Полином ХОМФЛИ

В математической области теории узлов полином HOMFLY или полином HOMFLYPT , иногда называемый обобщенным полиномом Джонса с 2 переменными , представляет собой полином узла , то есть узел, инвариантный в форме многочлена переменных m и l .

Центральный вопрос математической теории узлов заключается в том, представляют ли две диаграммы узлов один и тот же узел. Одним из инструментов, используемых для ответа на такие вопросы, является полином узла, который вычисляется на основе диаграммы узла и может быть показан как инвариант узла , т. е. диаграммы, представляющие один и тот же узел, имеют один и тот же полином . Обратное может быть неверным. Полином HOMFLY является одним из таких инвариантов и обобщает два ранее открытых полинома: полином Александера и полином Джонса , оба из которых могут быть получены соответствующими заменами из HOMFLY. Полином ХОМФЛИ также является квантовым инвариантом .

Название HOMFLY объединяет инициалы его соавторов: Джима Хоста , Адриана Окнеану , Кеннета Миллетта , Питера Дж. Фрейда , WBR Ликориша и Дэвида Н. Йеттера. Добавление PT признает независимую работу, проделанную Юзефом Пшитицким и Павлом Трачиком.

Определение

Полином определяется с использованием соотношений мотков :

$P(\mathrm {unknot} )=1,\,$

$\ell P(L_{+})+\ell ^{-1}P(L_{-})+mP(L_{0})=0,\,$

где $L_{+},L_{-},L_{0}$ представляют собой связи, образованные путем пересечения и сглаживания изменений в локальной области диаграммы связей, как показано на рисунке.

Полином ХОМФЛИ ссылки L , представляющей собой расщепленное объединение двух ссылок. $L_{1}$ и $L_{2}$ дается

$P(L)={\frac {-(\ell +\ell ^{-1})}{m}}P(L_{1})P(L_{2}).$

См. страницу, посвященную отношению мотков , где приведен пример вычислений с использованием таких отношений.

Другие отношения с мотками HOMFLY

Этот полином можно получить и с помощью других моточных соотношений:

$\alpha P(L_{+})-\alpha ^{-1}P(L_{-})=zP(L_{0}),\,$

$xP(L_{+})+yP(L_{-})+zP(L_{0})=0,\,$

Основные свойства

$P(L_{1}\#L_{2})=P(L_{1})P(L_{2}),\,$, где # обозначает сумму узлов ; таким образом, полином ХОМФЛИ составного узла является произведением полиномов ХОМФЛИ его компонентов.

$P_{K}(\ell ,m)=P_{{\text{Mirror Image}}(K)}(\ell ^{-1},m),\,$, поэтому полином ХОМФЛИ часто можно использовать для различения двух узлов разной киральности . Однако существуют киральные пары узлов, которые имеют один и тот же полином ХОМФЛИ, например узлы 9 ₄₂ и 10 ₇₁ вместе с соответствующими зеркальными изображениями.

Полином Джонса, V ( t ), и полином Александера, $\Delta (t)\,$ можно вычислить с помощью полинома ХОМФЛИ (версия в $\alpha$ и $z$ переменные) следующим образом:

$V(t)=P(\alpha =t^{-1},z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,$

$\Delta (t)=P(\alpha =1,z=t^{1/2}-t^{-1/2}),\,$

Дальнейшее чтение

• Кауфман, Л.Х. , «Теория формальных узлов», Princeton University Press, 1983.
• Ликориш, WBR «Введение в теорию узлов». Спрингер. ISBN   0-387-98254-X .

Внешние ссылки

• «Полином Джонса-Конвея» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Полином ХОМФЛИ» . Математический мир .
• « Полином ХОМФЛИ-PT », Атлас узлов .