н -хлопья

n - чешуйка , полифлейк или Серпинского n- гон , представляет собой фрактал, построенный из n -угольника . Этот n -угольник заменяется группой из n -угольников меньшего размера, так что масштабированные многоугольники располагаются в вершинах , а иногда и в центре. Этот процесс повторяется рекурсивно, в результате чего образуется фрактал. Обычно существует также ограничение: n -угольников должны соприкасаться, но не перекрываться.

В двух измерениях

Наиболее распространенная разновидность n -чешуек двумерна (с точки зрения топологической размерности ) и состоит из многоугольников. Четыре наиболее распространенных особых случая состоят из треугольников, квадратов, пятиугольников и шестиугольников, но их можно расширить до любого многоугольника. Его границей является кривая фон Коха различных типов – в зависимости от n -угольника – и внутри содержится бесконечное множество кривых Коха. Фракталы занимают нулевую площадь, но имеют бесконечный периметр.

Формула масштабного коэффициента r для любой n -чешуйки:

$r={\frac {1}{2\left(1+\displaystyle \sum _{k=1}^{\lfloor n/4\rfloor }{\cos {\frac {2\pi k}{n}}}\right)}}$

где косинус измеряется в радианах, а n — количество сторон n- угольника. Хаусдорфова размерность - чешуйки n равна $\textstyle {\frac {\log m}{\log r}}$, где m — количество полигонов в каждой отдельной чешуйке, а r — масштабный коэффициент.

Треугольник Серпинского

Треугольник Серпинского представляет собой n -отщеп, образованный последовательными отщепами трех треугольников. Каждая чешуйка формируется путем размещения треугольников масштаба 1/2 в каждом углу треугольника, который они заменяют. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}$ ≈ 1,585. $\textstyle {\frac {\log(3)}{\log(2)}}$ получается потому, что каждая итерация имеет 3 треугольника, масштабированных на 1/2.

• 
  Шестая итерация треугольника Серпинского.
• 
  Треугольник Серпинского, созданный игрой хаоса .

Фрактальные шутки

См. Также: Пыль Кантора , ковер Серпинского и кривая Серпинского.

Пятая итерация фрактала Вичека

Если бы 4-угольник Серпинского был построен на основе данного определения, масштабный коэффициент был бы 1/2, а фрактал был бы просто квадратом. Более интересная альтернатива — фрактал Вичека , редко называемый квадрачешуйкой, образован последовательными чешуйками из пяти квадратов, масштабированных на 1/3. Каждая чешуйка формируется либо путем размещения чешуйчатого квадрата в каждом углу и одного в центре, либо по одному с каждой стороны квадрата и одного в центре. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}$ ≈ 1,4650. $\textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}$ получается потому, что каждая итерация имеет 5 квадратов, масштабированных на 1/3. Граница фрактала Вичека представляет собой квадратичную кривую Коха 1-го типа .

Пентахлопья

Увеличение границы пентачешуйки

Пентачешуйка, или пятиугольник Серпинского, образована последовательными отщепами шести правильных пятиугольников. Каждая чешуйка формируется путем размещения пятиугольника в каждом углу и одного в центре. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(6)}{\log(1+\varphi )}}$ ≈ 1,8617, где $\textstyle {\varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}$ ( золотое сечение ). $\textstyle {\frac {\log(6)}{\log(1+\varphi )}}$ получается потому, что каждая итерация имеет 6 пятиугольников, которые масштабируются на $\textstyle {\frac {1}{1+\varphi }}$. Границей пентачешуйки является кривая Коха 72 градуса.

Существует также разновидность пятихлопья, у которой нет центрального пятиугольника. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(5)}{\log(1+\varphi )}}$ ≈ 1,6723. Этот вариант все еще содержит бесконечно много кривых Коха, но они несколько более заметны.

• 
• 
  3-я итерация, с центральными пятиугольниками
• 
  4-я итерация, с центральными пятиугольниками
• 
  5-я итерация, с центральными пятиугольниками

• 
  2-я итерация, без центральных пятиугольников
• 
  3-я итерация, без центральных пятиугольников
• 
  4-я итерация, без центральных пятиугольников
• 
  5-я итерация, без центральных пятиугольников

Концентрические узоры плиток в форме пятичешуйчатой ​​границы могут покрывать плоскость, при этом центральная точка покрывается третьей формой, образованной сегментами 72-градусной кривой Коха, также с 5-кратной вращательной и отражательной симметрией.

• 
  Пятихлопьевидная плитка. Центральная точка не покрыта.
• 
  Пятихлопьевидная плитка. Центральная точка закрыта.

шестихлопьевидный

Шестигранник . состоит из последовательных чешуек из семи правильных шестиугольников Каждая чешуйка формируется путем размещения масштабированного шестиугольника в каждом углу и одного в центре. Каждая итерация имеет 7 шестиугольников, масштабированных на 1/3. Следовательно, гексачешуйка имеет 7 ^{п -1} шестиугольников на n- й итерации, а его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}$ ≈ 1,7712. Граница шестихлопья представляет собой стандартную кривую Коха в 60 градусов, и бесконечное количество снежинок Коха внутри нее содержится проекция канторового куба на плоскость, ортогональную . Также шестичешуйкой является его главной диагонали. Шестичешуйка применена в конструкции антенн. и оптические волокна .

Как и пентачешуйка, существует разновидность шестигранника, называемая шестиугольником Серпинского, у которой нет центрального шестиугольника. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(6)}{\log(3)}}$ ≈ 1,6309. Этот вариант по-прежнему содержит бесконечное количество кривых Коха по 60 градусов.

