Обратные тригонометрические функции

«Арктангенс» перенаправляется сюда. Чтобы узнать об альбоме Earthtone9, см. arc'tan'gent . Информацию о музыкальном событии см. на сайте ArcTanGent Festival .

В математике обратные тригонометрические функции (иногда называемые также дуговыми функциями , антитригонометрические функции или циклометрические функции ) являются обратными функциями ( тригонометрических функций с соответствующим образом ограниченными областями определения ). В частности, они являются обратными функциям синуса , косинуса , тангенса , котангенса , секанса и косеканса . и используются для получения угла из любого из тригонометрических отношений угла. Обратные тригонометрические функции широко используются в технике , мореплавании , физике и геометрии .

Обозначения

Для круга радиуса 1 arcsin и arccos — это длины реальных дуг, определяемые рассматриваемыми величинами.

См. Также: Тригонометрические функции § Обозначения.

Существует несколько обозначений обратных тригонометрических функций. Наиболее распространенное соглашение — называть обратные тригонометрические функции с использованием префикса arc-: arcsin( x ) , arccos( x ) , arctan( x ) и т. д. (Это соглашение используется на протяжении всей статьи.) Эти обозначения возникают из следующих геометрических соотношений: при измерении в радианах угол θ радиан будет соответствовать дуге , длина которой равна rθ , где r — радиус круга. Таким образом, в единичном круге косинус функции x является одновременно дугой и углом, поскольку дуга круга радиуса 1 совпадает с углом. Или «дуга, косинус которой равен х » — это то же самое, что «угол, косинус которого равен х », потому что длина дуги окружности в радиусах равна измерению угла в радианах. В языках программирования обратные тригонометрические функции часто называют сокращенными формами asin , acos , atan .

Обозначения грешат ⁻¹ ( х ) , потому что ⁻¹ ( х ) , поэтому ⁻¹ ( x ) и т. д., как это было введено Джоном Гершелем в 1813 году, часто используются и в англоязычных источниках, гораздо больше, чем также установленный грех ^[−1] ( х ) , потому что ^[−1] ( х ) , поэтому ^[−1] ( x ) – соглашения, соответствующие обозначению обратной функции , которые полезны (например) для определения многозначной версии каждой обратной тригонометрической функции: $\tan ^{-1}(x)=\{\arctan(x)+\pi k\mid k\in \mathbb {Z} \}~.$ Однако может показаться, что это логически противоречит общей семантике таких выражений, как грех ² ( x ) (хотя только грех ² x без круглых скобок является действительно распространенным использованием), которые относятся к числовой степени, а не к композиции функций, и поэтому могут привести к путанице между обозначениями обратной ( мультипликативной обратной ) и обратной функции .

Путаница несколько смягчается тем, что каждая из обратных тригонометрических функций имеет свое имя — например, (cos( x )) ⁻¹ = сек( х ) . Тем не менее некоторые авторы не советуют его использовать, поскольку он неоднозначен. Еще одно ненадежное соглашение, используемое небольшим количеством авторов, — использовать первую букву в верхнем регистре вместе с верхним индексом « -1 »: Sin ⁻¹ ( х ) , Потому что ⁻¹ ( х ) , Тан ⁻¹ ( х ) и т. д. Хотя это сделано для того, чтобы избежать путаницы с обратным , которое должно быть представлено грехом. ⁻¹ ( х ) , потому что ⁻¹ ( x ) и т. д., или, лучше, грехом ⁻¹ х , потому что ⁻¹ x и т. д., это, в свою очередь, создает еще один серьезный источник двусмысленности, особенно потому, что многие популярные языки программирования высокого уровня (например, Mathematica и MAGMA ) используют те же самые представления с заглавной буквы для стандартных триггерных функций, тогда как другие ( Python , SymPy , NumPy , Matlab , MAPLE и т. д.) используйте строчные буквы.

Следовательно, с 2009 года стандарт ISO 80000-2 определяет только префикс «дуга» для обратных функций.

Основные понятия

Точки, отмеченные 1 , Сек( θ ) , Csc( θ ) представляет длину отрезка линии от начала координат до этой точки. Син( θ ) , Тан( θ ) и 1 — это высота линии, начиная с оси X , а Cos( θ ) , 1 и Cot( θ ) — это длины вдоль оси x , начиная с начала координат.

Основные ценности

Поскольку ни одна из шести тригонометрических функций не является взаимно однозначной , они должны быть ограничены, чтобы иметь обратные функции. Следовательно, диапазоны результатов обратных функций являются собственными (т.е. строгими) подмножествами областей определения исходных функций.

Например, используя функцию в смысле многозначной функции , так же, как квадратного корня функцию $y={\sqrt {x}}$ можно определить из $y^{2}=x,$ функция $y=\arcsin(x)$ определяется так, что $\sin(y)=x.$ Для заданного действительного числа $x,$ с $-1\leq x\leq 1,$ существует несколько (фактически, счетно-бесконечно много) чисел $y$ такой, что $\sin(y)=x$; например, $\sin(0)=0,$ но и $\sin(\pi )=0,$ $\sin(2\pi )=0,$ и т. д. Если требуется только одно значение, функция может быть ограничена ее основной ветвью . При этом ограничении для каждого $x$ в области выражение $\arcsin(x)$ будет оценивать только одно значение, называемое его основным значением . Эти свойства применимы ко всем обратным тригонометрическим функциям.

Основные обратные перечислены в следующей таблице.

Имя	Обычные обозначения	Определение	Домен $x$ для реального результата	Диапазон обычной основной стоимости ( радианы )	Диапазон обычной основной стоимости ( градусы )
арксинус	$y=\arcsin(x)$	х = грех ( у )	$-1\leq x\leq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }$
арккосинус	$y=\arccos(x)$	х = потому что ( у )	$-1\leq x\leq 1$	$0\leq y\leq \pi$	$0^{\circ }\leq y\leq 180^{\circ }$
арктангенс	$y=\arctan(x)$	х = загар ( у )	все действительные числа	$-{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }<y<90^{\circ }$
арккотангенс	$y=\operatorname {arccot}(x)$	х = детская кроватка ( у )	все действительные числа	$0<y<\pi$	$0^{\circ }<y<180^{\circ }$
арксеканс	$y=\operatorname {arcsec}(x)$	х = сек ( у )	${\left\vert x\right\vert }\geq 1$	$0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi$	$0^{\circ }\leq y<90^{\circ }{\text{ or }}90^{\circ }<y\leq 180^{\circ }$
арккосеканс	$y=\operatorname {arccsc}(x)$	x = csc ( y	${\left\vert x\right\vert }\geq 1$	$-{\frac {\pi }{2}}\leq y<0{\text{ or }}0<y\leq {\frac {\pi }{2}}$	$-90^{\circ }\leq y<0^{\circ }{\text{ or }}0^{\circ }<y\leq 90^{\circ }$

Примечание: некоторые авторы определить диапазон арксеканса, который будет ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}})}$, поскольку касательная функция в этой области неотрицательна. Это делает некоторые вычисления более последовательными. Например, используя этот диапазон, $\tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}},$ тогда как с диапазоном ${\textstyle (0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi )}$, нам придется написать $\tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}},$ поскольку тангенс неотрицательен ${\textstyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$ но неположительный на ${\textstyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$ По той же причине те же авторы определяют диапазон арккосеканса как ${\textstyle (-\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$ или ${\textstyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}).}$

Домены

Если $x$ может быть комплексным числом , тогда диапазон значений $y$ применяется только к его реальной части.

