Расширенная строка действительных чисел

В математике расширенная система действительных чисел. ^[а] получается из счисления действительной системы $\mathbb {R}$ добавив два элемента бесконечности : $+\infty$ и $-\infty ,$ ^[б] где бесконечности рассматриваются как действительные числа. Это полезно при описании алгебры на бесконечностях и различных предельных поведениях в исчислении и математическом анализе , особенно в теории меры и интегрирования . ^[1] Расширенную действительную систему счисления обозначают ${\overline {\mathbb {R} }}$ или $[-\infty ,+\infty ]$ или $\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.$ ^[2] Это Дедекиндом – МакНилом пополнение действительных чисел .

Когда значение ясно из контекста, символ $+\infty$ часто пишется просто как $\infty .$ ^[2]

Существует также проективно расширенная действительная линия , где $+\infty$ и $-\infty$ не различаются, поэтому бесконечность обозначается только $\infty$ .

Мотивация

Пределы

Часто бывает полезно описать поведение функции . $f$ как аргумент $x$ или значение функции $f$ в некотором смысле становится «бесконечно большим». Например, рассмотрим функцию $f$ определяется

f(x)={\frac {1}{x^{2}}}.

График этой функции имеет горизонтальную асимптоту при $y=0.$ Геометрически при движении все дальше вправо по $x$ -ось, значение ${\textstyle {1}/{x^{2}}}$ приближается к $0$ . Это предельное поведение похоже на предел функции ${\textstyle \lim _{x\to x_{0}}f(x)}$ в котором действительное число $x$ подходы $x_{0},$ за исключением того, что не существует действительного числа, которому $x$ подходы.

Соединяя элементы $+\infty$ и $-\infty$ к $\mathbb {R} ,$ это позволяет сформулировать «предел на бесконечности» с топологическими свойствами, аналогичными свойствам для $\mathbb {R} .$

Чтобы сделать вещи совершенно формальными, определение последовательности Коши $\mathbb {R}$ позволяет определить $+\infty$ как набор всех последовательностей $(a_{n})$ рациональных чисел таких, что каждое $M\in \mathbb {R}$ связан с соответствующим $N\in \mathbb {N}$ для чего $a_{n}>M$ для всех $n>N.$ Определение $-\infty$ можно построить аналогично.

Измерение и интегрирование

В теории меры часто полезно допускать множества, имеющие бесконечную меру , и интегралы, значение которых может быть бесконечным.

Такие меры естественным образом возникают из исчисления. Например, при назначении меры $\mathbb {R}$ что согласуется с обычной длиной интервалов , эта мера должна быть больше любого конечного действительного числа. Кроме того, при рассмотрении несобственных интегралов , таких как

\int _{1}^{\infty }{\frac {dx}{x}}

возникает значение «бесконечность». Наконец, часто бывает полезно рассмотреть предел последовательности функций, таких как

f_{n}(x)={\begin{cases}2n(1-nx),&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\frac {1}{n}}\\0,&{\mbox{if }}{\frac {1}{n}}<x\leq 1\end{cases}}

Без разрешения функциям принимать бесконечные значения такие важные результаты, как теорема о монотонной сходимости и теорема о доминируемой сходимости, не имели бы смысла.

Порядок и топологические свойства

Расширенная система действительных чисел ${\overline {\mathbb {R} }}$ , определяемый как $[-\infty ,+\infty ]$ или $\mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}$ , можно превратить в полностью упорядоченное множество , определив $-\infty \leq a\leq +\infty$ для всех $a\in {\overline {\mathbb {R} }}.$ При такой топологии порядка ${\overline {\mathbb {R} }}$ обладает желаемым свойством компактности : подмножество каждое ${\overline {\mathbb {R} }}$ имеет высшую и низшую ^[3] (нижняя грань пустого множества равна $+\infty$ , а его верхняя грань равна $-\infty$ ). Более того, в топологии этой ${\overline {\mathbb {R} }}$ гомеоморфен единичному интервалу $[0,1].$ Таким образом, топология метризуема , соответствуя (при данном гомеоморфизме) обычной метрике на этом интервале. Однако не существует метрики, которая являлась бы расширением обычной метрики на $\mathbb {R} .$

В этой топологии множество $U$ это район $+\infty$ тогда и только тогда, когда оно содержит множество $\{x:x>a\}$ для некоторого действительного числа $a.$ Понятие о окрестности $-\infty$ можно определить аналогично. Используя эту характеристику окрестностей расширенной реальности, пределы с $x$ склонен к $+\infty$ или $-\infty$ , и пределы "равны" $+\infty$ и $-\infty$ , свести к общему топологическому определению пределов вместо специального определения в действительной системе счисления.

