Очерк дискретной математики

Дискретная математика – это изучение математических структур , которые по своей сути являются дискретными , а не непрерывными . В отличие от действительных чисел , которые обладают свойством изменяться «плавно», объекты, изучаемые в дискретной математике, такие как целые числа , графики и утверждения логики. ^[1] – не изменяются плавно таким образом, а имеют четкие, разделенные значения. ^[2] Таким образом, дискретная математика исключает такие темы «непрерывной математики», как исчисление и анализ .

Ниже приведены многие стандартные термины, которые обычно используются в курсах университетского уровня и в исследовательских работах. Однако это не полный список математических терминов; просто подборка типичных терминов искусства , с которыми можно столкнуться.

Логика – изучение правильных рассуждений.
Модальная логика - тип формальной логики.
Теория множеств - раздел математики, изучающий множества.
Теория чисел - Математика целочисленных свойств
Комбинаторика - Раздел дискретной математики.
Конечная математика - Программа по математике в колледжах и университетах
Теория графов – Область дискретной математики
Цифровая геометрия - имеет дело с оцифрованными моделями или изображениями объектов 2D или 3D евклидова пространства.
Цифровая топология - свойства цифровых 2D- или 3D-изображений, соответствующие классическим топологическим свойствам.
Алгоритмика — последовательность операций для задачи.
Теория информации - Научное исследование цифровой информации.
Вычислимость – способность эффективно решать задачи.
Теория сложности вычислений . Неотъемлемая сложность вычислительных задач.
Теория вероятностей - раздел математики, посвященный вероятности.
Вероятность - раздел математики, посвященный случайности и неопределенности.
Цепи Маркова – случайный процесс, не зависящий от прошлой истории
Линейная алгебра – Отделение математики
Функции – привязка одного выхода к каждому входу
Частично упорядоченное множество - Математическое множество с упорядочением.
Доказательства . Обоснование математических утверждений.
Отношение – отношение между двумя наборами, определяемое набором упорядоченных пар.

Дискретные математические дисциплины

Для дальнейшего чтения по дискретной математике, помимо базового уровня, посетите эти страницы. Многие из этих дисциплин тесно связаны с информатикой .

Теория автоматов - Изучение абстрактных машин и автоматов.
Теория кодирования - Исследование свойств кодов и их пригодности.
Комбинаторика - Раздел дискретной математики.
Вычислительная геометрия – Отделение информатики
Цифровая геометрия - имеет дело с оцифрованными моделями или изображениями объектов 2D или 3D евклидова пространства.
Дискретная геометрия - раздел геометрии, изучающий комбинаторные свойства и конструктивные методы.
Теория графов - Область дискретной математики, изучение графов - Вершины, соединенные попарно ребрами.
Математическая логика - раздел математики.
Дискретная оптимизация - Раздел математической оптимизации.
Теория множеств - раздел математики, изучающий множества.
Теория чисел - Математика целочисленных свойств
Теория информации - Научное исследование цифровой информации.
Теория игр – Математические модели стратегических взаимодействий.

Концепции дискретной математики

Наборы

Набор (математика) - Коллекция математических объектов.
- Элемент (математика) - любой из отдельных объектов, составляющих множество в теории множеств.
- Диаграмма Венна - диаграмма, показывающая все возможные логические отношения между набором множеств.
- Пустое множество – математическое множество, не содержащее элементов.
- Подмножество - множество, все элементы которого принадлежат другому множеству.
- Союз (теория множеств) - Набор элементов в любом из некоторых множеств.
  - Непересекающееся объединение - в математике операции над множествами.
- Пересечение (теория множеств) - набор элементов, общих для всех некоторых множеств.
  - Непересекающиеся множества – множества, не имеющие общего элемента.
- Дополнение (теория множеств) - множество элементов, не входящих в данное подмножество.
- Симметричная разница - элементы ровно в одном из двух наборов.
Упорядоченная пара – Пара математических объектов.
Декартово произведение - Математический набор, образованный из двух заданных наборов.
Набор мощности - математический набор, содержащий все подмножества данного набора.
Простые теоремы алгебры множеств
Наивная теория множеств - Неформальные теории множеств
Мультисет – математический набор с разрешенными повторениями.