• 
  шестихлопьевидный
• 
  Первые шесть итераций гексафлейка.
• 
  Четвертая итерация шестиугольника Серпинского.
• 
  Ортогональная проекция канторового куба, показывающая гексачешуйку.

Полифлейки

n-хлопья (без центральных многоугольников) со сторон 3-10 и порядков 0-4 (нажмите или коснитесь, чтобы увеличить).

n-хлопья (с центральными многоугольниками) со сторон от 3 до 10 и порядков от 0 до 4 (нажмите или коснитесь, чтобы увеличить).

Существуют также n -отщепы более высоких многоугольников, но они менее распространены и обычно не имеют центрального многоугольника. [Если создается центральный многоугольник, масштабный коэффициент различается для нечетных и четных $n$: $R=1-2r$ даже для $n$ и $\textstyle {R={\frac {1-r}{cos(\pi /n)}}-r}$ для странных $n$.] Некоторые примеры показаны ниже; от 7 до 12 чешуек. Хотя это может быть неочевидно, эти более высокие поличешуйки по-прежнему содержат бесконечное количество кривых Коха, но угол кривых Коха уменьшается с n увеличением . Их размеры Хаусдорфа рассчитать немного сложнее, чем размеры n -чешуек с меньшим количеством частиц, поскольку их масштабный коэффициент менее очевиден. Однако размерность Хаусдорфа всегда меньше двух, но не меньше единицы. Интересным n значения n -чешуйкой является ∞-чешуйка, потому что по мере увеличения размерность Хаусдорфа n -чешуйки приближается к 1,

• 
  Первые четыре итерации гептачешуйки или 7-чешуйки.
• 
  Первые четыре итерации окточешуйки или 8-чешуйки.
• 
  Первые четыре итерации эннеафлейка или 9-чешуйки.
• 
  Первые четыре итерации декафлейка или 10-хлопьев.
• 
  Первые четыре итерации хендекафлейка или 11-хлопьев.
• 
  Первые четыре итерации додекафлейка или 12-хлопьев.

В трех измерениях

n -хлопья можно обобщить на более высокие измерения, в частности на топологическое измерение, равное трем. Вместо многоугольников правильные многогранники итеративно заменяются . Однако, несмотря на бесконечное количество правильных многоугольников, правильных выпуклых многогранников всего пять. Из-за этого трехмерные n-хлопья еще называют фракталами платоновых тел . В трех измерениях объем фракталов равен нулю.

Тетраэдр Серпинского

Тетраэдр Серпинского образован последовательными чешуйками четырех правильных тетраэдров. Каждая чешуйка формируется путем размещения в каждом углу тетраэдра, масштабированного на 1/2. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(4)}{\log(2)}}$, что в точности равно 2. На каждой грани находится треугольник Серпинского, внутри которого содержится бесконечное количество треугольников.

• 
  Третья итерация тетраэдра Серпинского.

Шестигранная чешуйка

Шестигранник, или куб, чешуйка, определенная так же, как тетраэдр Серпинского, представляет собой просто куб. и не представляет интереса как фрактал. Однако есть две приятные альтернативы. Одним из них является « Губка Менгера» , где каждый куб заменен трехмерным кольцом кубиков. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(20)}{\log(3)}}$ ≈ 2.7268.

Еще одну чешуйку шестигранника можно создать аналогично фракталу Вичека, расширенному до трех измерений. Каждый куб делится на 27 меньших кубиков, при этом центральный крест сохраняется, что является противоположностью губки Менгера , где крест удален. Однако это не дополнение к губке Менгера. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}$ ≈ 1,7712, потому что каждый куб заменяется крестом из 7 кубиков, каждый из которых масштабирован на 1/3.

• 
  Четвертая версия Губки Менгера.
• 
  Третья итерация 3D фрактала Вичека .

Октаэдрический отщеп

Чешуйка октаэдра, или октаэдра Серпинского, образована последовательными чешуйками шести правильных октаэдров. Каждая чешуйка формируется путем размещения в каждом углу октаэдра, масштабированного на 1/2. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(6)}{\log(2)}}$ ≈ 2,5849. На каждой грани есть треугольник Серпинского, а внутри их содержится бесконечное множество.

• 
  Третья итерация чешуйки октаэдра.

Чешуйка додекаэдра

Чешуйка додекаэдра, или додекаэдр Серпинского, образована последовательными чешуйками двадцати правильных додекаэдров. Каждая чешуйка формируется путем размещения додекаэдра, масштабированного по $\textstyle {\frac {1}{2+\varphi }}$ в каждом углу. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(20)}{\log(2+\varphi )}}$ ≈ 2.3296.

• 
  Вторая итерация фрактальной чешуйки додекаэдра.

Икосаэдр чешуйка

Чешуйка икосаэдра, или икосаэдр Серпинского, образована последовательными пластинками двенадцати правильных икосаэдров. Каждая чешуйка формируется путем размещения икосаэдра, масштабированного по $\textstyle {\frac {1}{1+\varphi }}$ в каждом углу. Его хаусдорфова размерность равна $\textstyle {\frac {\log(12)}{\log(1+\varphi )}}$ ≈ 2.5819.

• 
  Третья итерация фрактальной чешуйки икосаэдра.

См. также

• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Внешние ссылки

• Квадрафлаки, пентахлопья, гексахлопья и многое другое — включает код Mathematica для генерации этих фракталов.
• Javascript для покрытия плоскости 5-кратными симметричными плитками Pentaflake.