Арифметические операции

Арифметические операции $\mathbb {R}$ может быть частично распространено на ${\overline {\mathbb {R} }}$ следующее: ^[2]

{\begin{aligned}a\pm \infty =\pm \infty +a&=\pm \infty ,&a&\neq \mp \infty \\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty ]\\a\cdot (\pm \infty )=\pm \infty \cdot a&=\mp \infty ,&a&\in [-\infty ,0)\\{\frac {a}{\pm \infty }}&=0,&a&\in \mathbb {R} \\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\pm \infty ,&a&\in (0,+\infty )\\{\frac {\pm \infty }{a}}&=\mp \infty ,&a&\in (-\infty ,0)\end{aligned}}

О возведении в степень см. Возведение в степень § Пределы полномочий . Здесь, $a+\infty$ означает оба $a+(+\infty )$ и $a-(-\infty ),$ пока $a-\infty$ означает оба $a-(+\infty )$ и $a+(-\infty ).$

Выражения $\infty -\infty ,0\times (\pm \infty )$ и $\pm \infty /\pm \infty$ (называемые неопределенными формами ) обычно оставляют неопределенными . Эти правила созданы по образцу законов для бесконечных пределов . Однако в контексте теории вероятности или меры $0\times \pm \infty$ часто определяется как $0.$ ^[4]

При работе как с положительными, так и с отрицательными расширенными действительными числами выражение $1/0$ обычно остается неопределенным, поскольку, хотя верно, что для любой действительной ненулевой последовательности $f$ который сходится к $0,$ обратная последовательность $1/f$ в конечном итоге содержится в каждой окрестности $\{\infty ,-\infty \},$ неправда , что последовательность $1/f$ должен сам сходиться либо к $-\infty$ или $\infty .$ Другими словами, если непрерывная функция $f$ достигает нуля при определенном значении $x_{0},$ тогда это не обязательно так $1/f$ имеет тенденцию либо $-\infty$ или $\infty$ в пределе как $x$ имеет тенденцию $x_{0}.$ Это относится к пределам тождественной функции $f(x)=x$ когда $x$ имеет тенденцию $0,$ и из $f(x)=x^{2}\sin \left(1/x\right)$ (для последней функции ни $-\infty$ ни $\infty$ является пределом $1/f(x),$ даже если только положительные значения $x$ считаются).

Однако в контекстах, где рассматриваются только неотрицательные значения, часто бывает удобно определить $1/0=+\infty .$ Например, при работе со степенными рядами радиус сходимости степенного ряда с коэффициентами $a_{n}$ часто определяется как величина, обратная пределу -супремуму последовательности $\left(|a_{n}|^{1/n}\right)$ . Таким образом, если позволить $1/0$ принять значение $+\infty ,$ то можно использовать эту формулу независимо от того, равна ли предельная верхняя грань $0$ или нет.

Алгебраические свойства

Используя эти определения, ${\overline {\mathbb {R} }}$ не является даже полугруппой , не говоря уже о группе , кольце или поле, как в случае с $\mathbb {R} .$ Однако у него есть несколько удобных свойств:

$a+(b+c)$ и $(a+b)+c$ либо равны, либо оба не определены.
$a+b$ и $b+a$ либо равны, либо оба не определены.
$a\cdot (b\cdot c)$ и $(a\cdot b)\cdot c$ либо равны, либо оба не определены.
$a\cdot b$ и $b\cdot a$ либо равны, либо оба не определены
$a\cdot (b+c)$ и $(a\cdot b)+(a\cdot c)$ равны, если оба определены.
Если $a\leq b$ и если оба $a+c$ и $b+c$ определены, то $a+c\leq b+c.$
Если $a\leq b$ и $c>0$ и если оба $a\cdot c$ и $b\cdot c$ определены, то $a\cdot c\leq b\cdot c.$

В целом все законы арифметики справедливы. ${\overline {\mathbb {R} }}$ — пока определены все встречающиеся выражения.

Разнообразный

Некоторые функции могут быть постоянно расширены до ${\overline {\mathbb {R} }}$ принимая ограничения. Например, можно определить экстремальные точки следующих функций как:

\exp(-\infty )=0,

\ln(0)=-\infty ,

\tanh(\pm \infty )=\pm 1,

\arctan(\pm \infty )=\pm {\frac {\pi }{2}}.