В таблице ниже показаны имена и области определения обратных тригонометрических функций, а также диапазон их обычных главных значений в радианах .

Имя	Символ		Домен		Изображение/Диапазон	Обратный функция		Домен		Изображение ​ основные ценности
их	$\sin$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$[-1,1]$	$\arcsin$	$:$	$[-1,1]$	$\to$	$\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]$
косинус	$\cos$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$[-1,1]$	$\arccos$	$:$	$[-1,1]$	$\to$	$[0,\pi ]$
касательная	$\tan$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$	$\to$	$\mathbb {R}$	$\arctan$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$
котангенс	$\cot$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )$	$\to$	$\mathbb {R}$	$\operatorname {arccot}$	$:$	$\mathbb {R}$	$\to$	$(0,\pi )$
секущая	$\sec$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)$	$\to$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\operatorname {arcsec}$	$:$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\to$	$[\,0,\;\pi \,]\;\;\;\setminus \left\{{\tfrac {\pi }{2}}\right\}$
косеканс	$\csc$	$:$	$\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )$	$\to$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\operatorname {arccsc}$	$:$	$\mathbb {R} \setminus (-1,1)$	$\to$	$\left[-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right]\setminus \{0\}$

Символ $\mathbb {R} =(-\infty ,\infty )$ обозначает множество всех действительных чисел и $\mathbb {Z} =\{\ldots ,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots \}$ обозначает набор всех целых чисел . Набор всех целых чисел, кратных $\pi$ обозначается

$$\pi \mathbb {Z} ~:=~\{\pi n\;:\;n\in \mathbb {Z} \}~=~\{\ldots ,\,-2\pi ,\,-\pi ,\,0,\,\pi ,\,2\pi ,\,\ldots \}.$$

Символ $\,\setminus \,$ обозначает вычитание множеств , так что, например, $\mathbb {R} \setminus (-1,1)=(-\infty ,-1]\cup [1,\infty )$ это набор точек в $\mathbb {R}$ (то есть вещественные числа), не попавшие в интервал $(-1,1).$

Обозначение Минковского суммы ${\textstyle \pi \mathbb {Z} +(0,\pi )}$ и $\pi \mathbb {Z} +{\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}$ который используется выше для краткого описания доменов $\cot ,\csc ,\tan ,{\text{ and }}\sec$ теперь объясняется.

Область котангенса $\cot$ и косеканс $\csc$: Домены $\,\cot \,$ и $\,\csc \,$ одинаковы. Они представляют собой совокупность всех углов $\theta$ на котором $\sin \theta \neq 0,$ т.е. все действительные числа, которые не имеют вида $\pi n$ для некоторого целого числа $n,$

$${\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +(0,\pi )&=\cdots \cup (-2\pi ,-\pi )\cup (-\pi ,0)\cup (0,\pi )\cup (\pi ,2\pi )\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \pi \mathbb {Z} \end{aligned}}$$

Область касательной $\tan$ и секущая $\sec$: Домены $\,\tan \,$ и $\,\sec \,$ одинаковы. Они представляют собой совокупность всех углов $\theta$ на котором $\cos \theta \neq 0,$

$${\begin{aligned}\pi \mathbb {Z} +\left(-{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {\pi }{2}}\right)&=\cdots \cup {\bigl (}{-{\tfrac {3\pi }{2}}},{-{\tfrac {\pi }{2}}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{-{\tfrac {\pi }{2}}},{\tfrac {\pi }{2}}{\bigr )}\cup {\bigl (}{\tfrac {\pi }{2}},{\tfrac {3\pi }{2}}{\bigr )}\cup \cdots \\&=\mathbb {R} \setminus \left({\tfrac {\pi }{2}}+\pi \mathbb {Z} \right)\\\end{aligned}}$$

Решения элементарных тригонометрических уравнений

Каждая из тригонометрических функций периодична по действительной части своего аргумента, проходя все свои значения дважды в каждом интервале $2\pi :$

• Синус и косеканс начинают свой период в ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}}}$ (где $k$ является целым числом), закончите его на ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ а затем перевернуть себя ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ к ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• Косинус и секанс начинают свой период в $2\pi k,$ закончить это в $2\pi k+\pi .$ а затем перевернуть себя $2\pi k+\pi$ к $2\pi k+2\pi .$
• Касательная начинает свой период в ${\textstyle 2\pi k-{\frac {\pi }{2}},}$ заканчивает это в ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}},}$ а затем повторяет это (вперед) снова ${\textstyle 2\pi k+{\frac {\pi }{2}}}$ к ${\textstyle 2\pi k+{\frac {3\pi }{2}}.}$
• Котангенс начинает свой период в $2\pi k,$ заканчивает это в $2\pi k+\pi ,$ а затем повторяет это (вперед) снова $2\pi k+\pi$ к $2\pi k+2\pi .$

Эта периодичность отражается в общих обратных пропорциях, где $k$ какое-то целое число.

В следующей таблице показано, как обратные тригонометрические функции можно использовать для решения равенств, включающих шесть стандартных тригонометрических функций. Предполагается, что данные значения $\theta ,$ $r,$ $s,$ $x,$ и $y$ все они лежат в соответствующих диапазонах, поэтому соответствующие выражения ниже четко определены . Обратите внимание, что «для некоторых $k\in \mathbb {Z}$" - это просто еще один способ сказать "для некоторого целого числа $k.$"

Символ $\,\iff \,$ является логическим равенством и указывает, что если левая часть истинна, то истинна и правая часть, и, наоборот, если правая часть истинна, то истинна и левая часть (см. эту сноску). для более подробной информации и примера, иллюстрирующего эту концепцию).

