние дисперсионных дальнодействующих взаимодействий на свойства парожидкостных равновесий и границ раздела бинарных смесей Леннарда-Джонса» . Молекулярная физика . 118 (9–10): e1699185. Бибкод : 2020МолФ.11899185С . дои : 10.1080/00268976.2019.1699185 . ISSN 0026-8976 . S2CID 214174102 .

[:6-32] Перейти обратно: ^а ^б Смит, Б. (1992), «Фазовые диаграммы жидкостей Леннарда-Джонса» (PDF) , Journal of Chemical Physics , 96 (11): 8639–8640, Бибкод : 1992JChPh..96.8639S , doi : 10.1063/1.462271

[33] Смит, Б.; Френкель, Д. (15 апреля 1991 г.). «Парожидкостное равновесие в двумерной жидкости Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 94 (8): 5663–5668. Бибкод : 1991ЖЧФ..94.5663С . дои : 10.1063/1.460477 . ISSN 0021-9606 . S2CID 1580499 .

[34] Скализе, Освальдо Х (июнь 2001 г.). «Газ-жидкостное равновесие типа I двумерной бинарной смеси Леннарда – Джонса» . Жидкостно-фазовые равновесия . 182 (1–2): 59–64. Бибкод : 2001FlPEq.182...59S . дои : 10.1016/s0378-3812(01)00380-6 . ISSN 0378-3812 .

[35] Глуча, М.; Сэндлер, С.И. (ноябрь 1999 г.). «Фазовая диаграмма четырехмерной жидкости Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 111 (17): 8043–8047. Бибкод : 1999JChPh.111.8043H . дои : 10.1063/1.480138 . ISSN 0021-9606 .

[:16-36] Перейти обратно: ^а ^б ^с Хилл, Террелл Л. (1956). Статистическая механика: принципы и избранные приложения . Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 0-486-65390-0 . OCLC 15163657 .

[:1-37] Перейти обратно: ^а ^б Вуд, WW; Паркер, Франция (1957). «Уравнение Монте-Карло состояния молекул, взаимодействующих с потенциалом Леннарда-Джонса. I. Сверхкритическая изотерма при температуре примерно в два раза выше критической» . Журнал химической физики . 27 (3): 720–733. Бибкод : 1957JChPh..27..720W . дои : 10.1063/1.1743822 . ISSN 0021-9606 .

[:11-38] Перейти обратно: ^а ^б Розенблут, Маршалл Н.; Розенблут, Арианна В. (1954). «Дальнейшие результаты по уравнениям состояния Монте-Карло» . Журнал химической физики . 22 (5): 881–884. Бибкод : 1954ЖЧФ..22..881Р . дои : 10.1063/1.1740207 . ISSN 0021-9606 .

[39] Олдер, Би Джей; Уэйнрайт, TE (1959). «Исследования по молекулярной динамике. I. Общий метод» . Журнал химической физики . 31 (2): 459–466. Бибкод : 1959ЖЧФ..31..459А . дои : 10.1063/1.1730376 . ISSN 0021-9606 .

[40] Рахман, А. (19 октября 1964 г.). «Корреляции в движении атомов в жидком аргоне» . Физический обзор . 136 (2А): А405–А411. Бибкод : 1964PhRv..136..405R . дои : 10.1103/PhysRev.136.A405 . ISSN 0031-899X .

[:18-41] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (28 ноября 2018 г.). «Комплексное высокоточное уравнение состояния и свойств сосуществования классических кристаллов Леннарда-Джонса и низкотемпературных жидких фаз» . Журнал химической физики . 149 (20): 204508. Бибкод : 2018JChPh.149t4508S . дои : 10.1063/1.5053714 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 30501268 . S2CID 54629914 .

[:10-42] Перейти обратно: ^а ^б Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (07 августа 2020 г.). «Ошибка: «Комплексное высокоточное уравнение состояния и свойств сосуществования для классических кристаллов Леннарда-Джонса и низкотемпературных жидких фаз» [J. Chem. Phys. 149, 204508 (2018)]» . Журнал химической физики . 153 (5): 059901. дои : 10.1063/5.0021283 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 32770918 .

