Бикомплексный номер

«Тессарин» перенаправляется сюда. Чтобы узнать о настоящих тессаринах, см. Число Сплит-комплекса .

В абстрактной алгебре бикомплексное число — это пара ( w , z ) комплексных чисел, построенная с помощью процесса Кэли-Диксона , который определяет бикомплексно-сопряженное число. $(w,z)^{*}=(w,-z)$, и произведение двух бикомплексных чисел как

$(u,v)(w,z)=(uw-vz,uz+vw).$

Тогда бикомплексная норма определяется выражением

$(w,z)^{*}(w,z)=(w,-z)(w,z)=(w^{2}+z^{2},0),$ квадратичная форма по первой компоненте.

Бикомплексные числа образуют коммутативную алгебру над C размерности два, которая изоморфна прямой сумме алгебр C ⊕ C .

Произведение двух бикомплексных чисел дает значение квадратичной формы, которое является произведением отдельных квадратичных форм чисел: проверка этого свойства квадратичной формы произведения относится к тождеству Брахмагупты-Фибоначчи . Это свойство квадратичной формы бикомплексного числа указывает на то, что эти числа образуют композиционную алгебру . Фактически бикомплексные числа возникают на бинарионном уровне конструкции Кэли–Диксона, основанной на $\mathbb {C}$ с нормой z ² .

Общее число бикомплексов можно представить матрицей ${\begin{pmatrix}w&iz\\iz&w\end{pmatrix}}$, который имеет определитель $w^{2}+z^{2}$. Таким образом, составляющее свойство квадратичной формы совпадает с составляющим свойством определителя.

Бикомплексные числа состоят из двух различных мнимых единиц . Поскольку умножение ассоциативно и коммутативно, произведение этих мнимых единиц должно иметь положительную единицу в квадрате. Такой элемент, как это произведение, получил название гиперболической единицы .

Как настоящая алгебра

Тессариновое умножение

×	1	я	дж	к
1	1	я	дж	к
я	я	−1	к	− j
дж	дж	к	-1	-я
к	к	− j	-я	1

Бикомплексные числа образуют алгебру над C размерности два, и поскольку C имеет размерность два над R , бикомплексные числа представляют собой алгебру над R размерности четыре. На самом деле настоящая алгебра старше комплексной; в 1848 году его назвали тессарином , а комплексная алгебра была введена только в 1892 году.

Базис = тессариновой 4-алгебры над R задает z 1 и z = − i , что дает матрицы $k={\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}},\quad \ j={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}$, которые умножаются согласно приведенной таблице. Когда единичная матрица идентифицируется с 1, тогда тессарин t = w + zj .

История

Тема множественных мнимых единиц рассматривалась в 1840-х годах. В длинной серии «О кватернионах, или о новой системе воображаемых в алгебре», начавшейся в 1844 году в «Философском журнале» , Уильям Роуэн Гамильтон описал систему умножения в соответствии с группой кватернионов . В 1848 году Томас Киркман сообщил о своей переписке с Артуром Кэли относительно уравнений о единицах, определяющих систему гиперкомплексных чисел.

Тессарины

В 1848 году Джеймс Кокл представил тессарины в серии статей в «Философском журнале» .

Тессарин – это гиперкомплексное число вида

$t=w+xi+yj+zk,\quad w,x,y,z\in \mathbb {R}$

где $ij=ji=k,\quad i^{2}=-1,\quad j^{2}=+1.$Кокл использовал тессарины, чтобы выделить ряды гиперболического косинуса и ряды гиперболического синуса в экспоненциальном ряду. Он также показал, как в тессаринах возникают делители нуля , что вдохновило его использовать термин «невозможное». Тессарины теперь наиболее известны своей подалгеброй настоящих тессаринов. $t=w+yj\$, также называемые расщепленными комплексными числами , которые выражают параметризацию единичной гиперболы .

Бикомплексные числа

В Mathematische Annalen статье 1892 года Коррадо Сегре ввел бикомплексные числа : образующие алгебру, изоморфную тессаринам.

Сегре читал У. Р. Гамильтона » «Лекции по кватернионам (1853) и работы У. К. Клиффорда . Сегре использовал некоторые обозначения Гамильтона для разработки своей системы бикомплексных чисел : пусть h и i — элементы, квадратичные до −1 и коммутирующие. Тогда, предполагая ассоциативность умножения, произведение hi должно быть равно +1. Алгебра, построенная на базисе { 1, h , i , hi }, тогда будет такой же, как тессарины Джеймса Кокла, представленные с использованием другого базиса. Сегре отметил, что элементы

$g=(1-hi)/2,\quad g'=(1+hi)/2$ являются идемпотентами .

