Связь Поселье – Липкина

Рычаг Поселье-Липкина (или ячейка Поселье-Липкина , или инвертор Поселье-Липкина ), изобретенный в 1864 году, был первым настоящим плоским прямолинейным механизмом - первым плоским рычажным механизмом, способным преобразовывать вращательное движение в идеальное прямолинейное движение , и наоборот. наоборот. Он назван в честь Шарля-Николя Поселье (1832–1913), офицера французской армии, и Йом Това Липмана Липкина (1846–1876), литовского еврея и сына знаменитого раввина Исраэля Салантера . ^[1]^[2]

До этого изобретения не существовало плоского метода преобразования точного прямолинейного движения в круговое движение без опорных направляющих. В 1864 году вся мощность исходила от паровых двигателей которых , поршень перемещался по прямой линии вверх и вниз по цилиндру. Этот поршень должен был сохранять хорошее уплотнение с цилиндром, чтобы сохранять движущую среду и не терять энергоэффективности из-за утечек. Поршень делает это, оставаясь перпендикулярным оси цилиндра, сохраняя прямолинейное движение. Преобразование прямолинейного движения поршня в круговое имело решающее значение. Большинство, если не все, применения этих паровых двигателей были роторными.

Математика связи Поселье-Липкина напрямую связана с инверсией круга.

Ранее связь Сарруса

Существует более ранний прямолинейный механизм, история которого малоизвестна, называемый связью Сарруса . Эта связь предшествует связи Поселье-Липкина на 11 лет и состоит из ряда шарнирных прямоугольных пластин, две из которых остаются параллельными, но могут нормально перемещаться друг к другу. Связь Сарруса относится к трехмерному классу, иногда известному как космический рычаг , в отличие от связи Поселье-Липкина, которая представляет собой плоский механизм.

Геометрия

На геометрической схеме аппарата можно увидеть шесть стержней фиксированной длины: $OA$ , $OC$ , $AB$ , $BC$ , $CD$ , $DA$ . Длина $OA$ равна длине $OC$ , а длины $AB$ , $BC$ , $CD$ и $DA$ равны, образуя ромб . Кроме того, точка $О$ фиксирована. Тогда, если точка $B$ вынуждена двигаться по окружности (например, прикрепив ее к стержню длиной на полпути между $O$ и $B$ ; путь показан красным), который проходит через $O$ , то точке $D$ обязательно придется двигаться по окружности. прямая линия (показана синим цветом). Напротив, если бы точка $B$ была вынуждена двигаться вдоль линии (не проходя через $O$ ), то точка $D$ обязательно должна была бы двигаться по кругу (проходя через $O$ ).

Математическое доказательство концепции

Коллинеарность

Сначала необходимо доказать, что точки $O$ , $B$ , $D$ лежат на одной прямой . В этом легко убедиться, заметив, что связь зеркально симметрична относительно линии $OD$ , поэтому точка $B$ должна находиться на этой линии.

Более формально, треугольники $△ BAD$ и $△ BCD$ конгруэнтны, потому что сторона $BD$ конгруэнтна сама себе, сторона $BA$ конгруэнтна стороне $BC$ , а сторона $AD$ конгруэнтна стороне $CD$ . Следовательно, углы $∠ ABD$ и $∠ CBD$ равны.

Далее, треугольники $△ OBA$ и $△ OBC$ конгруэнтны, так как стороны $OA$ и $OC$ конгруэнтны, сторона $OB$ конгруэнтна сама себе, а стороны $BA$ и $BC$ конгруэнтны. Следовательно, углы $∠ OBA$ и $∠ OBC$ равны.

Наконец, поскольку они образуют полный круг, мы имеем

\angle OBA+\angle ABD+\angle DBC+\angle CBO=360^{\circ }

но из-за сравнений $∠ OBA = ∠ OBC$ и $∠ DBA = ∠ DBC$ , таким образом

{\begin{aligned}&2\times \angle OBA+2\times \angle DBA=360^{\circ }\\&\angle OBA+\angle DBA=180^{\circ }\end{aligned}}

следовательно, точки $O$ , $B$ и $D$ лежат на одной прямой.

Обратные точки

Пусть точка $P$ будет пересечением прямых $AC$ и $BD$ . Тогда, поскольку $ABCD$ — ромб , $P$ — середина обоих отрезков $BD$ и $AC$ . Следовательно, длина $BP$ = длина $PD$ .

Треугольник $△ BPA$ конгруэнтен треугольнику $△ DPA$ , так как сторона $BP$ конгруэнтна стороне $DP$ , сторона $AP$ конгруэнтна сама себе, а сторона $AB$ конгруэнтна стороне $AD$ . Следовательно, угол $∠ BPA$ = угол $∠ DPA$ . Но поскольку $∠ BPA + ∠ DPA = 180°$ , то $2 \times ∠ BPA = 180°$ , $∠ BPA = 90°$ и $∠ DPA = 90°$ .

