Моя губка

Иллюстрация M ₄ , губки после четырех итераций процесса конструирования.

В математике губка Менгера (также известная как куб Менгера , универсальная кривая Менгера , куб Серпинского или губка Серпинского ) представляет собой фрактальную кривую . Это трехмерное обобщение одномерного множества Кантора и двумерного ковра Серпинского . Впервые оно было описано Карлом Менгером в 1926 году в его исследованиях концепции топологической размерности .

Строительство

Конструкция губки Менгера может быть описана следующим образом:

1. Начнем с куба.
2. Разделите каждую грань кубика на девять квадратов аналогично кубику Рубика . Это подразделяет куб на 27 меньших кубов.
3. Удалите меньший куб из середины каждой грани и меньший куб из центра более гигантского куба, оставив 20 меньших кубиков. Это губка Менгера 1-го уровня (напоминающая куб пустоты ).
4. Повторите второй и третий шаги для каждого из оставшихся меньших кубов и продолжайте повторять до бесконечности .

Вторая итерация дает губку уровня 2, третья итерация дает губку уровня 3 и так далее. Губка Менгера сама по себе является пределом этого процесса после бесконечного числа итераций.

Иллюстрация итерационного построения губки Менгера до М ₃ , третья итерация

Характеристики

Шестиугольное сечение губки Менгера 4-го уровня. (Часть серии разрезов, перпендикулярных диагонали пространства.)

The $n$й этап губки Менгера, $M_{n}$, состоит из $20^{n}$ кубики меньшего размера, каждый со стороной (1/3) ^н . Общий объём $M_{n}$ таким образом ${\textstyle \left({\frac {20}{27}}\right)^{n}}$. Общая площадь поверхности $M_{n}$ задается выражением $2(20/9)^{n}+4(8/9)^{n}$. Таким образом, объем конструкции приближается к нулю, а площадь ее поверхности неограниченно увеличивается. Тем не менее, любая выбранная поверхность в конструкции будет тщательно проколота по мере продолжения построения, так что предел не будет ни твердым телом, ни поверхностью; он имеет топологическую размерность 1 и соответственно идентифицируется как кривая.

Каждая грань конструкции становится ковром Серпинского , а пересечение губки с любой диагональю куба или любой средней линией граней представляет собой множество Кантора . Поперечное сечение губки через центр тяжести и перпендикулярно диагонали пространства представляет собой правильный шестиугольник, пронизанный гексаграммами , расположенными с шестикратной симметрией. Количество этих гексаграмм в порядке убывания размера определяется следующим рекуррентным соотношением : $a_{n}=9a_{n-1}-12a_{n-2}$, с $a_{0}=1,\ a_{1}=6$.

губки Размерность Хаусдорфа равна ⁠ log 20 / log 3 ⁠ ≅ 2,727. Лебеговская размерность покрытия губки Менгера равна единице, как и у любой кривой . В конструкции 1926 года Менгер показал, что губка является универсальной кривой , поскольку каждая кривая гомеоморфна подмножеству губки Менгера, где кривая означает любое компактное метрическое пространство Лебега, покрывающее размерность один; сюда входят деревья и графы с произвольным счетным числом ребер, вершин и замкнутых петель, соединенных произвольными способами. Точно так же ковер Серпинского представляет собой универсальную кривую для всех кривых, которые можно нарисовать на двумерной плоскости. Губка Менгера, построенная в трех измерениях, расширяет эту идею на графики, которые не являются плоскими и могут быть встроены в любое количество измерений.

Губка Менгера представляет собой замкнутый набор ; поскольку он также ограничен, из теоремы Гейне-Бореля следует, что он компактен . Оно имеет меру Лебега 0. Поскольку оно содержит непрерывные пути, оно представляет собой несчетное множество .

Эксперименты также показали, что кубики со структурой, напоминающей губку Менгера, могут рассеивать удары в пять раз лучше из того же материала, чем кубики без пор.

Формальное определение

Формально губку Менгера можно определить следующим образом (используя пересечение множеств ):

$M:=\bigcap _{n\in \mathbb {N} }M_{n}$

где $M_{0}$ - единичный куб и

$M_{n+1}:=\left\{{\begin{matrix}(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}:&{\begin{matrix}\exists i,j,k\in \{0,1,2\}:(3x-i,3y-j,3z-k)\in M_{n}\\{\mbox{and at most one of }}i,j,k{\mbox{ is equal to 1}}\end{matrix}}\end{matrix}}\right\}.$

Мега Менгер

MegaMenger — это проект, направленный на создание крупнейшей фрактальной модели, впервые предложенный Мэттом Паркером из Лондонского университета Королевы Марии и Лорой Таалман из Университета Джеймса Мэдисона . Каждый маленький кубик состоит из шести сложенных вместе визитных карточек, что в общей сложности дает 960 000 губок четвертого уровня. Затем внешние поверхности покрывают бумажными или картонными панелями с изображением ковра Серпинского, чтобы придать им более эстетичный вид. В 2014 году было построено двадцать губок Менгера третьего уровня, которые в совокупности образовали распределенную губку Менгера четвертого уровня.

