Список формул, включающих π

Ниже приводится список важных формул, включающих математическую константу π . Многие из этих формул можно найти в статье Пи или в статье Приближения числа π .

Евклидова геометрия

$\pi ={\frac {C}{d}}={\frac {C}{2r}}$

где C — длина окружности r , d — диаметр , а — радиус . В более общем смысле,

$\pi ={\frac {L}{w}}$

где L и w — соответственно периметр и ширина любой кривой постоянной ширины .

$A=\pi r^{2}$

где А — площадь круга . В более общем смысле,

$A=\pi ab$

где A — площадь, заключенная в эллипс с большой полуосью a и малой полуосью b .

$C={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (a,b)}}\left(a_{1}^{2}-\sum _{n=2}^{\infty }2^{n-1}(a_{n}^{2}-b_{n}^{2})\right)$

где C — длина окружности эллипса с большой полуосью a и малой полуосью b , а $a_{n},b_{n}$ являются арифметическими и геометрическими итерациями $\operatorname {agm} (a,b)$, арифметико-геометрическое среднее a и b с начальными значениями $a_{0}=a$ и $b_{0}=b$.

$A=4\pi r^{2}$

где А — площадь между ведьмой Аньези и ее асимптотической линией; r — радиус определяющего круга.

$A={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{2{\sqrt {\pi }}}}r^{2}={\frac {\pi r^{2}}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}$

где A — площадь белочка малого радиуса r , $\Gamma$ это гамма-функция .

$A=(k+1)(k+2)\pi r^{2}$

где A — площадь эпициклоиды с меньшим кругом радиуса r и большим кругом радиуса kr ( $k\in \mathbb {N}$), предполагая, что начальная точка лежит на большем круге.

$A={\frac {(-1)^{k}+3}{8}}\pi a^{2}$

где A — площадь розы с угловой частотой k ( $k\in \mathbb {N}$) и амплитуда a .

$L={\frac {\Gamma (1/4)^{2}}{\sqrt {\pi }}}c={\frac {2\pi c}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})}}$

где L — периметр лемнискаты Бернулли с фокусным расстоянием с .

$V={4 \over 3}\pi r^{3}$

где V — объем сферы , а r — радиус.

$SA=4\pi r^{2}$

где SA — площадь поверхности сферы, а r — радиус.

$H={1 \over 2}\pi ^{2}r^{4}$

где H — гиперобъем 3-сферы , а r — радиус.

$SV=2\pi ^{2}r^{3}$

где SV — поверхностный объем 3-сферы, а r — радиус.

Правильные выпуклые многоугольники

Сумма S внутренних углов правильного выпуклого многоугольника с n сторонами:

$S=(n-2)\pi$

Площадь A правильного выпуклого многоугольника с n сторонами и длиной стороны s :

$A={\frac {ns^{2}}{4}}\cot {\frac {\pi }{n}}$

Внутренний радиус r правильного выпуклого многоугольника с n сторонами и длиной стороны s :

$r={\frac {s}{2}}\cot {\frac {\pi }{n}}$

Описанный радиус R правильного выпуклого многоугольника с n сторонами и длиной стороны s :

$R={\frac {s}{2}}\csc {\frac {\pi }{n}}$

Физика

• Космологическая постоянная :

$\Lambda ={{8\pi G} \over {3c^{2}}}\rho$

• Принцип неопределенности Гейзенберга :

$\Delta x\,\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }}$

• Уравнение поля Эйнштейна теории общей относительности :

$R_{\mu \nu }-{\frac {1}{2}}g_{\mu \nu }R+\Lambda g_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }$

• Закон Кулона для электрической силы в вакууме:

$F={\frac {|q_{1}q_{2}|}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}$

• Магнитная проницаемость свободного пространства :

$\mu _{0}\approx 4\pi \cdot 10^{-7}\,\mathrm {N} /\mathrm {A} ^{2}$

• Примерный период простого маятника малой амплитуды:

$T\approx 2\pi {\sqrt {\frac {L}{g}}}$

• Точный период простого маятника с амплитудой $\theta _{0}$ ( $\operatorname {agm}$ – среднее арифметико-геометрическое ):