[:13-43] Перейти обратно: ^а ^б Шаппалс, Майкл; Мекленфельд, Андреас; Крегер, Лейф; Боцан, Виталий; Кестер, Андреас; Стефан, Саймон; Гарсиа, Эддер Дж.; Руткай, Габор; Раабе, Габриэле; Кляйн, Питер; Леонхард, Кай (12 сентября 2017 г.). «Круговое исследование: молекулярное моделирование термодинамических свойств на основе моделей с внутренними степенями свободы» . Журнал химической теории и вычислений . 13 (9): 4270–4280. дои : 10.1021/acs.jctc.7b00489 . ISSN 1549-9618 . ПМИД 28738147 .

[44] Леффлер, Ханнес Х.; Бозисио, Стефано; Дуарте Рамос Матос, Гильерме; Су, Донхёк; Ру, Бенуа; Мобли, Дэвид Л.; Мишель, Жюльен (13 ноября 2018 г.). «Воспроизводимость расчетов свободной энергии в различных пакетах программного обеспечения для молекулярного моделирования» . Журнал химической теории и вычислений . 14 (11): 5567–5582. дои : 10.1021/acs.jctc.8b00544 . hdl : 20.500.11820/52d85d71-d3df-468b-8f88-9c52e83da1f1 . ISSN 1549-9618 . ПМИД 30289712 . S2CID 52923832 .

[:15-45] Перейти обратно: ^а ^б Ленхард, Йоханнес; Кюстер, Уве (2019). «Воспроизводимость и концепция численного решения» . Разум и машины . 29 (1): 19–36. дои : 10.1007/s11023-019-09492-9 . ISSN 0924-6495 . S2CID 59159685 .

[46] Ши, Вэй; Джонсон, Дж. Карл (15 сентября 2001 г.). «Перевзвешивание гистограммы и исследование масштабирования конечных размеров жидкостей Леннарда – Джонса» . Жидкостно-фазовые равновесия . 187–188: 171–191. Бибкод : 2001FlPEq.187..171S . дои : 10.1016/S0378-3812(01)00534-9 . ISSN 0378-3812 .

[:7-47] Перейти обратно: ^а ^б Метрополис, Николай; Розенблут, Арианна В.; Розенблут, Маршалл Н.; Теллер, Огаста Х.; Теллер, Эдвард (1953). «Уравнение расчета состояний на быстрых вычислительных машинах» . Журнал химической физики . 21 (6): 1087–1092. Бибкод : 1953ЖЧФ..21.1087М . дои : 10.1063/1.1699114 . ISSN 0021-9606 . ОСТИ 4390578 . S2CID 1046577 .

[48] Дэниел Сидериус (01 сентября 2017 г.). Веб-сайт стандартного справочного моделирования NIST — SRD 173 . Национальный институт стандартов и технологий. дои : 10.18434/T4M88Q .

[49] «Модифицированное энтропийное масштабирование транспортных свойств жидкости Леннарда-Джонса» . dx.doi.org . doi : 10.1021/acs.jpcb.9b05808.s001 . Проверено 20 мая 2024 г.

[50] Лаутеншлегер, Мартин П.; Хассе, Ганс (29 апреля 2021 г.). «Транспортные свойства усеченной и смещенной жидкости Леннарда-Джонса на основе неравновесного молекулярно-динамического моделирования» . dx.doi.org . дои : 10.31219/osf.io/67w4u . Проверено 20 мая 2024 г.

[:19-51] Перейти обратно: ^а ^б Кестер, Андреас; Маусбах, Питер; Врабец, Ядран (10 октября 2017 г.). «Предплавление, равновесие твердого тела и жидкости и термодинамические свойства в области высокой плотности на основе потенциала Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 147 (14): 144502. Бибкод : 2017JChPh.147n4502K . дои : 10.1063/1.4990667 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 29031254 .