Уравнение	тогда и только тогда, когда	Решение
$\sin \theta =y$	$\iff$	$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\arcsin(y)$	$+$		$\pi k$	для некоторых $k\in \mathbb {Z}$
$\csc \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$	$(-1)^{k}$	$\operatorname {arccsc}(r)$	$+$		$\pi k$	для некоторых $k\in \mathbb {Z}$
$\cos \theta =x$	$\iff$	$\theta =\,$	$\pm \,$	$\arccos(x)$	$+$	$2$	$\pi k$	для некоторых $k\in \mathbb {Z}$
$\sec \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$	$\pm \,$	$\operatorname {arcsec}(r)$	$+$	$2$	$\pi k$	для некоторых $k\in \mathbb {Z}$
$\tan \theta =s$	$\iff$	$\theta =\,$		$\arctan(s)$	$+$		$\pi k$	для некоторых $k\in \mathbb {Z}$
$\cot \theta =r$	$\iff$	$\theta =\,$		$\operatorname {arccot}(r)$	$+$		$\pi k$	для некоторых $k\in \mathbb {Z}$

где первые четыре решения можно записать в развернутом виде:

Уравнение	тогда и только тогда, когда	Решение
$\sin \theta =y$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\arcsin(y)+2\pi h$           или $\theta =-\arcsin(y)+2\pi h+\pi$	для некоторых $h\in \mathbb {Z}$
$\csc \theta =r$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\operatorname {arccsc}(r)+2\pi h$           или $\theta =-\operatorname {arccsc}(r)+2\pi h+\pi$	для некоторых $h\in \mathbb {Z}$
$\cos \theta =x$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\arccos(x)+2\pi k$          или $\theta =-\arccos(x)+2\pi k$	для некоторых $k\in \mathbb {Z}$
$\sec \theta =r$	$\iff$	$\theta =\;\;\;\,\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k$          или $\theta =-\operatorname {arcsec}(r)+2\pi k$	для некоторых $k\in \mathbb {Z}$

Например, если $\cos \theta =-1$ затем $\theta =\pi +2\pi k=-\pi +2\pi (1+k)$ для некоторых $k\in \mathbb {Z} .$ Хотя если $\sin \theta =\pm 1$ затем ${\textstyle \theta ={\frac {\pi }{2}}+\pi k=-{\frac {\pi }{2}}+\pi (k+1)}$ для некоторых $k\in \mathbb {Z} ,$ где $k$ будет, даже если $\sin \theta =1$ и это будет странно, если $\sin \theta =-1.$ Уравнения $\sec \theta =-1$ и $\csc \theta =\pm 1$ имеют те же решения, что и $\cos \theta =-1$ и $\sin \theta =\pm 1,$ соответственно. Во всех приведенных выше уравнениях, кроме только что решенных (т.е. кроме $\sin$/ $\csc \theta =\pm 1$ и $\cos$/ $\sec \theta =-1$), целое число $k$ в формуле решения однозначно определяется соотношением $\theta$ (для фиксированного $r,s,x,$ и $y$).

С помощью целочисленной четности $$\operatorname {Parity} (h)={\begin{cases}0&{\text{if }}h{\text{ is even }}\\1&{\text{if }}h{\text{ is odd }}\\\end{cases}}$$можно написать решение $\cos \theta =x$ это не включает в себя «плюс или минус» $\,\pm \,$ символ:

$cos\;\theta =x\quad$ тогда и только тогда, когда $\quad \theta =(-1)^{h}\arccos(x)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad$ для некоторых $h\in \mathbb {Z} .$

Аналогично и для секанса:

$sec\;\theta =r\quad$ тогда и только тогда, когда $\quad \theta =(-1)^{h}\operatorname {arcsec}(r)+\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)\quad$ для некоторых $h\in \mathbb {Z} ,$

где $\pi h+\pi \operatorname {Parity} (h)$ равно $\pi h$ когда целое число $h$ четно и равно $\pi h+\pi$ когда это странно.

Подробный пример и объяснение символа «плюс или минус» ±

Решения $\cos \theta =x$ и $\sec \theta =x$ использовать символ «плюс или минус» $\,\pm ,\,$ смысл которого теперь прояснён. Только решение $\cos \theta =x$ будут обсуждаться после обсуждения $\sec \theta =x$ то же самое. Нам дано $x$ между $-1\leq x\leq 1$ и мы знаем, что существует угол $\theta$ в некотором интервале, который удовлетворяет $\cos \theta =x.$ Мы хотим найти это $\theta .$ В таблице выше указано, что решение $$\,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$$это сокращенный способ сказать, что (по крайней мере) одно из следующих утверждений верно:

1. $\,\theta =\arccos x+2\pi k\,$ для некоторого целого числа $k,$
   или
2. $\,\theta =-\arccos x+2\pi k\,$ для некоторого целого числа $k.$

Как уже говорилось выше, если $\,\arccos x=\pi \,$ (что по определению происходит только тогда, когда $x=\cos \pi =-1$), то оба утверждения (1) и (2) верны, хотя и с разными значениями целого числа $k$: если $K$ — целое число из утверждения (1), что означает, что $\theta =\pi +2\pi K$ имеет место, то целое число $k$ для утверждения (2) есть $K+1$ (потому что $\theta =-\pi +2\pi (1+K)$). Однако, если $x\neq -1$ тогда целое число $k$ уникален и полностью определяется $\theta .$ Если $\,\arccos x=0\,$ (что по определению происходит только тогда, когда $x=\cos 0=1$) затем $\,\pm \arccos x=0\,$ (потому что $\,+\arccos x=+0=0\,$ и $\,-\arccos x=-0=0\,$ так в обоих случаях $\,\pm \arccos x\,$ равно $0$), и поэтому утверждения (1) и (2) в данном конкретном случае оказываются идентичными (и, следовательно, оба верны). Рассмотрев дела $\,\arccos x=0\,$ и $\,\arccos x=\pi ,\,$ теперь мы сосредоточимся на случае, когда $\,\arccos x\neq 0\,$ и $\,\arccos x\neq \pi ,\,$ Так что предполагайте это с этого момента. Решение $\cos \theta =x$ все еще $$\,\theta =\pm \arccos x+2\pi k\,\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$$что, как и раньше, является сокращением, говорящим о том, что одно из утверждений (1) и (2) истинно. Однако на этот раз, поскольку $\,\arccos x\neq 0\,$ и $\,0<\arccos x<\pi ,\,$ утверждения (1) и (2) различны, причем ровно одно из двух равенств выполняется (а не оба). Дополнительная информация о $\theta$ необходимо, чтобы определить, какой из них верен. Например, предположим, что $x=0$ и это все , что известно о $\theta$ это что $\,-\pi \leq \theta \leq \pi \,$ (и больше ничего неизвестно). Затем $$\arccos x=\arccos 0={\frac {\pi }{2}}$$ и более того, в данном конкретном случае $k=0$ (для обоих $\,+\,$ случай и $\,-\,$ случае) и, следовательно, $$\theta ~=~\pm \arccos x+2\pi k~=~\pm \left({\frac {\pi }{2}}\right)+2\pi (0)~=~\pm {\frac {\pi }{2}}.$$Это означает, что $\theta$ может быть либо $\,\pi /2\,$ или $\,-\pi /2.$ Без дополнительной информации невозможно определить, какое из этих значений $\theta$ имеет. Пример некоторой дополнительной информации, которая могла бы определить ценность $\theta$ было бы знать, что угол выше $x$-ось (в этом случае $\theta =\pi /2$) или, альтернативно, зная, что оно ниже $x$-ось (в этом случае $\theta =-\pi /2$).