Функции

Функция – привязка одного выхода к каждому входу
Область определения функции – математическое понятие
Codomain – целевой набор математической функции.
Диапазон функции - подмножество кодомена функции.
Изображение (математика) – Набор значений функции.
Инъективная функция - функция, сохраняющая различимость.
Surjection – функция, при которой каждый элемент имеет прообраз (математика).
Биекция – взаимно однозначное соответствие.
Композиция функций – Операции с математическими функциями
Частичная функция - функция, фактическая область определения которой может быть меньше, чем ее кажущаяся область определения.
Многозначная функция – Обобщенная математическая функция.
Бинарная функция – функция, которая принимает два входа.
Функция пола — ближайшие целые числа из числа.
Функция знака – математическая функция, возвращающая -1, 0 или 1.
Карта включения – теоретико-множественная функция
Принцип ячейки : если предметов больше, чем коробок с ними, одна коробка должна содержать как минимум два предмета.
Состав отношения — математическая операция.
Перестановки — математическая версия изменения порядка
Симметрия - математическая инвариантность относительно преобразований.

Арифметика

Десятичная дробь – число в десятичной системе счисления.
Двоичная система счисления – число, выраженное в системе счисления с основанием 2.
Делитель – целое число, являющееся делителем другого целого числа.
Деление на ноль - Класс математического выражения
Неопределенная форма - выражение в математическом анализе
Пустой продукт – результат умножения без коэффициентов.
Алгоритм Евклида - алгоритм вычисления наибольших общих делителей.
Основная теорема арифметики : целые числа имеют уникальные простые факторизации.
Модульная арифметика - вычисление по модулю фиксированного целого числа.
Функция-преемник - элементарная операция над натуральным числом.

Элементарная алгебра

Элементарная алгебра – Основные понятия алгебры

Левая и правая части уравнения – математическая номенклатура.
Линейное уравнение - уравнение, в котором не используются степени или произведения переменных.
Квадратное уравнение – Полиномиальное уравнение второй степени.
Точка решения : математическая формула, выражающая равенство.
Арифметическая прогрессия – Последовательность чисел
Рекуррентное отношение - шаблон, определяющий бесконечную последовательность чисел.
Конечная разность – дискретный аналог производной.
Оператор разности — шаблон, определяющий бесконечную последовательность чисел.
Группы – набор с ассоциативной обратимой операцией.
Групповой изоморфизм - биективный групповой гомоморфизм
Подгруппы — подмножество группы, которая сама образует группу.
Маленькая теорема Ферма . Простое число p делит a^p–a для любого целого числа a.
Криптография - практика и изучение методов безопасной связи.
Формула Фаульхабера - выражение для суммы степеней

Математические отношения

Бинарное отношение - Связь между элементами двух множеств.
Гетерогенная связь – связь между элементами двух наборов.
Рефлексивное отношение - бинарное отношение, которое связывает каждый элемент сам с собой.
Рефлексивное свойство равенства – отношение, утверждающее, что две величины одинаковы.
Симметричное отношение - Тип бинарного отношения
Симметричное свойство равенства – связь, утверждающая, что две величины одинаковы.
Антисимметричное отношение - бинарное отношение, такое, что если A связано с B и отличается от него, то B не связано с A.
Транзитивность (математика) - Тип бинарного отношения
- Транзитивное замыкание - наименьшее транзитивное отношение, содержащее данное бинарное отношение.
- Транзитивное свойство равенства – отношение, утверждающее, что две величины одинаковы.
Эквивалентность и идентичность
- Отношение эквивалентности - математическая концепция сравнения объектов.
- Класс эквивалентности – математическое понятие
- Равенство (математика) - Отношение, утверждающее, что две величины одинаковы.
  - Неравенство – математическое утверждение о том, что два значения не равны.
  - Неравенство (математика) - математическое отношение, выраженное с помощью < или ≤.
- Сходство (геометрия) - свойство объектов, которые являются масштабированными или зеркальными версиями друг друга.
- Конгруэнтность (геометрия) – связь между двумя фигурами одинаковой формы и размера или зеркально отражающими друг друга.
- Уравнение - математическая формула, выражающая равенство.
- Идентичность (математика) - уравнение, которое удовлетворяется для всех значений переменных.
  - Элемент идентичности - конкретный элемент алгебраической структуры.
  - Функция идентичности . В математике функция, которая всегда возвращает то же значение, которое использовалось в качестве ее аргумента.
- Свойство равенства замены — отношение, утверждающее, что две величины одинаковы.
- Графическая эквивалентность — математическая концепция сравнения объектов.
- Экстенсиональность – логический принцип
- Количественная оценка уникальности - логическое свойство быть единственным объектом, удовлетворяющим условию.