[:3-52] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г ^час ^я Стефан, Саймон; Дейтерс, Ульрих К. (20 августа 2020 г.). «Характеристические кривые жидкости Леннарда-Джонса» . Международный журнал теплофизики . 41 (10): 147. Бибкод : 2020IJT....41..147S . дои : 10.1007/s10765-020-02721-9 . ISSN 1572-9567 . ПМК 7441092 . ПМИД 32863513 .

[Deiters_2720–2728-53] Перейти обратно: ^а ^б Дейтерс, Ульрих К.; Ноймайер, Арнольд (11 августа 2016 г.). «Компьютерное моделирование характеристических кривых чистых жидкостей» . Журнал химических и инженерных данных . 61 (8): 2720–2728. doi : 10.1021/acs.jced.6b00133 . ISSN 0021-9568 .

[:22-54] Перейти обратно: ^а ^б Агравал, Рупал; Кофке, Дэвид А. (1995). «Термодинамические и структурные свойства модельных систем при сосуществовании твердого тела и жидкости: II. Плавление и сублимация системы Леннарда-Джонса» . Молекулярная физика . 85 (1): 43–59. дои : 10.1080/00268979500100921 . ISSN 0026-8976 .

[55] Браун, Э.Х. (1960). «О термодинамических свойствах жидкостей». Бюллетень Международного института холода . Приложение 1960-1: 169–178.

[56] Апфельбаум, Э.М.; Воробьев В.С. (18.06.2020). «Линия единичного коэффициента сжимаемости (Зено-линия) для кристаллических состояний» . Журнал физической химии Б. 124 (24): 5021–5027. doi : 10.1021/acs.jpcb.0c02749 . ISSN 1520-6106 . ПМИД 32437611 . S2CID 218835048 .

[57] Апфельбаум, Э.М.; Воробьев В.С.; Мартынов Г.А. (2008). «К теории линии Зенона» . Журнал физической химии А. 112 (26): 6042–6044. Бибкод : 2008JPCA..112.6042A . дои : 10.1021/jp802999z . ISSN 1089-5639 . ПМИД 18543889 .

[58] Николас, Джей-Джей; Габбинс, Кентукки; Стритт, ВБ; Тилдесли, диджей (1979). «Уравнение состояния жидкости Леннарда-Джонса» . Молекулярная физика . 37 (5): 1429–1454. Бибкод : 1979МолФ..37.1429Н . дои : 10.1080/00268977900101051 . ISSN 0026-8976 .

[59] Фэн, Чао; Шульц, Эндрю Дж.; Чаудхари, Випин; Кофке, Дэвид А. (28 июля 2015 г.). «Вириальные коэффициенты с восьмого по шестнадцатый модели Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 143 (4): 044504. Бибкод : 2015JChPh.143d4504F . дои : 10.1063/1.4927339 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 26233142 .

[60] Шульц, Эндрю Дж.; Кофке, Дэвид А. (10 ноября 2009 г.). «Шестой, седьмой и восьмой вириальные коэффициенты модели Леннарда-Джонса» . Молекулярная физика . 107 (21): 2309–2318. Бибкод : 2009МолФ.107.2309С . дои : 10.1080/00268970903267053 . ISSN 0026-8976 . S2CID 94811614 .

[61] Белл, Ян Х.; Мессерли, Ричард; Тол, Моника; Костильола, Лоренцо; Дайр, Йеппе К. (25 июля 2019 г.). «Модифицированное энтропийное масштабирование транспортных свойств жидкости Леннарда-Джонса» . Журнал физической химии Б. 123 (29): 6345–6363. doi : 10.1021/acs.jpcb.9b05808 . ISSN 1520-6106 . ПМК 7147083 . ПМИД 31241958 .

[62] Лаутеншлегер, Мартин П.; Хассе, Ганс (2019). «Транспортные свойства усеченной и смещенной жидкости Леннарда-Джонса на основе неравновесного молекулярно-динамического моделирования» . Жидкостно-фазовые равновесия . 482 : 38–47. Бибкод : 2019FlPEq.482...38L . дои : 10.1016/j.fluid.2018.10.019 . S2CID 106113718 .