Некоторые особенности могут быть дополнительно удалены. Например, функция $1/x^{2}$ может непрерывно расширяться до ${\overline {\mathbb {R} }}$ (согласно некоторым определениям непрерывности), установив значение $+\infty$ для $x=0,$ и $0$ для $x=+\infty$ и $x=-\infty .$ С другой стороны, функция $1/x$ может не быть непрерывно продолжена, так как функция приближается $-\infty$ как $x$ подходы $0$ снизу и $+\infty$ как $x$ подходы $0$ сверху, т. е. функция, не сходящаяся к тому же значению, что и ее независимая переменная, приближающаяся к одному и тому же элементу области как со стороны положительного, так и со стороны отрицательного значения.

Похожая, но другая система действительных линий, проективно расширенная действительная линия , не делает различия между $+\infty$ и $-\infty$ (т.е. бесконечность беззнаковая). ^[5] В результате функция может иметь предел $\infty$ на проективно расширенной действительной прямой, тогда как в расширенной действительной системе счисления только абсолютное значение функции имеет предел, например, в случае функции $1/x$ в $x=0.$ С другой стороны, на проективно продолженной вещественной прямой $\lim _{x\to -\infty }{f(x)}$ и $\lim _{x\to +\infty }{f(x)}$ соответствуют только пределу справа и одному слева соответственно, при этом полный предел существует только тогда, когда они равны. Таким образом, функции $e^{x}$ и $\arctan(x)$ нельзя сделать непрерывным в $x=\infty$ на проективно продолженной вещественной прямой.

См. также

Деление на ноль
Расширенная сложная плоскость
Расширенные натуральные числа
Несобственный интеграл
Бесконечность
Бревенчатое полукольцо
Серия (математика)
Проективно расширенная действительная линия
Компьютерные представления расширенных действительных чисел, см. Арифметика с плавающей запятой § Бесконечности и плавающая запятая IEEE.

Примечания

^ Некоторые авторы используют аффинно расширенную систему действительных чисел и аффинно расширенную линию действительных чисел , хотя расширенные действительные числа не образуют аффинную линию .
^ Читается как «положительная бесконечность» и «отрицательная бесконечность» соответственно.

Ссылки

^ Уилкинс, Дэвид (2007). «Раздел 6: Расширенная система действительных чисел» (PDF) . maths.tcd.ie . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Аффинно расширенные действительные числа» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Оден, Дж. Тинсли; Демкович, Лешек (16 января 2018 г.). Прикладной функциональный анализ (3-е изд.). Чепмен и Холл/CRC. п. 74. ИСБН 9781498761147 . Проверено 8 декабря 2019 г.
^ «расширенное действительное число в nLab» . ncatlab.org . Проверено 3 декабря 2019 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Проективно расширенные действительные числа» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.

Дальнейшее чтение

Алипрантис, Хараламбос Д.; Буркиншоу, Оуэн (1998), Принципы реального анализа (3-е изд.), Сан-Диего, Калифорния: Academic Press, Inc., стр. 29, ISBN 0-12-050257-7 , МР 1669668
Дэвид В. Кантрелл. «Аффинно расширенные действительные числа» . Математический мир .

[1] Некоторые авторы используют аффинно расширенную систему действительных чисел и аффинно расширенную линию действительных чисел , хотя расширенные действительные числа не образуют аффинную линию .

[2] Читается как «положительная бесконечность» и «отрицательная бесконечность» соответственно.

[3] Уилкинс, Дэвид (2007). «Раздел 6: Расширенная система действительных чисел» (PDF) . maths.tcd.ie . Проверено 3 декабря 2019 г.

[:0-4] Jump up to: ^а ^б ^с Вайсштейн, Эрик В. «Аффинно расширенные действительные числа» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.

[5] Оден, Дж. Тинсли; Демкович, Лешек (16 января 2018 г.). Прикладной функциональный анализ (3-е изд.). Чепмен и Холл/CRC. п. 74. ИСБН 9781498761147 . Проверено 8 декабря 2019 г.

[6] «расширенное действительное число в nLab» . ncatlab.org . Проверено 3 декабря 2019 г.

[7] Вайсштейн, Эрик В. «Проективно расширенные действительные числа» . mathworld.wolfram.com . Проверено 3 декабря 2019 г.

[а]

[б]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]