Закон охлаждения Ньютона

При изучении теплопередачи , который гласит , закон охлаждения Ньютона представляет собой физический закон что скорость потери тепла телом прямо пропорциональна разнице температур между телом и окружающей средой. В закон часто включают условие, что разность температур невелика, а природа механизма теплопередачи остается прежней. По сути, это эквивалентно утверждению, что коэффициент теплопередачи , который является посредником между тепловыми потерями и разницей температур, является константой.

В теплопроводности обычно соблюдается закон Ньютона как следствие закона Фурье . Теплопроводность . большинства материалов слабо зависит от температуры, поэтому условие постоянного коэффициента теплопередачи обычно соблюдается При конвективной теплопередаче закон Ньютона соблюдается для принудительного охлаждения воздухом или перекачиваемой жидкостью, когда свойства жидкости не сильно изменяются с температурой, но он справедлив лишь приблизительно для конвекции, вызванной плавучестью, когда скорость потока увеличивается с увеличением температуры. разница температур. В случае теплопередачи тепловым излучением закон охлаждения Ньютона справедлив только для очень малых разностей температур.

Если формулировать закон Ньютона с точки зрения разности температур (с несколькими дальнейшими упрощающими допущениями, такими как низкое число Био и независимая от температуры теплоемкость ), то он приводит к простому дифференциальному уравнению, выражающему разность температур как функцию времени . Решение этого уравнения описывает экспоненциальное уменьшение разницы температур с течением времени. Это характерное уменьшение разности температур также связано с законом охлаждения Ньютона.

Историческая справка

Исаак Ньютон анонимно опубликовал свою работу по охлаждению в 1701 году под названием «Scala graduum Caloris» в «Philosophical Transactions » .

Первоначально Ньютон не сформулировал свой закон в приведенной выше форме в 1701 году. Скорее, используя сегодняшние термины, Ньютон после некоторых математических манипуляций заметил, что скорость изменения температуры тела пропорциональна разнице температур между телом и его окружением. Эта последняя простейшая версия закона, данная самим Ньютоном, отчасти возникла из-за путаницы во времена Ньютона между понятиями тепла и температуры, которая была полностью распутана лишь намного позже.

В 2020 году Маруяма и Мория повторили эксперименты Ньютона с современной аппаратурой и применили современные методы обработки данных. В частности, эти исследователи учитывали тепловое излучение при высоких температурах (как и в случае с расплавленными металлами, использованными Ньютоном), а также влияние плавучести на воздушный поток. Сравнивая исходные данные Ньютона, они пришли к выводу, что его измерения (с 1692 по 1693 год) были «вполне точными».

Связь с механизмом охлаждения

Иногда говорят, что конвекционное охлаждение регулируется «законом охлаждения Ньютона». Когда коэффициент теплопередачи не зависит или относительно не зависит от разницы температур между объектом и окружающей средой, соблюдается закон Ньютона. Закон хорошо соблюдается для принудительного воздушного и насосного жидкостного охлаждения, где скорость жидкости не увеличивается с увеличением разницы температур. Закон Ньютона наиболее точно соблюдается при охлаждении чисто кондуктивного типа. Однако коэффициент теплопередачи является функцией разницы температур при естественной конвективной (за счет плавучести) теплопередаче. В этом случае закон Ньютона аппроксимирует результат только тогда, когда разница температур относительно невелика. Сам Ньютон осознавал это ограничение.

Поправка к закону Ньютона о конвекции для больших перепадов температур путем включения показателя степени была сделана в 1817 году Дюлонгом и Пти . (Эти люди более известны своей формулировкой закона Дюлонга-Пти, касающегося молярной удельной теплоемкости кристалла.)

Другая ситуация, не подчиняющаяся закону Ньютона, — это радиационная теплопередача . Радиационное охлаждение лучше описывается законом Стефана-Больцмана , в котором скорость теплопередачи изменяется как разница в 4-х степенях абсолютных температур объекта и его окружающей среды.

Математическая формулировка закона Ньютона

Формулировка закона Ньютона, используемая в литературе по теплопередаче, вносит в математику идею о том, что скорость потери тепла телом пропорциональна разнице температур между телом и окружающей его средой . Для коэффициента теплопередачи, не зависящего от температуры, формулировка следующая:

$$q=h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=h\,\Delta T(t),$$где

• $q$ — тепловой поток , передаваемый из тела (единица СИ: ватт /м ² ),
• $h$ - коэффициент теплопередачи (предполагается, что он не зависит от T и усреднен по поверхности) (единица СИ: Вт/м ² ⋅K),
• $T$ - температура поверхности объекта (единица СИ: К),
• $T_{\text{env}}$ – температура окружающей среды; т. е. температура на достаточном расстоянии от поверхности (единица СИ: К),
• $\Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}$ – это зависящая от времени разница температур между окружающей средой и объектом (единица СИ: К).