[:8-63] Перейти обратно: ^а ^б Чжэнь, Шу; Дэвис, Дж.Дж. (16 августа 1983 г.). «Расчет параметров потенциальной энергии Леннарда-Джонсона-м для металлов» . Physica Status Solidi A (на немецком языке). 78 (2): 595–605. Бибкод : 1983PSSAR..78..595Z . дои : 10.1002/pssa.2210780226 .

[:9-64] Перейти обратно: ^а ^б Халичоглу, Т.; Паунд, генеральный менеджер (16 августа 1975 г.). «Расчет параметров потенциальной энергии формы свойств кристаллического состояния» . Физический статус Солиди А. 30 (2): 619–623. Бибкод : 1975PSSAR..30..619H . дои : 10.1002/pssa.2210300223 .

[:23-65] Перейти обратно: ^а ^б ^с Травессет, Алекс (28 октября 2014 г.). «Фазовая диаграмма степенного закона и системы Леннарда-Джонса: кристаллические фазы» . Журнал химической физики . 141 (16): 164501. Бибкод : 2014JChPh.141p4501T . дои : 10.1063/1.4898371 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 25362319 .

[66] Хансен, Жан-Пьер; Верле, Лу (5 августа 1969 г.). «Фазовые переходы системы Леннарда-Джонса» . Физический обзор . 184 (1): 151–161. Бибкод : 1969PhRv..184..151H . дои : 10.1103/PhysRev.184.151 . ISSN 0031-899X .

[67] Лонге-Хиггинс, ХК (7 февраля 1951 г.). «Статистическая термодинамика многокомпонентных систем» . Труды Лондонского королевского общества. Серия А. Математические и физические науки . 205 (1081): 247–269. Бибкод : 1951RSPSA.205..247L . дои : 10.1098/rspa.1951.0028 . ISSN 0080-4630 . S2CID 202575459 .

[68] Лиланд, ТВ; Роулинсон, Дж.С.; Сатер, Джорджия (1968). «Статистическая термодинамика смесей молекул разного размера» . Труды Фарадеевского общества . 64 : 1447. дои : 10.1039/tf9686401447 . ISSN 0014-7672 .

[69] Мансури, Г. Али; Лиланд, Томас В. (1972). «Статистическая термодинамика смесей. Новая версия теории конформных решений» . Журнал Химического общества, Faraday Transactions 2 . 68 : 320. дои : 10.1039/f29726800320 . ISSN 0300-9238 .

[70] Роулинсон, Дж.С.; Суинтон, Флорида (1982). Жидкости и жидкие смеси (Третье изд.). Лондон: Баттерворт.

[:21-71] Перейти обратно: ^а ^б Дейтерс, Ульрих К.; Краска, Томас (2012). Фазовые равновесия жидкости высокого давления: феноменология и расчеты (1-е изд.). Амстердам: Эльзевир. ISBN 978-0-444-56354-5 . OCLC 787847134 .

[Schnabel2007-72] Перейти обратно: ^а ^б Шнабель, Торстен; Врабец, Ядран; Хассе, Ганс (2007). «В отличие от параметров Леннарда – Джонса для равновесия пар-жидкость». Журнал молекулярных жидкостей . 135 (1–3): 170–178. arXiv : 0904.4436 . дои : 10.1016/j.molliq.2006.12.024 . S2CID 16111477 .

[73] Лоренц, Х.А. (1881). «О применении теоремы вириала в кинетической теории газов» . Анналы физики (на немецком языке). 248 (1): 127–136. Бибкод : 1881АнП...248..127Л . дои : 10.1002/andp.18812480110 .

[74] ван Кониненбург, PH; Скотт, РЛ (18 декабря 1980 г.). «Критические линии и фазовые равновесия в бинарных смесях Ван-дер-Ваальса» . Философские труды Лондонского королевского общества. Серия А, Математические и физические науки . 298 (1442): 495–540. Бибкод : 1980RSPTA.298..495K . дои : 10.1098/rsta.1980.0266 . ISSN 0080-4614 . S2CID 122538015 .