Математическая фразеология

Тогда и только тогда, когда – Логическая связка.
Необходимое и достаточное — термины для описания условной связи между двумя утверждениями.
Отличительные — связь, утверждающая, что две величины являются одинаковыми.
Разница – одна из четырех основных арифметических операций.
Абсолютное значение – расстояние от нуля до числа.
До – математическое утверждение уникальности, за исключением эквивалентной структуры (отношения эквивалентности).
Модульная арифметика - вычисление по модулю фиксированного целого числа.
Характеристика (математика) - Термин по математике.
Нормальная форма – стандартное представление математического объекта.
Каноническая форма - стандартное представление математического объекта.
Без потери общности – Выражение в математике
Пустая истина - условное утверждение, которое истинно, поскольку антецедент не может быть удовлетворен.
Противоречие – логическая несовместимость двух или более утверждений, Reductio ad абсурд – Аргумент, ведущий к логическому абсурду.
Контрпример – Исключение из предложенного общего правила
Достаточно большие – математическая концепция.
Pons asinorum - Утверждение о том, что углы, лежащие против равных сторон равнобедренного треугольника, сами равны.
Таблица математических символов . Значения символов, используемых в математике.
Контрапозитив – концепция математической логики.
Математическая индукция - форма математического доказательства.

Комбинаторика

Комбинаторика - Раздел дискретной математики.

Перестановки и комбинации – Выбор предметов из набора.
Перестановка - математическая версия изменения порядка.
Комбинация – Выбор предметов из набора.
Факториал – произведение чисел от 1 до n.
- Пустой продукт – результат умножения без коэффициентов.
Треугольник Паскаля - Треугольный массив биномиальных коэффициентов по математике.
Комбинаторное доказательство - доказательства в перечислительной комбинаторике, основанные на биекциях или двойном учете комбинаторных объектов. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.
- Биективное доказательство - метод доказательства того, что множества имеют одинаковый размер.
- Двойной счет (метод доказательства) - Тип метода доказательства.

Вероятность

Вероятность - раздел математики, посвященный случайности и неопределенности.

Среднее — число, взятое как представитель списка чисел.
Ожидаемое значение – среднее значение случайной величины.
Дискретная случайная переменная – переменная, представляющая случайное явление.
Пространство выборки - набор всех возможных исходов или результатов статистического испытания или эксперимента.
Событие - в статистике и теории вероятностей набор результатов, которым присвоена вероятность.
Условная вероятность — вероятность возникновения события при условии, что другое событие уже произошло.
Независимость – когда возникновение одного события не влияет на вероятность другого.
Случайные переменные — переменная, представляющая случайное явление.

Пропозициональная логика

Логический оператор — символ, соединяющий смысловые формулы в логике.
Таблица истинности - математическая таблица, используемая в логике.
Законы де Моргана – пара логических эквивалентностей
Открытое предложение — формула, содержащая хотя бы одну свободную переменную.
Список тем по логике : обзор и тематическое руководство по логике.

Математики, связанные с дискретной математикой

Пауль Эрдеш – венгерский математик (1913–1996)
Леонард Эйлер – швейцарский математик (1707–1783).
Ричард Карп - американский ученый-компьютерщик (род. 1935).
Рональд Грэм – американский математик (1935–2020)
Клод Шеннон — американский математик (1916–2001).
Дональд Кнут - американский математик и ученый-компьютерщик (род. 1938).
Джордж Секереш – венгерско-австралийский математик
Аристотель – древнегреческий философ и эрудит (384–322 до н. э.).

См. также

Ссылки

^ Ричард Джонсонбо , Дискретная математика , Прентис Холл, 2008; Джеймс Франклин, Дискретное и непрерывное: фундаментальная дихотомия в математике , Журнал гуманистической математики 7 (2017), 355-378.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Дискретная математика» . Математический мир .

Внешние ссылки

Архивы
Джонатан Арбиб и Джон Дуайер, Дискретная математика в криптографии, 1-е издание ISBN 978-1-907934-01-8 .
Джон Дуайер и Сьюзи Джаггер, Дискретная математика для бизнеса и вычислений, 1-е издание, 2010 г. ISBN 978-1-907934-00-1 .

[1] Ричард Джонсонбо , Дискретная математика , Прентис Холл, 2008; Джеймс Франклин, Дискретное и непрерывное: фундаментальная дихотомия в математике , Журнал гуманистической математики 7 (2017), 355-378.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Дискретная математика» . Математический мир .

[1]

[2]