$T={\frac {2\pi }{\operatorname {agm} (1,\cos(\theta _{0}/2))}}{\sqrt {\frac {L}{g}}}$

• Третий закон движения планет Кеплера :

${\frac {R^{3}}{T^{2}}}={\frac {GM}{4\pi ^{2}}}$

• Формула выпучивания :

$F={\frac {\pi ^{2}EI}{L^{2}}}$

Головоломка со «сталкивающимися бильярдными шарами»:

$\lfloor {b^{N}\pi }\rfloor$

- это количество столкновений (в идеальных условиях, совершенно упругих, без трения) объекта массы m, первоначально покоящегося между неподвижной стеной и другим объектом массы b. ^{2 Н} m при ударе другим предметом. (Это дает цифры π по основанию b до N цифр после точки счисления.)

Формулы π

Интегралы

$2\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=\pi$ (объединяя две половинки $y(x)={\sqrt {1-x^{2}}}$ чтобы получить площадь единичного круга)

$\int _{-\infty }^{\infty }\operatorname {sech} x\,dx=\pi$

$\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-1/2t^{2}-x^{2}+xt}\,dx\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{t}^{\infty }e^{-t^{2}-1/2x^{2}+xt}\,dx\,dt=\pi$

$\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\pi$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}=\pi$ (см. также распределение Коши )

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi$ (см. интеграл Дирихле )

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}$ (см. Гауссов интеграл ).

$\oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i$ (когда путь интегрирования один раз поворачивается против часовой стрелки вокруг 0. См. также интегральную формулу Коши ).

$\int _{0}^{\infty }\ln \left(1+{\frac {1}{x^{2}}}\right)\,dx=\pi$

$\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx=\pi$

$\int _{0}^{1}{x^{4}(1-x)^{4} \over 1+x^{2}}\,dx={22 \over 7}-\pi$ (см. также «Доказательство того, что 22/7 превышает π» ).

$\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha -1}}{x+1}}\,dx={\frac {\pi }{\sin \pi \alpha }},\quad 0<\alpha <1$

$\int _{0}^{\infty }{\frac {dx}{\sqrt {x(x+a)(x+b)}}}={\frac {\pi }{\operatorname {agm} ({\sqrt {a}},{\sqrt {b}})}}$ (где $\operatorname {agm}$ – среднее арифметико-геометрическое ; см. также эллиптический интеграл )

Обратите внимание, что с симметричными подынтегральными выражениями $f(-x)=f(x)$, формулы вида ${\textstyle \int _{-a}^{a}f(x)\,dx}$ также можно перевести в формулы ${\textstyle 2\int _{0}^{a}f(x)\,dx}$.

бесконечная

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k+1)!}}={\frac {\pi }{2}}$ (см. также Двойной факториал )

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!\,(2k)!\,(25k-3)}{(3k)!\,2^{k}}}={\frac {\pi }{2}}$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k}}}={\frac {4270934400}{{\sqrt {10005}}\pi }}$ (see Chudnovsky algorithm )

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}={\frac {9801}{2{\sqrt {2}}\pi }}$ (см. Шриниваса Рамануджан , серию Рамануджан-Сато )

Следующие методы эффективны для вычисления произвольных двоичных цифр числа π :

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{4^{k}}}\left({\frac {2}{4k+1}}+{\frac {2}{4k+2}}+{\frac {1}{4k+3}}\right)=\pi$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi$ (см. формулу Бейли – Борвейна – Плуффа )

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {8}{8k+2}}+{\frac {4}{8k+3}}+{\frac {4}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+7}}\right)=2\pi$

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {{(-1)}^{k}}{2^{10k}}}\left(-{\frac {2^{5}}{4k+1}}-{\frac {1}{4k+3}}+{\frac {2^{8}}{10k+1}}-{\frac {2^{6}}{10k+3}}-{\frac {2^{2}}{10k+5}}-{\frac {2^{2}}{10k+7}}+{\frac {1}{10k+9}}\right)=2^{6}\pi$

Ряд Плуффа для вычисления произвольных десятичных цифр числа π :

$\sum _{k=1}^{\infty }k{\frac {2^{k}k!^{2}}{(2k)!}}=\pi +3$

Другие бесконечные серии

$\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (см. также Базельскую задачу и дзета-функцию Римана )

$\zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}$

$\zeta (2n)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2n}}}\,={\frac {1}{1^{2n}}}+{\frac {1}{2^{2n}}}+{\frac {1}{3^{2n}}}+{\frac {1}{4^{2n}}}+\cdots =(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$ , где B _{2 n} — число Бернулли .