[75] Потофф, Джеффри Дж.; Панагиотопулос, Атанассиос З. (22 декабря 1998 г.). «Критическая точка и фазовое поведение чистой жидкости и смеси Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 109 (24): 10914–10920. Бибкод : 1998JChPh.10910914P . дои : 10.1063/1.477787 . ISSN 0021-9606 .

[76] Проценко Сергей П.; Байдаков, Владимир Георгиевич (2016). «Бинарные смеси Леннарда-Джонса с сильно асимметричными взаимодействиями компонентов. 1. Влияние энергетических параметров на фазовые равновесия и свойства границ раздела жидкость-газ». Жидкостно-фазовые равновесия . 429 : 242–253. Бибкод : 2016FlPEq.429..242P . дои : 10.1016/j.fluid.2016.09.009 .

[77] Проценко Сергей П.; Байдаков Владимир Георгиевич; Брюханов, Василий М. (2016). «Бинарные смеси Леннарда-Джонса с сильно асимметричными взаимодействиями компонентов. 2. Влияние размера частиц на фазовые равновесия и свойства границ раздела жидкость-газ». Жидкостно-фазовые равновесия . 430 : 67–74. Бибкод : 2016FlPEq.430...67P . дои : 10.1016/j.fluid.2016.09.022 .

[78] Стефан, Саймон; Хассе, Ганс (23 января 2020 г.). «Молекулярные взаимодействия на границе раздела пар-жидкость: бинарные смеси простых жидкостей» . Физический обзор E . 101 (1): 012802. Бибкод : 2020PhRvE.101a2802S . дои : 10.1103/PhysRevE.101.012802 . ISSN 2470-0045 . ПМИД 32069593 . S2CID 211192904 .

[:24-79] Перейти обратно: ^а ^б Ламм, Моника Х.; Холл, Кэрол К. (2002). «Равновесие между твердой, жидкой и паровой фазами в бинарных смесях Леннарда – Джонса». Жидкостно-фазовые равновесия . 194–197: 197–206. Бибкод : 2002FlPEq.194..197L . дои : 10.1016/S0378-3812(01)00650-1 .

[:25-80] Перейти обратно: ^а ^б Ламм, Моника Х.; Холл, Кэрол К. (2001). «Моделирование методом Монте-Карло полных фазовых диаграмм для бинарных смесей Леннарда – Джонса». Жидкостно-фазовые равновесия . 182 (1–2): 37–46. Бибкод : 2001FlPEq.182...37L . дои : 10.1016/S0378-3812(01)00378-8 .

[:26-81] Перейти обратно: ^а ^б Хичкок, Моника Р.; Холл, Кэрол К. (15 июня 1999 г.). «Фазовое равновесие твердого тела и жидкости для бинарных смесей Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 110 (23): 11433–11444. Бибкод : 1999JChPh.11011433H . дои : 10.1063/1.479084 . ISSN 0021-9606 .

[82] Юнгблут, Светлана; Деллаго, Кристоф (14 марта 2011 г.). «Кристаллизация бинарной смеси Леннарда-Джонса» . Журнал химической физики . 134 (10): 104501. Бибкод : 2011JChPh.134j4501J . дои : 10.1063/1.3556664 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 21405169 .

[:27-83] Перейти обратно: ^а ^б Ламм, Моника Х.; Холл, Кэрол К. (2004). «Влияние давления на полное фазовое поведение бинарных смесей» . Журнал Айше . 50 (1): 215–225. Бибкод : 2004АИЧЕ..50..215Л . дои : 10.1002/aic.10020 . ISSN 0001-1541 .

[84] Коттерман, РЛ; Праусниц, Дж. М. (1986). «Молекулярная термодинамика жидкостей низкой и высокой плотности. Часть II: Фазовые равновесия для смесей, содержащих компоненты с большими различиями в молекулярном размере или потенциальной энергии» . Журнал Айше . 32 (11): 1799–1812. Бибкод : 1986АИЧЕ..32.1799С . дои : 10.1002/aic.690321105 . ISSN 0001-1541 . S2CID 96417239 .

