Размер упаковки

В математике размерность упаковки многих понятий, которые можно использовать для определения размерности подмножества — одно из метрического пространства . Размерность упаковки в некотором смысле двойственна , размерности Хаусдорфа поскольку размерность упаковки строится путем «упаковки» маленьких открытых шаров внутри данного подмножества, тогда как размерность Хаусдорфа строится путем покрытия данного подмножества такими маленькими открытыми шарами. Размер упаковки был введен К. Трико-младшим в 1982 году.

Определения

Пусть ( X , d ) — метрическое пространство с подмножеством S ⊆ X , и пусть s ≥ 0 — действительное число. s -мерная предварительная мера упаковки S как определяется

$P_{0}^{s}(S)=\limsup _{\delta \downarrow 0}\left\{\left.\sum _{i\in I}\mathrm {diam} (B_{i})^{s}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint closed balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}.$

К сожалению, это всего лишь предварительная мера , а не истинная мера для подмножеств X , как можно увидеть, рассматривая счетные подмножества плотные . Однако предварительная мера приводит к добросовестной мере: s -мерная мера упаковки S как определяется

$P^{s}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{s}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\},$

т. е. мера упаковки S есть нижняя грань предмер упаковки счетных покрытий S .

После этого размерность упаковки dim _P ( S ) S определяется аналогично размерности Хаусдорфа:

${\begin{aligned}\dim _{\mathrm {P} }(S)&{}=\sup\{s\geq 0|P^{s}(S)=+\infty \}\\&{}=\inf\{s\geq 0|P^{s}(S)=0\}.\end{aligned}}$

Пример

Следующий пример представляет собой простейшую ситуацию, когда размеры Хаусдорфа и упаковки могут различаться.

Исправить последовательность $(a_{n})$ такой, что $a_{0}=1$ и $0<a_{n+1}<a_{n}/2$. Индуктивно определить вложенную последовательность $E_{0}\supset E_{1}\supset E_{2}\supset \cdots$ компактных подмножеств вещественной прямой следующим образом: Пусть $E_{0}=[0,1]$. Для каждой связной компоненты $E_{n}$ (который обязательно будет интервалом длины $a_{n}$), удалить средний интервал длины $a_{n}-2a_{n+1}$, получив два интервала длины $a_{n+1}$, которые будем считать связными компонентами $E_{n+1}$. Далее определите $K=\bigcap _{n}E_{n}$. Затем $K$ топологически является канторовым множеством (т. е. компактным вполне несвязным совершенным пространством). Например, $K$ будет обычным канторовым множеством средней трети, если $a_{n}=3^{-n}$.

Можно показать, что размерности Хаусдорфа и упаковки множества $K$ даны соответственно:

${\begin{aligned}\dim _{\mathrm {H} }(K)&{}=\liminf _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,,\\\dim _{\mathrm {P} }(K)&{}=\limsup _{n\to \infty }{\frac {n\log 2}{-\log a_{n}}}\,.\end{aligned}}$

Отсюда легко следует, что данные числа $0\leq d_{1}\leq d_{2}\leq 1$, можно выбрать последовательность $(a_{n})$ как указано выше, так что ассоциированное (топологическое) множество Кантора $K$ имеет хаусдорфовую размерность $d_{1}$ и размер упаковки $d_{2}$.

Обобщения

Можно рассматривать функции размерности более общие, чем «диаметр до s »: для любой функции h : [0, +∞) → [0, +∞], пусть предварительная мера упаковки S с функцией размерности h задается выражением

$P_{0}^{h}(S)=\lim _{\delta \downarrow 0}\sup \left\{\left.\sum _{i\in I}h{\big (}\mathrm {diam} (B_{i}){\big )}\right|{\begin{matrix}\{B_{i}\}_{i\in I}{\text{ is a countable collection}}\\{\text{of pairwise disjoint balls with}}\\{\text{diameters }}\leq \delta {\text{ and centres in }}S\end{matrix}}\right\}$

и определим меру упаковки S с функцией размерности h по формуле

$P^{h}(S)=\inf \left\{\left.\sum _{j\in J}P_{0}^{h}(S_{j})\right|S\subseteq \bigcup _{j\in J}S_{j},J{\text{ countable}}\right\}.$

Функция h называется точной ( упаковочной ) функцией размерности для S, если P ^час ( S ) одновременно конечен и строго положителен.

Характеристики

• Если S — подмножество n -мерного евклидова пространства R ^н с его обычной метрикой, то размер упаковки S равен верхнему модифицированному размеру коробки S : $$\dim _{\mathrm {P} }(S)={\overline {\dim }}_{\mathrm {MB} }(S).$$ Этот результат интересен тем, что показывает, как измерение, полученное на основе меры (размер упаковки), согласуется с измерением, полученным без использования меры (измененное измерение коробки).

Однако обратите внимание, что размер упаковки не равен размеру коробки. Например, набор рациональных чисел Q имеет размерность коробки один и размерность упаковки нулевую.

См. также

• Размерность Хаусдорфа
• Размерность Минковского – Булиганда

Ссылки

• Трико, Клод младший (1982). «Два определения дробной размерности». Математические труды Кембриджского философского общества . 91 (1): 57–74. дои : 10.1017/S0305004100059119 . S2CID   122740665 . МИСТЕР 633256