Когда бикомплексные числа выражаются через базис { 1, h , i , − hi } , их эквивалентность с тессаринами очевидна, особенно если векторы в этом базисе переупорядочены как { 1, i , − hi , h } . Глядя на линейное представление этих изоморфных алгебр, можно увидеть согласие в четвертом измерении, когда используется отрицательный знак; рассмотрим приведенный выше образец продукта в линейном представлении.

Бибинарионы

Современная теория композиционных алгебр позиционирует алгебру как бинарионную конструкцию, основанную на другой бинарионной конструкции, отсюда и бинарионы . Уровень унариона в процессе Кэли-Диксона должен быть полем, и начиная с действительного поля обычные комплексные числа возникают как бинарионы деления, другое поле. Таким образом, процесс может снова начаться с образованием бибинарионов. Кевин МакКриммон отметил упрощение номенклатуры, обеспечиваемое термином бинарион, в своем тексте «Вкус иорданской алгебры» (2004).

Полиномиальные корни

Писать ² C = C ⊕ C и представлять его элементы упорядоченными парами ( u , v ) комплексных чисел. Поскольку алгебра тессаринов T изоморфна ² C , кольца полиномов T [X] и ² C [ X ] также изоморфны, однако полиномы в последней алгебре расщепляются:

$\sum _{k=1}^{n}(a_{k},b_{k})(u,v)^{k}\quad =\quad \left({\sum _{k=1}^{n}a_{i}u^{k}},\quad \sum _{k=1}^{n}b_{k}v^{k}\right).$

Следовательно, когда полиномиальное уравнение $f(u,v)=(0,0)$ в этой алгебре задано, оно сводится к двум полиномиальным уравнениям на C . Если степень равна n имеет n корней : , то каждое уравнение $u_{1},u_{2},\dots ,u_{n},\ v_{1},v_{2},\dots ,v_{n}.$Любая заказанная пара $(u_{i},v_{j})\!$ из этого набора корней будет удовлетворять исходному уравнению в ² C [ X ], поэтому он имеет n ² корни.

Благодаря изоморфизму с T [ X ] существует соответствие многочленов и соответствие их корней. Следовательно, тессариновые полиномы степени n также имеют n ² корни, считая кратность корней .

Приложения

Бикомплексное число появляется как центр CAPS (комплексифицированной алгебры физического пространства ), которая является алгеброй Клиффорда. $Cl(3,\mathbb {C} )$. Поскольку линейное пространство CAPS можно рассматривать как четырехмерное пространство { $1,e_{1},e_{2},e_{3}$} над { $1,i,k,j$}.

Тессарины нашли применение в цифровой обработке сигналов .

Бикомплексные числа используются в механике жидкостей. Использование бикомплексной алгебры совмещает два различных применения комплексных чисел: представление двумерных потенциальных потоков в комплексной плоскости и комплексную экспоненциальную функцию .

Дальнейшее чтение

• Дж. Бейли Прайс (1991) Введение в мультикомплексные пространства и функции Марсель Деккер ISBN   0-8247-8345-X
• Ф. Катони, Д. Боккалетти, Р. Канната, В. Катони, Э. Никелатти, П. Зампетти. (2008) Математика пространства-времени Минковского с введением в коммутативные гиперкомплексные числа , Birkhäuser Verlag , Базель ISBN   978-3-7643-8613-9
• Алпай Д., Луна-Элисаррарас М.Э., Шапиро М., Струппа Д.С. (2014) Основы функционального анализа с бикомплексными скалярами и бикомплексного анализа Шура , Чам, Швейцария: Springer Science & BusinessMedia
• Луна-Элизаррарас М.Е., Шапиро М., Струппа Д.К., Ваджиак А. (2015) Бикомплексные голоморфные функции: алгебра, геометрия и анализ бикомплексных чисел , Чам, Швейцария: Биркхойзер
• Рошон, Доминик и Майкл Шапиро (2004). «Об алгебраических свойствах бикомплексных и гиперболических чисел». Анальный. унив. Орадя, фаск. математика 11, нет. 71: 110. http://3dfractals.com/docs/Article01_bicomplex.pdf.