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {3^{n}-1}{4^{n}}}\,\zeta (n+1)=\pi$

$\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {2(3/2)^{n}-3}{n}}(\zeta (n)-1)=\ln \pi$

$\sum _{n=1}^{\infty }\zeta (2n){\frac {x^{2n}}{n}}=\ln {\frac {\pi x}{\sin \pi x}},\quad 0<|x|<1$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots =\arctan {1}={\frac {\pi }{4}}$ (см. формулу Лейбница для числа Пи )

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{(n^{2}-n)/2}}{2n+1}}=1+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{11}}-\cdots ={\frac {\pi }{2{\sqrt {2}}}}$ ( Ньютон , Второе письмо к Ольденбургу , 1676 г.)

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}(2n+1)}}=1-{\frac {1}{3^{1}\cdot 3}}+{\frac {1}{3^{2}\cdot 5}}-{\frac {1}{3^{3}\cdot 7}}+{\frac {1}{3^{4}\cdot 9}}-\cdots ={\sqrt {3}}\arctan {\frac {1}{\sqrt {3}}}={\frac {\pi }{2{\sqrt {3}}}}$ ( серия Мадхава )

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{2}}}={\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{12}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n)^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{6^{2}}}+{\frac {1}{8^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{24}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{2}={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {1}{7^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{3}={\frac {1}{1^{3}}}-{\frac {1}{3^{3}}}+{\frac {1}{5^{3}}}-{\frac {1}{7^{3}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{3}}{32}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{4}={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+{\frac {1}{7^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{96}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\right)^{5}={\frac {1}{1^{5}}}-{\frac {1}{3^{5}}}+{\frac {1}{5^{5}}}-{\frac {1}{7^{5}}}+\cdots ={\frac {5\pi ^{5}}{1536}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2n+1}}\right)^{6}={\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+{\frac {1}{7^{6}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{6}}{960}}$

В общем,

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{2k+1}}}=(-1)^{k}{\frac {E_{2k}}{2(2k)!}}\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2k+1},\quad k\in \mathbb {N} _{0}$

где $E_{2k}$ это $2k$число Эйлера .

$\sum _{n=0}^{\infty }{\binom {\frac {1}{2}}{n}}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}=1-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{40}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(4n+1)(4n+3)}}={\frac {1}{1\cdot 3}}+{\frac {1}{5\cdot 7}}+{\frac {1}{9\cdot 11}}+\cdots ={\frac {\pi }{8}}$

$\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{(n^{2}+n)/2+1}\left|G_{\left((-1)^{n+1}+6n-3\right)/4}\right|=|G_{1}|+|G_{2}|-|G_{4}|-|G_{5}|+|G_{7}|+|G_{8}|-|G_{10}|-|G_{11}|+\cdots ={\frac {\sqrt {3}}{\pi }}$ (см. коэффициенты Грегори )

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n(1/2)_{n}^{2}}{2^{n}n!^{2}}}={\frac {1}{\pi }}$ (где $(x)_{n}$ это возрастающий факториал )

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n(n+1)(2n+1)}}=\pi -3$ ( серия Нилаканта )

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {F_{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}={\frac {4\pi ^{2}}{25{\sqrt {5}}}}$ (где $F_{n}$ — n -е число Фибоначчи )

$\sum _{n=1}^{\infty }\sigma (n)e^{-2\pi n}={\frac {1}{24}}-{\frac {1}{8\pi }}$ (где $\sigma$ — функция суммы делителей )

$\pi =\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\epsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{12}}-{\frac {1}{13}}+\cdots$ (где $\epsilon (n)$ - количество простых делителей вида $p\equiv 1\,(\mathrm {mod} \,4)$ из $n$)

