Фрактальное пламя

Фрактальное пламя, созданное компьютерным проектом Electric Sheep .

Фрактальное пламя, созданное в Апофизе .

Фрактальное пламя является членом системы итерированных функций. класса фракталов , созданных Скоттом Дрейвсом в 1992 году. Открытый исходный код Дравса позже был перенесен в Adobe After Effects . графическое программное обеспечение и переведен в редактор фрактального пламени Apophys .

Фрактальное пламя отличается от обычных систем итерированных функций тремя способами:

• Нелинейные функции повторяются в дополнение к аффинным преобразованиям .
• Отображение логарифмической плотности вместо линейного или двоичного (форма тонального отображения )
• Цвет по структуре (т. е. по пройденному рекурсивному пути) вместо монохромного или по плотности.

Тональное отображение и окраска предназначены для отображения как можно большего количества деталей фрактала, что обычно приводит к более эстетичному изображению.

Алгоритм

Алгоритм состоит из двух этапов: создание гистограммы и последующий ее рендеринг.

Создание гистограммы

Фрактальное пламя.

Сначала выполняется итерация набора функций, начиная со случайно выбранной точки P = (Px,Py,Pc) , где третья координата указывает текущий цвет точки.

Набор функций пламени: ${\begin{cases}F_{1}(x,y),\quad p_{1}\\F_{2}(x,y),\quad p_{2}\\\dots \\F_{n}(x,y),\quad p_{n}\end{cases}}$

На каждой итерации выберите одну из приведенных выше функций, где вероятность F _j выбора равна p _j . Затем вычисляется следующая итерация P, применяя F _j к (Px,Py) .

Каждая отдельная функция имеет следующий вид:

$F_{j}(x,y)=\sum _{V_{k}\in Variations}w_{k}\cdot V_{k}(a_{j}x+b_{j}y+c_{j},d_{j}x+e_{j}y+f_{j})$

параметр wk _Vk весом вариации где _. называется Дравс предлагает это все $w_{k}$:s неотрицательны и в сумме равны единице, но такие реализации, как Apophys, не накладывают этого ограничения.

Функции V _k представляют собой набор предопределенных функций. Несколько примеров являются

• V ₀ ( Икс , y ) = ( Икс , y ) (Линейный)
• V ₁ ( x , y ) = (sin x ,sin y ) (синусоидальный)
• V ₂ ( Икс , y ) знак равно ( Икс , y )/( Икс ² + и ² ) (Сферический)

Цвет Pc точки связанным с последней примененной функцией Fj _{смешивается с цветом ,} :

Pc := (Pc + (F _j ) _цвет ) / 2

После каждой итерации гистограмма обновляется в точке, соответствующей (Px,Py) . Это делается следующим образом:

histogram[x][y][FREQUENCY] := histogram[x][y][FREQUENCY]+1
histogram[x][y][COLOR] := (histogram[x][y][COLOR] + P.c)/2

Таким образом, цвета изображения будут отражать, какие функции использовались для доступа к этой части изображения.

Рендеринг изображения

Чтобы повысить качество изображения, можно использовать суперсэмплинг для уменьшения шума. Это предполагает создание гистограммы большего размера, чем изображение, чтобы каждый пиксель имел несколько точек данных для извлечения. Например, создайте гистограмму с ячейками 300×300, чтобы нарисовать изображение размером 100×100 пикселей; каждый пиксель будет использовать группу сегментов гистограммы 3×3 для расчета своего значения.

Для каждого пикселя (x,y) конечного изображения выполните следующие вычисления:

frequency_avg[x][y]  := average_of_histogram_cells_frequency(x,y);
color_avg[x][y] := average_of_histogram_cells_color(x,y);

alpha[x][y] := log(frequency_avg[x][y]) / log(frequency_max);  
//frequency_max is the maximal number of iterations that hit a cell in the histogram.

final_pixel_color[x][y] := color_avg[x][y] * alpha[x][y]^(1/gamma); //gamma is a value greater than 1.

Приведенный выше алгоритм использует гамма-коррекцию , чтобы цвета выглядели ярче. Это реализовано, например, в программном обеспечении Apophys.

Чтобы еще больше повысить качество, можно использовать гамма-коррекцию для каждого отдельного цветового канала, но это очень тяжелые вычисления, поскольку функция журнала работает медленно.

Упрощенный алгоритм заключается в том, чтобы позволить яркости линейно зависеть от частоты:

final_pixel_color[x][y] := color_avg[x][y] * frequency_avg[x][y]/frequency_max;

но это приведет к тому, что некоторые части фрактала потеряют детализацию, что нежелательно.

Оценка плотности

Алгоритм пламени похож на симуляцию Монте-Карло , при этом качество пламени прямо пропорционально количеству итераций симуляции. Шум, возникающий в результате такой стохастической выборки, можно уменьшить путем размытия изображения, чтобы получить более плавный результат за меньшее время. Однако нежелательно терять разрешение в тех частях изображения, которые получают много выборок и поэтому имеют мало шума.

Эту проблему можно решить с помощью адаптивной оценки плотности , чтобы повысить качество изображения, сводя к минимуму время рендеринга. FLAM3 использует упрощение методов, представленных в *Адаптивная фильтрация для прогрессивного рендеринга изображений Монте-Карло*, документе, представленном на WSCG 2000 Фрэнком Суйкенсом и Ивом Д. Виллемсом. Идея состоит в том, чтобы изменять ширину фильтра обратно пропорционально количеству доступных выборок.

В результате области с небольшим количеством сэмплов и высоким уровнем шума становятся размытыми и сглаженными, а области с большим количеством семплов и низким уровнем шума остаются незатронутыми.

Не все реализации Flame используют оценку плотности.

См. также

• Apophys — редактор фрактального пламени с открытым исходным кодом для Microsoft Windows и Macintosh.
• Chaotica — коммерческий редактор фракталов, поддерживающий flam3, Apophys и другие обобщения.
• Electric Sheep , хранитель экрана, созданный изобретателем фрактального пламени, который визуализирует и отображает его посредством распределенных вычислений .
• GIMP , бесплатная на нескольких ОС программа для работы с изображениями , которая может генерировать фрактальное пламя.