Равные одинаковые тригонометрические функции

В таблице ниже показано, как два угла $\theta$ и $\varphi$ должны быть связаны, если их значения при данной тригонометрической функции равны или отрицательны друг друга.

Уравнение	тогда и только тогда, когда	Решение (для некоторых $k\in \mathbb {Z}$)	Также решение
${\phantom {-}}\sin \theta =\sin \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {\quad }}(-1)^{k}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	${\phantom {-}}\csc \theta =\csc \varphi$
${\phantom {-}}\cos \theta =\cos \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k{\phantom {+\pi }}$	${\phantom {-}}\sec \theta =\sec \varphi$
${\phantom {-}}\tan \theta =\tan \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {(-1)^{k+1}}}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	${\phantom {-}}\cot \theta =\cot \varphi$
$-\sin \theta =\sin \varphi$	$\iff$	$\theta =(-1)^{k+1}\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	$-\csc \theta =\csc \varphi$
$-\cos \theta =\cos \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +2\pi k+\pi {\phantom {+\pi }}$	$-\sec \theta =\sec \varphi$
$-\tan \theta =\tan \varphi$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}-\varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	$-\cot \theta =\cot \varphi$
${\begin{aligned}{\phantom {-}}\left|\sin \theta \right|&=\left|\sin \varphi \right|\\&\Updownarrow \\{\phantom {-}}\left|\cos \theta \right|&=\left|\cos \varphi \right|\end{aligned}}$	$\iff$	$\theta ={\phantom {-1\quad }}\pm \varphi +{\phantom {2}}\pi k{\phantom {+\pi }}$	${\begin{aligned}{\phantom {-}}\left|\tan \theta \right|&=\left|\tan \varphi \right|\\\left|\csc \theta \right|&=\left|\csc \varphi \right|\\\left|\sec \theta \right|&=\left|\sec \varphi \right|\\\left|\cot \theta \right|&=\left|\cot \varphi \right|\end{aligned}}$

Вертикальная двойная стрелка $\Updownarrow$ в последней строке указывает, что $\theta$ и $\varphi$ удовлетворить $\left|\sin \theta \right|=\left|\sin \varphi \right|$ тогда и только тогда, когда они удовлетворяют $\left|\cos \theta \right|=\left|\cos \varphi \right|.$

Множество всех решений элементарных тригонометрических уравнений

Таким образом, учитывая единственное решение $\theta$ к элементарному тригонометрическому уравнению ( $\sin \theta =y$ является, например, таким уравнением, и поскольку $\sin(\arcsin y)=y$ всегда держит, $\theta :=\arcsin y$ всегда является решением), множеством всех его решений являются:

Если $\theta$ решает	затем	Множество всех решений (с точки зрения $\theta$)
$\;\sin \theta =y$	затем	$\{\varphi :\sin \varphi =y\}=\,$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$	$-\pi$	$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\csc \theta =r$	затем	$\{\varphi :\csc \varphi =r\}=\,$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$	$-\pi$	$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\cos \theta =x$	затем	$\{\varphi :\cos \varphi =x\}=\,$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$		$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\sec \theta =r$	затем	$\{\varphi :\sec \varphi =r\}=\,$	$(\theta$	$\,+\,2$	$\pi \mathbb {Z} )$	$\,\cup \,(-\theta$		$+2\pi \mathbb {Z} )$
$\;\tan \theta =s$	затем	$\{\varphi :\tan \varphi =s\}=\,$	$\theta$	$\,+\,$	$\pi \mathbb {Z}$
$\;\cot \theta =r$	затем	$\{\varphi :\cot \varphi =r\}=\,$	$\theta$	$\,+\,$	$\pi \mathbb {Z}$

Преобразование уравнений

Приведенные выше уравнения можно преобразовать, используя тождества отражения и сдвига:

Преобразование уравнений сдвигами и отражениями

Аргумент: ${\underline {\;~~~~~~\;}}=$	$-\theta$	${\frac {\pi }{2}}\pm \theta$	$\pi \pm \theta$	${\frac {3\pi }{2}}\pm \theta$	$2k\pi \pm \theta ,$ $(k\in \mathbb {Z} )$
$\sin {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\sin \theta$	${\phantom {-}}\cos \theta$	$\mp \sin \theta$	$-\cos \theta$	$\pm \sin \theta$
$\csc {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\csc \theta$	${\phantom {-}}\sec \theta$	$\mp \csc \theta$	$-\sec \theta$	$\pm \csc \theta$
$\cos {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	${\phantom {-}}\cos \theta$	$\mp \sin \theta$	$-\cos \theta$	$\pm \sin \theta$	${\phantom {-}}\cos \theta$
$\sec {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	${\phantom {-}}\sec \theta$	$\mp \csc \theta$	$-\sec \theta$	$\pm \csc \theta$	${\phantom {-}}\sec \theta$
$\tan {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\tan \theta$	$\mp \cot \theta$	$\pm \tan \theta$	$\mp \cot \theta$	$\pm \tan \theta$
$\cot {\underline {\;~~~~~~~~~~~~~~\;}}=$	$-\cot \theta$	$\mp \tan \theta$	$\pm \cot \theta$	$\mp \tan \theta$	$\pm \cot \theta$

Из этих формул следует, в частности, что выполняются следующие условия:

$${\begin{aligned}\sin \theta &=-\sin(-\theta )&&=-\sin(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\sin(\pi -\theta )\\&=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cos \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&={\phantom {-}}\cos \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\cos \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cos \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\cos \theta &={\phantom {-}}\cos(-\theta )&&=-\cos(\pi +\theta )&&={\phantom {-}}\cos(\pi -\theta )\\&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\sin \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&=-\sin \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\sin \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\tan \theta &=-\tan(-\theta )&&={\phantom {-}}\tan(\pi +\theta )&&=-\tan(\pi -\theta )\\&=-\cot \left({\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}-\theta \right)\\&=-\cot \left(-{\frac {\pi }{2}}+\theta \right)&&={\phantom {-}}\cot \left({\frac {3\pi }{2}}-\theta \right)&&=-\cot \left(-{\frac {3\pi }{2}}+\theta \right)\\[0.3ex]\end{aligned}}$$

где обмен $\sin \leftrightarrow \csc ,$ обмен $\cos \leftrightarrow \sec ,$ и обмен $\tan \leftrightarrow \cot$ дает аналогичные уравнения для $\csc ,\sec ,{\text{ and }}\cot ,$ соответственно.