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{\varepsilon (n)}}{n}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+\cdots$ (где $\varepsilon (n)$ - количество простых делителей вида $p\equiv 3\,(\mathrm {mod} \,4)$ из $n$)

$\pi =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1/2}}$

$\pi ^{2}=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+1/2)^{2}}}$

Последние две формулы являются частными случаями

${\begin{aligned}{\frac {\pi }{\sin \pi x}}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+x}}\\\left({\frac {\pi }{\sin \pi x}}\right)^{2}&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(n+x)^{2}}}\end{aligned}}$

порождающие бесконечное множество аналогичных формул для $\pi$ когда $x\in \mathbb {Q} \setminus \mathbb {Z} .$

Некоторые формулы, связывающие π и числа гармоник, приведены здесь . Дальнейшие бесконечные ряды с участием π:

$\pi ={\frac {1}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {((2n)!)^{3}(42n+5)}{(n!)^{6}{16}^{3n+1}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}{441}^{2n+1}{2}^{10n+1}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(6n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{4^{n}}(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {32}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}\right)^{8n}{\frac {(42n{\sqrt {5}}+30n+5{\sqrt {5}}-1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}^{3}}{{64^{n}}(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {27}{4Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {2}{27}}\right)^{n}{\frac {(15n+2)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {15{\sqrt {3}}}{2Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(33n+4)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{3}}\right)_{n}\left({\frac {2}{3}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {85{\sqrt {85}}}{18{\sqrt {3}}Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{85}}\right)^{n}{\frac {(133n+8)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {5{\sqrt {5}}}{2{\sqrt {3}}Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {4}{125}}\right)^{n}{\frac {(11n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{6}}\right)_{n}\left({\frac {5}{6}}\right)_{n}}{(n!)^{3}}}$
$\pi ={\frac {2{\sqrt {3}}}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(8n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{n}}}$
$\pi ={\frac {\sqrt {3}}{9Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(40n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{49}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {2{\sqrt {11}}}{11Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(280n+19)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{99}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {\sqrt {2}}{4Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(10n+1)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{9}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {4{\sqrt {5}}}{5Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(644n+41)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}5^{n}{72}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {4{\sqrt {3}}}{3Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(28n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{3^{n}}{4}^{n+1}}}$
$\pi ={\frac {4}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(20n+3)\left({\frac {1}{2}}\right)_{n}\left({\frac {1}{4}}\right)_{n}\left({\frac {3}{4}}\right)_{n}}{(n!)^{3}{2}^{2n+1}}}$
$\pi ={\frac {72}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(260n+23)}{(n!)^{4}4^{4n}18^{2n}}}$
$\pi ={\frac {3528}{Z}}$	$Z=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(4n)!(21460n+1123)}{(n!)^{4}4^{4n}882^{2n}}}$

где $(x)_{n}$ — это символ Поххаммера для восходящего факториала. См. также серию Рамануджана-Сато .

Машиноподобные формулы

См. Также: Машиноподобная формула.

${\frac {\pi }{4}}=\arctan 1$

${\frac {\pi }{4}}=\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{3}}$

${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{2}}-\arctan {\frac {1}{7}}$

${\frac {\pi }{4}}=2\arctan {\frac {1}{3}}+\arctan {\frac {1}{7}}$

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$ (оригинальная формула Мачина )

${\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}$

${\frac {\pi }{4}}=6\arctan {\frac {1}{8}}+2\arctan {\frac {1}{57}}+\arctan {\frac {1}{239}}$

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$

Бесконечные продукты

${\frac {\pi }{4}}=\left(\prod _{p\equiv 1{\pmod {4}}}{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\prod _{p\equiv 3{\pmod {4}}}{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdots ,$ (Эйлер)

где числители — нечетные простые числа; каждый знаменатель кратен четырем, ближайшим к числителю.

