Пирамидальное число

Геометрическое представление квадратно-пирамидального числа 1 + 4 + 9 + 16 = 30.

Пирамидальное число – это количество точек в пирамиде с многоугольным основанием и треугольными сторонами. Этот термин часто относится к квадратным пирамидальным числам , которые имеют квадратное основание с четырьмя сторонами, но он также может относиться к пирамиде с любым количеством сторон. Числа точек в основании и в слоях, параллельных основанию, задаются числами многоугольников заданного числа сторон, а числа точек в каждой треугольной стороне задаются треугольным числом . Пирамидальные числа можно расширить до более высоких измерений.

Формула

Формула n-го r - угольного пирамидального числа:

$P_{n}^{r}={\frac {3n^{2}+n^{3}(r-2)-n(r-5)}{6}},$

где г € $\mathbb {N}$, р ≥ 3 .

Эту формулу можно факторизовать:

$P_{n}^{r}={\frac {n(n+1){\bigl (}n(r-2)-(r-5){\bigr )}}{(2)(3)}}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)\left({\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}}\right)=T_{n}\cdot {\frac {n(r-2)-(r-5)}{3}},$

где T _n е — n- треугольное число .

Последовательности

Первые несколько треугольных пирамидальных чисел (эквивалент тетраэдрических чисел ):

1 , 4 , 10 , 20 , 35 , 56 , 84 , 120 , 165 , 220 , ... (последовательность A000292 в OEIS )

Первые несколько квадратно-пирамидальных чисел :

1 , 5 , 14 , 30 , 55 , 91 , 140 , 204 , 285 , 385 , 506, 650, 819, ... (последовательность A000330 в OEIS ).

Первые несколько пятиугольных пирамидальных чисел:

1 , 6 , 18 , 40 , 75 , 126 , 196 , 288 , 405, 550, 726, 936, 1183, 1470, 1800, 2176, 2601, 3078, 3610, 4200, 4851, 5566, 6 348, 7200, 8125, 9126 (последовательность A002411 в OEIS ).

Первые несколько шестиугольных пирамидальных чисел:

1 , 7 , 22 , 50 , 95 , 161 , 252 , 372, 525, 715, 946, 1222, 1547, 1925 (последовательность А002412 в OEIS ).

Первые несколько семиугольных пирамидальных чисел:

1 , 8 , 26 , 60 , 115 , 196, 308, 456, 645, 880, 1166, 1508, 1911, ... (последовательность A002413 в OEIS )