Так, например, используя равенство ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=\cos \theta ,}$ уравнение $\cos \theta =x$ может быть преобразован в ${\textstyle \sin \left({\frac {\pi }{2}}-\theta \right)=x,}$ что позволяет решить уравнение $\;\sin \varphi =x\;$ (где ${\textstyle \varphi :={\frac {\pi }{2}}-\theta }$) для использования; это решение: $\varphi =(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\;{\text{ for some }}k\in \mathbb {Z} ,$который становится: $${\frac {\pi }{2}}-\theta ~=~(-1)^{k}\arcsin(x)+\pi k\quad {\text{ for some }}k\in \mathbb {Z}$$где использовать тот факт, что $(-1)^{k}=(-1)^{-k}$ и замена $h:=-k$ доказывает, что другое решение $\;\cos \theta =x\;$ является: $$\theta ~=~(-1)^{h+1}\arcsin(x)+\pi h+{\frac {\pi }{2}}\quad {\text{ for some }}h\in \mathbb {Z} .$$Замена $\;\arcsin x={\frac {\pi }{2}}-\arccos x\;$ может быть использован для выражения правой части приведенной выше формулы через $\;\arccos x\;$ вместо $\;\arcsin x.\;$

Связь между тригонометрическими функциями и обратными тригонометрическими функциями

Тригонометрические функции обратных тригонометрических функций представлены в таблице ниже. Быстрый способ их получения — рассмотреть геометрию прямоугольного треугольника, у которого одна сторона имеет длину 1, а другая — длину. $x,$ затем применив теорему Пифагора и определения тригонометрических отношений. Стоит отметить, что для арксеканса и арккосеканса на диаграмме предполагается, что $x$ положителен, поэтому результат необходимо корректировать с помощью абсолютных значений и операции Signum (signum).

$\theta$	$\sin(\theta )$	$\cos(\theta )$	$\tan(\theta )$	Диаграмма
$\arcsin(x)$	$\sin(\arcsin(x))=x$	$\cos(\arcsin(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\tan(\arcsin(x))={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}$
$\arccos(x)$	$\sin(\arccos(x))={\sqrt {1-x^{2}}}$	$\cos(\arccos(x))=x$	$\tan(\arccos(x))={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}$
$\arctan(x)$	$\sin(\arctan(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\arctan(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\arctan(x))=x$
$\operatorname {arccot}(x)$	$\sin(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\cos(\operatorname {arccot}(x))={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}$	$\tan(\operatorname {arccot}(x))={\frac {1}{x}}$
$\operatorname {arcsec}(x)$	$\sin(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}$	$\cos(\operatorname {arcsec}(x))={\frac {1}{x}}$	$\tan(\operatorname {arcsec}(x))=\operatorname {sgn}(x){\sqrt {x^{2}-1}}$
$\operatorname {arccsc}(x)$	$\sin(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {1}{x}}$	$\cos(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{|x|}}$	$\tan(\operatorname {arccsc}(x))={\frac {\operatorname {sgn}(x)}{\sqrt {x^{2}-1}}}$

Соотношения между обратными тригонометрическими функциями

Обычные главные значения функций arcsin( x ) (красный) и arccos( x ) (синий), изображенные на декартовой плоскости.

Обычные главные значения функций arctan( x ) и arccot( x ), изображенные на декартовой плоскости.

Главные значения функций arcsec( x ) и arccsc( x ) изображены на графике на декартовой плоскости.

Дополнительные углы:

${\begin{aligned}\arccos(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)\\[0.5em]\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\\[0.5em]\operatorname {arccsc}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arcsec}(x)\end{aligned}}$

Отрицательные аргументы:

${\begin{aligned}\arcsin(-x)&=-\arcsin(x)\\\operatorname {arccsc}(-x)&=-\operatorname {arccsc}(x)\\\arccos(-x)&=\pi -\arccos(x)\\\operatorname {arcsec}(-x)&=\pi -\operatorname {arcsec}(x)\\\arctan(-x)&=-\arctan(x)\\\operatorname {arccot}(-x)&=\pi -\operatorname {arccot}(x)\end{aligned}}$

Взаимные аргументы:

${\begin{aligned}\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccsc}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arcsin(x)&\\[0.3em]\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arcsec}(x)&\\[0.3em]\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arccos(x)&\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)&={\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\arctan \left({\frac {1}{x}}\right)&=\operatorname {arccot}(x)-\pi &=-{\frac {\pi }{2}}-\arctan(x)\,,{\text{ if }}x<0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)&={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x>0\\[0.3em]\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{x}}\right)&=\arctan(x)+\pi &={\frac {3\pi }{2}}-\operatorname {arccot}(x)\,,{\text{ if }}x<0\end{aligned}}$

Приведенные выше тождества могут использоваться (и вытекать из) того факта, что $\sin$ и $\csc$ являются обратными (т. $\csc ={\tfrac {1}{\sin }}$), как и $\cos$ и $\sec ,$ и $\tan$ и $\cot .$

Полезные тождества, если имеется только фрагмент таблицы синусоид:

${\begin{aligned}\arcsin(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(1-2x^{2}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin(x)&=\arctan \left({\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\right)\\\arccos(x)&={\frac {1}{2}}\arccos \left(2x^{2}-1\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arccos(x)&=\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right)\\\arccos(x)&=\arcsin \left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1{\text{ , from which you get }}\\\arccos &\left({\frac {1-x^{2}}{1+x^{2}}}\right)=\arcsin \left({\frac {2x}{1+x^{2}}}\right)\,,{\text{ if }}0\leq x\leq 1\\\arcsin &\left({\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {sgn}(x)\arcsin(x)\\\arctan(x)&=\arcsin \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\\\operatorname {arccot}(x)&=\arccos \left({\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\right)\end{aligned}}$

Всякий раз, когда здесь используется квадратный корень из комплексного числа, мы выбираем корень с положительной действительной частью (или положительной мнимой частью, если квадрат был отрицательным действительным числом).

Полезная форма, которая следует непосредственно из таблицы выше:

$\arctan(x)=\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\,,{\text{ if }}x\geq 0$.

Это достигается признанием того, что $\cos \left(\arctan \left(x\right)\right)={\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}=\cos \left(\arccos \left({\sqrt {\frac {1}{1+x^{2}}}}\right)\right)$.