${\frac {{\sqrt {3}}\pi }{6}}=\left(\displaystyle \prod _{p\equiv 1{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p-1}}\right)\cdot \left(\displaystyle \prod _{p\equiv 5{\pmod {6}} \atop p\in \mathbb {P} }{\frac {p}{p+1}}\right)={\frac {5}{6}}\cdot {\frac {7}{6}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{18}}\cdots ,$

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n)(2n)}{(2n-1)(2n+1)}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots$ (см. также продукт Уоллиса )

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{(-1)^{n+1}}=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)^{+1}\left(1+{\frac {1}{2}}\right)^{-1}\left(1+{\frac {1}{3}}\right)^{+1}\cdots$ (еще одна форма продукта Wallis)

Формула Вьета :

${\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \cdots$

Формула двойного бесконечного произведения, включающая последовательность Туэ – Морса :

${\frac {\pi }{2}}=\prod _{m\geq 1}\prod _{n\geq 1}\left({\frac {(4m^{2}+n-2)(4m^{2}+2n-1)^{2}}{4(2m^{2}+n-1)(4m^{2}+n-1)(2m^{2}+n)}}\right)^{\epsilon _{n}},$

где $\epsilon _{n}=(-1)^{t_{n}}$ и $t_{n}$ представляет собой последовательность Туэ-Морса ( Tóth 2020 ).

Формулы арктангенса

${\frac {\pi }{2^{k+1}}}=\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},\qquad \qquad k\geq 2$

${\frac {\pi }{4}}=\sum _{k\geq 2}\arctan {\frac {\sqrt {2-a_{k-1}}}{a_{k}}},$

где $a_{k}={\sqrt {2+a_{k-1}}}$ такой, что $a_{1}={\sqrt {2}}$.

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }\arctan {\frac {1}{F_{2k+1}}}=\arctan {\frac {1}{1}}+\arctan {\frac {1}{2}}+\arctan {\frac {1}{5}}+\arctan {\frac {1}{13}}+\cdots$

где $F_{k}$ – k -е число Фибоначчи.

$\pi =\arctan a+\arctan b+\arctan c$

в любое время $a+b+c=abc$ и $a$, $b$, $c$ являются положительными действительными числами (см. Список тригонометрических тождеств ). Особым случаем является

$\pi =\arctan 1+\arctan 2+\arctan 3.$

Сложные функции

$e^{i\pi }+1=0$ ( тождество Эйлера )

Следующие эквивалентности верны для любого комплексного $z$:

$e^{z}\in \mathbb {R} \leftrightarrow \Im z\in \pi \mathbb {Z}$

$e^{z}=1\leftrightarrow z\in 2\pi i\mathbb {Z}$

Также

${\frac {1}{e^{z}-1}}=\lim _{N\to \infty }\sum _{n=-N}^{N}{\frac {1}{z-2\pi in}}-{\frac {1}{2}},\quad z\in \mathbb {C} .$

Предположим, что решетка $\Omega$ генерируется двумя периодами $\omega _{1},\omega _{2}$. Определим квазипериоды этой решетки формулой $\eta _{1}=\zeta (z+\omega _{1};\Omega )-\zeta (z;\Omega )$ и $\eta _{2}=\zeta (z+\omega _{2};\Omega )-\zeta (z;\Omega )$ где $\zeta$ – дзета-функция Вейерштрасса ( $\eta _{1}$ и $\eta _{2}$ фактически независимы от $z$). Тогда периоды и квазипериоды связаны тождеством Лежандра :

$\eta _{1}\omega _{2}-\eta _{2}\omega _{1}=2\pi i.$

Цепные дроби

${\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}$

${\frac {\varpi ^{2}}{\pi }}={2+{\cfrac {1^{2}}{4+{\cfrac {3^{2}}{4+{\cfrac {5^{2}}{4+{\cfrac {7^{2}}{4+\ddots \,}}}}}}}}}\quad$ ( Рамануджан , $\varpi$ — константа лемнискаты )

$\pi ={3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+\ddots \,}}}}}}}}}$

$\pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

$2\pi ={6+{\cfrac {2^{2}}{12+{\cfrac {6^{2}}{12+{\cfrac {10^{2}}{12+{\cfrac {14^{2}}{12+{\cfrac {18^{2}}{12+\ddots }}}}}}}}}}}$

Дополнительную информацию о четвертом тождестве см. в формуле непрерывной дроби Эйлера .

(См. также Непрерывная дробь и Обобщенная цепная дробь .)

