Твист-узел

Твист-узел с шестью полуповоротами.

В теории узлов , разделе математики , крутящийся узел — это узел, полученный путем многократного скручивания замкнутой петли и последующего соединения ее концов вместе. (То есть, твист-узел — это любой узел, Уайтхеда . двойник ) Твист-узлы представляют собой бесконечное семейство узлов и считаются простейшим типом узлов после торических узлов .

Строительство

Крученый узел получается путем соединения двух концов скрученной петли. Перед соединением в петлю можно ввести любое количество полуповоротов, что приводит к бесконечному набору возможностей. На следующих рисунках показаны первые несколько узлов скручивания:

• 
  Один полуповорот
  ( узел трилистник , 3 ₁ )
• 
  Два полуповорота
  ( узел восьмерка , 4 ₁ )
• 
  Три полуповорота
  ( 5 ₂ узла )
• 
  Четыре полуповорота
  ( стивидорный узел , 6 ₁ )
• 
  Пять полуповоротов
  (7 ₂ узла)
• 
  Шесть полуповоротов
  (8 ₁ узел)

Характеристики

Стивидорный узел с четырьмя полуповоротами создается путем пропускания одного конца узла с четырьмя полуповоротами через другой.

Все крутящие узлы имеют развязку номер один, так как узел можно развязать, развязав два конца. Каждый твист-узел также является двухмостовым узлом . Из крученых узлов только узел и стивидорный узел являются ломтиковыми . Перекрученный узел с $n$ полуповороты имеют номер пересечения $n+2$. Все крученые узлы являются обратимыми , но единственными амфихиральными кручеными узлами являются узел «незавязка» и узел «восьмерка» .

Инварианты

Инварианты твист-узла зависят от числа $n$ полуповоротов. Полином Александера твистового узла определяется формулой

$\Delta (t)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}t-n+{\frac {n+1}{2}}t^{-1}&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\-{\frac {n}{2}}t+(n+1)-{\frac {n}{2}}t^{-1}&{\text{if }}n{\text{ is even,}}\\\end{cases}}$

и Конвея полином

$\nabla (z)={\begin{cases}{\frac {n+1}{2}}z^{2}+1&{\text{if }}n{\text{ is odd}}\\1-{\frac {n}{2}}z^{2}&{\text{if }}n{\text{ is even.}}\\\end{cases}}$

Когда $n$ нечетно, полином Джонса равен

$V(q)={\frac {1+q^{-2}+q^{-n}-q^{-n-3}}{q+1}},$

и когда $n$ даже, это

$V(q)={\frac {q^{3}+q-q^{3-n}+q^{-n}}{q+1}}.$