изоспектральный

В математике два линейных оператора называются изоспектральными или коспектральными, если они имеют одинаковый спектр . Грубо говоря, они должны иметь одинаковые наборы собственных значений , если их считать с кратностью .

Теория изоспектральных операторов заметно различается в зависимости от того, конечномерно или бесконечномерно пространство. В конечных размерностях по существу приходится иметь дело с квадратными матрицами .

В бесконечных измерениях спектр не обязательно должен состоять исключительно из изолированных собственных значений. Однако случай компактного оператора в гильбертовом пространстве (или банаховом пространстве ) все еще разрешим, поскольку собственные значения не более чем счетны с не более чем одной предельной точкой λ = 0. Наиболее изученной изоспектральной задачей в бесконечных измерениях является задача оператор Лапласа в области в R ². Две такие области называются изоспектральными, если их лапласианы изоспектральны. Задачу вывода о геометрических свойствах области из спектра ее лапласиана часто называют « слышанием формы барабана» .

Конечномерные пространства [ править ]

В случае операторов в конечномерных векторных пространствах для комплексных квадратных матриц отношение изоспектрльности двух диагонализируемых матриц представляет собой просто подобие . Однако это не снижает полностью интереса к этой концепции, поскольку мы можем иметь изоспектральное семейство матриц формы A ( t ) = M ( t ) ⁻¹AM ( t ) зависит от параметра t сложным образом . Это эволюция матрицы, происходящая внутри одного класса сходства.

Фундаментальное понимание теории солитонов заключалось в том, что бесконечно малый аналог этого уравнения, а именно

А ′ знак равно [ А , M ] знак равно AM - MA

стоял за законами сохранения, которые не позволяли солитонам рассеиваться. То есть сохранение спектра было интерпретацией механизма сохранения. Идентификация так называемых пар Лакса (P,L), приводящих к аналогичным уравнениям, Питером Лаксом показала, как линейные машины могут объяснить нелинейное поведение.

Изоспектральные многообразия [ править ]

Два замкнутых римановых многообразия называются изоспектральными, если собственные значения их оператора Лапласа–Бельтрами (лапласианы), подсчитанные кратности, совпадают. Одна из фундаментальных проблем спектральной геометрии — вопрос, в какой степени собственные значения определяют геометрию данного многообразия.

Есть много примеров изоспектральных многообразий, которые не являются изометрическими. Первый пример был приведен в 1964 году Джоном Милнором . Он построил пару плоских торов 16-мерного размера, используя арифметические решетки, впервые изученные Эрнстом Виттом . После этого примера было построено множество изоспектральных пар в размерности два и выше (например, М. Ф. Виньерас, А. Икеда, Х. Уракава, К. Гордон). В частности, Виньерас (1980) , основываясь на формуле следов Сельберга для PSL(2, R ) и PSL(2, C ), построил примеры изоспектральных, неизометрических замкнутых гиперболических 2-многообразий и 3-многообразий как частных гиперболических 2-многообразий. -пространство и 3-пространство арифметическими подгруппами, построенными с использованием алгебр кватернионов, связанных с квадратичными расширениями рациональных чисел с помощью теории полей классов . ^[1] В этом случае формула следов Сельберга показывает, что спектр лапласиана полностью определяет спектр длин ^{[ нужна ссылка ]}, набор длин замкнутых геодезических в каждом свободном гомотопическом классе, а также поворот вдоль геодезической в трехмерном случае. ^[2]

В 1985 году Тошиказу Сунада нашел общий метод построения, основанный на технике покрытия пространства , который в своей первоначальной или некоторых обобщенных версиях стал известен как метод Сунады или конструкция Сунады. Как и предыдущие методы, он основан на формуле следа через дзета-функцию Сельберга . Сунада заметил, что метод построения числовых полей с одной и той же дзета-функцией Дедекинда можно адаптировать к компактным многообразиям. Его метод основан на том факте, что если M — конечное накрытие компактного риманова многообразия M ₀ , где G — конечная группа преобразований колоды , а H ₁ , H ₂ — подгруппы группы G, встречающие каждый класс сопряженности группы G в одном и том же числе элементов, то многообразия H ₁ \ M и H ₂ \ M изоспектральны.но не обязательно изометрически. Хотя это не повторяет арифметические примеры Милнора и Виньера. ^{[ нужна ссылка ]}, метод Сунады дает множество известных примеров изоспектральных многообразий. Это привело К. Гордона, Д. Уэбба и С. Вольперта к открытию в 1991 году примера, противоположного задаче Марка Каца « Можно ли услышать форму барабана? » приведено в Buser et al. (1994) .