Итеративные алгоритмы

$a_{0}=1,\,a_{n+1}=\left(1+{\frac {1}{2n+1}}\right)a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {a_{n}^{2}}{n}}$

$a_{1}=0,\,a_{n+1}={\sqrt {2+a_{n}}},\,\pi =\lim _{n\to \infty }2^{n}{\sqrt {2-a_{n}}}$ (тесно связано с формулой Вьета)

$\omega (i_{n},i_{n-1},\dots ,i_{1})=2+i_{n}{\sqrt {2+i_{n-1}{\sqrt {2+\cdots +i_{1}{\sqrt {2}}}}}}=\omega (b_{n},b_{n-1},\dots ,b_{1}),\,i_{k}\in \{-1,1\},\,b_{k}={\begin{cases}0&{\text{if }}i_{k}=1\\1&{\text{if }}i_{k}=-1\end{cases}},\,\pi ={\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{n+1}}{2h+1}}{\sqrt {\omega \left(\underbrace {10\ldots 0} _{n-m}g_{m,h+1}\right)}}}$ (где $g_{m,h+1}$ — h+1-я запись m-битного кода Грея , $h\in \left\{0,1,\ldots ,2^{m}-1\right\}$)

$\forall k\in \mathbb {N} ,\,a_{1}=2^{-k},\,a_{n+1}=a_{n}+2^{-k}(1-\tan(2^{k-1}a_{n})),\,\pi =2^{k+1}\lim _{n\to \infty }a_{n}$ (квадратичная сходимость)

$a_{1}=1,\,a_{n+1}=a_{n}+\sin a_{n},\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}$ (кубическая сходимость)

$a_{0}=2{\sqrt {3}},\,b_{0}=3,\,a_{n+1}=\operatorname {hm} (a_{n},b_{n}),\,b_{n+1}=\operatorname {gm} (a_{n+1},b_{n}),\,\pi =\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}$ ( Алгоритм Архимеда , см. также среднее гармоническое и среднее геометрическое )

Дополнительные итеративные алгоритмы см. в алгоритме Гаусса – Лежандра и алгоритме Борвейна .

Асимптотика

${\binom {2n}{n}}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n}}}$ (асимптотическая скорость роста центральных биномиальных коэффициентов )

$C_{n}\sim {\frac {4^{n}}{\sqrt {\pi n^{3}}}}$ (асимптотическая скорость роста каталонских чисел )

$n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ ( приближение Стирлинга )

$\sum _{k=1}^{n}\varphi (k)\sim {\frac {3n^{2}}{\pi ^{2}}}$ (где $\varphi$ — полная функция Эйлера )

$\sum _{k=1}^{n}{\frac {\varphi (k)}{k}}\sim {\frac {6n}{\pi ^{2}}}$

инверсии

С ${}_{2}F_{1}$ будучи гипергеометрической функцией , пусть $\left|q\right|<1$ и

$\Theta (q)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}$.

Затем

$\Theta (q)^{2}={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}},1,z\right)$

где

$q=\exp \left(-\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/2,1/2,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}.$

Аналогично, пусть $\left|q\right|<1$ и

$\operatorname {H} (q)=1+240\sum _{n=1}^{\infty }\sigma _{3}(n)q^{n},$

с $\sigma _{3}$ является функцией делителя .Затем

$\operatorname {H} (q)={}_{2}F_{1}\left({\frac {1}{6}},{\frac {5}{6}},1,z\right)^{4}$

где

$q=\exp \left(-2\pi {\frac {{}_{2}F_{1}(1/6,5/6,1,1-z)}{{}_{2}F_{1}(1/6,5/6,1,z)}}\right),\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,1\}.$

Можно привести и другие формулы такого рода, как это объясняется теорией Рамануджана об эллиптических функциях с альтернативными основаниями.