По половинного угла формуле $\tan \left({\tfrac {\theta }{2}}\right)={\tfrac {\sin(\theta )}{1+\cos(\theta )}}$, мы получаем:

${\begin{aligned}\arcsin(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1-x^{2}}}}}\right)\\[0.5em]\arccos(x)&=2\arctan \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1+x}}\right)\,,{\text{ if }}-1<x\leq 1\\[0.5em]\arctan(x)&=2\arctan \left({\frac {x}{1+{\sqrt {1+x^{2}}}}}\right)\end{aligned}}$

Формула сложения арктангенса

$\arctan(u)\pm \arctan(v)=\arctan \left({\frac {u\pm v}{1\mp uv}}\right){\pmod {\pi }}\,,\quad uv\neq 1\,.$

Это получается из формулы сложения тангенса

$\tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan(\alpha )\pm \tan(\beta )}{1\mp \tan(\alpha )\tan(\beta )}}\,,$

позволяя

$\alpha =\arctan(u)\,,\quad \beta =\arctan(v)\,.$

В исчислении

Производные обратных тригонометрических функций

Основная статья: Дифференцирование тригонометрических функций

Производные z для комплексных значений следующие :

${\begin{aligned}{\frac {d}{dz}}\arcsin(z)&{}={\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arccos(z)&{}=-{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\;;&z&{}\neq -1,+1\\{\frac {d}{dz}}\arctan(z)&{}={\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {1}{1+z^{2}}}\;;&z&{}\neq -i,+i\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arcsec}(z)&{}={\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\\{\frac {d}{dz}}\operatorname {arccsc}(z)&{}=-{\frac {1}{z^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}}}\;;&z&{}\neq -1,0,+1\end{aligned}}$

Только для реальных значений x :

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsec}(x)&{}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arccsc}(x)&{}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}\;;&|x|>1\end{aligned}}$

Эти формулы можно вывести через производные тригонометрических функций. Например, если $x=\sin \theta$, затем ${\textstyle dx/d\theta =\cos \theta ={\sqrt {1-x^{2}}},}$ так

${\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {d\theta }{dx}}={\frac {1}{dx/d\theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}.$

Выражение в виде определенных интегралов

Интегрирование производной и фиксация значения в одной точке дает выражение обратной тригонометрической функции в виде определенного интеграла:

${\begin{aligned}\arcsin(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arccos(x)&{}=\int _{x}^{1}{\frac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}\,dz\;,&|x|&{}\leq 1\\\arctan(x)&{}=\int _{0}^{x}{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arccot}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z^{2}+1}}\,dz\;,\\\operatorname {arcsec}(x)&{}=\int _{1}^{x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\pi +\int _{-x}^{-1}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\operatorname {arccsc}(x)&{}=\int _{x}^{\infty }{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz=\int _{-\infty }^{-x}{\frac {1}{z{\sqrt {z^{2}-1}}}}\,dz\;,&x&{}\geq 1\\\end{aligned}}$

Когда x равно 1, интегралы с ограниченными областями определения являются несобственными интегралами , но все же четко определены.

Бесконечная серия

Подобно функциям синуса и косинуса, обратные тригонометрические функции также можно рассчитать с помощью степенных рядов следующим образом. Для арксинуса ряд можно получить, разложив его производную: ${\textstyle {\tfrac {1}{\sqrt {1-z^{2}}}}}$, как биномиальный ряд , и интегрируя почленно (используя определение интеграла, как указано выше). Аналогичным образом можно получить ряд для арктангенса, разложив его производную ${\textstyle {\frac {1}{1+z^{2}}}}$ в геометрической прогрессии и применив приведенное выше интегральное определение (см. ряд Лейбница ).

${\begin{aligned}\arcsin(z)&=z+\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {z^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {z^{5}}{5}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {z^{7}}{7}}+\cdots \\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\[5pt]&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{(2^{n}n!)^{2}}}{\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\end{aligned}}$

$\arctan(z)=z-{\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {z^{5}}{5}}-{\frac {z^{7}}{7}}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}z^{2n+1}}{2n+1}}\,;\qquad |z|\leq 1\qquad z\neq i,-i$

Ряды для остальных обратных тригонометрических функций можно выразить через них в соответствии с приведенными выше соотношениями. Например, $\arccos(x)=\pi /2-\arcsin(x)$, $\operatorname {arccsc}(x)=\arcsin(1/x)$, и так далее. Другая серия представлена:

$2\left(\arcsin \left({\frac {x}{2}}\right)\right)^{2}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{n^{2}{\binom {2n}{n}}}}.$

Леонард Эйлер нашел ряд для арктангенса, который сходится быстрее, чем ряд Тейлора :

$\arctan(z)={\frac {z}{1+z^{2}}}\sum _{n=0}^{\infty }\prod _{k=1}^{n}{\frac {2kz^{2}}{(2k+1)(1+z^{2})}}.$

(Член в сумме для n = 0 представляет собой пустое произведение , как и 1.)

Альтернативно это можно выразить как

$\arctan(z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {2^{2n}(n!)^{2}}{(2n+1)!}}{\frac {z^{2n+1}}{(1+z^{2})^{n+1}}}.$

Другой ряд для функции арктангенса имеет вид

$\arctan(z)=i\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2n-1}}\left({\frac {1}{(1+2i/z)^{2n-1}}}-{\frac {1}{(1-2i/z)^{2n-1}}}\right),$

где $i={\sqrt {-1}}$ это мнимая единица .

Цепные дроби для арктангенса

Две альтернативы степенному ряду для арктангенса — это обобщенные цепные дроби :

$\arctan(z)={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3-1z^{2}+{\cfrac {(3z)^{2}}{5-3z^{2}+{\cfrac {(5z)^{2}}{7-5z^{2}+{\cfrac {(7z)^{2}}{9-7z^{2}+\ddots }}}}}}}}}}={\frac {z}{1+{\cfrac {(1z)^{2}}{3+{\cfrac {(2z)^{2}}{5+{\cfrac {(3z)^{2}}{7+{\cfrac {(4z)^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}$

Второе из них справедливо в разрезе комплексной плоскости. Есть два разреза: от - i до точки бесконечности, идущей вниз по воображаемой оси, и от i до точки бесконечности, идущей вверх по той же оси. Лучше всего это работает для действительных чисел от -1 до 1. Частичные знаменатели — это нечетные натуральные числа, а частичные числители (после первого) — это просто ( nz ) ² , где каждый правильный квадрат появляется один раз. Первый был разработан Леонардом Эйлером ; второй Карл Фридрих Гаусс использовал гауссову гипергеометрическую серию .

Неопределенные интегралы от обратных тригонометрических функций

Для действительных и комплексных значений z :

${\begin{aligned}\int \arcsin(z)\,dz&{}=z\,\arcsin(z)+{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arccos(z)\,dz&{}=z\,\arccos(z)-{\sqrt {1-z^{2}}}+C\\\int \arctan(z)\,dz&{}=z\,\arctan(z)-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arccot}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccot}(z)+{\frac {1}{2}}\ln \left(1+z^{2}\right)+C\\\int \operatorname {arcsec}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arcsec}(z)-\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\\\int \operatorname {arccsc}(z)\,dz&{}=z\,\operatorname {arccsc}(z)+\ln \left[z\left(1+{\sqrt {\frac {z^{2}-1}{z^{2}}}}\right)\right]+C\end{aligned}}$

Для действительного x ≥ 1:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)+C\end{aligned}}$

Для всех реальных x не между -1 и 1:

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {sgn}(x)\ln \left|x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right|+C\end{aligned}}$

Абсолютное значение необходимо для компенсации как отрицательных, так и положительных значений функций арксеканса и арккосеканса. Функция Signum также необходима из-за абсолютных значений производных двух функций, которые создают два разных решения для положительных и отрицательных значений x. Их можно еще упростить, используя логарифмические определения обратных гиперболических функций :

${\begin{aligned}\int \operatorname {arcsec}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arcsec}(x)-\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\int \operatorname {arccsc}(x)\,dx&{}=x\,\operatorname {arccsc}(x)+\operatorname {arcosh} (|x|)+C\\\end{aligned}}$

Абсолютное значение в аргументе функции arcosh создает отрицательную половину ее графика, что делает его идентичным логарифмической функции Signum, показанной выше.