В глобальных параметрах путем интегрирования теплового потока по площади поверхности его также можно выразить как:

$${\dot {Q}}=\oint _{A}h\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)dA=\oint _{A}h\,\Delta T(t)dA,$$где

• ${\dot {Q}}$ — скорость теплоотдачи тела (единица СИ: ватт ), ${\dot {Q}}=\oint _{A}qdA$
• $h$ - коэффициент теплопередачи (предполагается, что он не зависит от T и усреднен по поверхности) (единица СИ: Вт/м ² ⋅K),
• $A$ - площадь поверхности теплопередачи (единица СИ: м ² ),
• $T$ - температура поверхности объекта (единица СИ: К),
• $T_{\text{env}}$ – температура окружающей среды; т. е. температура на достаточном расстоянии от поверхности (единица СИ: К),
• $\Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}$ – это зависящая от времени разница температур между окружающей средой и объектом (единица СИ: К).

Если коэффициент теплопередачи и разница температур одинаковы вдоль поверхности теплопередачи, приведенная выше формула упрощается до:

$${\dot {Q}}=hA\left(T(t)-T_{\text{env}}\right)=hA\,\Delta T(t)$$.

Коэффициент теплопередачи h зависит от физических свойств жидкости и физической ситуации, в которой происходит конвекция. Следовательно, для каждой системы, подлежащей анализу, должен быть выведен или найден экспериментально единый применимый коэффициент теплопередачи (который существенно не меняется в пределах диапазона разницы температур, охватываемого при охлаждении и нагреве).

Во многих справочниках доступны формулы и корреляции для расчета коэффициентов теплопередачи для типичных конфигураций и жидкостей. Для ламинарных потоков коэффициент теплоотдачи обычно меньше, чем для турбулентных потоков , поскольку турбулентные потоки имеют сильное перемешивание внутри пограничного слоя на поверхности теплопередачи. Обратите внимание на изменение коэффициента теплоотдачи в системе при переходе от ламинарного течения к турбулентному.

Число Био

Основная статья: Число Био

Число Био, безразмерная величина, определяется для тела как

$${\text{Bi}}={\frac {hL_{\rm {C}}}{k_{\rm {b}}}},$$где

• h = коэффициент пленки или коэффициент теплопередачи или коэффициент конвективной теплопередачи,
• L _C = характеристическая длина , которую обычно определяют как объем тела, разделенный на площадь поверхности тела, так что $L_{\rm {C}}=V_{\text{body}}/A_{\text{surface}}$,
• k _b = теплопроводность тела.

Физическое значение числа Био можно понять, представив тепловой поток от горячего металлического шара, внезапно погруженного в ванну, в окружающую жидкость. Тепловой поток испытывает два сопротивления: первое снаружи поверхности сферы, а второе внутри твердого металла (на которое влияют как размер, так и состав сферы). Отношение этих сопротивлений представляет собой безразмерное число Био.

Если тепловое сопротивление на границе раздела жидкость/сфера превышает тепловое сопротивление внутренней части металлической сферы, число Био будет меньше единицы. Для систем, где она намного меньше единицы, можно предположить, что внутренняя часть сферы всегда имеет одну и ту же температуру, хотя эта температура может меняться по мере того, как тепло переходит в сферу с поверхности. Уравнение, описывающее это изменение (относительно однородной) температуры внутри объекта, представляет собой простое экспоненциальное уравнение, описанное в законе охлаждения Ньютона, выраженном через разность температур (см. Ниже).

Напротив, металлическая сфера может быть большой, в результате чего характерная длина увеличивается до такой степени, что число Био становится больше единицы. В этом случае становятся важными температурные градиенты внутри сферы, хотя материал сферы является хорошим проводником. Аналогично, если сфера сделана из теплоизолирующего (плохо проводящего) материала, такого как дерево или пенопласт, внутреннее сопротивление тепловому потоку будет превышать сопротивление на границе жидкость/сфера, даже если сфера гораздо меньшего размера. В этом случае число Био опять же будет больше единицы.

Значения числа Био меньше 0,1 означают, что теплопроводность внутри тела намного быстрее, чем конвекция тепла от его поверхности, а градиенты температуры внутри него пренебрежимо малы. Это может указывать на применимость (или неприменимость) тех или иных методов решения нестационарных задач теплопередачи. Например, число Био менее 0,1 обычно указывает на то, что ошибка менее 5% будет присутствовать при использовании сосредоточенной емкостью (также называемой анализом системы с сосредоточенными параметрами). модели переходной теплопередачи с Обычно этот тип анализа приводит к простому экспоненциальному поведению нагрева или охлаждения («ньютоновское» охлаждение или нагрев), поскольку внутренняя энергия тела прямо пропорциональна его температуре, которая, в свою очередь, определяет скорость передачи тепла в него или из него. . Это приводит к простому дифференциальному уравнению первого порядка, описывающему теплообмен в этих системах.

Если число Био меньше 0,1, вещество считается «термически тонким», и можно предположить, что температура постоянна по всему объему материала. Верно и обратное: число Био больше 0,1 («термически толстое» вещество) указывает на то, что это предположение невозможно сделать, и для описания изменяющихся во времени и непространственно-однородное температурное поле внутри материального тела. Аналитические методы решения этих задач, которые могут существовать для простых геометрических форм и однородной теплопроводности материала , описаны в статье об уравнении теплопроводности .