[85] Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен; Фишер, Иоганн (1996). «Баконовое семейство уравнений состояния: 1. Неполярные и полярные чистые жидкости» . Журнал Айше . 42 (4): 1116–1126. Бибкод : 1996АИЧЕ..42.1116М . дои : 10.1002/aic.690420423 . ISSN 0001-1541 .

[86] Вайнгерль, Ульрика; Вендланд, Мартин; Фишер, Иоганн; Мюллер, Андреас; Винкельманн, Йохен (2001). «Баконовое семейство уравнений состояния: 2. Неполярные и полярные смеси жидкостей» . Журнал Айше . 47 (3): 705–717. Стартовый код : 2001АИЧЕ..47..705W . дои : 10.1002/aic.690470317 .

[87] Блас, Ф.Дж.; Вега, Л.Ф. (1997). «Термодинамическое поведение гомоядерных и гетероядерных цепей Леннарда-Джонса с местами ассоциации из моделирования и теории» . Молекулярная физика . 92 (1): 135–150. Бибкод : 1997MolPh..92..135F . дои : 10.1080/002689797170707 . ISSN 0026-8976 .

[88] Краска, Томас; Габбинс, Кейт Э. (1996). «Расчеты фазовых равновесий с использованием модифицированного уравнения состояния SAFT. 1. Чистые алканы, алканолы и вода» . Исследования в области промышленной и инженерной химии . 35 (12): 4727–4737. дои : 10.1021/ie9602320 . ISSN 0888-5885 .

[89] Гонасги, Д.; Чепмен, Уолтер Г. (1994). «Прогнозирование свойств модельных полимерных растворов и смесей» . Журнал Айше . 40 (5): 878–887. Бибкод : 1994АИЧЕ..40..878Г . дои : 10.1002/aic.690400514 . ISSN 0001-1541 .

[90] Мекке, М.; Мюллер, А.; Винкельманн, Дж.; Врабец, Дж.; Фишер Дж.; Спан, Р.; Вагнер, В. (1 марта 1996 г.). «Точное уравнение состояния типа Ван-дер-Ваальса для жидкости Леннарда-Джонса» . Международный журнал теплофизики . 17 (2): 391–404. Бибкод : 1996IJT....17..391M . дои : 10.1007/BF01443399 . ISSN 1572-9567 . S2CID 123304062 .

[:4-91] Перейти обратно: ^а ^б ^с Колафа, Иржи; Незбеда, Иво (1994). «Жидкость Леннарда-Джонса: точное аналитическое и теоретически обоснованное уравнение состояния». Жидкостно-фазовые равновесия . 100 : 1–34. Бибкод : 1994FlPEq.100....1K . дои : 10.1016/0378-3812(94)80001-4 .

[92] Тол, Моника; Руткай, Габор; Кестер, Андреас; Люстиг, Рольф; Спан, Роланд; Врабец, Ядран (2016). «Уравнение состояния жидкости Леннарда-Джонса» . Журнал физических и химических справочных данных . 45 (2): 023101. Бибкод : 2016JPCRD..45b3101T . дои : 10.1063/1.4945000 . ISSN 0047-2689 .

[93] Готшалк, Матиас (01 декабря 2019 г.). «EOS для жидкости Леннарда-Джонса: подход вириального расширения» . Достижения АИП . 9 (12): 125206. Бибкод : 2019AIPA....9l5206G . дои : 10.1063/1.5119761 . ISSN 2158-3226 .

[:5-94] Джонсон, Дж. Карл; Золлвег, Джон А.; Габбинс, Кейт Э. (20 февраля 1993 г.). «Возвращение к уравнению состояния Леннарда-Джонса» . Молекулярная физика . 78 (3): 591–618. Бибкод : 1993MolPh..78..591J . дои : 10.1080/00268979300100411 . ISSN 0026-8976 .