Разное

$\Gamma (s)\Gamma (1-s)={\frac {\pi }{\sin \pi s}}$ (Формула отражения Эйлера, см. Гамма-функция )

$\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\pi ^{-(1-s)/2}\Gamma \left({\frac {1-s}{2}}\right)\zeta (1-s)$ (функциональное уравнение дзета-функции Римана)

$e^{-\zeta '(0)}={\sqrt {2\pi }}$

$e^{\zeta '(0,1/2)-\zeta '(0,1)}={\sqrt {\pi }}$ (где $\zeta (s,a)$ — дзета-функция Гурвица , производная берется по первой переменной)

$\pi =\mathrm {B} (1/2,1/2)=\Gamma (1/2)^{2}$ (см. также Бета-функция )

$\pi ={\frac {\Gamma (3/4)^{4}}{\operatorname {agm} (1,1/{\sqrt {2}})^{2}}}={\frac {\Gamma \left({1/4}\right)^{4/3}\operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})^{2/3}}{2}}$ (где agm — среднее арифметико-геометрическое )

$\pi =\operatorname {agm} \left(\theta _{2}^{2}(1/e),\theta _{3}^{2}(1/e)\right)$ (где $\theta _{2}$ и $\theta _{3}$ – это тэта-функции Якоби )

$\pi =-{\frac {\operatorname {K} (k)}{\operatorname {K} \left({\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}\ln q,\quad k={\frac {\theta _{2}^{2}(q)}{\theta _{3}^{2}(q)}}$ (где $q\in (0,1)$ и $\operatorname {K} (k)$ – полный эллиптический интеграл первого рода с модулем $k$; отражающее проблему инверсии nome -модуля)

$\pi =-{\frac {\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k'^{2}}}\right)}{\operatorname {agm} (1,k')}}\ln q,\quad k'={\frac {\theta _{4}^{2}(q)}{\theta _{3}^{2}(q)}}$ (где $q\in (0,1)$)

$\operatorname {agm} (1,{\sqrt {2}})={\frac {\pi }{\varpi }}$ (из-за Гаусса , $\varpi$ — константа лемнискаты )

$i\pi =\operatorname {Log} (-1)=\lim _{n\to \infty }n\left((-1)^{1/n}-1\right)$ (где $\operatorname {Log}$ — главное значение комплексного логарифма )

$1-{\frac {\pi ^{2}}{12}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}(n{\bmod {k}})$ (где ${\textstyle n{\bmod {k}}}$ остаток от деления n на k )

$\pi =\lim _{r\to \infty }{\frac {1}{r^{2}}}\sum _{x=-r}^{r}\;\sum _{y=-r}^{r}{\begin{cases}1&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\leq r\\0&{\text{if }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}>r\end{cases}}$ (суммируем площадь круга)

$\pi =\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {4}{n^{2}}}\sum _{k=1}^{n}{\sqrt {n^{2}-k^{2}}}$ ( Сумма Римана для оценки площади единичного круга)

$\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {2^{4n}n!^{4}}{n(2n)!^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {2^{4n}}{n{2n \choose n}^{2}}}=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {1}{n}}\left({\frac {(2n)!!}{(2n-1)!!}}\right)^{2}$ (путем объединения аппроксимации Стирлинга с произведением Уоллиса)

$\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln {\frac {16}{\lambda (ni)}}$ (где $\lambda$ это модульная лямбда-функция )

$\pi =\lim _{n\to \infty }{\frac {24}{\sqrt {n}}}\ln \left(2^{1/4}G_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }{\frac {24}{\sqrt {n}}}\ln \left(2^{1/4}g_{n}\right)$ (где $G_{n}$ и $g_{n}$ являются инвариантами класса Рамануджана )

См. также

• Список математических тождеств
• Списки тем по математике
• Список тригонометрических тождеств - Равенства, в которых участвуют тригонометрические функции.
• Список тем, связанных с π - Темы, связанные с математической константой
• Список представлений e

Ссылки

Другое

• Тот, Ласло (2020), «Трансцендентные бесконечные произведения, связанные с последовательностью Туэ-Морса +-1» (PDF) , Journal of Integer Sequences , 23 : 20.8.2, arXiv : 2009.02025 .

Дальнейшее чтение

• Борвейн, Питер (2000). «Удивительное число π » (PDF) . Новый архив по математике . 5-я серия. 1 (3): 254–258. Збл   1173.01300 .
• Казуя Като, Нобусигэ Курокава, Сайто Такеши: Теория чисел 1: Мечта Ферма. Американское математическое общество, Провиденс, 1993 г., ISBN   0-8218-0863-X .