Позволять:

{\begin{aligned}&x=\ell _{BP}=\ell _{PD}\\&y=\ell _{OB}\\&h=\ell _{AP}\end{aligned}}

Затем:

\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=y(y+2x)=y^{2}+2xy

{\ell _{OA}}^{2}=(y+x)^{2}+h^{2}

(по теореме Пифагора )

{\ell _{OA}}^{2}=y^{2}+2xy+x^{2}+h^{2}

(то же выражение развернуто)

{\ell _{AD}}^{2}=x^{2}+h^{2}

(теорема Пифагора)

{\ell _{OA}}^{2}-{\ell _{AD}}^{2}=y^{2}+2xy=\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}

Поскольку $OA$ и $AD$ имеют фиксированную длину, произведение $OB$ и $OD$ является константой:

\ell _{OB}\cdot \ell _{OD}=k^{2}

а поскольку точки $O$ , $B$ , $D$ лежат на одной прямой, то $D$ является инверсией $B$ относительно круга $(O, k)$ с центром $O$ и радиусом $k$ .

Инверсивная геометрия

Таким образом, по свойствам инверсной геометрии , поскольку фигура, очерченная точкой $D,$ является обратной фигуре, очерченной точкой $B$ , если $B$ отслеживает круг, проходящий через центр инверсии $O$ , то $D$ вынужден отслеживать прямую линию. Но если $B$ проводит прямую, не проходящую через $O$ , то $D$ должен провести дугу окружности, проходящую $O.$ через КЭД

Типичный водитель

Связи Поселье-Липкина (PLL) могут иметь несколько инверсий. Типичный пример показан на противоположном рисунке, в котором входным драйвером служит кулисно-ползуточная четырехполоска. Точнее, ползунок действует как вход, который, в свою очередь, управляет правым заземленным звеном ФАПЧ, тем самым управляя всей ФАПЧ.

Исторические заметки

Сильвестр ( «Собрание сочинений» , т. 3, статья 2) пишет, что, когда он показал модель Кельвину , он «выхаживал ее, как будто это был его собственный ребенок, и когда было сделано предложение освободить его от нее, ответил: «Нет». ! Мне этого не хватило — это самое прекрасное, что я когда-либо видел в своей жизни».

Культурные ссылки

Монументальная скульптура, изображающая соединение освещенных стоек, находится на постоянной выставке в Эйндховене, Нидерланды . Размеры произведения искусства составляют 22 на 15 на 16 метров (72 х 49 х 52 фута), весят 6600 кг (14 600 фунтов), и им можно управлять с панели управления, доступной для широкой публики. ^[3]

См. также

Ссылки

^ «Математический учебник связи Поселье – Липкина» . Kmoddl.library.cornell.edu . Проверено 6 декабря 2011 г.
^ Таймина, Дайна. «Как нарисовать прямую линию», Дайна Таймина . Kmoddl.library.cornell.edu . Проверено 6 декабря 2011 г.
^ «То, что у тебя характер, не означает, что у тебя есть характер» . Иво Шуфс . Проверено 14 августа 2017 г.

Библиография

Огилви, CS (1990), Экскурсии по геометрии , Дувр, стр. 46–48 , ISBN 0-486-26530-7
Брайант, Джон; Сангвин, Крис (2008). Насколько круглый ваш круг? : где встречаются инженерия и математика . Принстон: Издательство Принстонского университета. стр. 33–38, 60–63. ISBN 978-0-691-13118-4 . - доказательство и обсуждение связи Поселье-Липкина, математических и реальных механических моделей.
Коксетер Х.С.М. , Грейтцер С.Л. (1967). Возвращение к геометрии . Вашингтон : МАА . С. 108–111 . ISBN 978-0-88385-619-2 . (и ссылки, цитируемые там)
Хартенберг, Р.С. и Дж. Денавит (1964) Кинематический синтез связей , стр. 181–5, Нью-Йорк: МакГроу – Хилл, веб-ссылка из Корнельского университета .
Джонсон Р.А. (1960). Продвинутая евклидова геометрия: элементарный трактат по геометрии треугольника и круга (перепечатка издания 1929 года под ред. Хоутона Миффлина). Нью-Йорк: Dover Publications. стр. 46–51. ISBN 978-0-486-46237-0 .
Уэллс Д. (1991). Словарь любопытной и интересной геометрии Penguin . Нью-Йорк: Книги Пингвина. п. 120 . ISBN 0-14-011813-6 .

Внешние ссылки

«Как нарисовать прямую линию», онлайн-видеоклипы, показывающие связи с интерактивными апплетами.
Как нарисовать прямую линию, историческое обсуждение конструкции связей
Интерактивный Java-апплет с доказательством.
Java-анимированная связь Поселье – Липкина
Статья в Еврейской энциклопедии о Липпмане Липкине и его отце Израиле Салантере
Peaucellier Apparatus имеет интерактивный апплет.
Моделирование с использованием программного обеспечения Molecular Workbench.
Соответствующая связь называется «Инверсор Харта».
Модифицированное соединение роботизированной руки Peaucellier (видео Vex Team 1508)

[1] «Математический учебник связи Поселье – Липкина» . Kmoddl.library.cornell.edu . Проверено 6 декабря 2011 г.

[2] Таймина, Дайна. «Как нарисовать прямую линию», Дайна Таймина . Kmoddl.library.cornell.edu . Проверено 6 декабря 2011 г.

[Schoofs-3] «То, что у тебя характер, не означает, что у тебя есть характер» . Иво Шуфс . Проверено 14 августа 2017 г.

[1]

[2]

[3]