Все эти первообразные можно получить с помощью интегрирования по частям и простых производных, показанных выше.

Пример

С использованием $\int u\,dv=uv-\int v\,du$ (т.е. интегрирование по частям ), положим

${\begin{aligned}u&=\arcsin(x)&dv&=dx\\du&={\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}&v&=x\end{aligned}}$

Затем

$\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)-\int {\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx,$

что простой заменой $w=1-x^{2},\ dw=-2x\,dx$ дает окончательный результат:

$\int \arcsin(x)\,dx=x\arcsin(x)+{\sqrt {1-x^{2}}}+C$

Расширение на комплексную плоскость

Риманова поверхность для аргумента соотношения tan z = x . Оранжевый лист посередине — это основной лист, представляющий арктан x . Синий лист сверху и зеленый лист снизу смещаются на 2 π и −2 π соответственно.

Поскольку обратные тригонометрические функции являются аналитическими функциями , их можно продолжить с действительной прямой на комплексную плоскость. Это приводит к появлению функций с несколькими листами и точками ветвления . Один из возможных способов определения расширения:

$\arctan(z)=\int _{0}^{z}{\frac {dx}{1+x^{2}}}\quad z\neq -i,+i$

где часть воображаемой оси, которая не лежит строго между точками ветвления (−i и +i), является разрезом между основным листом и другими листами. Путь интеграла не должен пересекать срез ветки. Для z прямой путь от 0 до z , не находящегося на разрезе, таким путем является . Для z на разрезе пути путь должен приближаться от Re[x] > 0 для верхнего разреза и от Re[x] < 0 для нижнего разреза.

Тогда функцию арксинуса можно определить как:

$\arcsin(z)=\arctan \left({\frac {z}{\sqrt {1-z^{2}}}}\right)\quad z\neq -1,+1$

где (функция квадратного корня имеет разрез вдоль отрицательной вещественной оси и) часть вещественной оси, которая не лежит строго между -1 и +1, является разрезом ветви между главным листом arcsin и другими листами;

$\arccos(z)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)\quad z\neq -1,+1$

который имеет тот же разрез, что и arcsin;

$\operatorname {arccot}(z)={\frac {\pi }{2}}-\arctan(z)\quad z\neq -i,i$

имеющий тот же разрез, что и арктан;

$\operatorname {arcsec}(z)=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1$

где часть вещественной оси между −1 и +1 включительно представляет собой разрез между основным листом в угловых секундах и другими листами;

$\operatorname {arccsc}(z)=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\quad z\neq -1,0,+1$

который имеет тот же разрез, что и arcsec.

Логарифмические формы

Эти функции также можно выразить с помощью комплексных логарифмов . Это расширяет их область действия на комплексную плоскость естественным образом . Следующие тождества для главных значений функций справедливы всюду, где они определены, даже на разрезах их ветвей.

${\begin{aligned}\arcsin(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)=i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}-iz\right)&{}=\operatorname {arccsc} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arccos(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-z^{2}}}+z\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(z)&{}=\operatorname {arcsec} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\arctan(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+iz}{1-iz}}\right)&{}=\operatorname {arccot} \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccot}(z)&{}=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {iz-1}{iz+1}}\right)&{}=\arctan \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arcsec}(z)&{}=-i\ln \left(i{\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {1}{z}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\operatorname {arccsc}(z)&{}=\arccos \left({\frac {1}{z}}\right)\\[10pt]\operatorname {arccsc}(z)&{}=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)=i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}-{\frac {i}{z}}\right)&{}=\arcsin \left({\frac {1}{z}}\right)\end{aligned}}$

Обобщение

Поскольку все обратные тригонометрические функции выводят угол прямоугольного треугольника, их можно обобщить, используя формулу Эйлера для формирования прямоугольного треугольника в комплексной плоскости. Алгебраически это дает нам:

$ce^{i\theta }=c\cos(\theta )+ic\sin(\theta )$

или

$ce^{i\theta }=a+ib$

где $a$ это прилегающая сторона, $b$ противоположная сторона, и $c$ является гипотенузой. Отсюда мы можем решить $\theta$.

${\begin{aligned}e^{\ln(c)+i\theta }&=a+ib\\\ln c+i\theta &=\ln(a+ib)\\\theta &=\operatorname {Im} \left(\ln(a+ib)\right)\end{aligned}}$

или

$\theta =-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)$

Простое взятие мнимой части работает для любого действительного значения. $a$ и $b$, но если $a$ или $b$ является комплексным, мы должны использовать окончательное уравнение, чтобы не исключалась действительная часть результата. Поскольку длина гипотенузы не меняет угол, игнорируя действительную часть $\ln(a+bi)$ также удаляет $c$ из уравнения. В окончательном уравнении мы видим, что угол треугольника в комплексной плоскости можно найти, введя длины каждой стороны. Установив одну из трех сторон равной 1, а одну из оставшихся сторон равной нашему входному значению $z$, получаем формулу для одной из обратных тригонометрических функций, всего для шести уравнений. Поскольку обратные тригонометрические функции требуют только одного входного сигнала, мы должны выразить последнюю сторону треугольника через две другие, используя теоремы Пифагора. соотношение

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

В таблице ниже показаны значения a, b и c для каждой из обратных триггерных функций и эквивалентные выражения для $\theta$ которые являются результатом подстановки значений в уравнения $\theta =-i\ln \left({\tfrac {a+ib}{c}}\right)$ выше и упрощаем.