[:14-95] Перейти обратно: ^а ^б Эггиманн, Бекки Л.; Суннарборг, Амара Дж.; Стерн, Хадсон Д.; Блисс, Эндрю П.; Зипманн, Дж. Илья (2 января 2014 г.). «Онлайн-база данных параметров и свойств силового поля TraPPE» . Молекулярное моделирование . 40 (1–3): 101–105. дои : 10.1080/08927022.2013.842994 . ISSN 0892-7022 . S2CID 95716947 .

[96] Йоргенсен, Уильям Л.; Максвелл, Дэвид С.; Тирадо-Ривз, Джулиан (январь 1996 г.). «Разработка и испытания полноатомного силового поля OPLS на конформационную энергетику и свойства органических жидкостей» . Журнал Американского химического общества . 118 (45): 11225–11236. дои : 10.1021/ja9621760 . ISSN 0002-7863 .

[:12-97] Перейти обратно: ^а ^б Стефан, Саймон; Хорш, Мартин Т.; Врабец, Ядран; Хассе, Ганс (3 июля 2019 г.). «MolMod – база данных силовых полей с открытым доступом для молекулярного моделирования жидкостей» . Молекулярное моделирование . 45 (10): 806–814. arXiv : 1904.05206 . дои : 10.1080/08927022.2019.1601191 . ISSN 0892-7022 . S2CID 119199372 .

[98] Менделев М.И.; Хан, С.; Сроловиц, диджей; Экланд, Дж.Дж.; Вс, ДЯ; Аста, М. (2003). «Разработка новых межатомных потенциалов, подходящих для кристаллического и жидкого железа» . Философский журнал . 83 (35): 3977–3994. Бибкод : 2003PMag...83.3977A . дои : 10.1080/14786430310001613264 . ISSN 1478-6435 . S2CID 4119718 .

[99] Абаскаль, JLF; Вега, К. (15 декабря 2005 г.). «Общая модель конденсированных фаз воды: TIP4P/2005» . Журнал химической физики . 123 (23): 234505. Бибкод : 2005JChPh.123w4505A . дои : 10.1063/1.2121687 . ISSN 0021-9606 . ПМИД 16392929 .

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]

[ 32 ]

[ 33 ]

[ 34 ]

[ 35 ]

[ 36 ]

[ 37 ]

[ 38 ]

[ 39 ]

[ 40 ]

[ 41 ]

[ 42 ]

[ 43 ]

[ 44 ]

[ 45 ]

[ 46 ]

[ 47 ]

[ 48 ]

[ 49 ]

[ 50 ]

[ 51 ]

[ 52 ]

[ 53 ]

[ 54 ]

[ 55 ]

[ 56 ]

[ 57 ]

[ 58 ]

[ 59 ]

[ 60 ]

[ 61 ]

[ 62 ]

[ 63 ]

[ 64 ]

[ 65 ]

[ 66 ]

[ 67 ]

[ 68 ]

[ 69 ]

[ 70 ]

[ 71 ]

[ 72 ]

[ 73 ]

[ 74 ]

[ 75 ]

[ 76 ]

[ 77 ]

[ 78 ]

[ 79 ]

[ 80 ]

[ 81 ]

[ 82 ]

[ 83 ]

[ 84 ]

[ 85 ]

[ 86 ]

[ 87 ]

[ 88 ]

[ 89 ]

[ 90 ]

[ 91 ]

[ 92 ]

[ 93 ]

[ 94 ]

[ 95 ]

[ 96 ]

[ 97 ]

[ 98 ]

[ 99 ]

v т и Статистическая механика
Theory	Principle of maximum entropy ergodic theory
Statistical thermodynamics	Ensembles partition functions equations of state thermodynamic potential: U H F G Maxwell relations
Models	Ferromagnetism models Ising Potts Heisenberg percolation Particles with force field depletion force Lennard-Jones potential
Mathematical approaches	Boltzmann equation H-theorem Vlasov equation BBGKY hierarchy stochastic process mean-field theory and conformal field theory
Critical phenomena	Phase transition Critical exponents correlation length size scaling
Entropy	Boltzmann Shannon Tsallis Rényi von Neumann
Applications	Statistical field theory elementary particle superfluidity Condensed matter physics Complex system chaos information theory Boltzmann machine