Идея Сунады также стимулировала попытку найти изоспектральные примеры, которые не удалось получить с помощью его техники. Среди множества примеров наиболее ярким является односвязный пример Шуэта (1999) . С другой стороны, Алан Рид доказал, что некоторые изоспектральные арифметические гиперболические многообразия в соизмеримы. ^[3]

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Маклахлан и Рид, 2003 г.
^ Это равнозначно знанию класса сопряженности соответствующего элемента группы в PSL(2, R ) или PSL(2, C ).
^ Рид, Алан В. (1992). «Изоспектральность и соизмеримость арифметических гиперболических 2- и 3-многообразий» . Математический журнал Дьюка . 65 (2). дои : 10.1215/S0012-7094-92-06508-2 .

Ссылки [ править ]

Берар, Пьер (1988–1989), Неизометрические изоспектральные римановы многообразия, презентация 705 (PDF) , Семинар Бурбаки, том. 31
Брукс, Роберт (1988), «Построение изоспектральных многообразий», American Mathematical Monthly , 95 (9), Математическая ассоциация Америки: 823–839, doi : 10.2307/2322897 , JSTOR 2322897
Бузер, Питер (1986), «Изоспектральные римановы поверхности» (PDF) , Annales de l'Institut Fourier , 36 (2): 167–192, doi : 10.5802/aif.1054
Бузер, Питер ; Конвей, Джон ; Дойл, Питер; Земмлер, Клаус-Дитер (1994), «Некоторые плоские изоспектральные области» , International Mathematics Research Sciences , 1994 (9): 391–400, doi : 10.1155/S1073792894000437
Маккин, HP (1972), «Формула следа Сельберга применительно к компактной римановой поверхности», Comm. Чистое приложение. Математика. , 25 (3): 225–246, doi : 10.1002/cpa.3160250302
Маклахлан, К.; Рид, Алан В. (2003), Арифметика гиперболических трехмерных многообразий , Springer, стр. 383–394, ISBN 0387983864 ,
Милнор, Джон (1964), «Собственные значения оператора Лапласа на некоторых многообразиях», Proc. Натл. акад. наук. США , 51 (4): 542, Bibcode : 1964PNAS...51..542M , doi : 10.1073/pnas.51.4.542 , PMC 300113 , PMID 16591156
Шуэт, Д. (1999), «Непрерывные семейства изоспектральных метрик на односвязных многообразиях», Annals of Mathematics , 149 (1): 287–308, arXiv : dg-ga/9711010 , doi : 10.2307/121026 , JSTOR 121026 , S2CID 10898684
Сельберг, Атле (1956), «Гармонический анализ и разрывные группы в слабо симметричных римановых пространствах с приложениями к рядам Дирихле», J. Indian Math. Соц. , 20 : 47–87
Сунада, Т. (1985), «Римановы накрытия и изоспектральные многообразия», Annals of Mathematics , 121 (1): 169–186, doi : 10.2307/1971195 , JSTOR 1971195
Виньерас, Мари-Франс (1980), «Изоспектральные и неизометрические римановы многообразия», Annals of Mathematics , 112 (1): 21–32, doi : 10.2307/1971319 , JSTOR 1971319
Вулперт, Скотт (1977), «Спектр собственных значений как модули для компактных римановых поверхностей» (PDF) , Bull. амер. Математика. Соц. , 83 (6): 1306–1308, doi : 10.1090/S0002-9904-1977-14425-X
Вулперт, Скотт (1979), «Спектры длин как модули для компактных римановых поверхностей», Annals of Mathematics , 109 (2): 323–351, doi : 10.2307/1971114 , JSTOR 1971114

[1] Маклахлан и Рид, 2003 г.

[2] Это равнозначно знанию класса сопряженности соответствующего элемента группы в PSL(2, R ) или PSL(2, C ).

[3] Рид, Алан В. (1992). «Изоспектральность и соизмеримость арифметических гиперболических 2- и 3-многообразий» . Математический журнал Дьюка . 65 (2). дои : 10.1215/S0012-7094-92-06508-2 .

[1]

[2]

[3]