Применение закона переходного охлаждения Ньютона

Простые решения для кратковременного охлаждения объекта могут быть получены, когда внутреннее тепловое сопротивление внутри объекта мало по сравнению с сопротивлением передаче тепла от поверхности объекта (за счет внешней проводимости или конвекции), что является условием, для которого действует метод Био. число меньше примерно 0,1. Это условие позволяет предположить единую, примерно однородную температуру внутри тела, которая меняется во времени, но не в зависимости от положения. (В противном случае внутри тела одновременно было бы много разных температур.) Эта единственная температура обычно будет меняться экспоненциально с течением времени (см. ниже).

Условие малого числа Био приводит к так называемой модели сосредоточенной емкости . В этой модели внутренняя энергия (количество тепловой энергии в теле) рассчитывается в предположении постоянной теплоемкости . В этом случае внутренняя энергия тела является линейной функцией единственной внутренней температуры тела.

Следующее решение для сосредоточенной емкости предполагает постоянный коэффициент теплопередачи, как это было бы в случае вынужденной конвекции. Для свободной конвекции модель сосредоточенной емкости может быть решена с коэффициентом теплопередачи, который меняется в зависимости от разницы температур.

Переходный процесс первого порядка объектов с сосредоточенной емкостью

Тело, рассматриваемое как объект с сосредоточенной емкостью, с полной внутренней энергией $U$ (в джоулях), характеризуется единой однородной внутренней температурой, $T(t)$. Теплоемкость, $C$, тела $C=dU/dT$ (в Дж/К) для случая несжимаемого материала. Внутреннюю энергию можно записать через температуру тела, теплоемкость (считающуюся независимой от температуры) и эталонную температуру, при которой внутренняя энергия равна нулю: $U=C(T-T_{\text{ref}})$.

Дифференциация $U$ по времени дает: $${\frac {dU}{dt}}=C\,{\frac {dT}{dt}}.$$

Применение первого закона термодинамики к сосредоточенному объекту дает ${\textstyle {\frac {dU}{dt}}=-{\dot {Q}}}$, где скорость теплоотдачи тела, ${\dot {Q}}$, может быть выражено законом охлаждения Ньютона, и при этом для несжимаемого материала передача работы не происходит. Таким образом, $${\frac {dT(t)}{dt}}=-{\frac {hA}{C}}(T(t)-T_{\text{env}})=-{\frac {1}{\tau }}\ \Delta T(t),$$где постоянная времени системы $\tau =C/(hA)$. Теплоемкость $C$ может быть записано через удельную теплоемкость объекта , $c$ (Дж/кг-К) и масса, $m$ (кг). Тогда постоянная времени $\tau =mc/(hA)$.

Если температура окружающей среды постоянна во времени, мы можем определить $\Delta T(t)=T(t)-T_{\text{env}}$. Уравнение становится $${\frac {dT(t)}{dt}}={\frac {d\Delta T(t)}{dt}}=-{\frac {1}{\tau }}\Delta T(t).$$

Решение этого дифференциального уравнения путем интегрирования по начальному условию имеет вид $$\Delta T(t)=\Delta T(0)\,e^{-t/\tau }.$$где $\Delta T(0)$ - разница температур в момент времени 0. Возвращаясь к температуре, решение: $$T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})\,e^{-t/\tau }.$$

Разница температур между телом и окружающей средой экспоненциально убывает в зависимости от времени.

Безразмерность

Путем обезразмеривания дифференциальное уравнение принимает вид

$${\dot {T}}=r\left(T_{\text{env}}-T(t)\right),$$где

• ${\dot {T}}$ - скорость потери тепла (единица СИ: К/секунда),
• $T$ - температура поверхности объекта (единица СИ: К),
• $T_{\text{env}}$ – температура окружающей среды; т. е. температура на достаточном расстоянии от поверхности (единица СИ: К),
• $r$ - коэффициент теплопередачи (единица СИ: секунда $^{-1}$).

Решение задачи начального значения с использованием разделения переменных дает

$$T(t)=T_{\text{env}}+(T(0)-T_{\text{env}})e^{-rt}.$$

См. также

• Теплопроводность
• Список теплопроводностей
• Уравнение конвекции-диффузии
• R-значение (изоляция)
• Тепловая трубка
• Закон диффузии Фика
• Релятивистская теплопроводность
• Уравнение Черчилля – Бернштейна
• число Фурье
• Номер Биота
• Ложная диффузия
• Эффект Мпембы

Ссылки

См. также:

• Дегани, Ж. 2007, CHNG2801 – Процессы сохранения и транспортировки: конспекты курса, Сиднейский университет, Сидней

Внешние ссылки

• Теплопроводность – Thermal-FluidsPedia
• Закон охлаждения Ньютона Джеффа Брайанта на основе программы Стивена Вольфрама , Демонстрационный проект Вольфрама .
• Учебник по теплопередаче, 5/e , бесплатная электронная книга.