${\begin{aligned}&a&&b&&c&&-i\ln \left({\frac {a+ib}{c}}\right)&&\theta &&\theta _{a,b\in \mathbb {R} }\\\arcsin(z)\ \ &{\sqrt {1-z^{2}}}&&z&&1&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {1-z^{2}}}+iz}{1}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-z^{2}}}+iz\right)\right)\\\arccos(z)\ \ &z&&{\sqrt {1-z^{2}}}&&1&&-i\ln \left({\frac {z+i{\sqrt {1-z^{2}}}}{1}}\right)&&=-i\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)\right)\\\arctan(z)\ \ &1&&z&&{\sqrt {1+z^{2}}}&&-i\ln \left({\frac {1+iz}{\sqrt {1+z^{2}}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i-z}{i+z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(1+iz\right)\right)\\\operatorname {arccot}(z)\ \ &z&&1&&{\sqrt {z^{2}+1}}&&-i\ln \left({\frac {z+i}{\sqrt {z^{2}+1}}}\right)&&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {z+i}{z-i}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left(z+i\right)\right)\\\operatorname {arcsec}(z)\ \ &1&&{\sqrt {z^{2}-1}}&&z&&-i\ln \left({\frac {1+i{\sqrt {z^{2}-1}}}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}-1}}\right)\right)\\\operatorname {arccsc}(z)\ \ &{\sqrt {z^{2}-1}}&&1&&z&&-i\ln \left({\frac {{\sqrt {z^{2}-1}}+i}{z}}\right)&&=-i\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)&&\operatorname {Im} \left(\ln \left({\sqrt {1-{\frac {1}{z^{2}}}}}+{\frac {i}{z}}\right)\right)\\\end{aligned}}$

Конкретная форма упрощенного выражения может привести к тому, что выходные данные будут отличаться от обычной основной ветви каждой из обратных триггерных функций. Приведенные формулировки выведут обычную основную ветвь при использовании $\operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in (-\pi ,\pi ]$ и $\operatorname {Re} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0$ главная ветвь для каждой функции, кроме арккотангенса в $\theta$ столбец. Арккотангенс в $\theta$ столбец будет выводиться в своей обычной основной ветке, используя метод $\operatorname {Im} \left(\ln z\right)\in [0,2\pi )$ и $\operatorname {Im} \left({\sqrt {z}}\right)\geq 0$ соглашение.

В этом смысле все обратные триггерные функции можно рассматривать как частные случаи комплекснозначной логарифмической функции. Поскольку эти определения работают для любых комплексных значений $z$определения допускают гиперболические углы в качестве выходных данных и могут использоваться для дальнейшего определения обратных гиперболических функций . Эти отношения можно доказать алгебраически, начав с экспоненциальных форм тригонометрических функций и найдя обратную функцию.

Пример доказательства

${\begin{aligned}\sin(\phi )&=z\\\phi &=\arcsin(z)\end{aligned}}$

Используя экспоненциальное определение синуса и позволяя $\xi =e^{i\phi },$

${\begin{aligned}z&={\frac {e^{i\phi }-e^{-i\phi }}{2i}}\\[10mu]2iz&=\xi -{\frac {1}{\xi }}\\[5mu]0&=\xi ^{2}-2iz\xi -1\\[5mu]\xi &=iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\\[5mu]\phi &=-i\ln \left(iz\pm {\sqrt {1-z^{2}}}\right)\end{aligned}}$

(выбрана положительная ветвь)

$\phi =\arcsin(z)=-i\ln \left(iz+{\sqrt {1-z^{2}}}\right)$

Графики цветового круга обратных тригонометрических функций на комплексной плоскости

$\arcsin(z)$	$\arccos(z)$	$\arctan(z)$

$\operatorname {arccsc}(z)$	$\operatorname {arcsec}(z)$	$\operatorname {arccot}(z)$

Приложения

Нахождение угла прямоугольного треугольника

Прямоугольный треугольник , стороны которого относятся к углу, $A$ точка.

Обратные тригонометрические функции полезны при попытке определить оставшиеся два угла прямоугольного треугольника, когда известны длины сторон треугольника. Вспоминая определения синуса и косинуса в прямоугольном треугольнике, отсюда следует, что

$\theta =\arcsin \left({\frac {\text{opposite}}{\text{hypotenuse}}}\right)=\arccos \left({\frac {\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}}\right).$

Часто гипотенуза неизвестна, и ее необходимо вычислить перед использованием арксинуса или арккосинуса с помощью теоремы Пифагора : $a^{2}+b^{2}=h^{2}$ где $h$ это длина гипотенузы. В этой ситуации пригодится арктангенс, так как длина гипотенузы не нужна.

$\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)\,.$

Например, предположим, что крыша падает на 8 футов и опускается на 20 футов. Крыша образует угол θ с горизонтом, где θ можно вычислить следующим образом:

$\theta =\arctan \left({\frac {\text{opposite}}{\text{adjacent}}}\right)=\arctan \left({\frac {\text{rise}}{\text{run}}}\right)=\arctan \left({\frac {8}{20}}\right)\approx 21.8^{\circ }\,.$

В области информатики и техники

Вариант арктангенса с двумя аргументами

Основная статья: atan2

с двумя аргументами Функция atan2 вычисляет арктангенс y / x по заданным y и x , но в диапазоне (− π , π ]. Другими словами, atan2( y , x ) — это угол между положительной x осью плоскость и точка ( x , y ) на ней, с положительным знаком для углов против часовой стрелки (верхняя полуплоскость, y > 0) и отрицательным знаком для углов по часовой стрелке (нижняя полуплоскость, y < 0 It). Впервые был введен во многие языки программирования, но теперь он также распространен в других областях науки и техники.

С точки зрения стандартной функции арктанга , то есть с диапазоном (− ⁠ π / 2 ⁠ , ⁠ π / 2 ⁠ ), это можно выразить следующим образом:

$\operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}$

равно главному значению аргумента Оно также комплексного числа x + i y .

Эту ограниченную версию приведенной выше функции также можно определить с использованием формул касательного полуугла следующим образом:

$\operatorname {atan2} (y,x)=2\arctan \left({\frac {y}{{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}+x}}\right)$

при условии, что либо x > 0, либо y ≠ 0. Однако это не работает, если заданы x ≤ 0 и y = 0, поэтому выражение непригодно для использования в вычислениях.

Вышеупомянутый порядок аргументов ( y , x ), кажется, является наиболее распространенным и, в частности, используется в стандартах ISO , таких как язык программирования C , но некоторые авторы могут использовать противоположное соглашение ( x , y ), поэтому необходима некоторая осторожность. . Эти варианты подробно описаны на atan2 .

Функция арктангенса с параметром местоположения

Во многих приложениях решение $y$ уравнения $x=\tan(y)$ состоит в том, чтобы максимально приблизиться к заданному значению $-\infty <\eta <\infty$. Адекватное решение дает модифицированная параметром функция арктангенса

$y=\arctan _{\eta }(x):=\arctan(x)+\pi \,\operatorname {rni} \left({\frac {\eta -\arctan(x)}{\pi }}\right)\,.$

Функция $\operatorname {rni}$ округляет до ближайшего целого числа.

Численная точность

Для углов, близких к 0 и π , арккосинус плохо обусловлен , и аналогично арксинусу для углов, близких к − π /2 и π /2. Таким образом, компьютерным приложениям необходимо учитывать стабильность входных данных для этих функций и чувствительность их вычислений или использовать альтернативные методы.

См. также

• Арксинусное распределение
• Они разрезали его наоборот
• Обратная версия
• Обратные гиперболические функции
• Список интегралов обратных тригонометрических функций
• Список тригонометрических тождеств
• Тригонометрическая функция
• Тригонометрические функции матриц

Ссылки

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. , ред. (1972). Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Нью-Йорк: Dover Publications . ISBN  978-0-486-61272-0 .

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Обратная касательная» . Математический мир .