• 
  Один из Мегаменгеров в Университете Бата.
• 
  Модель тетрикса , видимая через центр Кембриджского мегаменгера уровня 3 на Кембриджском фестивале науки 2015 года.

Подобные фракталы

Иерусалимский куб

Иерусалимский куб — ​​это фрактальный объект, впервые описанный Эриком Бэрдом в 2011 году. Он создается путем рекурсивного сверления греческого креста . в кубе отверстий в форме Конструкция похожа на губку Менгера, но состоит из двух кубиков разного размера. Название происходит от грани куба, напоминающей узор иерусалимского креста .

Постройку иерусалимского куба можно описать следующим образом:

1. Начните с куба.
2. Разрежьте каждую сторону куба крестом, оставив восемь кубиков (ранга +1) в углах исходного куба, а также двенадцать кубиков меньшего размера (ранга +2), расположенных по краям исходного куба между кубиками из ранг +1.
3. Повторите процедуру на кубиках 1 и 2 рядов.

Бесконечное количество итераций приводит к созданию куба Иерусалима.

Поскольку длина ребра куба ранга N равна длине ребра двух кубов ранга N+1 и куба ранга N+2, отсюда следует, что масштабный коэффициент должен удовлетворять $k^{2}+2k=1$, поэтому $k={\sqrt {2}}-1$ это означает, что фрактал нельзя построить, используя точки рациональной решетки .

Поскольку куб ранга N делится на 8 кубов ранга N+1 и 12 кубов ранга N+2, размерность Хаусдорфа должна, следовательно, удовлетворять $8k^{d}+12(k^{2})^{d}=1$. Точное решение

$d={\frac {\log \left({\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {1}{3}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}$

что составляет примерно 2,529

Как и в случае с губкой Менгера, грани иерусалимского куба представляют собой фракталы. с тем же коэффициентом масштабирования. В этом случае размерность Хаусдорфа должна удовлетворять $4k^{d}+4(k^{2})^{d}=1$. Точное решение

$d={\frac {\log \left({\frac {{\sqrt {2}}-1}{2}}\right)}{\log \left({\sqrt {2}}-1\right)}}$

что составляет примерно 1,786

• 
  Третья итерация Иерусалимского куба
• 
  3D-печатная модель Иерусалимского куба

Другие

Снежинка Серпинского-Менгера.

• Снежинка Мосли — это фрактал на основе куба с рекурсивно удаленными углами.
• Тетрикс — это фрактал на основе тетраэдра , состоящий из четырех меньших копий, расположенных в тетраэдре.
• Снежинка Серпинского-Менгера представляет собой фрактал на основе куба, в котором восемь угловых кубов и один центральный куб сохраняются каждый раз на нижнем и нижнем шагах рекурсии. Этот своеобразный трехмерный фрактал имеет хаусдорфову размерность изначально двумерного объекта, такого как плоскость, т.е. ⁠ log 9 / log 3 ⁠ = 2

См. также

• Аполлоническая прокладка
• Канторов куб
• Снежинка Коха
• Тетраэдр Серпинского
• Треугольник Серпинского
• Список фракталов по размерности Хаусдорфа

Дальнейшее чтение

• Иванец, Тадеуш ; Мартин, Гавен (2001), Геометрическая теория функций и нелинейный анализ , Оксфордские математические монографии, The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN  978-0-19-850929-5 , МР   1859913 .
• Чжоу, Ли (2007), «Проблема 11208: Хроматические числа губок Менгера», American Mathematical Monthly , 114 (9): 842, JSTOR   27642353

Внешние ссылки

• Губка Менгера в Wolfram MathWorld
• «Губка Менгера-визитка» доктора Джанин Мозли - онлайн-выставка, посвященная этому гигантскому фракталу оригами, в Институте рисования.
• Интерактивная губка Менгера
• Интерактивные модели Java
• Охота за головоломками - Видео, объясняющее парадоксы Зенона с помощью губки Менгера-Серпинского.
• Сфера Менгера , визуализированная в SunFlow
• Губка Менгера Post-It — губка Менгера 3-го уровня, сделанная из стикеров.
• Тайна губки Менгера. Разрезан по диагонали, чтобы увидеть звезды.
• Последовательность OEIS A212596 (Количество карточек, необходимое для построения губки Менгера уровня n в оригами)
• Шерстистые мысли, уровень 2. Губка Менгера от двух «математикистов».
• Диккау, Р.: Иерусалимский куб . Дальнейшее обсуждение.
• Миллер, П.: Обсуждение явно определенных губок Менгера для нагрузочного тестирования в системах 3D-дисплея и рендеринга.